Khai thác bài toán tìm cực trị

http://violet.vn/tbadanh Một số phương pháp giải toán tìm cực trị biểu thức A - Lời mở đầu: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức loại toán tương đối khó, có nhiều dạng có nhiều phương pháp giải Trong trình dạy học bậc THCS, hệ thống số phương pháp giải thường gặp để truyền đạt cho học sinh buổi học bổ trợ kiến thức Giúp học sinh lớp có cách nhìn tương đối tổng thể dạng toán Hôm xin trao đổi bạn đồng nghiệp B - Nội dung: I - Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức: 1/ Khái niệm: a/ Cho biểu thức f ( x, y, ) xác định miền D Ta nói K giá trị lớn f ( x, y, ) D nếu: * Với x, y, thuộc D f ( x, y , ) K với K số * Tồn x0 , y , thuộc D cho f ( x , y , ) K b/ Cho biểu thức f ( x, y, ) xác định miền D Ta nói K giá trị nhỏ f ( x, y, ) D nếu: + Với x, y, thuộc D f ( x, y , ) K với K số + Tồn x0 , y , thuộc D cho f ( x , y , ) K 2/ Cách tìm giá trị lớn biểu thức f ( x, y, ) + Tìm TXĐ (nếu cần) + Chứng minh f ( x, y , ) K TXĐ ( K số) + Chỉ f ( x, y , ) = K x = x ; y = y ; + Trả lời PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ( x 0, y TXĐ) http://violet.vn/tbadanh 3/ Cách tìm giá trị nhỏ biểu thức f ( x, y, ) + Tìm TXĐ (nếu cần) + Trên TXĐ, chứng minh f ( x, y , ) K ( K số) + Chỉ f ( x, y , ) = K x = x ; y = y ; ( x 0, y TXĐ) + Trả lời II - Một số phương pháp cụ thể để giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: 1/ Phương pháp dùng tam thức bậc hai: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) biểu thức sau a/ P = 3x 12 x + a/ Q = x + 16 x 15 Giải: a/ P = 3x 12 x + = 3( x x + 4) = 3( x 2) Min P = x = hay Min P = x = b/ Q = x + 16 x 15 = 2( x x + 16) + 17 = 2( x 4) + 17 17 Max Q = 17 x = hay Max Q = 17 x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ A = 6x 9x Giải: 2 = x x + (3 x 1) + 1 2 Vì (3 x 1) + nên A 2 (3 x 1) + 4 (3x 1) + 4 1 Vậy Min A = 3x = x = Ta có: A = 2/ Phương pháp chia khoảng để tìm cực trị: Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x 2001 | + | x | PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Giải: * Xét khoảng x < x < x 2001 < Do B = 2001 x + x = 2002 x Vì x < nên x > x + 2002 > + 2002 Hay B = x + 2002 > 2000 * Xét khoảng x 2001 x x 2001 Do B = x + 2001 + x = 2000 (2) * Xét khoảng x > 2001 x 2001 > x > Do B = x 2001 + x = x 2002 Vì x > 2001 nên x > 4002 x 2002 > 4002 2002 Hay B = x 2002 > 2000 (3) So sánh: (1), (2), (3) ta Min B = 2000 x 2001 Nhận xét cách làm: x < x < x x > x > 2001 x 2001 > x > 2001 Cuối xét: 3/ Phương pháp đổi biến tìm cực trị biến mới: Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ A = x( x 3)( x 4)( x 7) Giải: A =[x( x 7)] [( x 3)( x 4)] = ( x x ) ( x x + 12) = ( x x + 6) ( x x + + 6) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Đặt x x + = y A = ( y 6)( y + 6) = y 36 36 x = Min A = 36 y = x x + = x = Vậy Min A = 36 x = x = Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn A = x + x Giải: TXĐ: x Đặt x = y ( y 0) Ta có y = x x = y A = + y + y = ( y y 2) 9 y ( y )2 = 4 Max A = y = y = (Thoả mãn y 0) 2 x = x = x = 4 Vậy Max A = x= 4 Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ A = x + y + xy biết x + y = Giải: Ta có A = ( x + y )( x xy + y ) + xy Do x + y = nên A = x xy + y + xy = x + y 2 Đặt x = + a y = a (vì x + y = 1) 2 4 Ta có A = x + y = ( + a ) + ( a) = + a + a + a + a = 2a + Min A = (Thuộc TXĐ) 1 2 1 a=cx= y= 2 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Ví dụ 7: Tìm giá trị A = 3x x + x2 2x + Giải: TXĐ: x 3x x + 3) x + + 3( x 1) 2( x 1) + = = + 2 x ( x 1) ( x 1) ( x 1) Đặt y = A = y + y = ( y 1) + x 1 Min A = y = y = = x = thuộc TXĐ) x A= Vậy Min A = x = 4/ Phương pháp xét biểu thức phụ: Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức Giải: Biểu thức A có nghĩa x + | x | Vậy TXĐ: | x | Với | x | dễ thấy x > A > Do A > nên ta xét biểu thức B = = x2 A Ta có: x x2 x2 x2 Hay B * MinB = x = x = thuộc TXĐ) Khi MaxA = = 2+ L ( 3) = 2+ * MaxB = x = x = thuộc TXĐ) Khi MinA = Vậy (Thuộc TXĐ) MaxA = + x = x = MinA = x = PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com A= x2 http://violet.vn/tbadanh 5/ Phương pháp phân tích biểu thức dạng tổng đại số luỹ thừa bậc chẵn: Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ A = x x + 10 x x + 15 Giải: A = ( x x + x ) + ( x x + 9) + = ( x 3x ) + ( x 3) + x 3x = x( x 3) = Min A = x=3 x = x = Vậy Min A = x = 6/ Phương pháp miền giá trị (hay gọi đưa phương trình bậc hai sử dụng điều kiện ) x2 x +1 Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x + x +1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị m phương trình ẩn x sau có nghiệm x2 x +1 m= x + x +1 (1) Do x + x + nên (1) mx + mx + m = x x x + (m 1) x + (m + 1) x + (m 1) = (2) Trường hợp 1: Nếu m = phương trình (2) có nghiệm x = Trường hợp 2: Nếu m phương trình (2) có nghiệm (m + 1) 4(m 1)1 (m + 2m + 2)(m + + 2m 2) (3 m)(3m 1) (Học sinh tự giải) m (m 1) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Nếu m = m = = phương trình (2) có nghiệm kép là: m= Nếu m = (m + 1) m +1 = 2(m 1) 2(1 m) x = ; Nếu m = x = (học sinh tự tính) x =1 Max A = x = Min A = Gộp trường hợp ta có: x2 x +1 (Đoạn ;3 tập giá trị hàm số A = x + x +1 7/ Phương pháp áp dụng bất đẳng thức x + y x + y Giải VD cách 2: áp dụng bất đẳng thức ta có: B = x = 2001 + x = x 2001 + x x 2001 + x = 2000 B 2000 Min B = 2000 ( x 2001)(1 x ) x 2001 8/ Phương pháp áp dụng bất đẳng thức A A; Dấu = xẩy A0 Giải VD cách 3: Ta có x 2001 = 2001 x 2001 x Dấu = xẩy 2001 x x 2001 x x Dấu = xẩy x x Do ta có B = x 2001 + x 2001 x + x = 2000 B 2000 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh x 2001 x Dấu = xẩy x 2001 Vậy MinB = 2000 x 2001 9/ Phương pháp bất đẳng thức cô si: 9.1/ Bất đẳng thức cô si với số không âm: Với a 0; b a + b ab (1) Dấu = xẩy a = b * Bất đẳng thức cô si mở rộng n không âm Với a1 , a a n a1 + a + a n n n a1 , a an Dấu = xẩy a1 , a a n * Với số dương a, b từ bất đẳng thức (1) suy * Nếu ab = k (không đổi) Min (a + b) = K a = b * Nếu ab = k (không đổi) Max (ab) = k2 a=b * Kết mở rộng với n số không âm * Nếu a1 , a an = K (không đổi) Min (a1 + a + + a n ) = n n K a1 = a = = a n * Nếu a1 , a an = K (không đổi) n k Max (a1 a a n ) = a1 = a = = a n n * Vận dụng bất đẳng thức cô si ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số biểu thức 9.2/ Ví dụ 11: Cho x > 0; y > thoả mãn điều kiện 1 + = x y Tìm giá trị nhỏ A = x + y PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Giải: Vì x > 0; y > nên 1 > 0; > 0; x > 0; y > x y Vận dụng bất đẳng thức cô si hai số dương 1 ta được: x y 1 1 1 1 1 + ì ì( + ) x y x y xy x y xy Vận dụng bất đẳng thức cô si số dương A= x+ y x xy y ta được: x y = (dấu = xẩy x = y = 4) Vậy Min A = x = y = * Không phải lúc ta dùng trực tiếp bất đẳng thức cô si số đề Dưới ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để vận dụng bất đẳng thức cô si tìm cực trị 9.3/ Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn biểu thức A = 3x + 3x Giải: ĐKXĐ: x 3 A = (3 x 5) + (7 x) + x 5).(7 3x ) + (3x + x)4 Dấu = xẩy x = x x = Vậy Max A = Max A = x = * Nhận xét phương pháp giải: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Biểu thức A cho dạng tổng thức Hai biểu thức lấy có tổng không đổi (bằng 2) Vì vậy, ta bình phương biểu thức Đến vận dụng bất đẳng thức cô si: ab a + b 9.4/ Biện pháp 2: Nhân chia biểu thức với số khác Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn biểu thức A = x9 5x Giải: x9 ĐKXĐ x9 + x + x x9 = A= = = 5x 5x 5x 10 x 30 Dấu = xẩy Vậy Max A = x9 = x = 18 x = 18 30 * Nhận xét phương pháp giải: Trong giải trên, x biểu diễn thành tổng số x9 thuận lợi x9 + = x rút gọn cho x mẫu (Số lấy 3 bậc hai số 9) 9.5/ Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số 1/ Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử 3x + 16 Ví dụ 14: Cho x > , tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 Giải: 16 16 = x + x + x + 4.4 x.x.x 16 = 4.2 = x3 x x 16 A Dấu = xẩy x = x = x A = 3x + Vậy Min A = x = 10 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh * Nhận xét: Hai số dương x 16 có tích số Muốn khử x3 x từ phải có x.x x = x ta phải biểu diễn x = x + x + x dùng bất đẳng thức cô si với số dương 2/ Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho (có thể sai khác số) Ví dụ 15: Cho < x < Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 9x + x x Giải: 9x x 9x x + + +1 = +1 = 2x x 2x x 9x 2x = x= (Thoả mãn điều kiện) A Dấu = xẩy 2x x Vậy Min A = x = A= * Nhận xét: Trong cách giải ta tách nghịch đảo với 2 x x thành tổng + Hạng tử x x x x nên vận dụng bất đẳng thức cô si ta tích chúng x số 9.4/ Biện pháp 4: Thêm hạng tử vào biểu thức cho Ví dụ 16: Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + + y+z z+x x+ y Giải: áp dụng BĐT cô si hai số dương x2 y+z + 2ì y+z x2 y+z x ì = =x y+z 11 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com x2 y+z ta được: y+z (1) http://violet.vn/tbadanh y2 z+x + y z+x Tương tự (2) z2 x+ y + z x+ y (3) x2 y2 z2 y + z + z + x + z + y + x+ y+z + + y+z z+x x+ y Vậy P+ x+ y+z x+ y+ z P x+ y+z x+ y+ z = =1 2 P Dấu = xẩy x = y = z = * Nhận xét: Ta thêm x2 y+z vào hạng tứ thứ có đầu để vận y+z dụng bất đẳng thức cô si khử y + z y+z có mẫu để cộng lại có x + y + z 2( x + y + z ) ì = = = (đề cho x + y + x = 2) 4 Và ta chọn Dấu đẳng thức xẩy đồng thời (1),(2), (3) x = y = z = Nếu ta thêm ( y + z), ( x + x ), ( x + y ) vào x2 y2 z2 ; ; ta y+z z+x x+ y khử ( y + z), ( x + x ), ( x + y ) điều quan trọng không tìm giá trị x, y, z để dấu đẳng thức xẩy đồng thời, không tìm giá trị nhỏ P 10/ Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ 17: Tìm giá trị lớn A = x (3 x ) với x Giải: a/ Xét x Trong khoảng x không âm) x x 2 Ta viết: A = .(3 x ) 12 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh áp dụng bất đẳng thức cô si cho số không âm x x ; (3 x) ta có: 2 x + x +3 x x x (3 x ) 2 = Do A 2 (1) b/ Xét x> x < nên A < (2) x = x So sánh (1) (2) ta kết luận Max A = x Hay Max A = x = * Nhận xét: cách giải ta áp dụng phương pháp chia khoảng để tìm cực trị phương pháp dùng bất đẳng thức cô si Ta hiểu với số không âm a, b, c a + b + c 3.3 a.b.c a+b+c nên a.b.c Học sinh nên hiểu bất đẳng thức cô si vận dụng linh hoạt theo hai chiều ngược để thuận lợi giải toán C - Lời kết: Quả thật có nhiều phương pháp giải toán tìm cực trị biểu thức biểu thức yêu cầu tìm cực trị thật đa dạng Tôi cố gắng tìm nhiều ví dụ để học sinh thấy có phương pháp áp dụng cho nhiều kiểu Chẳng hạn phương pháp đổi biến, tìm cực trị biến dùng cho biểu thức đa thức bậc cao (VD4), biểu thức chưa (VD5), biểu thức phân (VD7); toán cho điều kiện ràng buộc ẩn (VD6) Đặc biệt phương pháp dùng bất đẳng thức cô si, ứng dụng thật rộng rãi Đồng thời học sinh nhận thấy có toán có nhiều cách giải (VD3: Phương pháp + + 8) Và có toán cần phối hợp nhiều cách để giải VD 17) Thực tế giảng dạy cho thấy: Sau truyền đạt kỹ chuyên đề này, học sinh hiểu kỹ, hiểu sâu linh hoạt nhiều giải toán tìm cực trị biểu thức Mong muốn giúp học sinh học tập tốt nâng cao tay nghề thân Thật hân hạnh bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung cho viết hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 13 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh 14 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com [...]... khoảng để tìm cực trị và phương pháp dùng bất đẳng thức cô si Ta hiểu với 3 số không âm a, b, c thì a + b + c 3.3 a.b.c a+b+c nên a.b.c 3 3 Học sinh nên hiểu bất đẳng thức cô si có thể vận dụng linh hoạt theo hai chiều ngược nhau để thuận lợi trong giải toán C - Lời kết: Quả thật có rất nhiều phương pháp giải bài toán tìm cực trị của một biểu thức và các biểu thức được yêu cầu tìm cực trị cũng... rộng rãi Đồng thời học sinh cũng nhận thấy được có những bài toán có rất nhiều cách giải (VD3: Phương pháp 2 + 7 + 8) Và cũng có những bài toán cần phối hợp nhiều cách để giải VD 17) Thực tế giảng dạy cho tôi thấy: Sau khi được truyền đạt kỹ về chuyên đề này, học sinh hiểu kỹ, hiểu sâu hơn và linh hoạt hơn rất nhiều khi giải bài toán tìm cực trị của một biểu thức Mong muốn của tôi là giúp học sinh... thức được yêu cầu tìm cực trị cũng thật là đa dạng Tôi đã cố gắng tìm nhiều ví dụ để học sinh thấy được rằng có những phương pháp được áp dụng cho rất nhiều kiểu bài Chẳng hạn như phương pháp đổi biến, tìm cực trị đối với biến mới có thể dùng cho biểu thức là đa thức bậc cao (VD4), biểu thức chưa căn (VD5), biểu thức phân (VD7); bài toán cho điều kiện ràng buộc của ẩn (VD6) Đặc biệt là phương pháp... vào 2 3 x2 y2 z2 ; ; thì ta cũng y+z z+x x+ y khử được ( y + z), ( x + x ), ( x + y ) nhưng điều quan trọng là không tìm được giá trị của x, y, z để dấu đẳng thức xẩy ra đồng thời, do đó không tìm được giá trị nhỏ nhất của P 10/ Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ 17: Tìm giá trị lớn nhất của A = x 2 (3 x ) với x 0 Giải: a/ Xét 0 x 3 Trong khoảng này 3 x không âm) x x 2 2 Ta có thể viết:... dụng bất đẳng thức cô si ta được tích của chúng 2 x là một hằng số 9.4/ Biện pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho Ví dụ 16: Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 2 x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + y+z z+x x+ y Giải: áp dụng BĐT cô si đối với hai số dương x2 y+z + 2ì y+z 4 x2 y+z x ì = =x y+z 4 2 11 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com... y+z x+ y+ z 2 = 2 =1 2 2 P 1 Dấu = xẩy ra x = y = z = 2 3 * Nhận xét: Ta đã thêm x2 y+z vào hạng tứ thứ nhất có trong đầu bài để khi vận 4 y+z dụng bất đẳng thức cô si có thể khử được y + z y+z có mẫu là 4 để khi cộng lại có 4 2 x + 2 y + 2 z 2( x + y + z ) 2 ì 2 = = = 1 (đề bài cho x + y + x = 2) 4 4 4 Và ta chọn Dấu đẳng thức xẩy ra đồng thời trong (1),(2), (3) khi và chỉ khi x = y = z = Nếu ta... chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho (có thể sai khác một hằng số) Ví dụ 15: Cho 0 < x < 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 9x 2 + 2 x x Giải: 9x 2 x 9x 2 x + + 1 2 +1 = 2 9 +1 = 7 2x x 2x x 9x 2x 1 = x= (Thoả mãn điều kiện) A 7 Dấu = xẩy ra 2x x 2 1 Vậy Min A = 7 khi và chỉ khi x = 2... rất nhiều khi giải bài toán tìm cực trị của một biểu thức Mong muốn của tôi là giúp học sinh học tập tốt hơn và nâng cao tay nghề của bản thân Thật hân hạnh được các bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung cho bài viết được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn! 13 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh 14 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ... biểu thức để vận dụng bất đẳng thức cô si tìm cực trị 9.3/ Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn biểu thức A = 3x + 3x Giải: ĐKXĐ:... chiều ngược để thuận lợi giải toán C - Lời kết: Quả thật có nhiều phương pháp giải toán tìm cực trị biểu thức biểu thức yêu cầu tìm cực trị thật đa dạng Tôi cố gắng tìm nhiều ví dụ để học sinh... y ) điều quan trọng không tìm giá trị x, y, z để dấu đẳng thức xẩy đồng thời, không tìm giá trị nhỏ P 10/ Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ 17: Tìm giá trị lớn A = x (3 x ) với x