Chương 4 dầm trên nền đàn hồi

Chương 4, dầm trên nền đàn hồi

Nội dung

9.1 Khái niệm và các giả thiết.

9.2 Phương trình vi phân đường đàn hồi của dầm trên nền đàn hồi

9.3 Tính dầm dài vô hạn 9.4 Dầm dài hữu hạn

9.2.1 Khái niệm

Dầm đàn hồi: dầm đặt trên một môi trường hoặc một vật thể đàn hồi

khác

Ví dụ: dầm móng đặt trên nền đất, phà chuyển tải nằm trên mặt nước,…

Mô hình của Winkler: quan niệm nền là một hệ vô số các lòxo (các lò xo này không liên kết với nhau)

Ví dụ: xét một dầm thẳng đặt trên một nền đàn hồi nào đó có các ngoại

lực tác dụng lên dầm thì các lò xo sẽ xuất hiện những phản lực tỷ lệ với

độ võng của dầm

Dầm đặt trên nền đàn hồi Mô hình hóa

9.1.2 Các giả thiết

GT 1: Nếu khoảng cách giữa các lò xo rất nhỏ, các phản lực là các

phản lực phân bố mà cường độ qk của nó tỷ lệ với độ võng y của dầm:

qk = -χ.y

Trong đó: χ là hệ số đàn hồi (nền), phụ thuộc vào độ cứng và mật

độ của lò xo Dấu (-) thể hiện phản lực ngược chiều độ võng y

GT 2: Đối với dầm đặt trên mặt nước, dầm có mặt cắt ngang chữ nhật

thì phản lực của nước tác dụng lên mỗi mặt cắt của dầm tỷ lệ với độ sâu của dầm chìm trong nước

Dầm có mặt cắt chữ nhật

đặt trên mặt nước Mô hình hóa

y: độ võng, θ: góc xoay, M: mô men, Q: lực cắt, q: lực phân bố tại mặt cắt có độ võng y, E: mô đun đàn hồi của vật liệu dầm, Jx: mô men quán tính của MCN lấy đối với trục x

Dầm trên nền đàn hồi giá trị lực phân bố là tổng đại số của ngoại

lực phân bố q và phản lực phân bố qk, ký hiệu là qA

Ta có: qA = q – qk = -EJxyIV => q = qk – EJxyIV = -χy - EJxyIV (Vì qk = -χ.y) Đặt χ/EJx = 4k4 => PTVP đường đàn hồi của dầm trên nền đàn hồi:

yIV+ 4k4y = -q/EJx (*) Nếu lực phân bố ngoại lực không có thì : yIV+ 4k4y = 0 (**)

Nghiệm của phương trình (*): Nghiệm tổng quát pt (**)

y* Nghiệm riêng nào đó pt (*)

=> y = ekz(C1sinkz + C2coskz) + e-kz(C3sinkz + C4coskz)

C1;C2;C3;C4 : Các hằng số được xác định theo điều kiện biên

9.3 Tính dầm dài vô hạn

9.3.1 Dầm dài vô hạn (Dầm dài vô hạn đặt

trên nền đàn hồi chịu một lực tập trung P)

Ta có: y = ekz(C1coskz + C2sinkz) + e-kz(C3coskz + C4sinkz)

Dầm dài vô hạn xem P đặt giữa, xét nửa

dầm có z ≥ 0 (nửa kia lấy đối xứng qua P)

* Ở điểm xa lực P: z rất lớn thì có thể xem độ võng y =0=> C1 = C2 = 0

=>y = e-kz(C3coskz + C4sinkz)

•Ta có: y’(0) = φ(0) = 0 và Q(z=0) =P/2 =>C3 = C4 = P/8k3EJx = kP/2χ

Trong đó: được tra theo bảng

Bảng giá trị

Biểu đồ

- Các biểu đồ có dạng tuần hoàn

và tắt dần theo chiều z, chu kì

của nó z = 2Π/k

- Nếu độ võng max tại điểm lực P

tác dụng là ymax = kP/2χ ,thì sau

chu kì z = 2Π/k độ võng là y =

(kP/2χ).η0(2Π) ≈ 0,02kP/2χ =>Ở

toạ độ z = 2Π/k độ võng chỉ còn

lại 2% độ võng ở nơi P tác dụng

- Dầm chịu lực tập chung P ở

điểm giữa coi là dài vô hạn khi

độ dài của dầm l = 2z = 4Π/k

Chú ý

Dầm có nhiều lực tập chung tác

dụng vẫn sử dụng kết quả trên

đối với mỗi lực tập chung sau đó

áp dụng nguyên lý công tác dụng

trọng phân bố đều)

- Độ võng tại điểm A nào đó bằng

tổng độ võng do các tải trọng phân

bố qdz , ta có:

- Khi các khoảng cách a, b tương đối lớn => e-ka , e-kb ≈ 0 =>y = q/χ

=> Độ võng ở xa miền đặt lực sẽ không đổi

9.3.2.1.Điểm nghiên cứu trong

phạm vi tác dụng của tải trọng.

9.3.2.2 Điểm nghiên cứu ở ngoài phạm vi tác dụng của tải trọng.

Trong đó:

a, b lần lượt là khoảng cách từ

điểm nghiên cứu đến đầu phía phải

và đầu phía trái của tải trọng phân

bố

Trong đó:

a,b lần lượt là khoảng cách từ điểm nghiên cứu đến điểm đầu và điểm cuối miền tải trọng phân bố (a<b)

Trước biểu thức Q và θ lấy (+) nếu điểm nghiên cứu nằm bên phải tải trọng và (−) nếu điểm nghiên cứu nằm ở bên trái của tải trọng

nhiều lực tập trung và tải trọng phân bố đều)

Thường hợp này vẫn sử dụng kết quả trên đối với mỗi lực tập chung

và mỗi tải trọng phân bố đều sau đó áp dụng nguyên lý công tác

dụng

Bài tập

9.4 Dầm dài hữu hạn

Nghiệm của pt (*) có dạng:

y = C1sinkz.Shkz + C2sinkz.chkz + C3coskz.Shkz + C4coskz.chkz

Đặt

Y1,Y2,Y3,Y4 là các hàm Krưlov có trị số tra bảng và có tính chất:

Y1 (0) =1;Y2(0)=Y3(0)=Y4(0)=0

xác định từ điều kiện biên của dầm (tại z=0)

M(0) = M0 ;Q(0) = P0 ; q(0) = q0

=>

q0; q’

0 đã biết, 2 trong 4 g.trị y0;θ0;M0;Q0 sẽ

biết do đầu bài và 2 gtrị còn lại xác định

theo điều kiện biên ở cuối dầm khi z = 1

Dầm hữu hạn đoạn i+1

a-Tọa độ ranh giới đoạn I và i+1

ΔYa; Δθa; Δqa; Δq’

a;ΔMa; ΔQa: Bước nhảy của độ võng, góc xoay, cường độ

và đạo hàm của lực phân bố, mô men tập chung, lực tập chung tại z = a

Giá trị hệ số nền χ

Các đại lượng ΔYa; Δθa; Δqa; Δq’

a;ΔMa; ΔQa có thể tồn tại cả và cũng có thể có một số đại lượng nào đó vắng mặt, ta xem giá trị các đại lượng đó bằng 0