BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 1 ThS. HỒ LỘC THUẬN §2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A – Kiến thức cơ bản : Hàm số y= f(x) đồng biến ↑ (tăng) trên khoảng K ⊂ tập xác định D x a ⇔ ∀ x1 ⎪ ⎪ • x1 < x2 < ⇔ ⎨ P > • < x1 < x2 ⇔ ⎨ P > ⎪⎩S > ⎪⎩S < 4) Tam thức khơng đổi dấu trên \ : • x1 < < x2 ⇔ P < • g( x ) ≤ 0, ∀x ∈ \ ⇔ ⎨a < ⎩Δ ≤ • g( x ) ≥ 0, ∀x ∈ \ ⇔ ⎨a > ⎩Δ ≤ Chú ý: Nếu hệ số a chứa tham số ta phải xét thêm trường hợp a = 0 ⎧ ⎧ BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 2 ThS. HỒ LỘC THUẬN C – Các dạng tốn cơ bản 1 – Dạng 1 : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. ¾ b1: Tìm miền xác định D ¾ b2: Tính đạo hàm ¾ b3: Tìm nghiệm của đạo hàm và các điểm x0 ∈ MXĐ, nhưng đạo hàm tại xo KXĐ (điểm tới hạn ) ¾ b4: Lập bảng biến thiên ¾ b5: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến Ví dụ 1.1 : Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau a) y = x3 –2x2 + x–2 b) y = − x − x + c) y = x − x+5 d) y = x − 3x + x −1 e) y = 2x + 3x + x2 + x + f) y = x − x f) y = x + − x h) y = x − x i) y= x + 2cosx , x∈(0; π) Ví dụ 1.2 : Chứng minh hàm số đơn điệu trên K a) f ( x ) = x − 3x + x + đồng biến trên \ b) f(x) = –x3 +(m+1)x2 –(m2 +2) x +m (m là tham số) nghịch biến trong tồn miền xác định. c) f (x) = x − 2mx − (m là tham số) đồng biến trên từng khoảng xác định x −m d) f(x) = cosx – x nghịch biến trong đoạn [0; 2π] e) f(x) = sinx –x nghịch biến trên \ 2 – Dạng 2 : Tìm m để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên miền K. Cho hàm số y = f ( x , m ) , m là tham số, có tập xác định D ; K ⊂ D • Hàm số f đồng biến trên K ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ K. • Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ K. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: + y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. + vận dụng kiến thức tam thức bậc hai. Ví dụ 2.1 : Tìm m để hàm số ( − ≤ m ≤ ) b) y = – x +3mx +3(1–2m)x –1 nghịch biến trên \ (m = 1) c) y = 2mx − m + 10 nghịch biến trên từng khoảng xác định a) y = x3 –3mx2 +(m+2) x –m đồng biến trên \ x+m d) y = x + (3m − 2)x + − 2m đồng biến trên từng khoảng xác định x +2 Ví dụ 2.2 : Tìm m để hàm số a) y = mx − 3m − đồng biến trên khoảng (2, +∞). ( m ≥ ) (–1 0 (hoặc x, ∀x − x , ∀x ≠0 Ví dụ 3.2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau: π a) α –tan α > β –tan β (0 ...BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2 012 2 ThS. HỒ LỘC THUẬN C – Các dạng toán cơ bản 1 – Dạng 1 : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. ... d) y = x3 + 3x2 +mx+m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1. ( −5 < m < ) x −m BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2 012 3 ThS. HỒ LỘC THUẬN 3 – Dạng 3 : Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức ... 1.2) y = x − x − x + x + 26 1.3) y= –6x4 +8x3 –3x2 –1 1.5) y= x+2 BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2 012 1.9) y = x2 − x −4 y = x 2− x y= 2x x +1 y = x +3+ 2− x 1.10) y = 2x −1 − − x