SỰ TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG môi TRƯỜNG CHIẾT SUẤT THAY đổi

HI THO CC TRNG CHUYấN Chuyờn : S TRUYN NH SNG TRONG MễI TRNG CHIT SUT THAY I HI THO CC TRNG CHUYấN MC LC III KT LUN .36 TI LIU THAM KHO 38 Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn HI THO CC TRNG CHUYấN I T VN Phn quang hc l mt nhng phn kin thc nn tng ca chng trỡnh giỏo dc ph thụng Liờn quan rt nhiu n cỏc thc tin cuc sng Thớ d mt, mỏy nh, cỏc thit b quang hc dựng y hc Cỏc hin tng xy t nhiờn nh o nh, cu vng Trong phn quang hỡnh hc, cỏc kin thc v quang hỡnh tng i y Cỏc nh lut quang hỡnh c nghiờn cu tng i k Cỏc dng c quang hỡnh nh mt, mỏy nh, kớnh hin vi, kớnh thiờn cng c xem xột tng i y Cú mt bi toỏn s dng cụng c toỏn hc l tớch phõn tng i phc tp, v cng em li hng thỳ cho hc sinh ú l bi toỏn xem xột chuyn ng ca ỏnh sỏng mụi trng cú chit sut thay i Gn õy cú mt s nm liờn tip cỏc bi thi hc sinh gii quc gia u cú bi toỏn truyn ỏnh sỏng mụi trng chit sut thay i Vỡ nhng lớ trờn, tụi chn ti S TRUYN NH SNG TRONG MễI TRNG Cể CHIT SUT THAY I Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn HI THO CC TRNG CHUYấN II NI DUNG CHO PHNG TRèNH NG TRUYN NH SNG XC NH QUY LUT BIN I CA CHIT SUT 1.1 C s lớ thuyt Gi s chit sut mụi trng n = n(y) bit ng truyn tia sỏng y = y(x) tia sỏng bay vo mụi trng núi trờn ti im x vi gúc ti i0 bit chit sut mụi trng ngoi l n0 Hóy tỡm qui lut bin i chit sut Gii Chia mụi trng thnh nhng lp mng cho n khụng xet ti im M tia sỏng vi gúc ti i n sin i = n0 sin i0 = h.so dx cosi tani= , tan = cot i = = dy sini n02 sin i0 n n02 sin i0 n = sin i0 n0 sin i0 n0 n y M i Mc khỏc coti = dy = y , n n02 sin i0 = n0 sin i0 y , dx dy x0 dx x n = n0 sin i0 + ( y , ) Cỏc trng hp riờng y , = 2ax (y, ) = 4a x = 4ay n = n0 sin i0 + 4ay y = ax2 ng truyn l mt on phng trỡnh : y = AsinBx y , = ABcosBX (y, ) = A2 B cos BX = A2 B A2 B sin Bx = A2 B B y n = n0 sin i0 A2 B + B y ng truyn l cung trũn : ( x a ) + ( y b ) = R 2 ( y b) = R ( x a ) ly o hm hai v 2 ( y b ) y , = ( x a ) x , = ( x a ) y = 2( x a) xa = ( y b) y b R2 ( y b ) xa R y = n = n0 sin i0 + y ,2 = n0 sin i0 ữ = y b ( y b) y b 2 ,2 Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn HI THO CC TRNG CHUYấN 1.2 Bi ỏp dng Bi Mt tia sỏng chiu t khụng khớ vuụng gúc lờn mt phng mt ngn cỏch mụi trng cú chit sut n(y) ph thuc vo ta y ti im A, vi OA = a (xem hỡnh 3) Tỡm dng hm n(y) tia sỏng truyn mụi trng ny theo ng hỡnh sin c mụ t bi phng trỡnh y = acos ( x ) , ú l hng s Cho nA l chit sut ca mụi trng ti A Cú th tn ti hm n(y) chung cho hai tia sỏng bt kỡ chiu vuụng gúc n mt phõn cỏch (vớ d hai tia sỏng A v B) nh trờn hỡnh v hay khụng? Gii thớch y A B x O GII tia sỏng truyn theo dng hỡnh sin nh hỡnh v thỡ phng trỡnh ng i ca nú cú dng y = a cos ( x ) tan( ) = a sin ( t ) = cot i y Ta nx sin ix = const = n A sin i A = n A sin n = nA ny = A sin i y cú: m: = cot i y + = + a sin ( t ) = + ( a y ) sin i y 1 sin i y = sin i y = 2 1+ a y + a2 y2 ( ) ( y B A O iy x ) n 2 A t phng trỡnh: ny = sin i = nA + ( a y ) y Chit sut ny bin thiờn theo quy lut sau: ( a y a ) n y = n A + ( a y ) (*) Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn HI THO CC TRNG CHUYấN khng nh xem cú tn ti hm n(y) chung cho hai tia sỏng chiu vuụng gúc mt phõn cỏch ti A, B hay khụng, tc hai tia sỏng y cú cựng dng ng i l mt sin hay khụng Ta xột chiu tia sỏng vuụng gúc vo mt phõn cỏch ti im cú ta y1 ( y1 a ) v chit sut khong t - a n a bin thiờn theo hm cú cụng thc (*) Ti mi v trớ ta luụn cú: n y sin i y = = const = n1 sin = n1 sin i y = n1 cot i y = tan cot i y = y '2 n y m ( ( ( ( 2 2 n y2 nA + a y M cot iy + = = = sin i y n1 nA + a y12 cot i y = ( y12 y ) 2 t b = ( + a y12 y' = b + ( a y12 ) dy (y ) y' = y ) = bdx (y y2 ) 2 y2 2 y12 )) )) y2 y2 ) 2 ( 1 + ( a y1 ) (y dy ) ) (1+ ( a = ) ) (1+ ( a ) y2 dy =b dx (y y2 ) = bdx y Suy ra: arcsin y = bx + c y = y1 sin( bx + c ) ti y=y1; x=0 suy ra: y1=y1sinc c = x ữ 2 ữ + ( a y1 ) nờn: y = y1cos ng i ca tia sỏng tuõn theo quy lut hm sin vi mi y1 ( a y1 a ) Vỡ vy ta cú th núi luụn tn ti hm n(y) chung ( cú th vụ s) ng i ca tia sỏng A, B l dng hm sin Vy ta cú kt lun: ng i tia sỏng dng hm sin thỡ chit sut ca mụi trng bin thiờn theo biu thc: ( ) n y = nA + a y Chng t khụng ch tn ti hai tia sỏng tha m tn ti vụ s tia sỏng khong t -a n a u cú dng ng i l hm sin Bi 2: Xỏc nh quy lut bin i ca chit sut n ng i tia sỏng mt phng Oxy cú dng parabon y =ax2 Gii o hm y =ax2. y =2ax nờn (y)2 = 4a2 x2=4ay n(y) = n0sin i0 + 4ay n = A By + C Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn HI THO CC TRNG CHUYấN Bi 3: Tỡm quy lut bin i ca chit sut n ng i ca tia sỏng l mt phn ca ng trũn (x-a)2+ (y-b)2 =R2 Gii o hm hai v ca phng trỡnh : 2(x-a)+2(y-b)y =0 (y)2= (x-a)2/(y-b)2 =(R2/(y-b)2) -1 n = n0 sin i0 R yb hay chit sut n cú dng n = C/ (Ay-B) Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn HI THO CC TRNG CHUYấN BIT QUY LUT BIN I CA CHIT SUT XC NH PHNG TRèNH NG TRUYN NH SNG 2.1 C s lớ thuyt Bit qui lut bin i n tỡm phng trỡnh biu din ng truyn ( Cỏch lm tng t) , n = n0 sin i0 + ( y ) ,tỡm c y ly nguyờn hm ta tỡm c y T : 2.2 Bi ỏp dng Bi Trong mt nờm sut cú mt cht lng cú thnh phn khụng i chy theo phng vuụng gúc vi mt phng hỡnh v , cho chit sut n ca nú thay i theo thi gian t theo quy lut n(t ) = + n0 t / , ú n0 v l cỏc hng s Ngi ta chiu mt chựm sỏng hp vuụng gúc ti nờm v sau qua nờm ti mt mn nh Cho gúc nh ca nờm l nh, dy ca nờm ti ch ỏnh sỏng chiu ti l a, cũn khong cỏch t nờm ti mn l d >> a Hóy tỡm tc chuyn ng ca vt sỏng trờn mn Gi ý: vi nhng giỏ tr nh ca gúc , cú th dựng cụng thc gn ỳng sin tg Gii Gii: Vỡ d >> a nờn b qua thi gian tia sỏng truyn qua nờm, nờn tia sỏng s truyn thng nờm, ti I v khỳc x di gúc nh hỡnh v Theo nh lut khỳc x ta cú: sin = nt sin nt V trớ ca vt sỏng trờn mn xỏc nh bi: x = d tg ( ) d ( ) t dx d n0 Vn tc vt sỏng: v = = dt n d Vy v = x d ( nt 1) = d n0 I H x Bi Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn HI THO CC TRNG CHUYấN Mt tia sỏng SI i t khụng khớ di gúc ti = 300 vo mt bn mt song song cú b dy 0,3m vi chit sut thay i theo sõu x vi quy lut n= 1+ x (hỡnh 3), ú x0 = 0,1m Xỏc nh qu o ca tia sỏng x0 bn mt? Tia sỏng cú th t ti sõu no v b lch mt khong bao nhiờu so vi im ti? Cho OI = 0, 63 (m), chit sut khụng khớ bng GII Khi i t khụng khớ vo bn mt song song thỡ cú th vit: sin 1 = sin n1 (1) sin n Sau tia i qua mt khong nh dh thỡ: sin = n sin n2 = sin n3 Tip ú: sin n n = n1 sin n nn sin n Nhõn tt c cỏc biu thc ny vi nhau, ta nhn c: sin = n n Ngha l cú th vit i vi mt im bt k ca qu o: sin = sin n (2) (3) Ta nhn thy rng l gia tip tuyn ca qu o tia sỏng v phng ng Nu kho sỏt qu o ca tia sỏng mh mt hm dch chuyn theo sõu thỡ: f ' ( x) = tg (h s gúc ca tip tuyn) -0,1 y 0S r I O y 0,3 T (3) suy ra: x n n2 = + cot = sin sin sin n2 = tan sin Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn HI THO CC TRNG CHUYấN f ' ( x) = sin n sin 2 = sin 16 sin x + x0 (4) Thay cỏc giỏ tr ó cho vo phng trỡnh (4), ta nhn c: f ( x) = (10 x + 1)dx 64 (1 + 10 x) = (10 x + 1).d (10 x + 1) 1 d (10 x + 1) = 10 64 (1 + 10 x) 10 64 (1 + 10 x) = ( 2) 64 (1 + 10 x) ữ+ C = 0, 64 ( x + 0,1) + C 20 T h (5) ta ó cho, ta ch ly nghim: f ( x) = 0,64 ( x + 0,1) + C vi hng s C c xỏc nh t iu kin u: Khi x = thỡ: f ( x) = 0, 63 = 0, 64 (0 + 0,1) + C Suy C = Vy phng trỡnh qu o tia sỏng cú dng: f ( x) = 0, 64 ( x + 0,1) (6) Qu o ca tia sỏng cú dng l mt phn ng trũn, bỏn kớnh: r = 0,8m Da vo hỡnh v, ta cú sõu tia sỏng i c s bng: x = r 0,1 = 0,8 0,1 = 0, 7(m) > 0,3(m) Chng t tia sỏng i ht ton bn v qu o ca ng truyn ca tia sỏng l mt cung trũn cú bỏn kớnh l 0,8m cú tõm nm trờn Ox cú ta x = -0,1(m) lch tia sỏng so vi im ti bn l: y = 0,8 0,12 0,8 0,4 = 0,1( 63 48 ) 0,1009m Bi 6: Chiu mt tia sỏng n sc ti mt AB ca bn mt song song cú b dy b =1m di mt gúc nh hỡnh v Chit sut ca bn i ti tia sỏng n sc ny bin i theo qui lut n( y ) = n0 + y vi n0 = 1, n2 = b a Xỏc nh iu kin ca tia sỏng khụng xuyờn qua c bn mt song song b Chiu tia sỏng n sc SI (chit sut ca bn mt song song i vi tia sỏng n sc ny bin i theo qui lut trờn) vuụng gúc vi mt gii hn ti O cú chit sut n0 = 1, sau ú lú mt AB vi gúc nh hỡnh v - Xỏc nh gúc lch ca tia sỏng so vi phng ban u - Xỏc nh phng trỡnh ng cong tia sỏng truyn bn GII y A n2 n(y) Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn S I B b n1 x 10 HI THO CC TRNG CHUYấN T (3) mun i < /2 thỡ aR nr.r.sini = nR.R.sin30o = R/2 i dr Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn d r 24 HI THO CC TRNG CHUYấN sin i = R R+r = R 4r r R+r sin i => r R nờn rmin = R/3 (sini)max = 1, i = 90o (5) Khong cỏch ngn nht t tõm O ti ng i ca tia sỏng l R/3 Bi 14 Mt chựm sỏng n sc, hp (coi l mt tia sỏng) chiu n mt qu cu sut vi gúc ti i (0 < i < 900 ) Coi chit sut ca qu cu ph thuc vo bỏn kớnh qu cu theo cụng thc n (r) = R +a vi R bỏn kớnh qu cu, a l hng s, r l khong cỏch t tõm cu r+a ti im cú chit sut n.Tia sỏng b khỳc x qu cu Xỏc nh khong cỏch nh nht t tõm cu n tia khỳc x.V dng ng truyn ca tia sỏng qu cu Gii Chia qu cu thnh nhng lp cu rt mng cú dy dr cho chit sut mi lp cu khụng i l n(r), phn tai khỳc x lp cu ny coi nh mt on thng p dng nh lut khỳc x: n sin i = n1 sin r (1) r(1) R i = Xột tam giỏc OIA: (2) sin r sin i1 I r i1 A n R sin i = n1r(1) sin i1 T (1) v (2): r Tng t cho cỏc lp tip theo ta cú: (1) n R sin i = n (r) r(r) sin i r IO Trong ú i r l gúc ti ti lp cu cú bỏn kớnh r vi chit sut ph thuc vo bỏn kớnh nờn cng vo tõm cu chit sut cng tng ú i < i < < i r ngha l tia khỳc x b un cong v phớa tõm cu v ti i r = 900 thỡ tia khỳc x li tip tc truyn xa tõm cu Ti im cú i r = 900 thỡ khong cỏch t tõm cu n tia khỳc x l nh nht v chỡnh bng bỏn kớnh ti ú: n R sin i = n (r) r(r) sin i r R+a n R sin i = n (r) rmin sin 90 = rmin sin 90 rmin + a aRn sin i rmin = a + R(1 sin i) Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 25 HI THO CC TRNG CHUYấN V dng ng truyn ca tia sỏng qu cu.(hỡnh v) O r I Bi 15 Cho mt thu tinh sut dng hỡnh lng tr ng cú ỏy dng mt phn ca hỡnh trũn (Hỡnh 3) v chiu cao l H c t khụng khớ Bỏn kớnh cong ca ỏy l R, rng L = R Chn h trc to 0xyz cho mt phng y0z trựng vi mt phng bờn ca lng tr, gc nm ti tõm mt phng v mt x0y song song vi mt phng ỏy ca lng tr Bit vt liu lm lng tr cú chit sut ph thuc vo to x theo cụng thc: n(x) = + 2x Ngi ta R chiu mt chựm tia laze rng, song song vi trc 0x ti vuụng gúc vi mt phng y0z ca lng tr Coi rng cỏc tia laze khụng b phn x trờn cỏc b mt lng tr Cỏc tia lú lng tr ct mt phng x0z vựng no? y Chựm laze R L R x Hỡnh Gii Chia lng tr thnh cỏc lp rt mng cú mt phõn cỏch song song vi mt phng bờn ca lng tr (coi cỏc lp cú chit sut khụng i) Do tia ti i vuụng gúc vi cỏc mt phõn cỏch, nờn tia sỏng ch b lch i ti mt tr Ta cú: x + 3.R / y I 2x y sin r = n.sin i = + I ữ I = I ữ ữR R R R H I r i S ý rng: OC = x + 3.R / x I + OC R I = = cos i R R C O C sin r = 2sin i cos i = sin 2i r = 2i Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 26 HI THO CC TRNG CHUYấN ã ' = i = r i = IC ã 'C l tam giỏc cõn Khi im I dch chuyn trờn mt ICC cú ICC cu, d dng tớnh c im C dch chuyn khong 3 R OC ' ữR 2 ữ (*) Vy: cỏc tia lú lng tr ct mt phng x0z mt vựng hỡnh ch nht, cú cnh hng theo trc Oz l H v cnh hng theo trc Ox l cỏc im tha iu kin (*) trờn Chỳ ý: i 300 r 600 nờn mi tia sỏng ti mt tr u khỳc x, khụng xy hin tng phn x ton phn Bi 16 Một đoạn sợi quang thẳng có dạng hình trụ bán kính R, hai đầu phẳng vuông góc với trục sợi quang, đặt không khí cho trục đối xứng trùng với trục tọa độ Ox Giả thiết chiết suất chất liệu làm sợi quang thay đổi theo quy luật: n = n1 k r , r khoảng cách từ điểm xét tới trục Ox, n1 k số dơng Một tia sáng chiếu tới đầu sợi quang điểm O dới góc nh hình Gọi góc tạo phơng y truyền tia sáng điểm có hoành độ x với trục Ox Chứng minh ncos = C n chiết suất điểm có hoành độ x đờng truyền tia sáng C số Tính O x C Viết phơng trình quỹ đạo biểu diễn đờng truyền tia sáng sợi Hỡnh 33.2 quang Tìm điều kiện để tia sáng chiếu đến sợi quang O không ló thành sợi quang Chiều dài L sợi quang thỏa mãn điều kiện để tia sáng ló đáy sợi quang theo phơng song song với trục Ox? Gii Tại O: sin = n1sin0 Chia sợi quang thành nhiều lớp mỏng hình trụ đồng tâm Xét mặt phẳng xOy, lớp dày dy Tại điểm góc tới tia sáng (900-), ta có n(y)sin(900-)= n1sin(900- 0) n(y)cos = n1cos0 = C C = n1cos0= n1 sin = n1 sin = n12 sin n12 Vậy, C = n12 sin Xét M có toạ độ (x,y), tia sáng có góc tới i = (900- ) cos dx C C n(y) cos = C; cos = n(y) ; dy = cot = cos = n (y) C2 y x= C dy n (y) C y ; Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn x= C dy n12 (1 k y ) C 27 x HI THO CC TRNG CHUYấN áp dụng dy = by arcsin với a = n12 C2 = sin; b = kn1 b a a b y C kn y x= arcsin +C1 Điều kiện ban đầu: x = y =0 suy C1 = kn1 sin sin kn sin kn1 y= sin x = sin x kn1 C kn1 n12 sin 2 Vậy quỹ đạo tia sáng đờng hình sin Điều kiện để tia sáng truyền sợi quang là: sin R Muốn với kn1 kn1R Muốn ló theo phơng song song Ox x = L, y có độ lớn cực đại kn1 Hay Suy n sin L= L= + p với p số nguyên không âm (2p + 1) n12 sin với p = 0, 1, kn1 Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 28 HI THO CC TRNG CHUYấN Bi ỏp dng Bi 17 Olympic vt lớ chõu ỏ 2005 x O x n0= a z n O n z i Mt si quang hc (gi tt l si quang) gm mt lừi hỡnh tr, bỏn kớnh a, lm bng vt liu sut cú chit sut bin thiờn liờn tc t giỏ tr n = n1 trờn trc n n = n2 (vi < n2 < n1) khong cỏch a n trc theo cụng thc: n = n( x) = n1 x vi x l khong cỏch t im cú chit sut n n trc ca lừi, l hng s Lừi c bao bc bi mt lp v lm bng vt liu cú chit sut n2 khụng i Bờn ngoi si quang l khụng khớ, cú chit sut n0 Gi Oz l trc ca si quang hc, vi O l tõm ca mt u si Cho n0 = 1,000; n1 = 1,500; n2 = 1,460; a = 25 àm Mt tia sỏng n sc c chiu vo si quang ti im O di gúc ti i, mt phng ti l mt phng xOz a Hóy ch rng ti mi im trờn ng i ca tia sỏng si quang, chit sut n v gúc gia tia sỏng v trc Oz tho h thc ncos = C, vi C l mt hng s Tỡm biu thc ca C theo n1 v i [1,0 im] Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 29 HI THO CC TRNG CHUYấN b S dng kt qu cõu 1.a v h thc lng giỏc cos = (1 + tan ) , ú tan = dx = x' l dc ca tip tuyn ca ng i tia sỏng ti im (x, z), dz hóy suy phng trỡnh cho x' Tỡm biu thc y ca theo n1, n2 v a Bng cỏch o hm hai v ca phng trỡnh ny theo z, tỡm phng trỡnh cho o hm bc hai x'' [1,0 im] c Tỡm biu thc ca hm s x theo z, tc l x = f(z), tho phng trỡnh trờn ú l phng trỡnh ng i ca ỏnh sỏng si quang [1,0 im] d V phỏc qu o ca hai tia sỏng i vo si quang di hai gúc ti i khỏc mt chu kỡ y [1,0 im] S truyn ca ỏnh sỏng si quang hc a Tỡm gúc ti cc i iM, di gúc ti ú ỏnh sỏng cũn cú th lan truyn bờn lừi ca si quang [1,5 im] b Xỏc nh biu thc to z ca giao im ca tia sỏng vi trc Oz vi i [1,5 im] nh sỏng c s dng truyn tớn hiu di dng nhng xung cc ngn (b qua rng ca xung) a Xỏc nh khong thi gian ỏnh sỏng i t im O n giao im th nht vi trc Oz vi gúc ti i v i iM T s gia to z ti giao im th nht v c gi l tc lan truyn ca tớn hiu ỏnh sỏng dc theo si quang hc Gi thit rng tc ny thay i n iu theo i Tỡm tc ny ng vi i = iM (gi l vM) Tỡm tc truyn thng ca tia sỏng dc theo trc Oz (gi l v0) So sỏnh hai tc ú [3,25 im] b Chựm sỏng mang tớn hiu l mt chựm sỏng hi t i vo si quang ti im O di cỏc gúc ti i khỏc vi i iM Tớnh tn s lp li cao nht f ca xung tớn hiu khong cỏch z = 1000m thỡ hai xung liờn tip cũn tỏch bit (ngha l cỏc xung khụng ố lờn nhau) Chỳ ý: Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 30 HI THO CC TRNG CHUYấN Tớnh cht súng ca ỏnh sỏng khụng c xột n bi toỏn ny B qua s tỏn sc ca ỏnh sỏng Tc ỏnh sỏng chõn khụng l 2,999x108 m/s Em cú th dựng nhng cụng thc sau õy: Chiu di ca mt cung nh nguyờn t ds mt phng xOz l: dx ds = dz + dz dx a2 b2 x2 = d x bx Arc sin b a x a2 b2 x2 = + 2b a2 b2 x2 x dx a Arc sin d ds z bx a 2b Arcsinx l hm s ngc ca hm s sinx Giỏ tr ca nú l gúc nh nht cú sin bng x Núi khỏc i, nu y = Arcsinx thỡ siny = x Gii a, Ti hai mt O (bờn ngoi v bờn si), theo nh lut khỳc x, ta cú: n0 sin i= n1 sin i (1) Vi i l giỏ tr ca gúc ti im O bờn si Qu o ca tia sỏng nm nm mt phng xOz Bi vỡ chit sut n thay i dc theo phng x, ta chia trc Ox thnh cỏc thnh phn nh dx, chao phn si tng ng n cú th coi l khụng i Nh vy: n sini =(n+dn)sin(i+di) (2) Vi I l gúc gi?a qu o ca tia sỏng v trc x Vỡ: + i = nờn n cos = ( n + dn ) cos( + d ) (3) NH vy, ti mi im cú to x trờn qu o tia sỏng, ta cú: (4) n cos = n1 x cos = n1 cos1 Vỡ cos1 = sin = Nờn sin i n12 n cos = n1 cos1 = n1 (5) sin i = n12 sin i n12 Do ú n cos = C = n12 sin i (6) B, Bi vỡ: dz = x ' = tg v cos = + tg dx Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn ( ) nờn thay vo (6) 31 HI THO CC TRNG CHUYấN ta c: n1 x cos = n1 x (1 + tg ) = C (7) Bỡnh phng hai v, ta thu c: (1 x )(1 + tg ) 2 = C2 '2 2 n1 v + x = x n12 C ( ) ( ) (8) o hm hai v ca (8) theo z v bin i, ta cú: x '' + n12 x = (9) C2 Bi vỡ: n = n1 x v n = n1 ti x =0 ; n = n2 ti x = a Nờn = n12 n22 Cui cựng ta thu c phng trỡnh cho x: a.n1 n12 n22 x=0 a n12 sin i x '' + ( (!0) ) C, Ta tỡm phng trỡnh cho qu o ca tia sỏng bng cỏch gii phng trỡnh (10) Phng trỡnh ny ging phng trỡnh ca dao ng iu ho nờn: x= x0sin(pz+q) (11) Vi p = a ( n12 n22 n12 sin i ) Tham s q v p c xỏc nh t iu kin gii hn: Ti z = 0, x = 0, ú q = ' Ti z = bờn trng si quang hc, x = tg a.sin dx = tg1 dz i Do ú: x0 = p = 2 (12) n1 n2 Phng trỡnh biu din ng truyn ca tia sỏng si l: x0 = n n22 z sin n1 sin i a n12 n22 a.sin i (13) qu o ca tia sỏng vi gúc ti khỏc 2.a, iu kin cho tia sỏng truyn dc theo ng l x0 a : a.sin i n12 n22 sin a hay sin n n i (14) Do ú, gúc ti i , khụng vt quỏ iM Vi sin Mi = n12 n22 = 0,344 (14a) ( ) Ta cú: i M Ar sin n12 n22 = Arc sin 0,344 = 0,351rad = 20,130 B, im ct ca chựm tia vi trc Oz phI tho iu kin pz = k , vi k l s nguyờn To z ca nhng im trờn l: Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 32 HI THO CC TRNG CHUYấN z= k n sin i = ka p n1 n22 (15) Khụng xột giỏ tr i = a, Tia sỏng vo si quang hc ti cỏc gúc khỏc cú cỏc qu o khỏc H qu l tc truyn dc theo si cng s khỏc Qu o tia sỏng l hỡnh sin nh ó mụ t (13) Ta tỡm thi gian ỏnh sỏng truyn t im O ti im ct u tiờn vi trc Oz Thi gian ú bng ln thi gian tia sỏng I t im O ti v trớ xa nht theo trc Oz Thi gian cn thit cho ỏnh sỏng i mt on nh ds dc theo qu o l: n n n dz n n dx dx = dt = ds = dx + dz = + dx = + c c c dx c c sin tg T (6), ta cú: dt = ( n12 x ) c sin i n12 x dx x0 x x0 n12 dx x dx 2 = dt = V sin n2 x 2 sin i n12 x i n x n2 arcsin = I1 I vi I1 = n1 sin i [ I2 = ] x sin i n12 x 2n12 x0 x0 = a n12 n22 n x sin i arcsin sin i + 3 2n1 (16) (17) x0 = sin i 4n13 (18) sin i (19) 2n12 c n12 n22 z Vn tc lan truyn dc theo si quang hc l = , z l to ca im ct u tiờn, c xỏc nh t (15) vi k = 1, vỡ z v ph thuc vo gúc ti i , nờn S dng (16), (17), (18) ta c: = a.n12 cng ph thuc vo i Vi i = iM , t (14a) ta t c: M = 2c n12 n22 an12 n12 n22 a.n2 n22 2cn + = 2 n1 + n2 n1 (20) V M = 2.2,998.108.1,460 = 1,998.108 m / s (20a) 1,5002 + 1,460 Vỡ chit sut trờn trc ca si quang hc l n 1, nờn tc truyn ca tia sỏng c dc theo trc Oz l: = n Giỏ tr bng hng s l: = 2,998.108 = 1,999.108 m / s 1,5 (21a) B, nu chựm sỏng hỡnh thnh t cỏc xung ỏnh sỏng hi t ti O, thỡ xung cú cỏc gúc ti khỏc s cú tc lan truyn khỏc Hai xung vi cỏc gúc ti Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 33 HI THO CC TRNG CHUYấN i = iM i = ( n mt phng z thi gian khỏc mt lng: z z z n n22 t = = M c 2n2 ) (22) T ú ta coi xung rt ngn l xung cú b rng gii hn theo t cho bi (22) ti mt phng z nu cho hai xung vo si quang hc vi thi gian chờnh l t , thỡ ti mt phng z, chỳng s tỏch ri Do ú tn s lp li ca xung tớn hiu khụng c vt quỏ giỏ tr: f M = ( t ) = fM = ( 2cn2 z n12 n22 ) nu z = 1000m thỡ: 2.2,998.108.1,460 = 547,1Mhz 1000.(1,500 1,460 ) Bi 18 Gia hai mụi trng sut chit sut n v n1 (n > n1 > 1) cú mt bn hai mt song song b dy e Bn mt c t dc theo trc Ox ca h to Oxy nh hỡnh v Chit sut ca bn mt ch thay i theo phng vuụng gúc vi n 02 n12 bn mt theo quy lut n = n ky , vi k = en 02 T mụi trng chit sut n cú mt tia sỏng n sc chiu ti im O trờn bn mt, theo phng hp vi Oy mt gúc Lp phng trỡnh xỏc nh ng truyn ca tia sỏng bn mt Xỏc nh v trớ im tia sỏng lú bn mt Gii Chia mụi trng thnh nhiu lp mng b dy dy bng cỏc mt phng Oy Gi s tia sỏng ti im M(x,y) di gúc ti i v ti im M(x+dx,y+dy) trờn lp tip theo Coi tia sỏng truyn t M n M theo ng thng: n0sin = = n sin i => sin i = dx = tgi = dy y x= sin i sin i n0 sin dx n( y ) n02 sin Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn y = M(x+dx,y+dy) i dy dx x y n n0 sin M(x,y) n0 sin n n0 sin = y x= n0 sin dy n ( y ) n0 sin sin dx cos ky 34 HI THO CC TRNG CHUYấN y y x O x1 x =- x O x2 sin a sin a cos a - ky 0y ) = (cos a - cos a - ky) ị k k kx k cos a cos a - ky = cos a x2 + x y =2 2sin a 4sin a sin a ú l phng trỡnh cn tỡm ng i ca tia sỏng lm? parabon quay b lừm v phớa di kx cos k 2sin cos cos + x = ( x ) + , ta 4sin sin 4sin k k cos en02 cos = thy tung cc i ca Parabol l: ymax = k (n0 n12 ) Bin i: + Nu y= n2 cos < e hay: cos < (1 12 ) thỡ tia sỏng lú bn mt ti im n0 k cú tung bng ( mt di bn), cú honh x l nghim khỏc khụng ca phng trỡnh: 2sin , y1 = 0) k n2 cos + Nu > e hay: > cos > (1 12 ) thỡ tia sỏng lú bn mt ti n0 k y = ú l im cú ( x1 = im cú tung y = e, honh x l nghim khỏc khụng ca phng trỡnh: y = y2 = e kx cos a 4sin a cos a 4esin a + x = e x x + =0 ; 4sin a sin a k k sin sin x2 = cos ke Hay: k k en sin en 02 sin n12 x = 02 sin 2 (n n1 ) (n n1 ) n y =- Ly nghim ng vi du tr (ng vi giao im u tiờn ca parabol v ng thng y = e) B nghim ng vi du cng Vy trng hp ny, to im lú l : en 02 sin en 02 sin n12 sin , y2 = e) (x2 = 2 2 (n n1 ) (n n1 ) n Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 35 HI THO CC TRNG CHUYấN III KT LUN Qua quỏ trỡnh ging dy, tụi thy rng thụng qua bi toỏn ỏnh sỏng truyn mụi trng cú chit sut bin i Cỏc em hc sinh luyn rt tt cụng c tớch phõn s dng tớnh toỏn vt lớ Bi toỏn ỏnh sỏng truyn mụi trng cú chit sut bin i cng giỳp hc sinh hiu c s truyn sỏng cỏc si cỏp quang, hc sinh hiu c cỏc hin tng o nh t nhiờn Nam nh, thỏng nm 2015 TC GI Nguyn Vn Huyờn Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 36 HI THO CC TRNG CHUYấN Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 37 n1 HI THO CC TRNG CHUYấN TI LIU THAM KHO [1] thi hc sinh gii Chõu v Quc t [2] thi hc sinh gii quc gia cỏc nm Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 38 [...]... Chứng minh rằng ncos = C trong đó n là chiết suất tại điểm có hoành độ x trên đờng truyền của tia sáng và C là một hằng số Tính O x C 2 Viết phơng trình quỹ đạo biểu diễn đờng truyền của tia sáng trong sợi Hỡnh 33.2 quang 3 Tìm điều kiện để mọi tia sáng chiếu đến sợi quang tại O đều không ló ra ngoài thành sợi quang 4 Chiều dài L của sợi quang thỏa mãn điều kiện nào để tia sáng ló ra ở đáy kia của... trục sợi quang, đặt trong không khí sao cho trục đối xứng của nó trùng với trục tọa độ Ox Giả thiết chiết suất của chất liệu làm sợi quang thay đổi theo quy luật: n = n1 1 k 2 r 2 , trong đó r là khoảng cách từ điểm đang xét tới trục Ox, n1 và k là các hằng số dơng Một tia sáng chiếu tới một đầu của sợi quang tại điểm O dới góc nh hình 2 1 Gọi là góc tạo bởi phơng y truyền của tia sáng tại điểm có... 0,99998 l 2 + h 2 1 + (h / l ) 2 l2 n P = n(T1 ) = n(303) = 1,000262 cú thay vo (3) ta c n P = 1,000262.0,99998 = 1,000242 thay vo (2) ta c : T = 328K = 55oC Tỏc gi: Nguyn Vn Huyờn 22 HI THO CC TRNG CHUYấN 4 nh sỏng truyn trong mụi trng chit sut thay i dng hỡnh cu Chit sut ph thuc bỏn kớnh Bi 12 Coi khớ quyn trỏi t nh mt lp trong sut cú chit gim theo cao h : n= n0-ah vi a l mt h s khụng i, n v n0... kớnh trong R2 c lm bng cht trong sut cú chit sut n2 T mụi trng ngoi cú chit sut n1, mt tia sỏng c chiu ti v cu di gúc ti, tia sỏng chiu n mt trong ca v cu di gúc ti i2 i1 I i 2 n1 n2 J O R2 R1 Hỡnh 3 p dng nh lut khỳc x : n1 sini1 = n2.sinr (1) p dng nh lý hm s sin trong tam giỏc OIJ: OI/sini2 = OJ/sinr (2) T (1) v (2) suy ra: n1.R1.sini1 = n2.R2.sini2 Chia qu cu thnh nhng v cu mng : bỏn kớnh trong. .. bng x Núi khỏc i, nu y = Arcsinx thỡ siny = x Gii 1 a, Ti hai mt O (bờn ngoi v bờn trong si), theo nh lut khỳc x, ta cú: n0 sin i= n1 sin i (1) Vi i l giỏ tr ca gúc ti im O bờn trong si Qu o ca tia sỏng nm nm trong mt phng xOz Bi vỡ chit sut n thay i dc theo phng x, ta chia trc Ox thnh cỏc thnh phn nh dx, sao chao trong phn si tng ng n cú th coi l khụng i Nh vy: n sini =(n+dn)sin(i+di) (2) Vi I l... r = n0 cos i ì i = cos r ì r r n0 cos i - Thay vo (1) cú h ' = h cos3 r n0 cos3 i - Chỳ ý l cos r = 1 sin r = 1 n sin i ta c: h ' = h 2 2 2 0 ( 1 n 2 0 sin 2 i ) 3 n0 cos3 i 2- Trc ht ta cú nhn xột l qu o tia sỏng nm trong mt phng OXY v vỡ chit sut n thay i dc theo phng OY nờn ta s chia mụi trng thnh nhiu lp mng b dy dy bng cỏc mt phng Oy sao cho trong mi lp phng ú, chit sut n cú th coi l khụng... vi trc ta Ox Gi thit chit sut ca cht liu lm si quang thay i theo quy lut: n = r O x x Hỡnh 3 2 1 2r , 3 trong ú r l khong cỏch t im ang xột ti trc Ox, cú n v l cm Mt tia sỏng chiu ti mt u ca si quang ti im O di gúc xp x bng 900 (sin 1) nh hỡnh 3 1 Vit phng trỡnh qu o biu din ng truyn ca tia sỏng trong si quang 2 Tỡm iu kin ca R tia sỏng truyn trong si quang m khụng b lú ra ngoi thnh si quang Tỏc... b a a b y C kn y x= arcsin 1 +C1 Điều kiện ban đầu: x = 0 thì y =0 suy ra C1 = 0 kn1 sin sin kn sin kn1 y= sin 1 x = sin x kn1 C kn1 n12 sin 2 2 2 2 Vậy quỹ đạo của tia sáng là đờng hình sin 3 Điều kiện để tia sáng truyền trong sợi quang là: sin R Muốn đúng với mọi kn1 thì kn1R 1 4 Muốn ló ra theo phơng song song Ox thì tại x = L, y có độ lớn cực đại kn1 Hay Suy ra n sin 2 1 L= 2 L= +... hm s x theo z, tc l x = f(z), tho món phng trỡnh trờn ú l phng trỡnh ng i ca ỏnh sỏng trong si quang [1,0 im] d V phỏc qu o ca hai tia sỏng i vo si quang di hai gúc ti i khỏc nhau trong mt chu kỡ y [1,0 im] 2 S truyn ca ỏnh sỏng trong si quang hc a Tỡm gúc ti cc i iM, di gúc ti ú ỏnh sỏng vn cũn cú th lan truyn bờn trong lừi ca si quang [1,5 im] b Xỏc nh biu thc to z ca giao im ca tia sỏng vi trc... chiu n mt qu cu trong sut vi gúc ti i (0 < i < 900 ) Coi chit sut ca qu cu ph thuc vo bỏn kớnh qu cu theo cụng thc n (r) = R +a vi R bỏn kớnh qu cu, a l hng s, r l khong cỏch t tõm cu r+a ti im cú chit sut n.Tia sỏng b khỳc x trong qu cu Xỏc nh khong cỏch nh nht t tõm cu n tia khỳc x.V dng ng truyn ca tia sỏng trong qu cu Gii Chia qu cu thnh nhng lp cu rt mng cú dy dr sao cho chit sut trong mi lp cu ... y truyền tia sáng điểm có hoành độ x với trục Ox Chứng minh ncos = C n chiết suất điểm có hoành độ x đờng truyền tia sáng C số Tính O x C Viết phơng trình quỹ đạo biểu diễn đờng truyền tia sáng. .. với trục tọa độ Ox Giả thiết chiết suất chất liệu làm sợi quang thay đổi theo quy luật: n = n1 k r , r khoảng cách từ điểm xét tới trục Ox, n1 k số dơng Một tia sáng chiếu tới đầu sợi quang... sut thay i Gn õy cú mt s nm liờn tip cỏc bi thi hc sinh gii quc gia u cú bi toỏn truyn ỏnh sỏng mụi trng chit sut thay i Vỡ nhng lớ trờn, tụi chn ti S TRUYN NH SNG TRONG MễI TRNG Cể CHIT SUT THAY