Phép quy nạp toán học trong hình học

TRNG I HC VINH KHOA TON ti: PHẫP QUY NP TRONG HèNH HC Giỏo viờn hng dn : Ths Nguyn Chin Thng Sinh viờn thc hin : Nguyn Huy Hựng MSSV : 0851007961 Lp : 49A Toỏn Vinh - 2011 Mc lc Nhn xột ca giỏo viờn Li núi u Phộp quy np c s dng rng rói s hc i s v lý thuyt s V phộp quy np c coi l tuyt chiờu toỏn hc Nú l mt nhng phng phỏp tip cn bi toỏn rt c ỏo Quy np cú sc mnh tuyt vi gii quyt nhng bi toỏn chng minh khụng ch s dng i s, lý thuyt s m c hỡnh hc Phộp quy np khụng ch ng dng vic tớnh toỏn cỏc i lng hỡnh hc n thun m nú cũn c ỏp dng vic chng minh nh lý hỡnh hc, gii cỏc bi toỏn dng hỡnh, qu tớch c mt phng v khụng gian, hỡnh hc s cp v hỡnh hc cao cp Vỡ vy ti Phộp quy np hỡnh hc l mt ti thit thc khai thỏc vo mt phng phỏp gii toỏn hỡnh hc m cha c nhc ti nhiu Trong khuụn kh gii hn ca ti, tụi khụng a cỏc khỏi nim, nh lý, tớnh cht mi m ch trỡnh by cỏc ni dung chớnh thuc ti, cỏc dng bi tp, thớ d minh v bi ng dng Mc dự ó tham kho mt lng rt ln cỏc ti liu cựng vi s n lc ca bn thõn nhng trỡnh hiu bit cú hn nờn chc chn khụng trỏnh thiu sút Vỡ vy, tụi rt mong c s gúp ý ca thy giỏo Ths Nguyn Chin Thng v bn c Mt ln na tụi xin chõn thnh cm n thy giỏo Ths Nguyn Chin Thng, Th vin i hc Vinh v ton th cỏc bn sinh viờn lp 49A Toỏn ó giỳp tụi hon thnh ti ny ! Ngi thc hin Nguyn Huy Hựng M u I Lớ chn ti Phộp quy np toỏn hc c s dng rng rói s hc i s v lý thuyt s Nhng nhng ng dng ca nú hỡnh hc li vụ cựng lý thỳ Phộp quy np khụng ch ng dng vic tớnh toỏn cỏc i lng hỡnh hc n thun m nú cũn c ỏp dng vic chng minh nh lý hỡnh hc, gii cỏc bi toỏn dng hỡnh, qu tớch Ta thng xuyờn gp nhng bi toỏn mang tớnh cht i s gii quyt bng phng phỏp quy np v phn ln cỏc ti liu v phng phỏp ny cú rt ớt ti liu cp n vic s dng phng phỏp Quy np gii quyt bi toỏn Hỡnh Hc Nhng nhng ng dng ca nú hỡnh hc li vụ cựng lý thỳ v hp dn Vỡ vy tụi chn ti Phộp quy np hỡnh hc ti ny giỳp tụi hiu sõu hn mt phng phỏp gii hiu qu vic gii cỏc bi toỏn hỡnh hc II i tng nghiờn cu i tng nghiờn cu ca ti l kin thc quy np toỏn hc v phộp quy np hỡnh hc III Mc ớch nghiờn cu - Ngun gc v quỏ trỡnh xut hin phộp quy np toỏn hc - ng dng ca phộp quy np hỡnh hc IV Nhim v nghiờn cu - L rừ c th no l phộp quy np toỏn hc - Th hin c nhng ng dng ca phộp quy np hỡnh hc - Xõy dng h thng bi ng dng - Kim nghim c ý ngha ca ti V Gi thuyt khoa hc Phộp quy np l mt phng phỏp toỏn hc c ỏo c ng dng rt nhiu i s v lý thuyt s, vic nghiờn cu tỡm hiu cỏc ng dng ca phộp quy np hỡnh hc, s giỳp m rng cỏc phng phỏp gii bi toỏn hỡnh hc VI Phng phỏp nghiờn cu - Nghiờn cu cỏc c s lớ lun, c s khoa hc nhm cho mt cỏi nhỡn tng quỏt nht v ni dung phộp quy np toỏn hc, quy np hỡnh hc - Phõn tớch v tng hp cỏc dng bi nhm xõy ng c mt h thng bi vi y cỏc dng toỏn s dung quy np hỡnh hc Ni dung A Phộp quy np toỏn hc I Ngun gc v s i ca phộp quy np toỏn hc Tip cn u phộp quy np toỏn hc Khi ta tớnh mt s tam giỏc Pat-xcan bng cỏch ỏp dng cụng thc truy toỏn, ta phi da vo hai s ó tỡm c cnh ỏy trờn Cn nghiờn cu mt lc tớnh toỏn khụng ph thuc vo nhng iu ó bit s b Phộp tớnh c lp nh vy da vo cụng thc quen bit Cnr = n(n 1)(n 2) ( n r + 1) 1.2.3 r r M ta s gi l cụng thc tng minh tớnh cỏc h s ca nh thc Cn Cụng thc tng minh ú cú cụng trỡnh ca Pat-xcan ( ú nú c din t bng li ch khụng phi bng cỏc kớ hiu hin i) Patxcan khụng cho bit ụng ó lm nh th no rỳt cụng thc ú v chỳng ta s khụng phi bn tõm n mt iu l trc n cụng thc ú ụng ó suy ngh nh th no (Cú th u mi ch l phng oỏn ta thng phỏt hin cỏc quy lut nh quan sỏt lỳc u, ri sau th khỏi quỏt húa cỏc kt qu cú c Tuy vy, Pat-xcan a mt cỏch chng minh chớnh xut sc cho cụng thc tng minh ca mỡnh Ta thy cú mt nhn xột s b: Cụng thc tng minh di dng ó vit khụng ỏp dng c trng hp r=0 Tuy vy, ta quy c rng r=0 thỡ theo nh ngha Cn = Cũn trng hp r=n thỡ cụng thc khụng mt ý ngha v ta cú: Cnn = n( n 1) 2.1 =1 1.2 ( n 1) n ú l mt kt qu ỳng Nh vy, ta ch cn chng minh cụng thc ch i vi < r < n, tc l bờn tam giỏc Pat-xcan, ú cụng thc truy toỏn cú th chng minh c Tip theo ta trớch dn Pat-xcan vi mt s thay i khụng cn bn, mt phn nhng thay i ú gia cỏc du ngoc vuụng Mc du rng mnh ang xột (cụng thc tng minh i vi cỏc h s nh thc) cú vụ s trng hp riờng, ta cú th chng minh nú mt cỏch hon ton ngn gn da trờn hai b B th nht khng nh rng mnh ú ỳng vi ỏy th nht iu ny l hin nhiờn [khi n=1 cụng thc tng minh ỳng bi vỡ trng hp ú mi giỏ tr cú th c ca r, ngha l r=0, r=1, ri vo iu ó nhn xột trờn] B th hai khng nh nh sau: nu mnh ca ta ỳng vi mt ỏy tựy ý [i vi giỏ tr n tựy ý] thỡ nú s ỳng c vi ỏy tip theo ca nú [i vi r=n+1] T hai b ú, t suy c s ỳng n ca mnh vi mi giỏ tr ca n Tht vy, b th nht mnh ỳng vi n=1; ú, theo b th hai nú ỳng vi n=2, v tip tc theo b th hai nú ỳng vi n=3, n=4 v ti vụ hn Nh vy, ta ch cn chng minh b th hai Theo cỏch phỏt biu ca b ú, ta gi thit rng cụng thc ca ta ỳng vi ỏy th n, ngha l i vi giỏ tr tựy ý ca n v vi mi giỏ tr cú th c ca r (i vi r=1,2,,n) c bit, ng thi vi cỏch vit Cnr = n( n 1)(n 2) (n r + 1) 1.2.3 r Ta cng cú th vit (vi r ): Cnr = n(n 1)(n 2) (n r + 2) 1.2.3 ( r 1) Cng hai ng thc ú v ỏp dng cụng thc truy toỏn ta c h qu: Cnr+1 = Cnr + Cnr = n(n 1) (n r + 2) n r + + 1ữ 1.2 ( r 1) r = n(n 1) (n r + 2) n + 1.2 (r 1) r = (n + 1) n(n 1) ( n r + 2) 1.2.3 r Núi cỏch khỏc, s ỳng n ca cụng thc tng minh i vi giỏ tr n no ú kộo theo tớnh cht ng n ca nú vi n+1 Chớnh iu ny c khng nh b th hai Nh vy, ta ó chng minh b ú Nhng li ca Pat-xcan ó trớch dn trờn cú mt giỏ tr lch s bi vỡ chng minh ca ụng l s dng ln u tiờn mt phng phỏp suy lun c bn v mi m, v sau ny ta gi ú l Phộp quy np toỏn hc Kinh nghim v quan nim Kinh nghim a ờn s thay i quan nim ca ngi Chỳng ta hc xut phỏt t kinh nghim, hay núi ỳng hn l chỳng ta phi hc t kinh nghim S dng kinh nghim mt cỏch hiu qu nht, ú l mt nhng nhim v to ln ca ngi , cũn lao ng gii quyt nhim v ú l chc nng chõn chớnh ca cỏc nh bỏc hc Nh bỏc hc, ỳng vi danh hiu ú, c gng rỳt quan nim ỳng n nht t kinh nghim ó bit, v thu thp nhng kinh nghim thớch hp nht xõy dng nờn quan nim ỳng v mt t Phng phỏp nh ú nh bỏc hc x lớ vi kinh nghim thng gi l phộp quy np S tip xỳc gi ý Phộp quy np thng c bt u bng s quan sỏt Nh khoa hoc t nhiờn cú th quan sỏt cuc sng ca loi chim, nh tinh th hc quan sỏt hỡnh dng ca cỏc tinh th Nh toỏn hc, quan tõm ti lý thuyt s, quan sỏt tớnh cht cỏc s 1, 2, 3, 4, 5, Nu mun quan sỏt cuc sng ca loi chim cú th t c nhng kt qu lý thỳ, thỡ mt chng mc no ú, bn phi hiu bit v chim, phi thớch chim v thm l yờu chim Cng nh vy, nu bn mun quan sỏt nhng s thỡ bn phi thớch thỳ vi chỳng v mt chng mc no ú phi hiu bit chỳng Bn phi bit phõn bit s chn v s l, phi bit cỏc s chớnh phng v cỏc s nguyờn t Ngay nhng kin thc n gin nht chỳng ta cng cú th nhn thy mt cỏi gỡ thỳ v Chng hn ngu nhiờn ta gp cỏc h thc: + = 10; + 17 = 20; 13 + 17 =30; V ta nhn thy gia chỳng cú mt vi ch ging Chỳng ta cú th ngh ti 3, 7, 13 v 17 l nhng s nguyờn t l tng ca hai s nguyờn t l l nhng s chn (ú l iu tt nhiờn); Thc vy 10, 20, 30 l cỏc s chn Nhng cú th núi gỡ v cỏc s chn khỏc ? chỳng cú th c biu din tng t nh vy khụng? S chn u tiờn bng tng ca hai s nguyờn t l dng l = + Tỡm tip ta thy: = + 10= + = + 12= + 14 = + 11 = + 16 = + 13 = + 11 V ta c tip tc tỡm mói chng? Dự nhng trng hp riờng ó kho sỏt cng lm chỳng ta ngh ti mt iu khng nh chung l : Mi s chn ln hn u cú th biu din di dng tng ca hai s nguyờn t l Phõn tớch nhng trng hp ngoi l cỏc s v khụng th l tng ca hai s nguyờn t l chỳng ta cú th bng lũng vi iu khng nh ớt trc tip hn sau õy: Bt k s chn no khụng phi l s nguyờn t v khụng phi l bỡnh phng ca mt s nguyờn t, cng cú th biu din di dng tng ca hai s nguyờn t l Nh th chỳng ta ó phỏt biu mt gi thuyt Chỳng ta tỡm thy gi thuyt ú nh phộp quy np Núi mt cỏch khỏc gi thuyt ú ny sinh 10 cỏc trung tuyn ca mt n-giỏc giao ti mt im (im ny chia chỳng theo t s (n-1):1) Bõy gi ta cú th nh ngha: Trng tõm ca mt n-giỏc l giao im ca cỏc trung tuyn v ú cỏc trung tuyn ca mt (n+1)-giỏc c xem nh l cỏc on thng ni mi nh ca (n+1)-giỏc ti trng tõm ca n-giỏc c thnh lp bi n nh cũn li Phng phỏp quy np toỏn hc cho phộp ta khng nh rng nh ngha v trung tuyn v trng tõm ca n-giỏc l cú ngha vi mi giỏ tr ca n Bi ng dng: Bi 1: Chng minh rng mt n-giỏc tt c cỏc trung tuyn bc k u giao ti mt im, im ny chia chỳng theo t s (n-k):k Hng dn: Gi S1 , S2 ln lt l trng tõm ca (k-1)-giỏc A A A k v (n-k-1)-giỏc A k + A k +3 A n v O1 , O l trng tõm ca k-giỏc A1A A k , A A A k +1 v O3 , O l trng tõm ca (n-k)-giỏc A k +1A k + A n v A k + A n A1 (H.24) Thỡ: O1S1 O 2S1 = = v O1O // A1A k +1 O1A1 O A k +1 k O3S2 OS = = v O3O // A1A k +1 O3 A k +1 O A1 n k Bõy gi nu O l giao im cỏc trung tuyn bc k: O 2O , O1O3 , thỡ nh cỏc tam giỏc ng dng OO1O v OO3O ta cú: OO1 OO O1O = = = OO3 OO O3O A1A k +1 nk k = k A1A k +1 nk 52 Ta cú th chng minh rng vi mi k, giao im ca cỏc trung tuyn bc k mt n-giỏc trựng vi trng tõm ca nú Bi 2: Tam giỏc ABC ni tip ng trũn S, Gi P l mt im bt k trờn ng trũn ny Chng minh rng cỏc chõn ng vuụng gúc h t P ti cỏc cnh ca tam giỏc ABC thng hng Hng dn: ng thng cha cỏc chõn ng cao h t im P xung cỏc chõn ng cao c gi l ng thng Simson ca im P ng vi tam giỏc ABC * Gi s ta bit cỏch xỏc nh ng thng Simson ca im P trờn ng trũn S ng vi n-giỏc A1A A n ni tip S Ngoi ra, gi s M A1A A n A n +1 l mt (n+1)-giỏc nt tip S Chng minh rng cỏc chõn ng vuụng gúc h t P lờn n+1 ng thng Simson ca tt c n-giỏc c lp thnh t n nh ca (n+1)-giỏc M l thng hng ng ny gi l ng thng Simson ca im P ng vi (n+1)-giỏc M ( Bi toỏn ng thng Simson ca im P ng vi tam giỏc c nhiu ngi bit n Chng minh nú xut phỏt t thc t l cỏc t giỏc PAMK, PLBK, PMCL cú th ni tip ng trũn ã ã ã ã ã = APB ã T ú suy AKM = APM, BKL = BPL v MPL = 180o C Do ú ã ã AKM = BKL Bng phộp quy np ta cú th suy c iu cn phi chng minh VI Phộp quy np khụng gian Dng tớnh toỏn khụng gian bng quy np 53 This d 1: Tỡm s ớt nht cỏc mt phng chia lp phng khụng ớt hn 300 phn thi vụ ch toỏn nc Anh nm 1970 Gii: Ta chng minh bng quy np theo n rng n ng thng chia mt phng khụng nhiu hn p(n) = n(n + 1) + phn, ng thi nhn c ỳng p(n) phn khụng cú hai ng thng no song song v khụng cú ng thng no ng quy Tht vy, p(0)=1 v vi mi n N ta cú bt ng thc: p(n) p(n 1) + n = (n 1)n n(n + 1) +1 + n = +1 2 ng thi ng thc xy (ng thng n ct mi ng cũn li v b chia khụng nhiu hn n on, mi on ú xỏc nh mt phn mt phng mi) Tng t ta chng minh n mt phng chia khụng gian khụng nhiu hn n + 5n + q( n) = phn, ng thi nhn c ung q(n) phn nu khụng cú mt phng no song song, khụng cú mt phng no cựng i qua mt ng thng v khụng cú im no cựng i qua mt im Tht vy, q(0)=1 vi mi n N ta cú bt ng thc: q(n) q(n 1) + p(n 1) = (n 1)3 + 5(n 1) + (n 1) n + 5n + + +1 = 6 ng thi ng thc xy (mt phng th n ct cỏc mt phng cũn li v b chia khụng nhiu hn p(n-1) phn, mi phn ú xỏc nh mt phn khụng gian mi) 54 S mt phng cn tỡm l 13 vỡ q(12) = 299 < 300 [...]... lun An ỳng vi mi n n0 B Phộp quy np trong hỡnh hc Phộp quy np l mt phộp toỏn khỏ ph bin v thụng dng, nú c ng dng rt nhiu trong i s, v lý thuyt s Phộp quy np thng c s dng chng minh cỏc tớnh cht v cỏc nh lý Cú nhng bi toỏn ch cú th dựng phộp quy np mi cú th gii c Khụng ch trong i s v lý thuyt s m trong hỡnh hc, phộp quy np cng l mt phng phỏp c ỏo v lý thỳ khụng ch ng dng trong vic tớnh toỏn cỏc i lng... hỡnh hc I Phộp quy np trong tớnh toỏn hỡnh hc Trong lý thuyt s v i s, phộp qui np toỏn hc l mt phng phỏp hiu qu trong vic tớnh toỏn cỏc giỏ tr i s v cỏc i lng toỏn hc Trong hỡnh hc gii cỏc bi toỏn tớnh toỏn thỡ vic ỏp dng phộp 15 qui np thc hin hon ton cú th v nú cú th thc hin mt cỏch chớnh xỏc Thớ d 1: Tớnh tng cỏc gúc trong ca mt n-giỏc khụng t ct Gii: Ta cú th thy ngay: Tng cỏc gúc trong ca mt tam... thi Euler v l mt trong nhiu tớnh cht ca cỏc s m chỳng ta rt quen thuc, nhng chỳng ta vn cha chng minh hay bỏc b c Nhng t gi thuyt ny chỳng ta ó mụ t trong nhng nột tng quỏt giai on u ca quỏ trỡnh quy np II Phng phỏp quy np toỏn hc Trong cuc sng cú nhiu ngi thng bỏm cht vo o tng, núi mt cỏch khỏc h khụng giỏm nghiờn cu nhng khỏi nim d dng b kinh nghim bỏc b, vỡ h ngi tinh thn mt cõn bng Trong khoa hc,... thng mi theo c 1 Khỏi nim v phng phỏp quy np toỏn hc Gi s An l mt khng nh ph thuc vo s t nhiờn n v chỳng ta cn phi chng minh An ỳng vi mi n Trong trng hp ny, ta khụng th s dng phộp quy np hon ton, bi vỡ tp hp cỏc s t nhiờn l vụ hn v khụng th tin hnh vic kim tra cỏc trng hp riờng Chỳng ta cng khụng th s dng phộp quy np khụng hon ton bi vỡ nh ó nhn xột, kt lun ca phộp quy np khụng hon ton ch cú tớnh cht... Tng cỏc gúc trong ca mt tam giỏc l 180 o Tng cỏc gúc trong ca mt t giỏc l 360 o Nhn xột: Mi t giỏc cú th chia thnh hai tam giỏc nờn tng cỏc gúc trong ca mt t giỏc bng hai ln tng cỏc gúc trong ca mt tam giỏc Vi k < n, gi s ó chng minh c tng cỏc gúc trong ca mt kgiỏc bt kỡ l (k-2).180 o Bõy gi ta xột vi n-giỏc A1 A2 An - Trc ht ta chng minh rng trong mt a giỏc bt k ta cú th tỡm c mt ng chộo x chia... S dng nh lớ Euler III Dng hỡnh bng phộp quy np T cỏc bi toỏn khỏ hay nh trờn ta thy da vo phng phỏp quy np toỏn hc thc s cho ta hiu qu cao V khụng dng li vic tớnh toỏn v chng minh nh lý hỡnh hc, m phng phỏp ny cũn c dựng trong cỏc bi toỏn dng hỡnh Chỳng ta cú th dựng Phộp quy np toỏn hc dng hỡnh nu iu kin ban u ca bi toỏn cha mt s nguyờn dng n no ú (chng hn trong cỏc bi toỏn dng n-giỏc ) Sau õy ta... ỳng, Tip tc suy lun nh vy, ta cú An ỳng n 1 12 Phng phỏp chng minh trờn õy c gi l phộp quy np toỏn hc C s ca phng phỏp chng minh trờn õy l nguyờn lý quy np toỏn hc 2 Nguyờn lý quy np toỏn hc C s ca nguyờn lý quy np toỏn hc l tiờn th 5 (cũn gi l tiờn quy np) ca h tiờn PẫANO v tp hp s t nhiờn c xõy dng t cui th k 19 * Tiờn 1: 1 l s t nhiờn * Tiờn 2: Vi mi s t nhiờn a, cú mt s t nhiờn a* i lien sau... v lý thuyt s m trong hỡnh hc, phộp quy np cng l mt phng phỏp c ỏo v lý thỳ khụng ch ng dng trong vic tớnh toỏn cỏc i lng hỡnh hc n thun m nú cũn c ỏp dng trong vic chng minh nh lý hỡnh hc, trong gii cỏc bi toỏn dng hỡnh, qu tớch c trong mt phng v trong khụng gian, hỡnh hc s cp v hỡnh hc cao cp 14 Bi toỏn m u: Cho n l mt s t nhiờn ln hn hoc bng 6 Chng minh rng : luụn chia c mt hỡnh vuụng thnh n hỡnh... giỏc ban u Bõy gi ta chng minh bi toỏn: Trong n-giỏc A1 A2 An ta v ng chộo A1 Ak chia n-giỏc ú lm k-giỏc A1 A2 Ak v (n-k+2)-giỏc A1 Ak Ak +1 An Vi gi thit ó cho thỡ tng cỏc gúc trong ca k-giỏc v (n-k+2)-giỏc ln lt l (k-2).180 o v [(n-k+2)-2].180 o Suy ra tng cỏc gúc trong ca n-giỏc A1 A2 An l: = (k-2).180 o + [(n-k+2)-2].180 o = (n-2).180 o ( l tng cỏc gúc trong ca n-giỏc) Nh vy mnh ỳng vi mi... tng N ng chộo v n cnh ca n-giỏc suy ra: 2N + n = 3(n-2) N= n 3 II Chng minh nh lớ hỡnh hc bng phộp quy np Phộp quy np l mt trong nhng phng phỏp hu hiu nht chng minh cỏc nh lý cỏc mnh m cỏc phng phỏp khụng th 23 chng minh c Di õy ta s nghiờn cu mt s thớ d v bi toỏn chng minh nh lý mnh bng phộp quy np Thớ d 1: Cho mt s ng thng chia mt phng thnh nhng min khỏc nhau Chng minh rng ta cú th tụ nhng min ... phộp quy np toỏn hc, quy np hỡnh hc - Phõn tớch v tng hp cỏc dng bi nhm xõy ng c mt h thng bi vi y cỏc dng toỏn s dung quy np hỡnh hc Ni dung A Phộp quy np toỏn hc I Ngun gc v s i ca phộp quy. .. õy c gi l phộp quy np toỏn hc C s ca phng phỏp chng minh trờn õy l nguyờn lý quy np toỏn hc Nguyờn lý quy np toỏn hc C s ca nguyờn lý quy np toỏn hc l tiờn th (cũn gi l tiờn quy np) ca h tiờn... gc v quỏ trỡnh xut hin phộp quy np toỏn hc - ng dng ca phộp quy np hỡnh hc IV Nhim v nghiờn cu - L rừ c th no l phộp quy np toỏn hc - Th hin c nhng ng dng ca phộp quy np hỡnh hc - Xõy dng h thng