BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 1 § 1 – PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ThS. HỒ LỘC THUẬN A Kiến thức cơ bản: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) ¾ Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị đạo hàm tại hòanh độ tiếp điểm. ktt = f / (x0) ¾ Tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) ∈ (C): y – y0 = f /(x0).(x – x0) ¾ ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC của 2 đồ thị (C) y=f(x) và (C’) y=g(x) LÀ ⎧⎨ f ( x) = g ( x) / / ⎩ f ( x) = g ( x) (*) CÓ NGHIỆM Nghiệm x của hệ (*) là hòanh độ tiếp điểm. B Dạng toán cơ bản 1 – Tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) ∈ (C) y = f(x) + y0 = f(x0) + ktt = f/ (x0) + PTTT y – y0 = f /(x0).(x – x0) 2 – Tiếp tuyến có hệ số góc ktt cho trước Cách 1 + Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. + Ta có ktt = f/(x0) → x0 →y0 = f(x0) + PTTT (d) y – y0 = ktt.(x – x0) 3 – Tiếp tuyến kẻ từ (đi qua) điểm A (xA; yA) Cách 1 + Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. + Ta có ktt = f/(x0) ; y0 = f(x0) + PTTT (d) : y – y0 = f /(x0).(x – x0) + (d) qua A → yA – y0 = f /(x0).(xA – x0) → x 0 → (d) Cách 2 (ĐKTX) + (d) có hệ số góc ktt: y = ktt.x + m ⎧⎪ f ( x) = ktt x + m (1) + ĐKTX : ⎨ có nghiệm / (2) ⎪⎩ktt = f ( x) + Giải (2) → x → thế vào (1) → m → (d) Cách 2 (ĐKTX) + (d) qua A , có hệ số góc k: y = k.(x‐xA) + yA ⎪⎧ f ( x) = k ( x − x A ) + y A (1) + ĐKTX : ⎨ có nghiệm / (2) ⎪⎩k = f ( x) + Thế (2) vào (1) → x → thế vào (2) → k → (d) C Một vài kiến thức bổ sung 1 – Hệ số góc của đường thẳng AB là k AB = yB − y A xB − x A 2 ‐ Đường thẳng (d) hợp với trục hoành 1 góc ϕ → hệ số góc (d) là kd = ± tan φ 3 ‐ Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A và trục Oy tại B → hệ số góc (d) là kd = ± 4 ‐ Phương trình đường thẳng qua A(xA; yA) có hệ số góc k là : y = k(x – xA) + yA. 5 – Cho hai đường thẳng (d) y = k.x + b ; (d’) y =k’.x + b’ (d) // (d’) ⇔ k = k’ và b ≠ b’ (d) ⊥ (d’) ⇔ k.k’ = –1 kk '+ k −k' Gọi α = góc (d ; d’) → tanα = ; cos α = + k k ' + k + k '2 6 – Phương pháp chung để giải bài toán liên quan đến tiếp tuyến: + Gọi tiếp điểm M(m;f(m)) + Viết PTTT tại điểm M + Dựa vào giả thiết tìm m OB OA BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 2 ThS. HỒ LỘC THUẬN D Bài tập áp dụng: Bài 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm 1.1) (TN‐07) Viết PTTT của (C) y = x − x + tại điểm A(2;4) 1.3) (TN‐04) Viết PTTT của (C) y = x − x2 + tại điểm có hoành độ x = 1. 1.4) (TN‐07) Viết PTTT của (C) y = x + tại điểm có tung độ bằng –7 2x − Bài 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trước 2x + 2.1) (TN‐09) Viết PTTT của (C) y = , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5 x −2 2.2) (B1‐02) Viết p.t.t.t của (C) y = x3 + x − x − biết tiếp tuyến đó song song với d : y = 4x+2. 3 2.3) (B‐06) Viết p.t.t.t của (C) y = x + x − , biết tiếp tuyến vuông góc với (d) y= x–1. x+2 Bài 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước 3.1) (TN‐05) Viết PTTT của (C) y = x + , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(–1;3) x +1 3.2) (TN‐04) Viết PTTT của (C) y = x − x2 biết tiếp tuyến đi qua điểm A(3; 0) 3.3) (B2‐05) Cho y= x + x + (C ) CMR không có tiếp tuyến nào của (C) qua điểm I(–1;0). x +1 E Bài tập tự luyện cơ bản: Bài 4 : 3x − tại điểm có tung độ bằng –2 x +1 x+2 4.2) Viết PTTT của (C) y = f ( x) = tại điểm có hoành độ bằng –5 1− x 4.3) (TN‐06) Viết PTTT của (C) y = x − x2 + x tại điểm có hoành độ là nghiệm của y// =0. 4.1) Viết PTTT của (C) y = 4.4) (TN‐07) Viết PTTT của (C) y = x − x2 + tại điểm có hoành độ là nghiệm của y/ =0 4.5) (TN‐07) Viết PTTT của (C) y = x + − tại giao điểm của (C) và trục tung 2x − 4.6) Viết PTTT của (C) y = x( x − 2)2 tại giao điểm của (C) và trục hoành. 4.7) Viết PTTT của (C) y = − x + x2 + tại giao điểm của(C) và đường thẳng y = 3 biết giao điểm ấy có hoành độ âm. 4.8) Viết PTTT của (C) y = x − x2 + x − tại giao điểm của (C) và (d) y = x − 3x + 4.9) (D1‐08) Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của (C) y = tại x +1 điểm M(–2;5) Bài 5 : 5.1) (D‐10) Viết PTTT của (C) y = − x − x2 + biết tiếp tuyến vuông góc với (d) y = x − x + x + 5.2) (D1‐04) Viết PTTT của (C) y = biết tiếp tuyến đó vuông góc với d : x–3y+3=0. x +1 5.3) (TN‐07) Viết PTTT có hệ số góc lớn nhất của (C) y = − x + x2 − 5.4) (B‐04) Viết PTTT Δ của (C) y = x − x + x biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất 5.5) (CĐĐL_06) Tìm M∈ (C) y = x + 3x + sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với (d): y= x x +1 BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 Bài 6 : 3 ThS. HỒ LỘC THUẬN 6.1) (A2‐04) Viết p.t.t.t của (C) y= x+ , biết tiếp tuyến đi qua M(–1;7) x 6.2) (CĐSPMGTW3‐06) Viết pttt của (C) y= x3 –3x2 +2, biết tiếp tuyến qua A(2,–7) 6.3) Cho (C) y= f(x) = x3 –4x2 +4x. Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến qua B(3;3). Tìm tiếp điểm. 6.4) (B‐08) Viết PTTT của (C) y = x − x2 + biết tiếp tuyến đi qua M(–1 ;–9) 6.5) Tìm m để đường thẳng (d) y = 8x + m tiếp xúc với (C) y = − x − x2 + 6.6) (D‐2000)Cho (Cm) y= x3 –3x2 +3mx +3m +4. Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành. F Bài tập tự luyện nâng cao: 1) D‐05) Gọi M∈(Cm) y = x − m x + có hòanh độ bằng –1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song 3 song với đường thẳng (D): 5x–y=0. ĐS : m = 4 2) A1‐08) Tìm m để tiếp tuyến của (C) y = x + 3mx + ( m + 1) x + tại điểm có hoành độ x = –1 đi qua điểm A(1;2). ĐS: m = 3) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) y = x − x + m tại điểm có hoành độ bằng 1 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng ĐS : m=2 ;m=–4 2 4) Tìm a,b biết (C) y = ax − bx đi qua A(–1 ; ) và tiếp tuyến của (C) tại O(0 ;0) có hệ số góc bằng –3. x −1 ĐS : a= –2 ; b= –3 5) D‐2007) Cho y = x (C). Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ox, Oy tại A, B và ΔOAB có x +1 ĐS : M(1;1); M(– ; –2) x − 6) Tìm các điểm M∈ (C) y = sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại 2 điểm A, B sao diện tích bằng x −2 cho AB ngắn nhất. ĐS : M(1; 1), M(3; 3)) 7) Tìm m để tại giao điểm của (C) y = (3m+1)x −m +m với Ox, tiếp tuyến song song với (d) y= x–10 x +m ĐS : m = − ; m = −1 8) Gọi M ∈ (C) y = x + ; tiếp tuyến (Δ) của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A, B x −1 a) Chứng minh M là trung điểm của AB. b) Δ IAB có diện tích không đổi (I là giao điểm hai tiệm cận) c) *Tìm M sao cho chu vi Δ IAB nhỏ nhất. ĐS: M (1 ± 2;1 ± ) 2x − biết (d) cắt trục hoành tại A và trục tung tại B sao cho OA=4OB. x −1 ĐS : x+4y–5=0 ; x+4y–15=0 (3m − 1) x + m + m 10) Gọi (d) là tiếp tuyến của (Cm) y = tại giao điểm của (Cm) và trục hoành. Tìm m m−x để (d) tạo với trục hoành một góc 450. ĐS : m = 1; m = 9) Viết PTTT (d) của (C) y = 11) D2‐07) Viết PTTT (d) của (C) y = x sao cho d tạo với trục Ox một góc 450 . ĐS: y= –x; y= –x+4) x −1 12) A‐09) Viết PTTT (d) của (C) y = x + biết tiếp tuyến (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. 2x + BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 13) B2‐03) Cho hàm số y= vuông góc với IM. 4 ThS. HỒ LỘC THUẬN ĐS: y = –x +2 2x − (C). Gọi I (1; 2). Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M x −1 ĐS : M(0; 1); M(2, 3) 14) Tìm m ≠ –1 để đồ thị (Cm) y= x + m tiếp xúc với đường thẳng y = –x+7. ĐS :m=1 x −1 (2m − 1) x − m2 15) D‐02) Tìm m để (Cm) y = tiếp xúc với đường thẳng y = x. x −1 ĐS : m ≠ 16) D1‐05) Tìm m để (Cm) y= –x3+(2m+1)x2–m–1 tiếp xúc với (d) y= 2mx–m–1. ĐS : m=0 ; m=1/2 17) A2‐08) Tìm m để y = mx –9 tiếp xúc với (C) y = x − x2 + ĐS : m=0 18) Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) y = x − 2x + có hoành độ xA, xB thỏa xA+ xB =2. CMR tiếp tuyến x −1 của (C) tại A và B song song nhau. 19) Tìm m để y = 2x +m cắt (C) y = x + tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B B B x −1 song song nhau. ĐS : 20) Cho (Cm) y = x −(m + 1)x + (m −1)x +1 CMR với mọi m khác 0, (Cm) luôn cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc m. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại B và C song song nhau. ĐS :m=2 * 21) Tìm 2 điểm A, B∈ (C) y = x –3x +1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song nhau và AB= ĐS: (3; 1), (–1; –3) x + 22) Tìm a để từ A(0; a) kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) y = sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 x −1 phía trục Ox. ĐS: − < a ≠ 23) HSG Thanh Hóa)* Với mỗi điểm M∈ (C) y = x3 –3x2 +2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C)? ĐS: M(a; a3 –3a2 +2) → a = 1: 1 tiếp tuyến; a ≠ 1: 2 tiếp tuyến 24) Tìm m để (Cm) y = x + mx − x−m a) CMR nếu (Cm) cắt Ox tại điểm có h.đ xo thì tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc k = xo + m xo − m b) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tt của (Cm) tại A và tại B vuông góc nhau. ĐS: m = ±2 10 x 25) Tìm k để (d) y = k cắt (C) y = x –2 + tại 2 điểm A, B mà tại đó 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau. ĐS: k = −2 ± 26) Tìm m để (C) y = x + x + mx + cắt y =1 tại 3 điểm A(0 ;1), B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc nhau. ĐS : m = ± 65 27) Tìm m để đt (d) qua M (3 ;4) có hệ số góc m cắt (C) y = x − x + tại 3 điểm M, A, B sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau. ĐS : m = 18 ± 35 28) Tìm m để 2 tiếp tuyến của (Cm) y = x − mx + m kẻ từ O(0;0) vuông góc nhau. ĐS : m= ± x −1 2x − 29) Tìm M ∈ (C) y = sao cho khoảng cách từ I(–1 ;2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất. x +1 ĐS : M ( −1 ± ; ∓ ) 30) Viết PTTT của (C) y = x biết khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. x −1 ĐS : y = –x ; y = –x +4 ... sao cho d tạo với trục Ox một góc 450 . ĐS: y= –x; y= –x+4) x −1 12) A‐09) Viết PTTT (d) của (C) y = x + biết tiếp tuyến (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. 2x + BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2 012 13) B2‐03) Cho hàm số y=... 5.5) (CĐĐL_06) Tìm M∈ (C) y = x + 3x + sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với (d): y= x x +1 BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2 012 Bài 6 : 3 ThS. HỒ LỘC THUẬN 6.1) (A2‐04) Viết p.t.t.t của (C) y= x+...BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2 012 2 ThS. HỒ LỘC THUẬN D Bài tập áp dụng: Bài 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm