wWw.VipLam.Info BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn: Toán Khối A, B Đề thi thử lần Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y= x −1 x +1 (1) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc - Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình sau: 2) Giải phương trình lượng giác: + x − x2 =2 sin x + cos x tan( π − x).tan( π + x) = cos 4 x Câu III (1 điểm) Tính giới hạn sau: L = lim ln(2e − e.cos2 x) − + x x →0 x2 Câu IV (2 điểm) Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh l, bán kính đường tròn đáy r Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên hình nón, tiếp xúc với tất đường sinh đường tròn đáy nón gọi mặt cầu nội tiếp hình nón) Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I; Giả sử độ dài đường sinh nón không đổi Với điều kiện bán kính đáy diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất? Câu V (1 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ;0) Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + = 0, AB = 2AD hoành độ điểm A âm Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Câu VII (1 điểm) Giải hệ phương trình : 2 x + 2010 2009 y − x = y + 2010 3log3 ( x + y + 6) = log ( x + y + 2) +1 wWw.VipLam.Info - HẾT - Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu gì! - Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh: ……….………………………………….…… Số báo danh: ……………… wWw.VipLam.Info HƯỚNG DẪN CÂU I.1 NỘI DUNG Hàm số: y = x −1 =2− x +1 x +1 lim y = 2; lim +) Giới hạn, tiệm cận: x →+∞ ĐIỂM y = 2; lim y = −∞; lim y = +∞ x → ( −1)+ x →−∞ x → ( −1)− - TC đứng: x = -1; TCN: y = > 0, ∀x ∈ D +) y ' = ( x + 1) +) BBT: -∞ x y' y +∞ -1 || + + +∞ || 2 −∞ +) ĐT: điểm -10 -5 10 -2 -4 -6 I.2 II.1 y −y điểm +) ycbt ⇔ kM kIM = −9 +) Giải x0 = 0; x0 = -2 Suy có điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5) +) ĐK: x ∈ (− 2; 2) \ {0} x + y = xy +) Đặt y = − x , y > Ta có hệ: 2 x + y = −1 + −1 − x = x = 2 ; +) Giải hệ đx ta x = y = y = −1 − y = −1 + 2 +) Kết hợp điều kiện ta được: x = x = II.2 −3 M I +) Ta có I(- 1; 2) Gọi M ∈ (C ) ⇒ M ( x0 ; − x + 1) ⇒ k IM = x − x = ( x + 1) M I +) Hệ số góc tiếp tuyến M: k M = y '( x0 ) = ( x0 + 1) +) ĐK: x ≠ π π + k ,k ∈ Z điểm −1 − điểm wWw.VipLam.Info π π π π +) tan( − x) tan( + x) = tan( − x) cot( − x) = 4 4 1 sin x + cos x = − sin x = + cos x 2 pt ⇔ cos 4 x − cos x − = π +) Giải pt cos24x = ⇔ cos8x = ⇔ x = k cos24x = -1/2 (VN) +) Kết hợp ĐK ta nghiệm phương trình x = k III L = lim ln(2e − e.cos2 x) − + x x2 x →0 = lim =2− IV.1 = 3 x2 Ta có: ⇒ rC = S −1 l = lim ln(1 + 2sin x) + x →0 x 2 (1 + x ) + + x +1 2sin x 2sin x I +) Gọi rC bán kính mặt cầu nội tiếp nón, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB S SAB = prC = (l + r ).rC = A M r điểm B SM AB l − r 2r l −r =r 2(l + r ) l+r 2 +) Scầu = 4π r C = 4π r IV.2 ln(1 +1 − cos2 x ) +1 − + x x →0 ln(1 + 2sin 2 x) − + x = lim + x →0 x x2 2sin x 2sin x π ,k ∈ Z điểm l −r l+r +) Đặt : y (r ) = lr − r ,0 < r < l l+r − −1 r= l −2r ( r + rl − l ) +) y '(r ) = = ⇔ (l + r ) −1 l r = 2 +) BBT: r y'(r) y(r) V −1 l điểm l ymax −1 +) Ta có max Scầu đạt ⇔ y(r) đạt max ⇔ r = l +) Ta có điểm wWw.VipLam.Info P = ( x + y + z )( x + y + z − xy − yz − zx ) x2 + y + z − ( x + y + z)2 P = (x + y + z) x2 + y + z + ( x + y + z)2 − ( x + y + z) P = ( x + y + z ) 2 + = ( x + y + z ) 3 + 2 +) Đặt x +y + z = t, t ≤ 6( Bunhia cov xki) , ta được: P (t ) = 3t − t +) P '(t ) = ⇔ t = ± , P( ± ) = 0; P ( − 2) = −2 ; P ( 2) = 2 +) KL: MaxP = 2; MinP = −2 VI +) d ( I , AB) = ⇒ AD = ⇒ AB = ⇒ BD = +) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4 +) Tọa độ A, B nghiệm x = 25 ( x − ) + y = y = ⇒ A(−2;0), B(2; 2) ⇔ hệ: x = −2 x − y + = y = ⇒ C (3;0), D(−1; −2) VII 2 x + 2010 (1) 2009 y −x = y + 2010 3log3 ( x + y + 6) = log ( x + y + 2) +1(2) +) ĐK: x + 2y = > x + y + > +) Lấy loga số 2009 đưa pt: x + log 2009 ( x + 2010) = y + log 2009 ( y + 2010) +) Xét CM HS f (t ) = t + log 2009 (t + 2010), t ≥ đồng biến, từ suy x2 = y2 ⇔ x= y, x = - y +) Với x = y vào (2) đưa pt: 3log3(x +2) = 2log2(x + 1) = 6t t t 1 8 Đưa pt dạng ÷ + ÷ = , cm pt có nghiệm t = 9 9 ⇒ x = y =7 +) Với x = - y vào (2) pt: log3(y + 6) = ⇒ y = - ⇒ x = Ghi chú: - Các cách giải khác với cách giải đáp án mà đúng, đủ cho điểm tối đa - Người chấm chia nhỏ thang điểm theo gợi ý bước giải ... ⇒ A( 2; 0), B (2; 2) ⇔ hệ: x = 2 x − y + = y = ⇒ C (3;0), D(−1; 2) VII 2 x + 20 10 (1) 20 09 y −x = y + 20 10 3log3 ( x + y + 6) = log ( x + y + 2) +1 (2) +) ĐK: x + 2y =... Lấy loga số 20 09 đưa pt: x + log 20 09 ( x + 20 10) = y + log 20 09 ( y + 20 10) +) Xét CM HS f (t ) = t + log 20 09 (t + 20 10), t ≥ đồng biến, từ suy x2 = y2 ⇔ x= y, x = - y +) Với x = y vào (2) đưa... = 0; P ( − 2) = 2 ; P ( 2) = 2 +) KL: MaxP = 2; MinP = 2 VI +) d ( I , AB) = ⇒ AD = ⇒ AB = ⇒ BD = +) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1 /2) 2 + y2 = 25 /4 +) Tọa độ A, B nghiệm x = 25 ( x −