BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðỀ CHÍNH THỨC ðÁP ÁN - THANG ðIỂM ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC, CAO ðẲNG NĂM 2006 Môn: TOÁN, khối A (ðáp án - Thang ñiểm gồm trang) Câu I Ý Nội dung ðiểm 2,00 Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị hàm số (1,00 ñiểm) y = 2x − 9x + 12x − • TXð: ℝ • Sự biến thiên: y ' = ( x − 3x + ) , y ' = ⇔ x = 1, x = 0,25 Bảng biến thiên: x -∞ y' + _ +∞ + +∞ y -∞ yCð = y (1) = 1, y CT = y ( ) = 0,50 • ðồ thị: y O x 0,25 −4 Tìm m ñể phương trình có nghiệm phân biệt (1,00 ñiểm) Phương trình ñã cho tương ñương với: x − x + 12 x − = m − Số nghiệm phương trình ñã cho số giao ñiểm ñồ thị hàm số y = x − x + 12 x − với ñường thẳng y = m − 0,25 Hàm số y = x − x + 12 x − hàm chẵn, nên ñồ thị nhận Oy làm trục ñối xứng 0,25 Từ ñồ thị hàm số ñã cho suy ñồ thị hàm số: y = x − 9x + 12 x − y −2 −1 O y=m−4 x 0,25 −4 Từ ñồ thị suy phương trình ñã cho có nghiệm phân biệt khi: < m − < ⇔ < m < II 0,25 2,00 Giải phương trình lượng giác (1,00 ñiểm) (1) Phương trình ñã cho tương ñương với: ðiều kiện: sin x ≠ ( sin x + cos x ) − sin x cos x = ⇔ − sin 2x − sin 2x = 2 ⇔ 3sin 2x + sin 2x − = ⇔ sin 2x = π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ℤ) 5π Do ñiều kiện (1) nên: x = + 2mπ ( m ∈ ℤ) Giải hệ phương trình (1,00 ñiểm) ðiều kiện: x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥ ðặt t = xy ( t ≥ ) Từ phương trình thứ hệ suy ra: x + y = + t Bình phương hai vế phương trình thứ hai ta ñược: x + y + + xy + x + y + = 16 ( 2) Thay xy = t , x + y = + t vào (2) ta ñược: 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 + t + + t + + t + = 16 ⇔ t + t + = 11 − t 0 ≤ t ≤ 11 0 ≤ t ≤ 11 ⇔ ⇔ t =3 ⇔ 3t + 26t − 105 = 4 ( t + t + ) = (11 − t ) Với t = ta có x + y = 6, xy = Suy ra, nghiệm hệ (x; y) = (3;3) 0,25 0,25 III 2,00 Tính khoảng cách hai ñường thẳng A 'C MN (1,00 ñiểm) Gọi ( P ) mặt phẳng chứa A 'C song song với MN Khi ñó: d ( A 'C, MN ) = d ( M, ( P ) ) 0,25 1 1 Ta có: C (1;1; ) , M ; 0;0 , N ;1;0 2 2 A 'C = (1;1; − 1) , MN = ( 0; 1; ) −1 −1 1 A 'C, MN = ; ; = (1;0;1) 1 0 0 1 0,25 Mặt phẳng ( P ) ñi qua ñiểm A ' ( 0;0;1) , có vectơ pháp tuyến n = (1;0;1) , có phương trình là: ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) = ⇔ x + z − = Vậy d ( A 'C, MN ) = d ( M, ( P ) ) = + −1 2 = 2 + +1 Viết phương trình mặt phẳng (1,00 ñiểm) Gọi mặt phẳng cần tìm ( Q ) : ax + by + cz + d = ( a + b + c > ) c + d = Vì ( Q ) ñi qua A ' ( 0;0;1) C (1;1; ) nên: ⇔ c = −d = a + b a + b + d = Do ñó, phương trình ( Q ) có dạng: ax + by + ( a + b ) z − ( a + b ) = 0,25 0,25 0,25 Mặt phẳng ( Q ) có vectơ pháp tuyến n = ( a; b;a + b ) , mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến k = ( 0; 0;1) Vì góc ( Q ) Oxy α mà cos α = a+b ⇔ a + b2 + ( a + b ) = 1 nên cos n, k = 6 ( ) 0,25 ⇔ ( a + b ) = ( a + b + ab ) ⇔ a = −2b b = −2a Với a = −2b , chọn b = −1, ñược mặt phẳng ( Q1 ) : 2x − y + z − = Với b = −2a , chọn a = 1, ñược mặt phẳng ( Q ) : x − 2y − z + = IV 0,25 0,25 2,00 Tính tích phân (1,00 ñiểm) π Ta có: I = ∫ π sin 2x 2 dx = ∫ sin 2x cos x + 4sin x + 3sin x ðặt t = + 3sin x ⇒ dt = 3sin 2xdx π Với x = t = , với x = t = 4 dt Suy ra: I = ∫ 31 t dx 0,25 0,25 0,25 2 = t = 3 0,25 Tìm giá trị lớn A (1,00 ñiểm) 1 1 Từ giả thiết suy ra: + = 2+ 2− x y x y xy 1 ðặt = a, = b ta có: a + b = a + b − ab x y ( (1) ) A = a + b3 = ( a + b ) a + b − ab = ( a + b ) 0,25 Từ (1) suy ra: a + b = ( a + b ) − 3ab 2 a+b Vì ab ≤ nên a + b ≥ ( a + b ) − ( a + b ) 0,50 ⇒ (a + b) − (a + b) ≤ ⇒ ≤ a + b ≤ Suy ra: A = ( a + b ) ≤ 16 Với x = y = A = 16 Vậy giá trị lớn A 16 0,25 V.a 2,00 Tìm ñiểm M ∈ d cho d ( M,d1 ) = 2d ( M, d ) (1,00 ñiểm) 0,25 Vì M ∈ d nên M ( 2y; y ) Ta có: d ( M, d1 ) = 2y + y + 12 + 12 = 3y + , d ( M, d ) = d ( M,d1 ) = 2d ( M, d ) ⇔ 3y + Với y = −11 ñược ñiểm M1 ( −22; − 11) =2 y−4 2y − y − 12 + ( −1) = y−4 ⇔ y = −11, y = Tìm hệ số x 26 khai triển nhị thức Niutơn (1,00 ñiểm) • Từ giả thiết suy ra: C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + Cn2n +1 = 220 +1− k Vì Ck2n +1 = C2n 2n +1 , ∀k, ≤ k ≤ 2n + nên: +1 C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + Cn2n +1 = C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + C2n 2n +1 ( Từ khai triển nhị thức Niutơn (1 + 1) 2n +1 +1 C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + C2n 2n +1 = (1 + 1) Từ (1), (2) (3) suy ra: 2n =2 0,25 0,25 0,25 Với y = ñược ñiểm M ( 2; 1) 20 ) (1) ( 2) 0,25 suy ra: 2n +1 = 22n +1 hay n = 10 ( 3) 0,25 10 10 10 10 − k k k k 11k − 40 • Ta có: + x = ∑ C10 x −4 ) ( x ) = ∑ C10 x ( x k =0 k =0 k Hệ số x 26 C10 với k thỏa mãn: 11k − 40 = 26 ⇔ k = 6 Vậy hệ số x 26 là: C10 = 210 0,25 0,25 V.b 2,00 Giải phương trình mũ (1,00 ñiểm) 2 Phương trình ñã cho tương ñương với: 3 2 ðặt t = 3 3x 2 + 4 3 2x x 2 − −2 = 3 (1) 0,25 x ( t > ) , phương trình (1) trở thành: 3t + 4t − t − = ⇔ ( t + 1) ( 3t − ) = ⇔ t = (vì t > ) 0,25 0,25 x Với t = 2 2 = hay x = 3 3 0,25 Tính thể tích khối tứ diện (1,00 ñiểm) Kẻ ñường sinh AA ' Gọi D ñiểm ñối xứng với A ' qua O ' H hình chiếu B ñường thẳng A 'D O' A' H D B A O Do BH ⊥ A 'D BH ⊥ AA ' nên BH ⊥ ( AOO ' A ') 0,25 Suy ra: VOO 'AB = BH.SAOO ' 0,25 Ta có: A 'B = AB2 − A ' A = 3a ⇒ BD = A 'D − A ' B2 = a ⇒ ∆BO ' D ñều ⇒ BH = a 0,25 Vì AOO ' tam giác vuông cân cạnh bên a nên: SAOO ' = 3a a 3a Vậy thể tích khối tứ diện OO 'AB là: V = = 2 12 Hết a 0,25 ... AOO ' A ') 0,25 Suy ra: VOO 'AB = BH.SAOO ' 0,25 Ta có: A 'B = AB2 − A ' A = 3a ⇒ BD = A 'D − A ' B2 = a ⇒ ∆BO ' D ñều ⇒ BH = a 0,25 Vì AOO ' tam giác vuông cân cạnh bên a nên: SAOO ' = 3a. .. = ( a + b ) − 3ab 2 a+ b Vì ab ≤ nên a + b ≥ ( a + b ) − ( a + b ) 0,50 ⇒ (a + b) − (a + b) ≤ ⇒ ≤ a + b ≤ Suy ra: A = ( a + b ) ≤ 16 Với x = y = A = 16 Vậy giá trị lớn A 16 0,25 V .a 2,00... trị lớn A (1,00 ñiểm) 1 1 Từ giả thiết suy ra: + = 2+ 2− x y x y xy 1 ðặt = a, = b ta có: a + b = a + b − ab x y ( (1) ) A = a + b3 = ( a + b ) a + b − ab = ( a + b ) 0,25 Từ (1) suy ra: a + b