Sở GD & ĐT Thanh Hóa Trờng THPT Lê Văn Hu đề thithử vào đại học cao đẳng lần 26 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) Ngày thi: /2009 Họ và tên thí sinh: A. Phần chung cho tất cả các thí sinh (8,0 điểm) CU I: Cho hm s 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= + + + + (1) a. Kho sỏt hm s (1) khi m=1 b. Chng minh rng , m hm s (1) luụn t cc tr ti 1 x , 2 x vi 1 2 x x khụng ph thuc m CU II: a. Gii h phng trỡnh 2 2 2 2 2 3 9 2 13 15 0 x xy y x xy y + = + = b. Tam giỏc ABC cú 3 cnh l a , b, c v p l na chu vi.Chng minh rng: 1 1 1 1 1 1 2( ) p a p b p c a b c + + + + CU III: a. Gii phng trỡnh : 2 2 cos3 2 cos 3 2(1 sin 2 )x x x+ = + b. Chng minh rng nu a,b,c l 3 cnh ca tam giỏc ABC v ( ) 2 C a b tg atgA btgB+ = + thỡ tam giỏc ABC cõn CU IV: a. Cú th tỡm c bao nhiờu s gm 3 ch s khỏc nhau ụi mt? b. T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lp c bao nhiờu s chn cú 5 ch s ụi mt khỏc nhau? B. PHN T CHN (2 điểm) (Thớ sinh c chn mt trong 2 cõu sau) CU Va: a. Nu Elip 2 2 2 2 1 x y a b + = nhn cỏc ng thng 3x-2y-20=0 v x+6y-20 =0 lm tip tuyn, hóy tớnh 2 a v 2 b b. Cho Elip 2 2 2 2 1 x y a b + = (E).Tỡm quan h gia a, b, k, m (E) tip xỳc vi ng thng y=kx+m CU Vb: Trong khụng gian, cho on OO= h v 2 na ng thng Od, Od cựng vuụng gúc vi OO v vuụng gúc vi nhau. im M chy trờn Od , im N chy trờn Od sao cho ta luụn cú 2 2 2 'OM O N k+ = , k cho trc. a.Chng minh rng on MN cú di khụng i b.Xỏc nh v trớ ca M trờn Od, N trờn Od sao cho t din OOMN cú th tớch ln nht. Giáo viên: Phạm Đình Huệ - THPT Lê Văn Hu ĐÁP ÁN • CÂU I: a) Khảo sát (1) khi m= 1: 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)y x m x m m x= − + + + + 3 2 1: 2 9 12 1m y x x x= = − + + • TXĐ: D= R 2 ' 6 18 12 1 6 ' 0 2 5 '' 12 18 3 11 3 11 '' 0 , 2 2 2 2 y x x x y y x y y x y x y = − + = ⇒ = = ⇔ = ⇒ = = − = ⇔ = ⇒ = ⇒ ñieåm uoán I • BBT: • Đồ thị: b) Chứng minh rằng ∀ m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x 1 , x 2 với x 1 - x 2 không phụ thuộc vào m. Ta có: 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 2 ' 6 6(2 1) 6 ( 1) 2 ' 0 (2 1) ( 1) 0 (*) 2 (2 1) 4 ( 1) 1 0 y x m x m m x y x m x m m y x m x m m m m m = − + + + + = − + + + = ⇔ − + + + = ∆ = + − + = > Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n Hu (*) luụn cú 2 nghim phõn bit 1 2 ,x x . Hm s luụn t cc tr ti 1 2 ,x x . Ta cú: 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x m m x m m x x m m = + = = + + = + = + = (haống soỏ) Vy: 2 1 x x khụng ph thuc m. CU II: a) Gii: 2 2 2 2 2 3 9 (1) 2 13 15 0 (2) x xy y x xy y + = + = Cỏch 1: Vỡ x = 0 khụng l nghim ca h nờn t y= kx. Khi ú h tr thnh: 2 2 (1 2 3 ) 9 (3) 2 2 (2 13 15 ) 0 (4) x k k x k k + = + = Ta cú: (4) 2 15 13 2 0k k + = (vỡ x = 0 khụng l nghim) 1 5 2 3 k k = = theỏ vaứo (3) ta ủửụùc : 5 2 2 2 2 25 2 5 2 2 2 2 2 2 9 3 2 3 2 x y x x y x x y x y = = = = = = = = = = Vy h cú 4 nghim 5 2 2 5 2 2 , , , ,(3, 2),( 3, 2) 2 2 2 2 . Cỏch 2: Vỡ 0x nờn chia 2 v ca (2) cho 2 x ta c: 2 (2) 2 13 15 0 1 1 5 5 2 2 3 3 y y x x y y x x y y x x + = = = = = Th y vo (1) ta c ỏp s trờn. b) Chng minh: 1 1 1 1 1 1 2( ) p a p b p c a b c + + + + Nhn xột: Nu M, N > 0 thỡ: Giáo viên: Phạm Đình Huệ - THPT Lê Văn Hu 2M N MN+ ≥ 1 1 1 2 M N MN + ≥ 1 1 ( ) 4 1 1 4 M N M N M N M N ⇒ + + ≥ ⇒ + ≥ + Do đó: 1 1 4 4 2 1 1 4 4 2 1 1 4 4 2 p a p b p a b c p b p c p b c a p c p a p a c b + ≥ = − − − − + ≥ = − − − − + ≥ = − − − − Cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh. • CÂU III: a) Giải: 2 2 cos3 2 cos 3 2(1 sin 2 )x x x+ − = + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta có: VT = ( ) 2 2 2 1.cos3 1. 2 cos 3 1 1. cos 3 2 cos 3 2x x x x+ − ≤ + + − = Mặt khác: VP 2≥ Do vậy: Phương trình ( ) 2 cos3 2 cos 3 2 2 2 1 sin 2 2 2 2 cos 3 2 cos3 sin 2 0 cos3 1 sin 2 0 2 3 2 2 ( ) x x x x x x x x x k x k x k k π π π + − = ⇔ + = − = − ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = ⇔ = ∈ ¢ Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n Hu b) Ta có: ( ) 2 ( )cot 2 ( ) 2 2 2 sin sin 2 2 cos cos cos .cos 2 2 sin .sin sin .sin 2 2 cos cos sin (sin cos sin cos ) 2 C a b tg atgA btgB C a b g atgA btgB A B a b tg atgA btgB A B A B a tg tgA b tgB tg A B B A a b A B A B A B A B A B A B A B A B A B B A + = + ⇒ + = + + ⇒ + = + + + ⇒ − = − ÷ ÷ − − ⇒ = + + − − ⇒ = − ⇒ − = 0 sin sin( ) 0 2 sin 0 2 sin( ) 0 A B A B A B A B ABC cân A B − ⇒ − = − = ⇒ ⇒ = ⇒ ∆ − = • CÂU IV: a) Gọi số cần tìm có dạng 1 2 3 a a a Số cách chọn 1 a : 9 (vì 0 1 a ≠ ) Số cách chọn 2 , : 2 3 9 a a A Vậy các số cần tìm là: 2 9. 648 9 A = (số). b) Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau. Gọi số cần tìm có dạng 1 2 3 4 5 a a a a a Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n Hu Trường hợp 1 : 0 5 a = Số cách chọn các vị trí còn lại: 4 840 7 A = (số). Trườnng hợp 2: { } 2,4,6 5 a ∈ 5 a có 3 cách chọn. 1 a có 6 cách chọn (vì 1 a khác 0). , , 2 3 4 a a a có 3 6 A cách chọn. ⇒ Số các số trong trường hợp 2là 3 6 A6.3 (số). ⇒ số các số cần tìm ( Các em tự làm tiếp) CÂU Va: a) (E) tiếp xúc với đường thẳng 3x - 2y - 20 = 0 và x + 6y – 20 = 0 2 2 2 9 4 400 40 2 2 2 36 400 10 a b a a b b + = = ⇔ ⇔ + = = b) (E) tiếp xúc với đường thẳng kx – y + m = 0 2 2 2 2 k a b m⇔ + = . • CÂU Vb: a) Chứng minh MN không đổi: Ta có: 2 2 2 2 2 2 ' ' 2 2 MN OM ON OM OO O N K h = + = + + = + 2 2 MN k h⇒ = + (không đổi). b) Định M và N để OO’MN có thể tích lớn nhất. 1 1 . '. . ' ' ' 3 6 2 2 2 1 1 ' . . ' . 6 6 2 12 V S OM OO OM O N OO MN OO N OM O N hk h OM O N h = = + = ≤ = Vậy : 2 ' 12 2 hk k MaxV OM O N= ⇔ = = . Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n Hu Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n Hu . Thanh Hóa Trờng THPT Lê Văn Hu đề thi thử vào đại học cao đẳng lần 26 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) Ngày thi: /2009 Họ và tên thí sinh: . b. Chng minh rng , m hm s (1) luụn t cc tr ti 1 x , 2 x vi 1 2 x x khụng ph thuc m CU II: a. Gii h phng trỡnh 2 2 2 2 2 3 9 2 13 15 0 x xy y x xy y +