TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

GIỚI THIỆUTUYỆT PHẨM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN(chuyên đề nâng cao)Các em học sinh thân mến, nội dung hình học không gian trong đề thi THPT quốc gia môn toán có thể nói nó nằm trong hệ thống câu hỏi phân loại, tuy không khó bằng các nội dung phân loại khác (hình tọa độ phẳng Oxy, HPTPTBPT, BĐTminmax) nhưng cũng không hề đơn giản.Theo như phản hồi của không ít học sinh thì đây là nội dung mà các em thường hay lúng túng, thường các em hay gặp khó khăn khi xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, tính góc giữa 2 đường thẳng, xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện …, thậm chí có em gặp khó khăn ngay từ khâu vẽ hình, tính thể tích khối đa diện và xác định yếu tố giả thiết của bài toán trên hình vẽ…Vấn đề nan giải của các em đó là khi đọc lời giải có sẵn thì hiểu nhưng cho tự làm một bài khác thì lại … bó tay Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất vấn đề, chưa biết phân biệt dạng toán và kỹ thuật (hoặc mẹo) để giải quyết dạng toán đó, chưa biết cách đưa từ LẠ về QUEN.Với mong muốn góp phần nhỏ công sức và đồng hành cùng các em trong kỳ thi sắp tới, thầy biên soạn cuốn tài liệu TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (chuyên đề nâng cao) này, hy vọng tài liệu sẽ giúp ích tích cực cho các em học sinh chăm học và mong muốn đỗ ĐH với điểm số cao. Tài liệu này thầy biên soạn chọn lọc, không vòng vo mà đi thẳng vào trọng tâm của vấn đề kiến thức chủ chốt thường gặp trong thi cử. Phần đầu sẽ là tổng hợp các lý thuyết trọng tâm và kỹ thuật giải, phần 2 sẽ là các bài tập minh họa có lời giải chi tiết, hình vẽ rõ ràng, tương tự như bài tập trong đề thi thật của BGD, quét đầy đủ các dạng toán và kỹ thuật cần thiết.Thầy tin rằng nếu các em đã có kiến thức cơ bản mà các thầy cô dạy trên lớp đồng thời kết hợp với việc học theo tài liệu này thì câu HHKG sẽ là “chuyện nhỏ” trong kỳ thi sắp tới. Chúc các em thành công Thầy giáo: Nguyễn Hữu Biển

CẨM NANG CHO MÙA THI TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN S K (P) M H ∆ NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien GIỚI THIỆU TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (chuyên đề nâng cao) Các em học sinh thân mến, nội dung hình học không gian đề thi THPT quốc gia môn toán nói nằm hệ thống câu hỏi phân loại, không khó nội dung phân loại khác (hình tọa độ phẳng Oxy, HPT-PT-BPT, BĐT-min-max) không đơn giản Theo phản hồi không học sinh nội dung mà em thường hay lúng túng, thường em hay gặp khó khăn xác định khoảng cách đường thẳng chéo nhau, tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, tính góc đường thẳng, xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện …, chí có em gặp khó khăn từ khâu vẽ hình, tính thể tích khối đa diện xác định yếu tố giả thiết toán hình vẽ… Vấn đề nan giải em đọc lời giải có sẵn hiểu cho tự làm khác lại … bó tay ! Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề, chưa biết phân biệt dạng toán kỹ thuật (hoặc mẹo) để giải dạng toán đó, chưa biết cách đưa từ LẠ QUEN Với mong muốn góp phần nhỏ công sức đồng hành em kỳ thi tới, thầy biên soạn tài liệu TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (chuyên đề nâng cao) này, hy vọng tài liệu giúp ích tích cực cho em học sinh chăm học mong muốn đỗ ĐH với điểm số cao Tài liệu thầy biên soạn chọn lọc, không vòng vo mà thẳng vào trọng tâm vấn đề kiến thức chủ chốt thường gặp thi cử Phần đầu tổng hợp lý thuyết trọng tâm kỹ thuật giải, phần tập minh họa có lời giải chi tiết, hình vẽ rõ ràng, tương tự tập đề thi thật BGD, quét đầy đủ dạng toán kỹ thuật cần thiết Thầy tin em có kiến thức mà thầy cô dạy lớp đồng thời kết hợp với việc học theo tài liệu câu HHKG “chuyện nhỏ” kỳ thi tới Chúc em thành công ! Thầy giáo: Nguyễn Hữu Biển Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 Phần 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG * Phương pháp 1: d a c¾t b   a;b ⊂ (P)  ⇒ d ⊥ (P) d ⊥ a;d ⊥ b  b a P * Phương pháp 2: d d' d / /d '   ⇒ d ⊥ (P) d' ⊥ (P) P * Phương pháp 3: P (P) ⊥ (Q) = ∆   ⇒ d ⊥ (Q) d ⊂ (P),d ⊥ ∆  d Q ∆ * Phương pháp 4: ∆ (P) ∩ (Q) = ∆   (P) ⊥ (R)  ⇒ ∆ ⊥ (R)  (Q) ⊥ (R)  Q P R Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 2) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG d d ⊥ (P) ⇒d⊥a a ⊂ (P)  a P 3) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG d Q d ⊥ (P)   ⇒ (P) ⊥ (Q) d ⊂ (Q) P 4) XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG a) Định nghĩa góc đường thẳng cắt Cho a ∩ b = M ta có góc tạo thành Góc có số đo bé gọi góc a đường thẳng a b Ký hiệu: a; b ( ) Chú ý: - Nếu a ≡ b ⇒ a; b = 00 ( ) - Nếu a ⊥ b ⇒ ( a; b ) = 90 Nếu gọi α = ( a; b ) ≤ α ≤ 90 α M 0 b ⇒ < cosα ≤ b) Các phương pháp xác định góc hai đường thẳng chéo * Phương pháp 1: Để xác định góc đường thẳng chéo a b ta làm sau: - Kẻ a '/ /a, b '/ /b cho a '∩ b ' = M Khi α = a; b = a '; b ' ( ) ( ) a a' α M b' b Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 * Phương pháp 2: Để xác định góc đường thẳng chéo a b ta làm sau: - Từ điểm M a ta kẻ đường thẳng b '/ /b Khi α = a; b = a; b ' ( ) ( ) a α M b' b 5) CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG * Phương pháp 1: Giả sử ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ , (P) dựng a ⊥ ∆ M, (Q) dựng b ⊥ ∆ M Khi ta có (( P ) ; (Q )) = (a; b ) (Q) b (P) a α M ∆ * Phương pháp 2: Nếu a ⊥ (P), b ⊥ (Q) (( P ) ; (Q )) = (a; b ) a b (Q) α (P) M α ∆ Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 * Phương pháp 3: Nếu ∆ABC hình chiếu ∆SBC , α góc tạo mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng (ABC) xác định công thức cosα = S∆ABC (công thức hình chiếu diện tích) S∆SBC S A C α B 6) CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG HM ⊥ (P) H ∈ (P) a) Định nghĩa: Cho mặt phẳng (P) điểm M ∉ (P) Khi d ( M; (P) ) = MH ⇔  M H (P) b) Các phương pháp xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng * Phương pháp 1: Để xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) ta làm sau: - Tìm mặt phẳng (Q) chứa M (Q) ⊥ (P) = ∆ - Kẻ MH ⊥ ∆ H Khi d ( M; (P) ) = MH (Q) M ∆ (P) H Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 * Phương pháp 2: Để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) ta tính thông qua thể tích khối chóp M.ABC sau: VM.ABC = d(M; (ABC)).S∆ABC ⇒ d(M; (ABC)) = 3.VM.ABC S∆ABC M A B C c) Một số lưu ý tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng * Lưu ý 1: Nếu MN / /(P) d ( M; (P) ) = d ( N;(P) ) M N (P) * Lưu ý 2: Nếu tia MN cắt (P) A d ( M;(P) ) d ( N;(P) ) = MA NA M N A (P) * Lưu ý 3: Ngoài phương pháp tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) trình bày phương pháp phổ biến để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ta thường thông qua khoảng cách từ chân đường vuông góc đến mặt phẳng cần tính theo mô hình mẫu sau đây: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 S K (P) M H ∆ - Xây dựng mặt phẳng chứa M vuông góc (P) cách: từ M kẻ MH ⊥ ∆ H ⇒ ( SAM ) ⊥ (P) theo giao tuyến SM - Kẻ MK ⊥ SM K ⇒ MK ⊥ ( P ) ⇒ d ( M; ( P ) ) = MK 7) PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU a) Định nghĩa đoạn vuông góc chung đường thẳng chéo MN gọi ĐOẠN vuông góc chung đường thẳng chéo ∆1 ∆ MN ⊥ ∆1  ⇔ MN ⊥ ∆  M ∈ ∆1 , N ∈ ∆ ∆1 M N ∆2 b) Định nghĩa khoảng cách đường thẳng chéo - Khoảng cách đường thẳng chéo d d’ độ dài đoạn vuông góc chung - Ký hiệu d ( ∆1 ; ∆ ) = MN c) Phương pháp xác định khoảng cách đường thẳng chéo Để tính khoảng cách đường thẳng chéo ∆1 ∆ , trước hết ta phải tìm mặt phẳng (P) chứa đường thẳng, không tính tổng quát ta giả sử (P) chứa ∆ Khi đó, toán tính khoảng cách đường thẳng chéo ∆1 ∆ ta đưa trường hợp sau đây: * Trường hợp 1: ∆1 ⊥ (P) M, ta dựng MN ⊥ ∆ N ⇒ MN đoạn vuông góc chung ∆1 ∆ ⇒ d ( ∆1 ; ∆ ) = MN (Trường hợp thường mặt phẳng (P) cho sẵn) Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 ∆1 ∆2 M P N * Trường hợp 2: ∆1 / /(P) , khoảng cách đường thẳng ∆1 ∆ khoảng cách từ điểm M ∆1 đến mặt phẳng (P) ⇒ d ( ∆1 ; ∆ ) = d ( M; ( P ) ) = MH (Trường hợp thường mặt phẳng (P) chưa cho sẵn mà phải tự xây dựng) M ∆1 ∆2 H P 8) PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN a) Thể tích khối chóp (khối tứ diện): V = (diện tích đáy) (đường cao) b) Thể tích khối lăng trụ (khối hình hộp): V = (diện tích đáy) (đường cao) c) Công thức tỉ số thể tích (công thức SIMSON) Cho hình chóp S.ABC, SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ ta có: VS.A 'B'C' SA ' SB ' SC ' = VS.ABC SA SB SC S A' C' B' A C B Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 * Lưu ý: Các tính chất hình chóp - Đáy đa giác (tam giác đều, hình vuông, …) - Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy - Góc cạnh bên mặt đáy - Góc mặt bên mặt đáy - Tất cạnh bên 9) PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP - LĂNG TRỤ a) Phương pháp chung: - Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp giao điểm trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy với mặt phẳng trung trực cạnh bên - Tâm đường mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng trung điểm đoạn thẳng nối tâm đáy lăng trụ A' C' O2 B' I A C O1 B b) Các trường hợp thường gặp * Trường hợp 1: Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh góc vuông - Nếu hình chóp S.ABCD có SAC = SDC = SBC = 900 tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SC S.ABCD trung điểm SC, bán kính R = S I A D B C Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 B' C' D' A' H K E B C I A D * Ý 1: tính thể tích khối chóp A’IKD + Ta có hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm I AB ⇒ A 'I ⊥ ( IDK ) ⇒ A ' I đường cao khối chóp A’IKD ⇒ thể tích khối chóp A’IKD V = A ' I.S∆IKD + ∆A ' IA vuông I ⇒ A ' I = A ' A − AI2 = + S∆IDK a 3a a3 = SABCD − ( S∆AID + S∆BIK + S∆CDK ) = ⇒ V = A ' I.S∆IKD = (đvtt) 16 * Ý 2: tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A’DK) + Gọi E = IC ∩ DK ⇒ KD ⊥ IE (xem cách chứng minh đề 13 câu 7), mà KD ⊥ A ' I ⇒ KD ⊥ ( A 'AE ) ⇒ ( A 'DK ) ⊥ ( A 'IE ) theo giao tuyến A’E , kẻ IH ⊥ A ' E H ⇒ IH ⊥ ( A 'DK ) ⇒ IH = d ( I; (A 'DK ) 1 1 3a = + = + ⇒ IH = 2 IH IA ' IE  a   2.S∆IKD     KC      Bài 25: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác AB = 3a , hình chiếu vuông góc C’ lên mặt phẳng (ABC) điểm D thuộc đoạn BC cho DC = 2.DB Góc AC’ mặt phẳng (ABC) 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ cosin góc + ∆A ' IE vuông I, đường cao IH ⇒ đường thẳng BB’ AD Phân tích hướng dẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 47 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 B' A' C' B D 450 3a A C * Ý 1: tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ + Do hình chiếu vuông góc C’ lên mặt phẳng (ABC) điểm D thuộc đoạn BC ⇒ góc AC’ mặt phẳng (ABC) C ' AD = 450 , mà C’D đồng thời đường cao khối lăng trụ ABC.A’B’C’ ⇒ thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ V = C ' D.S∆ABC ( 3a ) = C ' D + Áp dụng định lý hàm số cosin ∆BAD có: 2 AD = BA + BD − 2.BA.BD.cos60 = a ⇒ V = C ' D.S∆ABC * Ý 2: tính cosin góc đường thẳng BB’ AD + Do AA '/ /BB' ⇒ cos BB'; AD = cos AA '; AD ( ) ( ( 3a ) = C ' D 9a 21 = ) + Áp dụng định lý hàm số cosin ∆AA ' D có : AA '2 + AD − A ' D 11a + 7a − 16a = = > ⇒ A ' AD góc nhọn 2.AA '.AD 2.a 11.a 77 ⇒ AA '; AD = A ' AD ⇒ cos AA '; AD = cosA ' AD = 77 cos A ' AD = ( ) ( ) Bài 26: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh a, I trung điểm BC D điểm đối xứng A qua I Trên đường thẳng vuông góc với (P) D lấy điểm S cho a Gọi H hình chiếu I SA Tính góc tạo mặt phẳng (SAB) (SAC), tính theo a thể tích khối chóp H.ABC SD = Phân tích hướng dẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 48 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 S a H a a C A I D a a B * Ý 1: tính góc tạo mặt phẳng (SAB) (SAC) + Ta có (SAB ) ∩ (SAC ) theo giao tuyến SA + Do BC ⊥ AD , BC ⊥ SD (do SD ⊥ ( ABC ) ⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SA SA ⊥ HB ⇒ SA ⊥ BC , SA ⊥ IH ⇒ SA ⊥ (HBC) ⇒  SA ⊥ HC ⇒ góc tạo mặt phẳng (SAB) (SAC) BHC HI AI + Ta có: ∆AHIδ∆ADS (g-g) ⇒ = SD AS a a + Mà SD = ; AI = ; ⇒ AS = AD + SD = 2 (a ) 2 a 6 3a +   =   AI.DS a a a = SD = = AS 2 3a 2 a ⇒ ∆HBC có IH = IB = IC = ⇒ ∆HBC vuông H ⇒ BHC = 900 ⇒ HI = * Ý 2: tính theo a thể tích khối chóp H.ABC + Ta có: VH.ABC = VS.ABC − VS.HBC a a2 a3 = (đvtt) + SH đường cao hình chóp S.HBC ⇒ VS.HBC = SH.S∆BCH a a + ∆IHC có IH = IC = , HC = ⇒ ∆IHC vuông cân I 2 ⇒ ∆IHB vuông cân I + Mà VS.ABC = SD.S∆ABC = Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 49 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 a 1  a  a2 (đvdt) ⇒ HB = HC = ⇒ S∆BHC = HB.HC =   = 2   a  a2 a 2 + ∆AHB vuông H ⇒ AH = BA − BH = a −  a = − =  2   ⇒ SH = SA − AH = 2 3a a 2a a a3 − = = a ⇒ VS.HBC = a = 2 12 2 Vậy: V H.ABC = VS.ABC − VS.HBC = a3 a3 a3 − = (đvtt) 12 24 Bài 27: Cho hình chóp S.ABC có AB = a , AC = 2a , ACB = 300 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Kẻ AM ⊥ SB M AN ⊥ SC N Biết góc tạo mặt phẳng (AMN) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.AMN Phân tích hướng dẫn S 600 N M 2a A C 300 a B + Áp dụng định lý hàm số cosin ∆ABC ta có AB2 = AC + BC2 − 2.AC.BC.cos300 ⇒ BC = a ⇒ AC = AB2 + BC = 4a ⇒ ∆ABC vuông B BC ⊥ BA   ⇒ BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ SA  + Ta có AM ⊥ SB , AM ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB) ) ⇒ AM ⊥ (SBC ) ⇒ ⇒ SC ⊥ AM , mà SC ⊥ AN ⇒ SC ⊥ ( AMN ) (1) , có SA ⊥ (SAB) (2) + Từ (1) (2) ta có SC;SA vec tơ pháp tuyến mặt phẳng (AMN) (ABC) nên góc tạo mặt phẳng (AMN) (ABC) góc tạo SC;SA , mà ASC góc nhọn (do ∆SAC vuông A) ⇒ ASC = 600 góc tạo mặt phẳng (AMN) (ABC) Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 50 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 + Áp dụng công thức SIMSON ta có - Ta có S∆ABC = BA.BC = VS.AMN SM SN = (*) VS.ABC SB SC a2 AC 2a a3 , SA = = ⇒ V = SA.S = S.ABC ∆ABC tan 600 3 - Tính SB = SA + AB2 = a 4a ;SC = SA + AC2 = 3 SM  SA  - ∆SAB vuông S, đường cao AM ⇒ SA = SM.SB ⇒ =  = SB  SB  2 - Tương tự có SN  SA  =  = SC  SC  4 Thay kết vừa tính vào (*) ta có VS.AMN = VS.ABC = a3 (đvtt) 21 * Nhận xét: Ở câu để xác định góc mặt phẳng ta sử dụng đến phương pháp xác đinh góc vec tơ pháp tuyến tương ứng chúng (đây phương pháp đặc biệt mà ta ý tới) Để tính thể tích ta sử dụng công thức tỉ số thể tích (công thức SIMSON) Bài 28: Cho khối chóp S.ABC có (SAC ) ⊥ ( ABC ) ,SA = AB = a, AC = 2a, ASC = ABC = 900 Tính thể tích khối chóp S.ABC cosin góc mặt phẳng (SAB) (SBC) Phân tích hướng dẫn S a a K 2a A C H a a B * Ý 1: tính thể tích khối chóp S.ABC + Do (SAC ) ⊥ ( ABC ) theo giao tuyến AC ⇒ kẻ SH ⊥ AC H ⇒ SH ⊥ (ABC) ⇒ SH đường cao khối chóp S.ABC ⇒ thể tích khối chóp S.ABC V = SH.S∆ABC (1) 2 2 - Ta có ∆ABC vuông B ⇒ S∆ABC = BA.BC = a ( 2a ) − a = a - Lại có ∆ASC vuông S, đường cao SH Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 51 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 ⇒ 1 1 a = + = 2+ ⇒ SH = 2 SH SA SC a ( 2a ) − a - Thay kết vào (1) ⇒ V = SH.S∆ABC = a3 (đvtt) * Ý 2: tính cosin góc mặt phẳng (SAB) (SBC) + Do (SAB ) ∩ (SBC ) theo giao tuyến SB nên ta kẻ AK ⊥ SB K ⇒ K trung điểm SB (do ∆SAB cân A), mà ∆SCB cân C nên CK trung tuyến đồng thời đường cao ⇒ CK ⊥ SB ⇒ góc tạo mặt phẳng (SAB) (SBC) góc tạo đường thẳng AK CK KA + KC − AC + Áp dụng định lý hàm số cosin ∆AKC có: cos AKC = (2) 2.KA.KC - Mà ∆SAB có AK trung tuyến ⇒ AK = AS + AB2 SB2 a + a SH + HB2 − = − 4 a 3   + HB 2 1 a a 10 a +a   ⇒ AK = − , mà = + ⇒ HB = ⇒ AK = 2 2 HB BA BC a 42 thay kết vừa tính vào (2) ta có - Tương tự ta tính CK = 105 cos AKC = > ⇒ AKC góc nhọn 35 105 Vậy cosin góc mặt phẳng (SAB) (SBC) 35 Bài 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang nội tiếp đường tròn đường kính AD, BC / /AD , AD = 2a , AB = BC = CD = a , SA ⊥ ( ABCD ) , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) a Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách đường thẳng BI SC (I trung điểm AD) Phân tích hướng dẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 52 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 S H a E A I K a D a B a C * Ý 1: tính thể tích khối chóp S.ABCD (hình thang ABCD nội tiếp đường tròn nên hình thang cân) + Do SA ⊥ ( ABCD ) nên SA đường cao khối chóp S.ABCD ⇒ thể tích khối chóp S.ABCD V = SA.SABCD (1) + Ta có ABCD hình thang nội tiếp đường tròn đường kính AD nên DC ⊥ AC mà DC ⊥ SA (do SA ⊥ ( ABCD ) ) ⇒ DC ⊥ (SAC) ⇒ (SCD) ⊥ (SAC) theo giao tuyến SC, từ A kẻ AH ⊥ SC H ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ AH khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) ⇒ AH = a 1 1 = + = + + Ta có ∆SAC vuông A, đường cao AH ⇒ 2 2 AH SA AC SA AD − DC2 ⇒ SA = a + Kẻ CK ⊥ AD K, BE ⊥ AD E ⇒ EK = BC = a ⇒ AE = DK = ⇒ SABCD = ( BC + AD ) CK = a a a ⇒ CK = CD2 − DK = 2 3a + Thay kết vừa tính vào (1) ⇒ V = SA.SABCD = (đvtt) (chú ý: gọi I trung điểm AD thi ta tính SABCD = 3.S∆AIB , ∆AIB , ∆BIC , ∆CID tam giác cạnh a) * Ý 2: tính khoảng cách đường thẳng BI SC + Ta thấy mặt phẳng (SCD) chứa SC song song với BI ⇒ d ( BI;SC ) = d ( I; (SCD) ) Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 53 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 A I a D H (SCD) + Mà d ( I; (SCD) ) d ( A; (SCD) ) = d ( I; (SCD) ) DI a = ⇒ = ⇒ d ( I;(SCD) ) = DA 2 a Bài 30: Cho hình chóp S.ABC có đáy (ABC) với AB = a, AC = 2a, BAC = 1200 Gọi G1 ;G a trọng tâm ∆ABC ∆SBC , G1G = Hình chiếu S mặt phẳng (ABC) G1 , góc tạo đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) α Tính thể tích khối chóp G1G BC góc tạo đường thẳng G1G AB Phân tích hướng dẫn S C G2 A G1 H I B * Ý 1: tính thể tích khối chóp G1G BC + Ta có SG1 ⊥ ( ABC ) ⇒ góc tạo đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) SAG1 = α + Gọi I trung điểm BC ⇒ IG1 IG GG = = ⇒ G1G / /SA ⇒ = ⇒ SA = a IA IS SA Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 54 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 + Kẻ G H ⊥ AI H ⇒ G H / /SG1 , mà SG1 ⊥ ( ABC ) ⇒ G H ⊥ ( ABC ) ⇒ G H đường cao khối chóp G1G BC ⇒ thể tích khối chóp G1G BC V = G H.S∆BG C (1) + Ta có G H IG G 2H a = = ⇔ = ⇔ G H = sin α SG1 IS SA.sin α 3 1 a2 + Do G1 trọng tâm ∆ABC ⇒ S∆BG1C = S∆ABC = AB.AC.sin120 = 3 a 3.sin α + Thay kết vừa tính vào (1) ⇒ V = G H.S∆BG1C = (đvtt) 54 * Ý 2: tính góc tạo đường thẳng G1G AB ( ) ( + Do G1G / /SA ⇒ G1G ; AB = SA; AB ) + Áp dụng định lý hàm số cosin ∆SAB có : cos SAB = AS2 + AB2 − SB2 a + a − 3a = = − < ⇒ SAB = 1200 góc tù 2.AS.AB 2.a.a ⇒ góc tạo đường thẳng G1G AB 1800 − 1200 = 600 Bài 31: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, ACB = 600 , góc tạo đường thẳng BC’ mặt phẳng (AA’C’C) 300 Tính thể tích khối đa diện C’A’B’BA tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Phân tích hướng dẫn B' C' 300 I A' B 600 C a A * Ý 1: tính thể tích khối đa diện C’A’B’BA + Ta tích khối đa diện C’A’B’BA V = VABC.A 'B'C' − VC'.ABC 2 ⇒ V = CC '.S∆ABC − CC '.S∆ABC = CC '.S∆ABC = CC ' .AB.AC (1) 3 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 55 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 + Ta có AB = AC.tan 600 = a , CC ' = C 'A − AC = C 'A − a + Do BA ⊥ BC , BA ⊥ CC ' (do CC ' ⊥ ( ABC ) ) ⇒ BA ⊥ ( AA 'C 'C ) ⇒ góc tạo đường thẳng BC’ mặt phẳng (AA’C’C) BC ' A = 300 ⇒ C ' A = tính vào (1) ⇒ V = AB = 3a ⇒ CC ' = 2a , thay kết vừa tan 300 2a * Ý 2: tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ + Nhận thấy điểm B’, A’, A, C nhìn đoạn BC’ cố định góc vuông ⇒ A, B, C, A ', B ', C ' nằm mặt cầu đường kính BC’ ⇒ mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ có tâm trung điểm I BC’, bán kính R = BC ' a 12 = = 2 Bài 32: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ tất cạnh a Gọi M, N, P trung điểm BC, CC’, A’C’, gọi I giao điểm AC PN Tính thể tích khối tứ diện IAMP khoảng cách từ A tới mặt phẳng (PMI) Phân tích hướng dẫn I B M C H 300 N A E B' C' P A' * Ý 1: tính thể tích khối tứ diện IAMP + Ta có A ' P / /(ABC) , A 'A ⊥ ( ABC ) ⇒ A’A đường cao khối tứ diện IAMP ⇒ thể tích 3 khối tứ diện IAMP VI.AMP = VP.AMI = A ' A.S∆AMI = a S∆AMI (1) a AI (2) 2 IC CN a 3a + Gọi H trung điểm AC ⇒ CN / /PH ⇒ = = ⇒ IC = ⇒ AI = AC + CI = IH PH 2 2 3 3a 3a Thay AI vào (2) ⇒ S∆AMI = , thay tiếp vào (1) ⇒ VI.AMP = (đvtt) 16 16 + Mà S∆AMI = AM.AI.sin 300 = * Ý 2: tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (PMI) Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 56 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 a3 = d ( A; (IMP) ) S∆IMP (3) 16 + Ta có MN trung tuyến ∆IMP ⇒ S∆IMP = 2.S∆MPN = .NE.MP (trong NE đường cao + Từ ý ta có: VAIMP = d ( A; (IMP) ) S∆IMP ⇔ ∆MPN ), a a MP = PH + HM = a +   = , 2 mà NE = NP − PE ⇒ NE = ( a a 15  PM  C 'P + C ' N −  ⇒ S = = ∆IMP    ) thay kết vừa 3a 10 Bài 33: Cho lăng trụ đứng ABCA' B' C ' có đáy ABC tam giác cân A, BC = a; AA' = a , cos(BA' C ) = Tính thể tích lăng trụ ABCA' B ' C ' tính góc đường thẳng A' B với mặt phẳng ( AA' C ' C ) tính vào (3) ⇒ d ( A;(IMP) ) = Phân tích hướng dẫn a B C H A a C' B' A' * Ý 1: Tính thể tích khối lăng trụ ABCA' B' C ' - Ta có V = AA'.S ∆ABC = a S ∆ABC - Đặt AB = AC = x > , cos(BÂ ' C ) = Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 57 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 2 ( ) ( ) ( ) ( ) A' B + A' C − BC x2 + a + x2 + a − a2 ⇒ = ⇔ = ⇔x=a 2 A' B A' C 6 2 x + a x + a a2 a3 ⇒ ∆ABC ⇒ S ∆ABC = Vậy V = 4 * Ý 2: Tính góc đường thẳng A' B với mặt phẳng ( AA' C ' C ) - Do (BAC ) ⊥ ( AA' C ' C ) theo giao tuyến AC nên ta kẻ AH ⊥ AC ⇒ AH ⊥ ( AA' C ' C ) ⇒ góc tạo đường thẳng A' B với mặt phẳng ( AA' C ' C ) góc BA' H a BH - ∆A' BH vuông H ⇒ sin BA' H = ⇒ BA ' H = 300 = = A' B a Bài 34: Cho hình chóp S.ABC có mặt ( ABC ) (SBC ) tam giác cạnh a Góc mặt phẳng (SBC ) ( ABC ) 60 Hình chiếu vuông góc S xuống mặt phẳng ( ABC ) nằm ∆ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC ) theo a Phân tích hướng dẫn S C A 60 M B * Ý 1: Tính thể tích khối chóp S.ABC - Ta có (SBC ) ∩ ( ABC ) theo giao tuyến BC - Từ A kẻ AM ⊥ BC M ⇒ M trung điểm BC (do ∆ABC ) ⇒ SM trung tuyến ∆SBC ⇒ SM đồng thời đường cao ∆SBC (do ∆SBC ) Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 58 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 ⇒ SM ⊥ BC ⇒ góc mặt phẳng (SBC ) ( ABC ) góc SMA = 60 - Ta có BC ⊥ SM ; BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM ) - Thể tích khối chóp S.ABC : V = VB.SAM + VC SAM 1 1 ⇒ V = BM S ∆SAM + CM S ∆SAM = BC.S ∆SAM = a.S ∆SAM 3 3 a , mà góc SMA = 60 ⇒ ∆SAM - Ta có: SM = AM = 2 ⇒ S ∆SAM a 3 a3 3 3.a  V =  = ⇒ =  16 16   * Ý 2: Tính khoảng cách từ B đến (SAC) theo a C a a S A H a3 3 3.V SAC 16 - Ta có: d (B; (SAC )) = B = S ∆SAC S ∆SAC - ∆SAC cân C có: CS = CA = a; SA = a - Gọi CH đường cao ∆SAC a 3 a 13  = ⇒ H trung điểm SA ⇒ CH = SC − SH ⇒ CH = a −     2 a 13 a a 39 3a 13 ⇒ S ∆SAC = = ⇒ d (B; (SAC )) = 16 13 Bài 35: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA' B' C ' có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 30 Gọi M trung điểm BC I trung điểm AM Biết hình chiếu I lên mặt đáy ( A' B' C ') trọng tâm ∆A' B' C ' Tính thể tích khối chóp A A' B' C ' khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABB 'A ') Phân tích hướng dẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 59 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 A C I M B 300 A' C' K H G M' B' * Ý 1: Tính thể tích khối chóp A A' B' C ' - Kẻ AH ⊥ A' M ' H (M’ trung điểm B' C ' ) ⇒ AH // IG ⇒ AH ⊥ ( A' B' C ') (do IG ⊥ ( A' B' C ') ) ⇒ AH đường cao khối chóp A A' B ' C ' ⇒ Thể tích khối chóp A A' B ' C ' V = 1 a2 AH S ∆A'B 'C ' = AH 3 - Do AH ⊥ ( A' B' C ') ⇒ góc tạo cạnh bên AA’ với mặt đáy AH AA ' H = 300 ⇒ tan 30 = (1) A' H I A A' H G ( A' B' C ') góc M M' - Ta có AIGH hình bình hành nên: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 60 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 AM A' M ' = 2 ⇒ A' H = A' M '− HM ' = A' M '−(HG + GM ') ⇒ HG = AI = a a  A' M ' A' M '  A' M ' ⇒ A' H = A' M '− + = = =  6 12  a 3 a a3 Thay vào (1) ⇒ AH = = Vậy V = 12 12 144 * Ý 2: Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABB ' A') A A' K B' - Do CC’// ( ABB' A') ⇒ d (C ; ( ABB' A')) = d (C ' ; ( ABB' A')) = d ( C '; ( AA ' B ') ) = 3.VC'.( AÂ 'B') S∆AB'A ' = a 3 144 S∆AA 'B' Kẻ đường cao AK ∆AA' B ⇒ A' B' ⊥ AK , A' B' ⊥ AH ⇒ A' B ' ⊥ ( AHK ) ⇒ A' B ' ⊥ HK ⇒ ∆A' KH vuông K, góc HA' K = 30 ⇒ A' H = 2.HK ⇒ HK = ⇒ d (C ' ; ( AA' B ')) = a ⇒ AK = 24 AH + HK = a a2 ⇒ S ∆AÂ 'B ' = AK A' B ' = 12 24 a HẾT PHẦN Đón đọc tiếp phần Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 61 [...].. .Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 * Trường hợp 2: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau - Nếu hình chóp S.ABC có SA = SB = SC thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau: d S ∆ H I A B O C * Trường hợp 3: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy - Nếu hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được... Trường hợp 4: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy - Nếu hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC) thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 9 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 d1 S d2 I O2 A C O1 B * Trường hợp 5: Hình chóp có đáy là nửa lục giác đều - Nếu hình chóp S.ABCD... cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD được xác định như sau: S H I A D O C B * Trường hợp 6: Hình chóp có đáy là tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 900 - Nếu hình chóp S.ABCD có ABC + ABD = 900 thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD được xác định như sau: S H I D A O C B Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 10 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang... Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a 3 , ∆SAC vuông tại S Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của AI Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảnh cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAB) Phân tích và hướng dẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 14 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm... https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 27 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a , AD = a 3 , góc giữa mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng 600 , ∆SAB cân tại S thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM Phân tích và... chú ý tới tính chất hình học rất quan trọng sau Tính chất 1: Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của cạnh AB, BC của hình vuông ABCD ⇒ AN ⊥ DM Hướng dẫn chứng minh: + Ta có ∆ABN = ∆DAM(c − g − c) ⇒ A1 = D1 + Mà D1 + M1 = 900 ⇒ A1 + M1 = 900 ⇒ ∆AHM vuông tại H ⇒ AN ⊥ DM Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 29 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho... https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 23 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 + Gọi K = SI ∩ MN ⇒ SBCNM a  a 15  a +   (BC + NM).IK  3a 2 15 3a 3 2 4 = = = ⇒ VABCNM = 2 2 16 16 * Ý 2: tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) + Gọi F là trung điểm của AB, ta có CF ⊥ AB a 3  ⇒ CF ⊥ (SAB) ⇒ CF = d ( C; (SAB) ) = CF ⊥ SA  2 Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A... ) Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 D B C S P Gọi (P) là mặt phẳng chứa SC và (P) song song với BD ⇒ (P) qua S và có vec tơ pháp tuyến là  a 2 2 2 3a 2 2    n = SC; BD  =  ;a ;  2   2 ⇒ (P) có phương trình 2x + 2y + 3 2z − 3 2a = 0 ⇒ d ( BD,SC ) = d ( B, (P) ) = a (các bạn tự tính 3 toán để kiểm tra lại đáp số nhé) Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình. .. MH (TH này thường (P) chưa cho sẵn) Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 12 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 M ∆1 ∆2 H P * Vận dụng vào ý 2 của bài đang xét ta thấy bài toán sẽ áp dụng giải theo TH2 (do trên hình không có sẵn 1 mặt phẳng (P) chứa 1 trong 2 đường và vuông góc với đường còn lại) * Để vận dụng TH2 ta sẽ tạo ra mặt phẳng... https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 28 Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 + Từ phương trình (1) ta dễ dàng có được IH = a 91 a 1699 thay vào (*) có R = 6 3 24 3 Nhận xét: Ý 2 bài này để tính được bán kính của mặt cầu ta cần chú ý tới công thức diện tích tam AB.BC.AC ” 4R Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a Điểm M a thuộc ...GIỚI THIỆU TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (chuyên đề nâng cao) Các em học sinh thân mến, nội dung hình học không gian đề thi THPT quốc gia môn toán nói nằm hệ thống câu hỏi phân loại, không khó... liệu TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (chuyên đề nâng cao) này, hy vọng tài liệu giúp ích tích cực cho em học sinh chăm học mong muốn đỗ ĐH với điểm số cao Tài liệu thầy biên soạn chọn lọc, không. .. https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Tuyệt phẩm: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - cẩm nang cho mùa thi 2016 * Lưu ý: Các tính chất hình chóp - Đáy đa giác (tam giác đều, hình vuông, …) - Chân đường cao trùng