wWw.VipLam.Info SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN – THÁNG 12/2010 Môn thi: TOÁN HỌC – Khối A, B Thời gian: 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I: x+2 ( C) x−2 Khảo sát vẽ ( C ) Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết tiếp tuyến qua điểm A ( −6;5 ) Câu II: π Giải phương trình: cos x + cos3x = + sin 2x + ÷ 4 3 x + y = Giải hệ phương trình: 2 x y + 2xy + y = Câu III: Tính I = π dx ∫ cos x ( + e ) − π −3x Câu IV: Hình chóp tứ giác SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) Với giá trị góc α mặt bên mặt đáy chóp thể tích chóp nhỏ nhất? Câu V: Cho a, b,c > : abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≤1 a + b +1 b + c +1 c + a +1 Câu VI: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A ( 1;0 ) , B ( −2;4 ) ,C ( −1; ) , D ( 3;5 ) đường thẳng d : 3x − y − = Tìm điểm M d cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng sau: x = −1 + 2t x y −1 z + d1 : = = ; d : y = + t −1 z = Câu VII: 20 C02010 21 C12010 2 C22010 23 C32010 22010 C 2010 2010 A= − + − + + Tính: 1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012 wWw.VipLam.Info ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN Câu I: a) TXĐ: ¡ \ { 2} b) Sự biến thiên hàm số: -) Giới hạn, tiệm cận: y = −∞, lim y = +∞ ⇒ x = tiệm cận đứng +) xlim →2 x →2 lim y = lim y = ⇒ y = tiệm cận ngang +) − x →−∞ + x →+∞ -) Bảng biến thiên : y' = − < ∀x ≠ 2 ( x − 2) c) Đồ thị : -) Đồ thị cắt Ox ( −2;0 ) , cắt Oy ( 0; −1) , nhận I ( 2;1) tâm đối xứng Phương trình đường thẳng qua A ( −6;5 ) ( d ) : y = k ( x + ) + (d) tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm : wWw.VipLam.Info x+2 x+2 − × x + 6) + = k x + + = ( ( ) x−2 x−2 ( x − 2) ⇔ 4 k = − k = − 2 ( x − 2) ( x − 2) Suy có −4 ( x + ) + ( x − ) = ( x + ) ( x − ) 4x − 24x = x = 0;k = −1 ⇔ ⇔ ⇔ 4 k = − x = 6;k = − 2 k = − ( x − 2) ( x − 2) x tiếp tuyến : ( d1 ) : y = − x − 1; ( d ) : y = − + Câu II: π cos x + cos3x = + sin 2x + ÷ 4 ⇔ 2cos x cos 2x = + sin 2x + cos2x ⇔ 2cos x + 2sin x cos x − 2cos x cos 2x = ⇔ cos x ( cos x + sinx − cos2x ) = ⇔ cos x ( cos x + sinx ) ( + sinx − cosx ) = π x = + kπ cos x = π ⇔ cos x + sinx = ⇔ x = − + kπ 1 + sinx − cosx = π sin x − ÷ = − π x = + kπ π x = + kπ x = − π + kπ π ⇔ ⇔ x = − + kπ x − π = − π + k2π x = k2π 4 π 5π x − = + k2π 4 wWw.VipLam.Info 1 1 3 3 2x + = x − y + ( ) − ÷= − ÷ y x y x x y ⇔ 2y + = 2x + = x y y x x = y 4( x − y) x − y = − ( ) xy xy = −2 ⇔ ⇔ 2x + = 2x + = y x y x x = y x = y = 2x + = x = y = −1 x x ⇔ ⇔ y=− x = 2, y = − x x = − 2, y = x 2x − = x Câu III: d ( x2 ) xdx 11 1 dt I=∫ = = 2 ∫0 ( x ) + x + ∫0 t + t + x + x +1 1 dt du = ∫ ∫ 2 1 3 2 2 u + ÷ ÷ t + ÷ + 2 3 dy π π tan y, y ∈ − ; ÷ ⇒ du = × Đặt u = 2 cos y 2 π π u = ⇒ y = ;u = ⇒ y = π π dy 13 π ⇒I= ∫ = dy = ∫ π cos y ×3 × + tan y 3π ( ) 6 = Câu IV: Gọi M, N trung điểm BC, AD, gọi H hình chiếu vuông góc từ N xuống SM Ta có: wWw.VipLam.Info · SMN = α,d ( A; ( SBC ) ) = d ( N; ( SBC ) ) = NH = S NH = ⇒ SABCD = MN = sin α sin α sin α tan α SI = MI.tan α = = sin α cosα 4 ⇒ VSABCD = × × = sin α cosα 3.sin α.cosα sin α + sin α + 2cos 2α sin α.sin α.2cos 2α ≤ = 3 ⇒ sin α.cosα ≤ VSABCD ⇔ sin α.cosα max ⇒ MN = ⇔ sin α = 2cos 2α ⇔ cosα = Câu V: Ta có: a+b= ( ⇒ a + b +1 ≥ ⇒ )( ab ( a+3b ≤ a + b + ab ( C D N M I A B ) a − ab + b ≥ ab a + b + = ab ) H a+3b+3c ) = ( 3 a+3b ) c a+ b+3c suy OK! Câu VI: Giả sử M ( x; y ) ∈ d ⇔ 3x − y − = ) a + b + abc = ab 3 ( ( a+3b+3c ) Tương tự wWw.VipLam.Info AB = 5,CD = 17 uuur uuur AB ( −3;4 ) ⇒ n AB ( 4;3) ⇒ PT AB : 4x + 3y − = uuur uuur CD ( 4;1) ⇒ n CD ( 1; −4 ) ⇒ PT CD : x − 4y + 17 = SMAB = SMCD ⇔ AB.d ( M;AB ) = CD.d ( M;CD ) 4x + 3y − x − 4y + 17 = 17 × ⇔ 4x + 3y − = x − 4y + 17 17 3x − y − = ⇒ 4x + 3y − = x − 4y + 17 3x − y − = 3x + 7y − 21 = 7 ⇔ ⇒ M1 ;2 ÷, M ( −9; −32 ) 3x − y − = 3 5x − y + 13 = ⇔ 5× Gọi M ∈ d1 ⇒ M ( 2t;1 − t; −2 + t ) , N ∈ d ⇒ N ( −1 + 2t ';1 + t ';3 ) uuuur ⇒ MN ( −2t + 2t '− 1; t + t '; − t + ) uuuur uur MN.u1 = 2 ( −2t + 2t '− 1) − ( t + t ' ) + ( − t + ) = ⇔ uuuur uur 2 ( −2t + 2t '− 1) + ( t + t ' ) = MN.u1 = −6t + 3t '+ = ⇔ ⇔ t = t' =1 − 3t + 5t ' − = uuuur ⇒ M ( 2;0; −1) , N ( 1;2;3 ) , MN ( −1;2;4 ) ⇒ PT MN : x − y z +1 = = −1 Câu VII: 20 C02010 21 C12010 2 C22010 23 C32010 2010 C 2010 2010 A= − + − + + 2011 Ta có: wWw.VipLam.Info 2k C k2010 ( −2 ) 2010! = ( −2 ) 2010! = ( −1) ( k + 1) k!( 2010 − k ) !( k + 1) ( k + 1) !( 2010 − k ) ! k k k ( −2 ) 2011! k +1 +1 = × =− ×( −2 ) C k2011 2011 ( k + 1) !( 2011 − k − 1) ! 4022 k 2011 × ( −2 ) C12011 + ( −2 ) C 22011 + + ( −2 ) C 2011 2011 4022 2011 =− × ( −2 + 1) − ( −2 ) C02011 = 2011 4022 ⇒A=− ... AB ( −3 ;4 ) ⇒ n AB ( 4; 3) ⇒ PT AB : 4x + 3y − = uuur uuur CD ( 4; 1) ⇒ n CD ( 1; 4 ) ⇒ PT CD : x − 4y + 17 = SMAB = SMCD ⇔ AB.d ( M;AB ) = CD.d ( M;CD ) 4x + 3y − x − 4y + 17 = 17 × ⇔ 4x + 3y...wWw.VipLam.Info ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN Câu I: a) TXĐ: ¡ { 2} b) Sự biến thi n hàm số: -) Giới hạn, tiệm cận: y = −∞, lim y = +∞ ⇒ x = tiệm cận... x−2 x−2 ( x − 2) ⇔ 4 k = − k = − 2 ( x − 2) ( x − 2) Suy có 4 ( x + ) + ( x − ) = ( x + ) ( x − ) 4x − 24x = x = 0;k = −1 ⇔ ⇔ ⇔ 4 k = − x = 6;k = − 2 k = −