Đề và đáp án thi thử ĐH số 23

ÐỀ THI thö ĐẠI HỌC SỐ 23 Môn thi : TOÁN - lµm bµi:180 Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm ) Câu I: (2 điểm) 2x − x −2 Cho hàm số y = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Câu II (2 điểm) x x π x  sin x − cos sin x = cos  −  2 4 2 1  2 Giải bất phương trình log (4 x − x + 1) − x > − ( x + 2) log  − x   2 Giải phương trình + sin e  ∫ x Câu III (1 điểm) Tính tích phân I =   + x ln x dx + ln x  ln x Câu IV (1 điểm) a · · SA = a , SAB = SAC = 30 Tính thể tích khối chóp Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC = S.ABC Câu V (1 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn : a + b + c = P= a + 3b +3 b + 3c +3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức c + 3a Phần riêng (3 điểm) Thí sinh làm hai phần: Phần phần Phần 1:(Theo chương trình Chuẩn) Câu VIa (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : x − y + = d2: 3x +6y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; -1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z − = Gọi A’là hình chiêú A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) mặt cầu qua điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn (C) giao (P) (S) Câu VIIa (1 điểm) Tìm số nguyên dương n biết: 2C22n +1 − 3.2.2C23n +1 + + (−1)k k (k − 1)2 k −2 C2kn +1 + − n(2 n + 1)2 n −1 C22nn++11 = −40200 Phần 2: (Theo chương trình Nâng cao) Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: x2 y2 − = Viết phương 16 trình tắc elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm (H) ngoại tiếp hình chữ nhật sở (H) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ( P ) : x + y − z + = đường thẳng (d ) : x+3 = y + = z − , điểm A( -2; 3; 4) Gọi ∆ đường thẳng nằm (P) qua giao điểm ( d) (P) đồng thời vuông góc với d Tìm ∆ điểm M cho khoảng cách AM ngắn Câu VIIb (1 điểm): 2 x +1 + y −2 = 3.2 y +3 x Giải hệ phương trình   x + + xy = x + Hết Câu I Dáp án đè 23 Nội dung Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số 1) Hàm số có TXĐ: R \ { 2} 2) Sự biến thiên hàm số: a) Giới hạn vô cực đường tiệm cận: y = −∞; lim y = +∞ * xlim →2 x →2 Do đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = lim y = ⇒ đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số * xlim →+∞ x →−∞ b) Bảng biến thiên: − + Ta có: y' = Điểm 1,00 0,25 0,25 < 0, ∀x ≠ ( x − 2) Bảng biến thiên: x -∞ +∞ y’ - 0,25 +∞ y -∞ * Hàm số nghịch biến khoảng ( − ∞;2 ) ( 2;+∞ ) 3) Đồ thị:   3 2 3 2   + Đồ thị cắt trục tung  0;  cắt trục hoành điểm  ;0  + Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) hai tiệm cận làm tâm đối xứng y 0,25 3/2 O I 2 x 3/2 Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ  2x −  −1 , x ≠ , y' (x ) = Ta có: M x ; ( x0 − ) x −   Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng: ∆:y = −1 2x − (x − x ) + x0 − ( x0 − ) 1,00 0,25  2x −  ; B( 2x − 2;2 )  y + y x − x +x + 2x − B = = y M suy M = x0 = xM , A Ta thấy A B = x0 − 2 Toạ độ giao điểm A, B ( ∆ ) hai tiệm cận là: A 2;  x0 − 0,25 trung điểm AB Mặt khác I = (2; 2) tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích   2x −     −   = π(x − 2)2 + ≥ 2π S = πIM = π(x − 2) +  2 ( x − 2)    x0 −    x = 1 ⇔ Dấu “=” xảy (x − 2) = (x − ) x = II Do có hai điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) Giải phương trình lượng giác x x 2π x + sin sin x − cos sin x = cos  −  2  2 (1) ⇔ + sin x sin x − cos x sin x = + cos π − x  = + sin x 2 2  (1) 0,25 Giải bất phương trình  1  x<  − x > x <    ⇔x< ⇔ ⇔ ĐK:  2 4 x − x + > (2x − 1)2 > x ≠    0,25 điểm x x x x   x   x ⇔ sin x sin − cos sin x − 1 = ⇔ sin x sin − cos sin cos − 1 = 2 2     x x   x  ⇔ sin x sin − 1 sin + sin + 1 = 2     sin x =  x = kπ   x = kπ x  ⇔ sin = ⇔ x π ⇔ ⇔ x = kπ, k ∈ Z  = + k2 π   x = π + k4 π 2  x x 2 sin + sin +  2 II 0,25 0,25 0,25 0,25 điểm ( *) 0,25 Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với: log (1 − 2x) − 2x > + (x + 2)[ log (1 − 2x) − 1] ⇔ x[ log (1 − 2x) + 1] < 0,25 x > x > x >     x> log (1 − 2x) + < log 2(1 − 2x) < 2(1 − 2x) <     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x < x < x <     x < log (1 − 2x) + > log 2(1 − 2x) > 2(1 − 2x) > 0,25 Kết hợp với điều kiện (*) ta có: III 1 < x < x < Tính tích phân 0,25 điểm e e ln x I=∫ dx + 3∫ x ln xdx x + ln x e +) Tính I = ∫ ln x x + ln x dx Đặt t = + ln x ⇒ t = + ln x; tdt = Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = (t ) (  t3  −1 22− I1 = ∫ 2tdt = ∫ t − dt = 2 − t  = t 3 1 1 dx  e du = x u = ln x  ⇒ +) Tính I = ∫ x ln xdx Đặt  dv = x dx v = x  2 ( ) e x3 e3 x e I = ln x − ∫ x dx = − 31 3 dx x ) 0,25 0,25 e3 e3 2e3 + = − + = 9 e I = I1 + 3I = − 2 + 2e IV 0,25 0,25 0,25 Tính thể tích hình chóp S điểm M A C N B Theo định lí côsin ta có: · SB = SA + AB − 2SA.AB.cos SAB = 3a + a − 2.a 3.a.cos30 = a Suy SB = a Tương tự ta có SC = a Gọi M trung điểm SA , hai tam giác SAB SAC hai tam giác cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA Suy SA ⊥ (MBC) Ta có VS ABC = VS MBC + VA.MBC 1 = MA.S MBC + SA.S MBC = SA.S MBC 3 Hai tam giác SAB SAC có ba cặp cạnh tương ứng nên chúng Do MB = MC hay tam giác MBC cân M Gọi N trung điểm BC suy MN ⊥ BC Tương tự ta có MN ⊥ SA 2  a   a  3a a MN = AN − AM = AB − BN − AM = a −   −  = ⇒ MN =  16 4   Do VS ABC = SA MN.BC = a V a a a3 = 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 0,25 0,25 0,25 0,25 điểm áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 1 1 1 (x + y + z) + +  ≥ 33 xyz =9⇒ + + ≥ (*) xyz x y z x+y+z x y z 1 +3 +3 ≥3 áp dụng (*) ta có P = 3 a + 3b b + 3c c + 3a a + 3b + b + 3c + c + 3a 0,25 áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có a + 3b + + 1 = ( a + 3b + ) 3 b + 3c + + 1 ( b + 3c ) 1.1 ≤ = ( b + 3c + ) 3 c + 3a + + 1 ( c + 3a ) 1.1 ≤ = ( c + 3a + ) 3 ( a + 3b ) 1.1 ≤ 0,25 1  Suy a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤  ( a + b + c ) +  ≤  +  = 3  Do P ≥ 3  a + b + c = ⇔a=b=c= Dấu = xảy ⇔  a + 3b = b + 3c = c + 3a = Vậy P đạt giá trị nhỏ a = b = c = / VIa.1 Lập phương trình đường thẳng Cách 1: d1 có vectơ phương a1 (2;−1) ; d2 có vectơ phương a (3;6) Ta có: a1.a = 2.3 − 1.6 = nên d1 ⊥ d d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; -1) có phương trình: 0,25 0,25 điểm 0,25 d : A(x − 2) + B(y + 1) = ⇔ Ax + By − 2A + B = d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I d tạo với d1 ( d2) góc 450 2A − B A = 3B ⇔ = cos 45 ⇔ 3A − 8AB − 3B = ⇔  A + B 2 + ( −1)2 B = −3A * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x + y − = * Nếu B = -3A ta có đường thẳng d : x − 3y − = Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y − = d : x − 3y − = 0 Cách 2: Gọi d đường thẳng cần tìm, d song song với đường phân giác đỉnh giao điểm d1, d2 tam giác cho Các đường phân giác góc tạo d1, d2 có phương trình 2x − y + 2 + (−1)2 = 3x + 6y − 32 + 3x − 9y + 22 = ( ∆1 ) ⇔ 2x − y + = 3x + y − ⇔  9x + 3y + = (∆ ) +) Nếu d // ∆1 d có phương trình 3x − 9y + c = Do P ∈ d nên + + c = ⇔ c = −15 ⇒ d : x − 3y − = +) Nếu d // ∆2 d có phương trình 9x + 3y + c = Do P ∈ d nên 18 − + c = ⇔ c = −15 ⇒ d : 3x + y − = Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y − = d : x − 3y − = VIa Xác định tâm bán kính đường tròn Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 điểm 0,25 * Giả sử phương trình mặt cầu ( S) qua A’, B, C, D là: (a x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0, + b + c2 − d > )  2a − b + d + = a = − 2a + 6b + 4c + d + 14 =   ⇔  b = −1 Vì A' , B, C, D ∈ ( S ) nên ta có hệ:  8a + b + 4c + d + 29 = c = −1 8a − 2b + 4c + d − 21 =  d = −1 Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x + y + z − x − y − z + = 0,25 5  29 (S) có tâm I ;1;1 , bán kính R = 2  +) Gọi H hình chiếu I lên (P) H tâm đường tròn ( C) +) Gọi ( d) đường thẳng qua I vuông góc với (P) (d) có vectơ phương là: n(1;1;1) x = / + t  5  Suy phương trình d:  y = + t ⇒ H + t;1 + t;1 + t  2  z = + t  5 Do H = ( d ) ∩ ( P ) nên: + t + + t + + t − = ⇔ 3t = − ⇔ t = − 0,25 5 1 ⇒ H ; ;  3 6 75 29 75 31 186 IH = = − = = , (C) có bán kính r = R − IH = 36 6 36 0,25 VII a Tìm số nguyên dương n biết điểm n +1 2 k k k n +1 n +1 = C n +1 − C n +1x + C n +1x − + (−1) C n +1x + − C n +1x * Xét (1 − x) (1) * Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: 0,25 − (2 n + 1)(1 − x)2 n = −C 12 n +1 + 2C 22 n +1x − + (−1)k kC 2k n +1x k −1 + − (2 n + 1)C 22 nn ++11x n (2) Lại lấy đạo hàm hai vế (2) ta có: n(2n + 1)(1 − x)2 n −1 = 2C 22 n + − 3C 32 n + 1x + + (− 1)k k( k − 1)C 2k n + 1x k − + − 2n(2 n + 1)C 22 nn ++ 11x n −1 Thay x = vào đẳng thức ta có: k n −1 2n +1 −2n(2n + 1) = 2C 22n +1 − 3.2.2C 32n +1 + + (−1)k k(k − 1)2 k −2 C 2n C 2n +1 +1 + − 2n(2n + 1)2 VIb.1 Phương trình cho ⇔ n(2 n + 1) = 40200 ⇔ 2n + n − 20100 = ⇔ n = 100 Viết phương trình tắc E líp (H) có tiêu điểm F1 ( − 5;0 ); F2 ( 5;0 ) Hình chữ nhật sở (H) có đỉnh M( 4; 3), x y2 + = ( với a > b) a b2 (1) (E) có hai tiêu điểm F1 ( − 5;0 ); F2 ( 5;0) ⇒ a − b2 = 52 Giả sử phương trình tắc (E) có dạng: M ( 4;3) ∈ ( E ) ⇔ 9a + 16b = a b 2 Vậy phương trình tắc (E) là: VIb 0,25 0,25 điểm 0,25 0,25 ( 2) a = + b a = 40 ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ:  2 2 9a + 16b = a b b = 15 0,25 x y2 + =1 40 15 Tìm điểm M thuộc ∆ để AM ngắn 0,25 0,25 điểm  x = 2t −  Chuyển phương trình d dạng tham số ta được:  y = t − z = t +  0,25 Gọi I giao điểm (d) (P) ⇒ I ( 2t − 3; t − 1; t + 3) Do I ∈ ( P ) ⇒ 2t − + 2(t − 1) − (t − 3) + = ⇔ t = ⇒ I ( − 1;0;4 ) * (d) có vectơ phương a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến n(1;2;−1) [ ] ⇒ a, n = ( − 3;3;3) Gọi u vectơ phương ∆ ⇒ u( − 1;1;1) x = − u  ⇒ ∆ : y = u Vì M ∈ ∆ ⇒ M ( − − u; u;4 + u ) , ⇒ AM(1 − u; u − 3; u ) z = + u  0,25 0,25 AM ngắn ⇔ AM ⊥ ∆ ⇔ AM ⊥ u ⇔ AM.u = ⇔ −1(1 − u) + 1(u − 3) + 1.u = ⇔u= VIIb 0,25  − 16  Vậy M ; ;   3 3 Giải hệ phương trình: điểm 23x +1 + y − = 3.2 y + 3x (1)   3x + + xy = x + (2) x + ≥  x ≥ −1 ⇔ Phương trình (2) ⇔   x(3x + y − 1) = 3x + + xy = x +  x ≥ −1 x =   ⇔  x = ⇔   x ≥ −1 3 x + y − =  y = − x  0,25 * Với x = thay vào (1) + y − = 3.2 y ⇔ + y = 12.2 y ⇔ y = 8 ⇔ y = log 11 11 0,25  x ≥ −1 thay y = – 3x vào (1) ta được: x +1 + −3 x −1 = 3.2 y = − x  Đặt t = x +1 Vì x ≥ −1 nên t ≥  t = − ( lo¹ i ) x = log + − (3) ⇔ t + = ⇔ t − 6t + = ⇔  ⇔ t y = − log (3 + ) t = +  * Với  [ ( [ ( 0,25 ) ] ) ]  x =  x = log + − Vậy hệ phương trình cho có nghiệm   y = log  y = − log (3 + ) 11  0,25 ...Câu I Dáp án đè 23 Nội dung Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số 1) Hàm số có TXĐ: R { 2} 2) Sự biến thi n hàm số: a) Giới hạn vô cực đường tiệm cận: y = −∞;... đứng đồ thị hàm số y = lim y = ⇒ đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số * xlim →+∞ x →−∞ b) Bảng biến thi n: − + Ta có: y' = Điểm 1,00 0,25 0,25 < 0, ∀x ≠ ( x − 2) Bảng biến thi n: x -∞ +∞... = −15 ⇒ d : 3x + y − = Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y − = d : x − 3y − = VIa Xác định tâm bán kính đường tròn Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25