BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO −−−−−−−−−−−− ðỀ CHÍNH THỨC Câu I ðÁP ÁN - THANG ðIỂM ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC, CAO ðẲNG NĂM 2006 Môn: TOÁN, khối B (ðáp án - Thang ñiểm có trang) Ý Nội dung ðiểm 2,00 Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số (1,00 ñiểm) x2 + x −1 y= = x −1+ x+2 x+2 • Tập xác ñịnh: D = ℝ \ {−2} • Sự biến thiên: y ' = − Bảng biến thiên: ( x + 2) , y' = ⇔ x = −3 x = −1 −3 x −∞ y' + −2 −∞ −1 − − +∞ + +∞ −5 y 0,25 +∞ 0,25 −1 −∞ yCð = y(−3) = −5; yCT = y(−1) = −1 • Tiệm cận: - Tiệm cận ñứng: x = − - Tiệm cận xiên: y = x − 0,25 • ðồ thị (C): y −3 −2 −1 O x −1 0.25 −5 Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên ñồ thị (C) (1,00 ñiểm) Tiệm cận xiên (C) có phương trình y = x − 1, nên tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên có hệ số góc k = −1 Hoành ñộ tiếp ñiểm nghiệm phương trình: y' = −1 ⇔1− = −1 ⇔ x = −2 ± 2 ( x + 2) 2 ⇒y= − ⇒ pt tiếp tuyến (d1): y = −x + 2 −5, 2 Với x = − − ⇒y=− − ⇒ pt tiếp tuyến (d2): y = −x − 2 −5 2 Với x = − + −1− 0,25 0,25 0,25 0,25 II 2,00 Giải phương trình (1,00 ñiểm) x ≠0 Phương trình ñã cho tương ñương với: ðiều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, cos 0,25 x x + sin x sin 2 =4 x cos x cos cos x sin x 1 ⇔ + =4⇔ = ⇔ sin 2x = sin x cos x sin x cos x π x = 12 + kπ ⇔ (k ∈ ℤ ), thỏa mãn (1) x = 5π + kπ 12 Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm thực phân biệt (1,00 ñiểm) cos x + sin x sin x (1) cos x cos x + mx + = 2x + 2x + ≥ ⇔ ⇔ x + mx + = (2x + 1) 0,25 (1) x≥− 3x − (m − 4)x − = (2) (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: − ∆ = (m − 4)2 + 12 > S m − ⇔ = >− 2 1 m−4 −1 ≥ f − = + 2 ⇔ m ≥ 0,50 0,25 ≤ x1 < x2 ( ñó, f(x) = 3x2 − (m − 4)x − 1) 0,25 0,25 0,25 III 2,00 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d1 d2 (1,00 ñiểm) Vectơ phương d1 d2 là: u1 = (2; 1; −1) u = (1; − 2; 1) ⇒ vectơ pháp tuyến (P) là: n = [u1 , u ] = (−1; −3; −5) Vì (P) qua A(0; 1; 2) ⇒ (P): x + 3y + 5z − 13 = Do B(0; 1; −1) ∈ d1, C(1; −1; 2) ∈ d2, B, C ∉ (P) nên d1, d2 // (P) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm (P): x + 3y + 5z − 13 = Tìm tọa ñộ ñiểm M ∈ d1, N ∈ d2 cho A, M, N thẳng hàng (1,00 ñiểm) Vì M ∈ d1, N ∈ d2 nên tọa ñộ M, N có dạng: M(2m; + m; − − m), N(1 + n; −1 − 2n; + n) ⇒ AM = (2m; m; −3 − m); AN = (1 + n; −2 − 2n; n) ⇒ [ AM , AN ] = (− mn − 2m − 6n − 6; −3mn − m − 3n − 3; −5mn − 5m) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A, M, N thẳng hàng ⇔ [ AM , AN ] = 0,25 ⇔ m = 0, n = −1 ⇒ M(0; 1; −1), N(0; 1; 1) 0,25 −2− IV 2,00 Tính tích phân (1,00 ñiểm) ln ln dx e x dx I= ∫ x = −x − ln∫3 e2x − 3e x + ln e + 2e ðặt t = ex ⇒ dt = ex dx; 0,25 với x = ln3 t = 3; với x = ln5 t = 5 0,25 dt = ∫ − dt (t − 1)(t − 2) t − t − 3 ⇒ I=∫ 0,25 t−2 = ln t −1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A (1,00 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, xét M(x − 1; −y), N(x + 1; y) 0,25 = ln Do OM + ON ≥ MN nên ( x − 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 ≥ + 4y = + y 0,25 Do ñó: A ≥ + y + y − = f (y) • Với y ≤ ⇒ f(y) = + y + − y 2y − ⇒ f '(y) = y2 + f '(y) = ⇔ 2y = + y y ≥ ⇔y= ⇔ 2 4y = + y Do ñó ta có bảng biến thiên hình bên: y f '(y) −∞ − + f(y) 2+ 0,50 • Với y ≥ ⇒ f(y) ≥ + y ≥ > + Vậy A ≥ + với số thực x, y A = + nên giá trị nhỏ A + Khi x = y = V.a 0,25 2,00 Viết phương trình ñường thẳng ñi qua tiếp ñiểm T1, T2 (1,00 ñiểm) Ta có (C): (x − 1)2 + ( y − 3)2 = 22, ñó (C) có tâm I(1; 3) bán kính R = ⇒ MI = > R nên có ñúng tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) Gọi T(x0; y0) tiếp ñiểm tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) T ∈ (C) T ∈ (C) ⇒ ⇔ MT ⊥ IT MT.IT = x + y02 − 2x − 6y0 + = x 20 + y 20 − 2x − 6y0 + = ⇔ ⇔ 2 (x + 3)(x − 1) + (y − 1)(y0 − 3) = x + y0 + 2x − 4y = ⇒ 2x + y − = (1) ⇒ tọa ñộ tiếp ñiểm T1 T2 tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) ñều thỏa mãn ñẳng thức (1) Vậy phương trình ñường thẳng T1T2 là: 2x + y −3 = −3− 0,25 0,25 0,25 0,25 Tìm k∈{1,2, …, n} cho số tập gồm k phần tử A lớn (1,00 ñiểm) Số tập k phần tử tập hợp A Ckn Từ giả thiết suy ra: C4n = 20C2n ⇔ n − 5n − 234 = ⇔ n = 18 (vì n ≥ 4) Ck +1 18 − k 9 18 Do 18k = > ⇔ k < 9, nên C118 < C18 < < C18 ⇒ C18 > C10 18 > > C18 k +1 C18 Vậy, số tập gồm k phần tử A lớn k = V.b 0,25 0,25 0,50 2,00 Giải bất phương trình (1,00 ñiểm) Bất phương trình ñã cho tương ñương với log (4 x + 144) − log 16 < + log (2 x −2 + 1) ⇔ log5 (4 x + 144) < log 16 + log 5 + log (2 x − + 1) ⇔ log5 (4 x + 144) < log 5[80(2x − + 1)] ( x ⇔ + 144 < 80 x −2 ) x 0,50 x + ⇔ − 20.2 + 64 < 0,25 0,25 x ⇔ < < 16 ⇔ < x < Tính thể tích khối tứ diện ANIB (1,00 ñiểm) S• a N • M A• a • a •D • I • H • • B C Xét ∆ABM ∆BCA vuông có AM BA ⇒ ∆ABM ñồng dạng ∆BCA = = AB BC ⇒ ABM = BCA ⇒ ABM + BAC = BCA + BAC = 900 ⇒ AIB = 900 ⇒ MB ⊥ AC (1) SA ⊥(ABCD) ⇒ SA ⊥ MB (2) Từ (1) (2) ⇒ MB ⊥ (SAC) ⇒ (SMB) ⊥ (SAC) Gọi H trung ñiểm AC ⇒ NH ñường trung bình ∆SAC SA a ⇒ NH = = NH//SA nên NH ⊥ (ABI), ñó VANIB = NH.S∆ABI 2 a a a2 1 2 = + ⇒ AI = , BI = AB − AI ⇒ BI = ⇒ S = ∆ABI 3 AI2 AB2 AM 2 a a a ⇒ VANIB = = 36 −−−−−HẾT −−−−− −4− 0,25 0,25 0,25 0,25 ... ANIB (1,00 ñiểm) S• a N • M A• a • a •D • I • H • • B C Xét ∆ABM ∆BCA vuông có AM BA ⇒ ∆ABM ñồng dạng ∆BCA = = AB BC ⇒ ABM = BCA ⇒ ABM + BAC = BCA + BAC = 900 ⇒ AIB = 900 ⇒ MB ⊥ AC (1) SA ⊥(ABCD)... SA ⊥ MB (2) Từ (1) (2) ⇒ MB ⊥ (SAC) ⇒ (SMB) ⊥ (SAC) Gọi H trung ñiểm AC ⇒ NH ñường trung b nh ∆SAC SA a ⇒ NH = = NH//SA nên NH ⊥ (ABI), ñó VANIB = NH.S∆ABI 2 a a a2 1 2 = + ⇒ AI = , BI = AB − AI... nên NH ⊥ (ABI), ñó VANIB = NH.S∆ABI 2 a a a2 1 2 = + ⇒ AI = , BI = AB − AI ⇒ BI = ⇒ S = ∆ABI 3 AI2 AB2 AM 2 a a a ⇒ VANIB = = 36 −−−−−HẾT −−−−− −4− 0,25 0,25 0,25 0,25