Vai toan ve cuc tri

A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Xuất phát từ yêu cầu của Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học môn toán ở trường THCS Hiệu trưởng trường THCS Đức Hòa, và nhóm toán trường chúng tôi đã bàn bạc, thảo luận biên soạn chủ đề: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số”, nhằm dạy cho đối tượng học sinh khá giỏi và dạy tự chọn cũng như phục vụ cho việc giảng dạy học tập hằng ngày. Đây là một trong những mảng kiến thức khó của toán học phổ thông cơ sở mà các em thường gặp một số ít trong sách giáo khoa. Khi gặp các bài tập dạng này, học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu phải giải như thế nào? Với mong muốn giúp các em làm quen và nắm được cách giải toán dạng này, tôi biên soạn thành một chuyên đề để các em tham khảo và có một kĩ năng nhất định khi giải toán dạng này. B. CƠ SỞ KHOA HỌC: - Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: 2 a b ab + ≥ ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”. + Bất đẳng thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ac bd a b c d+ ≤ + + (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c d = . + a b a b+ ≥ + ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0. + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Nếu [ ] 2 ( )y a f x= + thì min y = a khi f(x) = 0. Nếu [ ] 2 ( )y a f x= − thì max y = a khi f(x) = 0. + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2). 1 C. NỘI DUNG: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI • Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức: a) 2 4 4 11A x x= + + b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) 2 2 2 4 7C x x y y= − + − + Giải: a) ( ) 2 2 2 4 4 11 4 4 1 10 2 1 10 10A x x x x x= + + = + + + = + + ≥ ⇒ Min A = 10 khi 1 2 x = − . b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x 2 + 5x – 6)(x 2 + 5x + 6) = (x 2 + 5x) 2 – 36 ≥ -36 ⇒ Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5. c) 2 2 2 4 7C x x y y= − + − + = (x 2 – 2x + 1) + (y 2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1) 2 + (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ⇒ Min C = 2 khi x = 1; y = 2. Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức: a) A = 5 – 8x – x 2 b) B = 5 – x 2 + 2x – 4y 2 – 4y Giải: a) A = 5 – 8x – x 2 = -(x 2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4) 2 + 21 ≤ 21 ⇒ Max A = 21 khi x = -4. b) B = 5 – x 2 + 2x – 4y 2 – 4y = -(x 2 – 2x + 1) – (4y 2 + 4y + 1) + 7 = -(x – 1) 2 – (2y + 1) 2 + 7 ≤ 7 ⇒ Max B = 7 khi x = 1, 1 2 y = − . Bài toán 3: Tìm GTNN của: a) 1 2 3 4M x x x x= − + − + − + − b) ( ) 2 2 1 3 2 1 2N x x= − − − + 2 Giải: a) 1 2 3 4M x x x x= − + − + − + − Ta có: 1 4 1 4 1 4 3x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 hay 1 4x≤ ≤ 2 3 2 3 2 3 1x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 hay 2 3x≤ ≤ Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 3x≤ ≤ . b) ( ) 22 2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2N x x x x= − − − + = − − − + Đặt 2 1t x= − thì t ≥ 0 Do đó N = t 2 – 3t + 2 = 2 3 2 1 ( ) 4 t − − 1 4 N⇒ ≥ − . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 3 0 2 2 t t− = ⇔ = Do đó 1 4 N = − khi 3 5 2 1 3 3 2 4 2 1 3 1 2 2 2 1 2 4 x x t x x x   − = =   = ⇒ − = ⇒ ⇒     − = − = −     Vậy min 1 5 4 4 N x= − ⇔ = hay 1 4 x = − . Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x 3 + y 3 . Giải: M = x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2 ) = x 2 - xy + y 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy x y   = + + − + = + + −  ÷   2 2 1 ( ) 2 M x y⇒ ≥ + Ngoài ra: x + y = 1 ⇒ x 2 + y 2 + 2xy = 1 ⇒ 2(x 2 + y 2 ) – (x – y) 2 = 1 => 2(x 2 + y 2 ) ≥ 1 Do đó 2 2 1 2 x y+ ≥ và 2 2 1 1 2 2 x y x y+ = ⇔ = = Ta có: 2 2 1 ( ) 2 M x y≥ + và 2 2 1 1 1 1 ( ) . 2 2 2 4 x y M+ ≥ ⇒ ≥ = Do đó 1 4 M ≥ và dấu “=” xảy ra 1 2 x y⇔ = = Vậy GTNN của 1 1 4 2 M x y= ⇔ = = 3 Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x 2 – y 2 + 1) 2 + 4x 2 y 2 – x 2 – y 2 = 0. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x 2 + y 2 . Giải: (x 2 – y 2 + 1) 2 + 4x 2 y 2 – x 2 – y 2 = 0 ⇔ [(x 2 + 1) – y 2 ] 2 + 4x 2 y 2 – x 2 – y 2 = 0 ⇔ x 4 + 2x 2 + 1 + y 4 – 2y 2 (x 2 + 1) + 4x 2 y 2 – x 2 – y 2 = 0 ⇔ x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 + x 2 – 3y 2 + 1 = 0 ⇔ x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 - 3x 2 – 3y 2 + 1 = -4x 2 ⇔ (x 2 +y 2 ) 2 -3(x 2 +y 2 )+1=-4x 2 Đặt t = x 2 + y 2 . Ta có: t 2 – 3t + 1 = -4x 2 Suy ra: t 2 – 3t + 1 ≤ 0 2 2 3 9 5 2. . 0 2 4 4 3 5 3 5 2 4 2 2 5 3 5 2 2 2 3 5 3 5 2 2 t t t t t t ⇔ − + − ≤   ⇔ − ≤ ⇔ − ≤  ÷   ⇔ − ≤ − ≤ − + ⇔ ≤ ≤ Vì t = x 2 + y 2 nên : GTLN của x 2 + y 2 = 3 5 2 + GTNN của x 2 + y 2 = 3 5 2 − Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca. Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 , , 1a b c≤ ≤ ) Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0 Vậy GTNN của P = 0 4 Theo giả thiết ta có: 1 – a ≥ 0; 1 – b ≥ 0; 1 – c ≥ 0; ⇒ (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc ≥ 0 ⇒ P = a + b + c – ab – bc – ac 1 1abc≤ − ≤ Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý [ ] 0;1∈ Vậy GTLN của P = 1. Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x + y. Giải: Ta có: (x + y) 2 + (x – y) 2 ≥ (x + y) 2 ⇔ 2(x 2 + y 2 ) ≥ (x + y) 2 Mà x 2 + y 2 = 1 ⇒ (x + y) 2 ≤ 2 2 2 2x y x y⇔ + ≤ ⇔ − ≤ + ≤ - Xét 2x y+ ≤ Dấu “=” xảy ra 2 2 2 x y x y x y =   ⇔ ⇔ = =  + =   - Xét 2x y+ ≥ − Dấu “=” xảy ra 2 2 2 x y x y x y =  −  ⇔ ⇔ = =  + = −   Vậy x + y đạt GTNN là 2− 2 2 x y − ⇔ = = . Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 27. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx. Giải: Ta có: (x – y) 2 + (x – z) 2 + (y – z) 2 ≥ 0 ⇔ 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2yz - 2zx ≥ 0 ⇒ (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 +2(xy + yz + zx) ≤ 3(x 2 + y 2 + z 2 ) ≤ 81 ⇒ x + y + z ≤ 9 (1) Mà xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 27 (2) Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx ≤ 36. Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3. Đặt A = x + y + z và B = x 2 + y 2 + z 2 5 2 2 ( 1) 1 1 2 2 2 2 A B A B B P A − + + + ⇒ = + = − ≥ − Vì B ≤ 27 ⇒ 1 2 B + − ≥ -14 ⇒ P ≥ -14 Vậy min P = -14 khi 2 2 2 1 27 x y z x y z + + = −   + + =  Hay 13; 13; 1x y z= − = = − . Bài toán 9: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 . Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = (x 4 + 1)(y 4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy. Giải: Ta có: P = (x 4 + 1)(y 4 + 1) = (x 4 + y 4 ) + (xy) 4 + 1 Đặt t = xy thì: x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy = 10 – 2t x 4 + y 4 = (x 2 + y 2 ) 2 – 2x 2 y 2 = (10 – 2t) 2 – 2t 2 = 2t 2 – 40t + 100 Do đó: P = 2t 2 – 40t + 100 + t 4 + 1 = t 4 + 2t 2 – 40t + 101 = (t 4 – 8t 2 + 16) + 10(t 2 – 4t + 4) + 45 = (t 2 – 4) 2 + 10(t – 2) 2 + 45 45P ⇒ ≥ và dấu “=” xảy ra ⇔ x + y = 10 và xy = 2. Vậy GTNN của P = 45 ⇔ x + y = 10 và xy = 2. Bài toán 10: Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x 2 + y 2 . Giải: Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2 – x Do đó: A = x 2 + y 2 = x 2 + (2 – x) 2 = x 2 + 4 – 4x + x 2 = 2x 2 – 4x + 4 = 2( x 2 – 2x) + 4 = 2(x – 1) 2 + 2 ≥ 2 Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1. 6 Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của: 2 4 3 1 x y x + = + . Giải: * Cách 1: 2 2 2 4 3 ax 4 3 1 1 x x a y a x x + − + + − = = + + + Ta cần tìm a để 2 ax 4 3x a− + + − là bình phương của nhị thức. Ta phải có: 1 ' 4 (3 ) 0 4 a a a a = −  ∆ = + − = ⇔  =  - Với a = -1 ta có: 2 2 2 2 4 3 x 4 4 ( 2) 1 1 1 1 1 x x x y x x x + + + + = = − + = − + + + + 1.y⇒ ≥ − Dấu “=” xảy ra khi x = -2. Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. - Với a = 4 ta có: 2 2 2 2 4 3 -4x 4 1 (2 1) 4 4 4 1 1 1 x x x y x x x + + − − = = + = − ≤ + + + Dấu “=” xảy ra khi x = 1 2 . Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1 2 . * Cách 2: Vì x 2 + 1 ≠ 0 nên: 2 2 4 3 yx 4 3 0 1 x y x y x + = ⇔ − + − = + (1) y là một giá trị của hàm số ⇔ (1) có nghiệm - Nếu y = 0 thì (1) 3 4 x⇔ = − - Nếu y ≠ 0 thì (1) có nghiệm ⇔ ' 4 ( 3) 0y y∆ = − − ≥ ( 1)( 4) 0y y⇔ + − ≤ 1 0 4 0 y y + ≥  ⇔  − ≤  hoặc 1 0 4 0 y y + ≤   − ≥  1 4y⇔ − ≤ ≤ Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1 2 . 7 Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: 2 2 1 1 x x A x x − + = + + . Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: 2 2 1 1 x x a x x − + = + + (1) Do x 2 + x + 1 = x 2 + 2. 1 2 .x + 2 1 3 1 3 0 4 4 2 4 x   + = + + ≠  ÷   Nên (1) ⇔ ax 2 + ax + a = x 2 – x + 1 ⇔ (a – 1)x 2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2) • Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0. • Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 0 ∆ ≥ , tức là: 2 ( 1) 4( 1)( 1) 0 ( 1 2 2)( 1 2 2) 0 1 (3 1)( 3) 0 3( 1) 3 a a a a a a a a a a a + − − − ≥ ⇔ + + − + − + ≥ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ≠ Với 1 3 a = hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là ( 1) 1 2( 1) 2(1 ) a a x a a − + + = = − − Với 1 3 a = thì x = 1 Với a = 3 thì x = -1 Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có: GTNN của 1 3 A = khi và chỉ khi x = 1 GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1 Bài toán 3: a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 4 ( 1)( )A a b a b a b = + + + + + . b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 1 1 1 2 3m n + = . Tìm GTLN của B = mn. Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a 2 và b 2 2 2 2 2 2 2 2a b a b ab+ ≥ = = (vì ab = 1) 2 2 4 4 4 ( 1)( ) 2( 1) 2 ( ) ( )A a b a b a b a b a b a b a b a b ⇒ = + + + + ≥ + + + = + + + + + + + + Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và 4 a b+ . 8 Ta có: (a + b) + 4 4 2 ( ). 4a b a b a b ≥ + = + + Mặt khác: 2 2a b ab+ ≥ = Suy ra: 4 2 ( ) ( ) 2 4 2 8A a b a b a b ≥ + + + + + ≥ + + = + Với a = b = 1 thì A = 8 Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1. b) Vì 1 1 1 2 3m n + = nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương. Ta có: 1 1 1 3(2 ) 2 (2 3)( 3) 9 2 3 m n mn m n m n + = ⇔ + = ⇔ − − = Vì m, n ∈ N * nên n – 3 ≥ -2 và 2m – 3 ≥ -1. Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra: + 2 3 1 2 3 9 12 m m n n − = =   ⇔   − = =   và B = mn = 2.12 = 24 + 2 3 1 3 3 3 6 m m n n − = =   ⇔   − = =   và B = mn = 3.6 = 18 + 2 3 9 6 3 1 4 m m n n − = =   ⇔   − = =   và B = mn = 6.4 = 24 Vậy GTLN của B = 24 khi 2 12 m n =   =  hay 6 4 m n =   =  Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 x y A x y + = − . Giải: Ta có thể viết: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2x y x xy y xy x y xy A x y x y x y + − + + − + = = = − − − Do x > y và xy = 1 nên: 2 ( ) 2 2 2 2 2 x y xy x y x y A x y x y x y x y − + − − = = − + = + + − − − Vì x > y ⇒ x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: 2 2. . 2 2 x y x y A x y − − ≥ + − Dấu “=” xảy ra 2 2 ( ) 4 ( ) 2 2 x y x y x y x y − ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = − (Do x – y > 0) 9 Từ đó: 2 2 3 2 A ≥ + = Vậy GTNN của A là 3 2 1 x y xy − =  ⇔  =  1 2 1 2 x y  = +  ⇔  = − +   hay 1 2 1 2 x y  = −   = − −   Thỏa điều kiện xy = 1 Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: 2 1 1 y x x = + + . Giải: Ta có thể viết: 2 2 1 1 1 1 3 2 4 y x x x = = + +   + +  ÷   Vì 2 1 3 3 2 4 4 x   + + ≥  ÷   . Do đó ta có: 4 3 y ≤ . Dấu “=” xảy ra 1 2 x⇔ = − . Vậy: GTLN của 4 3 y = tại 1 2 x − = Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức: 1 ( ) 4 f t t t = + . Giải: Ta có thể viết: 2 2 2 1 4 1 (2 1) 4 (2 1) ( ) 1 4 4 4 4 t t t t f t t t t t t + − + − = + = = = + Vì t > 0 nên ta có: ( ) 1f t ≥ Dấu “=” xảy ra 1 2 1 0 2 t t⇔ − = ⇔ = Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại 1 2 t = . Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 1 ( ) 1 t g t t − = + . Giải: Ta có thể viết: 2 2 2 1 2 ( ) 1 1 1 t g t t t − = = − + + g(t) đạt GTNN khi biểu thức 2 2 1t + đạt GTLN. Nghĩa là t 2 + 1 đạt GTNN Ta có: t 2 + 1 ≥ 1 ⇒ min (t 2 + 1) = 1 tại t = 0 ⇔ min g(t) = 1 – 2 = -1 Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0. 10