Đề và đáp án thi thử ĐH số 29

wWw.VipLam.Info SỞ GD & ĐT HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT MINH CHÂU ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn toán - KHỐI A Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 – 3x2 + m 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x − x − = x −1  5π  Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình : 2 cos  − x ÷sin x =  12  log x + y = 3log8 ( x − y + 2) 2) Giải hệ phương trình:   Câu III(1,0 điểm ) Tính tích phân: I = π /4 ∫ −π /4 x2 + y2 + − x2 − y2 = sin x + x2 + x dx Câu IV ( 1,0 điểm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM Câu V (1,0 điểm ) Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = Chứng minh 25x 25y 25z + + 25x + 5y + z 5y + 5z + x 5z + 5x + y ≥ x + 5y + 5z PHẦN B ( THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM MỘT TRONG HAI PHẦN ( PHẦN HOẶC PHẦN 2) PHẦN ( Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn ) Câu VI.a 1.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH : x − y + = , phân giác BN : x + y + = Tìm toạ độ đỉnh B,C tính diện tích tam giác ABC x −2 y z +1 = = −6 −8 hai điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I đường thẳng d cho IA +IB đạt giá trị nhỏ 2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau tập số phức C: z − z + z2 + z +1 = PHẦN ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao ) Câu VI.b (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm đường thẳng d1 : x − y − = d : x + y − = Trung điểm cạnh giao điểm d1 với trục Ox Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng : wWw.VipLam.Info x − y −1 z = = , D1 : −1  x = − 2t  D2 :  y = z = t  Viết phương trình mặt cầu có đường kính đoạn vuông góc chung D D2 2004 2008 + C2009 + C2009 + + C2009 + C2009 CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tính tổng: S = C2009 …….Hết ĐÁP ÁN Cõu I a) điểm Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − 3x +  Tập xác định: Hàm số có tập xác định D = R 0,25 x = x =  Sự biến thiờn: y' = 3x − x Ta có y' = ⇔    yCD = y ( ) = 2; yCT = y ( ) = −2 0,25 Bảng biến thiên: x 0,25 −∞ + y' 0 2 − + +∞ +∞ y −∞  −2 Đồ thị: y f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2 x -8 -6 -4 -2 0,25 -5 b) m Biện luận số nghiệm phương trình x − x − = x − theo tham số m wWw.VipLam.Info  m 2 Ta có x − x − = x − ⇔ ( x − x − ) x − = m,x ≠ Do số nghiệm 0,25 phương trình số giao điểm y = ( x − x − ) x − ,( C' ) đường thẳng y = m,x ≠   f ( x ) x > Vỡ y = ( x − x − ) x − =  nờn ( C' ) bao gồm:  − f ( x ) x < 0,25 + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x = + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x = qua Ox y f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2) x -8 -6 -4 -2 0,25 -5  hình  Dựa vào đồ thị ta có: + m < −2 : Phương trình vụ nghiệm; + m = −2 : Phương trình có nghiệm kộp; + −2 < m < : Phương trình có nghiệm phõn biệt; + m ≥ : Phương trình có nghiệm phõn biệt 2) Đồ thị hàm số y = ( x − x − 2) x − , với x ≠ có dạng hình vẽ : 1- -2 m 1+ 0,25 wWw.VipLam.Info II 1) 2.)   5π  5π   5π  − x ÷sin x = ⇔ sin  x − ÷+ sin  = 12  12   12    1) 2cos  0.25 5π  5π π 5π  π 5π   ⇔ sin  x − = = sin ⇔ sin  x − = ÷+ sin ÷ = sin − sin 12  12 12  12   π  π   π  = cos sin  − ÷ = sin  − ÷  12   12  π 5π π   x = + kπ 2x − = − + k 2π   5π    π  12 12 ⇔ sin  x − ⇔ ( k ∈¢) ÷ = sin  − ÷ ⇔  12    12   x = 3π + kπ  x − 5π = 13π + k 2π   12 12 log x + y = 3log8 ( x − y + 2) Giải hệ phương trình:  x2 + y + − x2 − y2 =  0.25 0.5 Điều kiện: x+y>0, x-y>0 log x + y = 3log8 (2 + x − y )  x+ y = 2+ x− y ⇔  2 2 x2 + y + − x2 − y2 =   x + y + − x − y =  u − v = (u > v)  u + v = uv + u = x + y   ⇔  u + v2 + Đặt:  ta có hệ:  u + v + v = x − y − uv =  − uv =  2   0,25đ 0,25đ wWw.VipLam.Info  u + v = uv + (1)  ⇔  (u + v) − 2uv + Thế (1) vào (2) ta có: − uv = (2)   uv + uv + − uv = ⇔ uv + uv + = (3 + uv ) ⇔ uv = 0,25đ  uv = ⇔ u = 4, v = (vỡ u>v) Từ ta có: x =2; y =2.(T/m) u + v = Kết hợp (1) ta có:  0,25đ KL: Vậy nghiệm hệ là: (x; y)=(2; 2) Câu III Tính tích phân : I = π /4 sin x ∫ + x2 + x −π /4 I= π /4 ∫ −π /4 sin x + x2 + x dx = π /4 ∫ −π /4 + x sin xdx + dx π /4 ∫ 0.5đ x sin xdx = I1 + I −π /4 Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t I1 = , tích phân phần I kết Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t I1 = , tích phân phần I kết Câu IV : 0.5đ S N M D A Tính thể tích hình chóp SBCMN B C ( BCM)// AD nên mặt phẳng cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD 0,25đ wWw.VipLam.Info  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ BM Tứ giác BCMN hình thang vuông có BM đường  BC ⊥ SA Ta có :  cao a a 3− MN Ta có SA = AB tan600 = a , MN SM =2 = ⇔ = AD SA 2a a 0,25đ 2a 4a BM = Diện tích hình thang BCMN : 3 4a    a + ÷ 2a 10a BC + MN BM =  = S = ÷ 2  ÷ 3   Hạ AH ⊥ BM Ta có SH ⊥ BM BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH Vậy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH đường cao khối chóp SBCNM AB AM = Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , = SB MS ⇒ · ⇒ Vậy BM phân giác góc SBA SH = SB.sin300 = a SBH = 30 Suy MN = 0,25đ 0,25đ 10 3a3 SH ( dtBCNM ) Gọi V thể tích chóp SBCNM ta có V = = 27 -x -y -z Câu V Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : + +5 = Chứng minh : 25x 25y 25z + + 25x + 5y + z 5y + 5z+ x 5z + 5x + y ≥ x + 5y + 5z Đặt 5x = a , 5y =b , 5z = c Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc a2 b2 c2 a+b+c Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : + + ≥ ( *) a + bc b + ca c + ab a3 b3 c3 a+b+c ( *) ⇔ + + ≥ a + abc b + abc c + abc 3 a b c3 a+b+c ⇔ + + ≥ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) a a+b a+c + + ≥ a ( 1) Ta có ( Bất đẳng thức Cô si) ( a + b)(a + c) 8 b3 b+c b+a + + ≥ b ( 2) Tương tự (b + c)(b + a) 8 c3 c+a c+b + + ≥ c ( 3) (c + a)(c + b) 8 Cộng vế với vế bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy điều phải chứng minh Phần B (Thí sinh làm phần I phần II) Phần I (Danh cho thí sinh học chương trình chuẩn) Chương trình Chuẩn 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ wWw.VipLam.Info Cõu Ph ần CâuVI 1(1 a ,0) (1,0) Nội dung Điểm A + Do AB ⊥ CH nờn AB: x + y + = H 2 x + y + = Giải hệ:  ta có (x; y)=(-4; 3)  x + y +1 = Do đó: AB ∩ BN = B (−4;3) + Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ A ' ∈ BC N 0,25đ - Phương trình đường thẳng (d) qua A B Vuụng gúc với BN (d): x − y − = Gọi I = (d ) ∩ BN Giải hệ: 2 x + y + = Suy ra: I(-1; 3) ⇒ A '(−3; −4)  x − 2y − = C 0,25đ 7 x + y + 25 =  x − y +1 = + Phương trình BC: x + y + 25 = Giải hệ:  Suy ra: C ( − 13 ;− ) 4 0,25đ 450 d ( A; BC ) = 7.1 + 1(−2) + 25 = , + 12 1 450 45 Suy ra: S ABC = d ( A; BC ).BC = = 2 4 ur 1) Véc tơ phương hai đường thẳng là: u1 (4; - 6; - 8) uu r u2 ( - 6; 9; 12) ur uu r +) u1 u2 phương +) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2 + BC = (−4 + 13 / 4) + (3 + / 4) = Câu VIIA Vậy d1 // d2 r *) Véc tơ pháp tuyến mp (P) n = ( 5; - 22; 19) (P):uu5x u r – 22y + 19z + = 2) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1 Gọi A1 điểm đối xứng A qua d1 Ta có: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B IA + IB đạt giá trị nhỏ A1B Khi A1, I, B thẳng hàng ⇒ I giao điểm A1B d Do AB // d1 nên I trung điểm A1B 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ  36 33 15  *) Gọi H hình chiếu A lên d1 Tìm H  ; ; ÷  29 29 29   43 95 28  ; ;− ÷  29 29 29   65 −21 −43  ; I trung điểm A’B suy I  ; ÷  29 58 29  A’ đối xứng với A qua H nên A’  d1 0,25đ A B H I A1 wWw.VipLam.Info Cõu Câu VIIa (1,0) Nội dung Cõu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trờn tập số phức C: z4 − z3 + z2 + z +1 = Điểm (1) Nhận xét z=0 không nghiệm phương trình (1) z ≠ 1 ) − ( z − ) + = (2) z z 1 Đặt t=z- Khi t = z + − ⇔ z + = t + z z z Phương trình (2) có dạng : t2-t+ = (3) ∆ = − = −9 = 9i 2 + 3i − 3i PT (3) có nghiệm t= ,t= 2 Chia hai vế PT (1) cho z2 ta : ( z + + 3i 1 + 3i ⇔ z − (1 + 3i ) z − = (4) ta có z − = z 2 Có ∆ = (1 + 3i ) + 16 = + 6i = + 6i + i = (3 + i) (1 + 3i ) + (3 + i ) (1 + 3i ) − (3 + i ) i − = + i ,z= = PT(4) có nghiệm : z= 4 − 3i 1 − 3i ⇔ z − (1 − 3i ) z − = (4) Với t= ta có z − = z 2 Có ∆ = (1 − 3i ) + 16 = − 6i = − 6i + i = (3 − i ) (1 − 3i ) + (3 − i ) (1 − 3i ) − (3 − i ) − i − = − i ,z= = PT(4) có nghiệm : z= 4 i −1 − i −1 Vậy PT cho có nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= ; z= 2 0.25đ 0.25đ Với t= 0.25đ 0.25đ Phần II Câu VIb 1) Ta có: d ∩ d = I Toạ độ I nghiệm hệ: x − y − = x = / 9 3 ⇔ Vậy I ;   2 2 x + y − = y = / Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M trung điểm cạnh AD ⇒ M = d ∩ Ox Suy M( 3; 0) 0,25 wWw.VipLam.Info 2 9 3  Ta có: AB = IM =  −  +   = 2 2  S ABCD 12 = =2 AB Vì I M thuộc đường thẳng d1 ⇒ d ⊥ AD Theo giả thiết: S ABCD = AB.AD = 12 ⇔ AD = 0,25 Đường thẳng AD qua M ( 3; 0) vuông góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có PT: 1(x − 3) + 1(y − 0) = ⇔ x + y − = Lại có: MA = MD = x + y − = Toạ độ A, D nghiệm hệ PT:   ( x − 3) + y = y = − x + y = − x + y = − x ⇔ ⇔ ⇔  2 2  x − = ±1 ( x − 3) + y = ( x − 3) + (3 − x) = x = x = ⇔  Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) y =  y = −1 0,25 x C = x I − x A = − = 9 3 Do I ;  trung điểm AC suy ra:  2 2 y C = y I − y A = − = Tương tự I trung điểm BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ đỉnh hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) Cõu CâuVIb (1,0) Phần 2.a) 0,25 Nội dung ur Các véc tơ phương D1 D2 u1 ( 1; - 1; 2) uu r Có M( 2; 1; 0) ∈ D1; N( 2; 3; 0) ∈ D2 Điể 0,25 u2 ( - 2; 0; 1) ur uu r uuuu r   u ; u MN Xét   = - 10 ≠ 0,25 Vậy D1 chéo D2 Gọi A(2 + t; – t; 2t) ∈ D1 uuurur   AB.u1 = t = − ⇒  r uu r  uuu AB u =  t ' = 5 2 ⇒ A  ; ; − ÷; B (2; 3; 0) 3 3 B(2 – 2t’; 3; t’) ∈ D2 0,25 Đường thẳng ∆qua hai điểm A, B đường vuông góc chung D1 D2 x = + t  Ta có ∆:  y = + 5t  z = 2t  0,25 PT mặt cầu nhận đoạn AB đường kính có dạng: 2 11   13     x − ÷ +y − ÷ +z+ 3÷ =       0,25 wWw.VipLam.Info CâuVIIb (1,0) 2009 2009 2009 Ta có: (1 + i ) = C2009 + iC2009 + + i C2009 2006 2008 C2009 − C2009 + C2009 − C2009 + − C2009 + C2009 + 2007 2009 (C2009 − C2009 + C2009 − C2009 + − C2009 + C2009 )i 2006 2008 Thấy: S = ( A + B ) , với A = C2009 − C2009 + C2009 − C2009 + − C2009 + C2009 2 2006 2008 B = C2009 + C2009 + C2009 + C2009 + C2009 + C2009 0,25 0,25 + Ta có: (1 + i )2009 = (1 + i )[(1 + i ) ]1004 = (1 + i ).21004 = 21004 + 21004 i Đồng thức ta có A chớnh phần thực (1 + i) 2009 nờn A = 21004 2009 2 2009 2009 + Ta có: (1 + x) = C2009 + xC2009 + x C2009 + + x C2009 2008 2009 Cho x=-1 ta có: C2009 + C2009 + + C2009 = C2009 + C2009 + + C2009 2008 2009 2009 Cho x=1 ta có: (C2009 + C2009 + + C2009 ) + (C2009 + C2009 + + C2009 ) = 0,25 0,25 Suy ra: B = 22008 + Từ ta có: S = 21003 + 22007 ...  *) Gọi H hình chiếu A lên d1 Tìm H  ; ; ÷  29 29 29   43 95 28  ; ;− ÷  29 29 29   65 −21 −43  ; I trung điểm A’B suy I  ; ÷  29 58 29  A’ đối xứng với A qua H nên A’  d1 0,25đ... Tính tổng: S = C2009 …….Hết ĐÁP ÁN Cõu I a) điểm Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị hàm số y = x − 3x +  Tập xác định: Hàm số có tập xác định D = R 0,25 x = x =  Sự biến thi n: y' = 3x − x Ta có... 0,25 Bảng biến thi n: x 0,25 −∞ + y' 0 2 − + +∞ +∞ y −∞  −2 Đồ thị: y f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2 x -8 -6 -4 -2 0,25 -5 b) m Biện luận số nghiệm phương trình x − x − = x − theo tham số m wWw.VipLam.Info