BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðÁP ÁN - THANG ðIỂM KỲ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC, CAO ðẲNG NĂM 2006 Môn: TOÁN, khối D ðỀ CHÍNH THỨC (ðáp án - Thang ñiểm có trang) Câu I Ý Nội dung ðiểm 2,00 Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số (1,00 ñiểm) y = x − 3x + • TXð: ℝ • Sự biến thiên: y ' = 3x − 3, y ' = ⇔ x = − 1, x = 0,25 Bảng biến thiên: x y' -∞ + -1 _ +∞ + +∞ y -∞ 0,50 yCð = y ( −1) = 4, yCT = y (1) = • ðồ thị: y 0,25 −2 −1 O x Tìm m ñể d cắt (C) ñiểm phân biệt (1,00 ñiểm) Phương trình ñường thẳng d là: y = m ( x − 3) + 20 0,25 Phương trình hoành ñộ giao ñiểm d ( C ) là: ( ) x − 3x + = m ( x − 3) + 20 ⇔ ( x − 3) x + 3x + − m = ðường thẳng d cắt ñồ thị ( C ) ñiểm phân biệt f ( x ) = x + 3x + − m có nghiệm phân biệt khác 15 ∆ = − ( − m ) > m > ⇔ ⇔ m ≠ 24 f ( 3) = 24 − m ≠ 0,25 0,25 0,25 II 2,00 Giải phương trình (1,00 ñiểm) Phương trình ñã cho tương ñương với: − 2sin 2x.sin x − 2sin x = ⇔ sin x ( sin 2x + sin x ) = ⇔ sin x ( cos x + 1) = 2π ⇔ x=± + k2π Giải phương trình (1,00 ñiểm) ( k ∈ ℤ) • cos x = − 0,25 ( k ∈ ℤ) • sin x = ⇔ x = kπ 0,50 t2 +1 Phương trình ñã cho trở thành: t − 4t + 4t − = 0,25 ðặt t = 2x − ( t ≥ ) ⇒ x = ⇔ ( t − 1) (t ) + 2t − = ⇔ t = 1, t = − Với t = 1, ta có x = Với t = − 1, ta có x = − III Tìm tọa ñộ ñiểm A ' ñối xứng với A qua d1 (1,00 ñiểm) Mặt phẳng ( α ) ñi qua A (1; 2;3) vuông góc với d1 có phương trình là: ( x − 1) − ( y − ) + ( z − 3) = ⇔ 2x − y + z − = 0,25 0,50 0,25 2,00 0,50 Tọa ñộ giao ñiểm H d1 ( α ) nghiệm hệ: x = x − y + z −3 = = −1 ⇔ y = −1 ⇒ H ( 0; −1; ) z = 2x − y + z − = Vì A ' ñối xứng với A qua d1 nên H trung ñiểm AA ' ⇒ A ' ( −1; −4;1) Viết phương trình ñường thẳng ∆ (1,00 ñiểm) Vì ∆ ñi qua A, vuông góc với d1 cắt d , nên ∆ ñi qua giao ñiểm B d ( α ) 0,25 0,25 0,25 Tọa ñộ giao ñiểm B d ( α ) nghiệm hệ: x = x −1 y −1 z + = = ⇔ y = −1 −1 2x − y + z − = z = − ⇒ B ( 2; − 1; − ) Vectơ phương ∆ là: u = AB = (1; −3; −5 ) Phương trình ∆ là: x −1 y − z − = = −3 −5 IV 0,25 0,25 0,25 2,00 Tính tích phân (1,00 ñiểm) u = x − I = ∫ ( x − ) e 2x dx ðặt ⇒ du = dx, v = e 2x 2x dv = e dx I = ( x − ) e 2x =− 1 − ∫ e2x dx 20 e2 + − e2x 0,25 = 0,25 − 3e2 0,50 2 Chứng minh với a > 0, hệ phương trình có nghiệm (1,00 ñiểm) ðiều kiện: x, y > −1 Hệ ñã cho tương ñương với: e x + a − e x + ln (1 + x ) − ln (1 + a + x ) = (1) ( 2) y = x + a Hệ ñã cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm 0,25 Xét hàm số f ( x ) = e x + a − e x + ln (1 + x ) − ln (1 + a + x ) , với x > −1 Do f ( x ) liên tục khoảng ( −1; + ∞ ) lim f ( x ) = − ∞, lim f ( x ) = + ∞ x →−1 x →+∞ nên phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( − 1; + ∞ ) 0,25 Mặt khác: 1 − 1+ x 1+ a + x a ea − + > 0, ∀x > −1 (1 + x )(1 + a + x ) f ' ( x ) = ex + a − ex + = ex ( ) ⇒ f ( x ) ñồng biến khoảng ( − 1; + ∞ ) Suy ra, phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( − 1; + ∞ ) Vậy, hệ ñã cho có nghiệm 0,25 0,25 V.a Tìm tọa ñộ ñiểm M ñể ñường tròn tâm M tiếp xúc (1,00 ñiểm) ðường tròn ( C ) có tâm I (1; 1) , bán kính R = 0,25 Vì M ∈ d nên M ( x; x + 3) Yêu cầu toán tương ñương với: 2 MI = R + 2R ⇔ ( x − 1) + ( x + ) = ⇔ x = 1, x = − Vậy, có hai ñiểm M thỏa mãn yêu cầu toán là: M1 (1; ) , M ( − 2; 1) Số cách chọn học sinh thuộc không lớp (1,00 ñiểm) Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh ñã cho C12 = 495 Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh ñược tính sau: - Lớp A có học sinh, lớp B, C lớp có học sinh Số cách chọn là: C52 C14 C13 = 120 - Lớp B có học sinh, lớp C, A lớp có học sinh Số cách chọn là: C15 C24 C13 = 90 - Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp có học sinh Số cách chọn là: C15 C14 C32 = 60 Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy, số cách chọn phải tìm là: 495 − 270 = 225 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 V.b 2,00 Giải phương trình (1,00 ñiểm) Phương trình ñã cho tương ñương với: ( 22x x −x ) ( − − 2x −x ) )( ( − = ⇔ 22x − x −x ) − = 0,50 • 22x − = ⇔ 22x = 22 ⇔ x = 2 • x − x − = ⇔ x − x = ⇔ x − x = ⇔ x = 0, x = Vậy, phương trình ñã cho có hai nghiệm x = 0, x = Tính thể tích khối chóp A.BCNM (1,00 ñiểm) 0,50 S N H M C A K B Gọi K trung ñiểm BC, H hình chiếu A SK Do BC ⊥ AK, BC ⊥ SA nên BC ⊥ AH 0,25 Do AH ⊥ SK, AH ⊥ BC nên AH ⊥ ( SBC ) Xét tam giác vuông SAK: 1 3a = + ⇒ AH = 2 AH SA AK 19 0,25 SM SA = = SB SB2 SN SA Xét tam giác vuông SAC: SA = SN.SC ⇒ = = SC SC2 S 16 9 19a Suy ra: SMN = ⇒ SBCNM = SSBC = SSBC 25 25 100 0,25 3a Vậy, thể tích khối chóp A.BCNM là: V = AH.SBCNM = 50 0,25 Xét tam giác vuông SAB: SA = SM.SB ⇒ Hết ... 2,00 Tính tích phân (1,00 ñiểm) u = x − I = ∫ ( x − ) e 2x dx ðặt ⇒ du = dx, v = e 2x 2x dv = e dx I = ( x − ) e 2x =− 1 − ∫ e2x dx 20 e2 + − e2x 0,25 = 0,25 − 3e2 0,50 2 Chứng minh với... ñối xứng với A qua d1 nên H trung ñiểm AA ' ⇒ A ' ( −1; −4;1) Viết phương trình ñường thẳng ∆ (1,00 ñiểm) Vì ∆ ñi qua A, vuông góc với d1 cắt d , nên ∆ ñi qua giao ñiểm B d ( α ) 0,25 0,25... A qua d1 (1,00 ñiểm) Mặt phẳng ( α ) ñi qua A (1; 2;3) vuông góc với d1 có phương trình là: ( x − 1) − ( y − ) + ( z − 3) = ⇔ 2x − y + z − = 0,25 0,50 0,25 2,00 0,50 Tọa ñộ giao ñiểm H d1 ( α