Bài toán cauchy ngược

Mục lục Giới thiệu Một phương pháp chỉnh hóa cho toán Cauchy phương trình Helmholtz với kiện Cauchy không 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Các kết 1.3 Chứng minh kết 10 1.3.1 Chứng minh Bổ đề 1.2.1 10 1.3.2 Chứng minh Đònh lý 1.2.2 13 Ví dụ số 14 1.4 Bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz: Chỉnh hóa đánh giá sai số 19 2.1 Giới thiệu toán 19 2.2 Các kết 22 2.3 Ví dụ số 27 Tài liệu tham khảo 32 Giới thiệu Trong đề tài này, khảo sát toán Cauchy cho phương trình Helmholtz - loại phương trình đạo hàm riêng xuất nhiều lónh vực khoa học kỹ thuật Đặc biệt, vật lý ứng dụng, thường dùng để mô tả dao động cấu trúc, sóng xạ, truyền nhiệt bề mặt, Chúng ta tham khảo [1, 2, 3, 4] Bài toán Cauchy thuận cho phương trình Helmholtz toán giá trò biên Dirichlet, Neumann hay hỗn hợp nghiên cứu nhiều trước Tuy nhiên, thực tế, ta thu kiện biên toàn biên Chúng ta biết kiện nhiễu phần biên, từ ta xác đònh nghiệm chưa biết phần lại biên điểm bên miền xét Bài toán toán Cauchy ngược Đây toán không chỉnh theo nghóa cần thay đổi nhỏ kiện Cauchy gây thay đổi lớn nghiệm Bài toán nhiều nhà Toán học quan tâm khảo sát với nhiều phương pháp khác như: phương pháp phần tử biên (BEM) [5], phương pháp gradient liên hợp [6], phương pháp nghiệm (MFS) [7], Trong đề tài này, khảo sát toán Cauchy cho phương trình tựa Helmholtz với điều kiện Cauchy không Cụ thể, chương 1, khảo sát toán   ∆u + k u = 0, uy (x, 0) = ϕ(x),   u(x, 0) = ψ(x), x ∈ R, < y < 1, x ∈ R, x∈R chương 2, xét toán  (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1), ∆u + k u = 0,    u(0, y) = u(π, y) = 0, y ∈ (0, 1),  uy (x, 0) = f (x), (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1),    u(x, 0) = g(x), x ∈ (0, π) (1) (2) ∆ toán tử Laplace, số k ∈ R\{0}, ϕ(x), ψ(x), f (x), g(x) cho trước không xác Đề tài tổng hợp kết từ hai báo [23, 24] nhận đăng Chương Một phương pháp chỉnh hóa cho toán Cauchy phương trình Helmholtz với kiện Cauchy không 1.1 Giới thiệu toán Xét toán Cauchy cho phương trình tựa Helmholtz ∆u(x, y) + k u(x, y) = 0, x ∈ R, < y < 1, uy (x, 0) = ϕ(x), x ∈ R, u(x, 0) = ψ(x), x ∈ R, (1.1) (1.2) (1.3) ∆ toán tử Laplace, ϕ(x), ψ(x) ∈ L (R) cho trước, k số thực Chú ý rằng, điều kiện biên u y (x, 0) = ϕ(x) = toán (1.1)-(1.3) khảo sát nhiều tác [9, 12, 13] Tuy nhiên, phương pháp tác giả không dễ dàng để giải toán (1.1)-(1.3) điều kiện biên uy (x, 0) = ϕ(x) Gần đây, [6], Chu-Li Fu tác giả xấp xỉ toán (1.1)-(1.3) phương pháp chỉnh hóa Fourier Hơn nữa, báo đó, sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác đưa sau u(·, y) − uδ,ξmax (·, y) ≤ y 1−y (2E1 ) δ y 1−y +(E2 ) δ 2E1 ln δ E2 ln δ −py −py (2 + o(1)) (2 + o(1)) , E , E2 số dương, p ≥ Tuy nhiên, dễ thấy hội tụ nghiệm xấp xỉ chậm p = y nằm lân cận Hơn nữa, sai số trường hợp p = y = không đưa Trong báo này, cải thiện kết phương pháp chỉnh hóa Trước tiên, ta đònh nghóa f(ξ) = √ 2π +∞ f (x)e−iξx dx −∞ biến đổi Fourier f (x) Tiếp theo, cách lấy biến đổi Fourier theo biến x ∈ R, đưa toán (1.1)-(1.3) toán sau uξξ (ξ, y) + uyy (ξ, y) + k u(ξ, y) = 0, ξ ∈ R, < y < 1, (1.4) uy (ξ, 0) = ϕ(ξ), ξ ∈ R, (1.5) u(ξ, 0) = ψ(ξ), ξ ∈ R (1.6) Không tính tổng quát, ta giả sử k ≥ Nếu u nghiệm toán (1.1)-(1.3) u nghiệm toán (1.4)-(1.6) có dạng u(ξ, y) = = √2 √2 2 e ξ −k y + e− ξ −k y √ √2 ξ −k2 y − ξ −k2 y + √ϕb (ξ) − e e , 2       b ψ(ξ) 2     ψ(ξ) cos ξ −k k2 − ξ y + ϕ(ξ) sin k2 − ξ √ √ b 2 2 ψ(ξ) e ξ −k y + e− ξ −k y √ √2 ξ −k2 y e ξ −k2 y + √ 2 2√ξ−1 e ϕ(ξ), −k2 y             ψ(ξ) cos ξ −k e k2 − ξ y + ϕ(ξ) k2 −ξ sin |ξ| ≥ k, k − ξ y , |ξ| < k |ξ| ≥ k, k − ξ y , |ξ| < k (1.7) Trong báo này, xấp xỉ (1.7) b ψ(ξ) u (ξ, y) = + 1√ α( )+e− ξ −k2 y √ ξ −k2 y √2 e ξ −k y ϕ(ξ) χ[−β( √ ξ −k2 y e √ −1 √ ξ −k2 e2 ξ2 −k2 y + ψ(ξ) cos + e− k − ξ y + √ϕb2(ξ) k −ξ sin ),−k]∪[k,β( )] (ξ) k2 − ξ y χ(−k,k) (ξ) (1.8) hay u (x, y) = √1 2π R + b ψ(ξ) 1√ α( )+e− √ ξ −k2 y e √ −1 √2 2 2 ξ −k e ξ −k y ξ2 −k2 y + e− √ ξ −k2 y √2 e ξ −k y ϕ(ξ) χ[−β( iξx dξ+ ),−k]∪[k,β( )] (ξ)e + √12π k − ξ y + √ϕb2(ξ) ψ(ξ) cos k R −ξ k2 − ξ y sin χ(−k,k) (ξ)eiξx dξ (1.9) α( ) β( ) phụ thuộc vào , α( ) ∈ (0, 1) tham số chỉnh hóa, β( ) > chọn sau cho β( ) tiến vô thuận tiện, ta ký hiệu α( ) α, β( ) β tiến Để Phần lại báo chia làm ba phần Trong phần 2, đưa kết Các chứng minh trình bày phần Cuối cùng, ví dụ số minh họa đưa phần để chứng tỏ tính hiệu phương pháp báo 1.2 Các kết Giả sử, u ex nghiệm xác (1.1)-(1.3), v ex nghiệm (1.9) tương ứng với kiện xác ϕ ex , ψ ex v nghiệm (1.9) tương ứng với kiện đo đạc ϕ , ψ , ϕ ex , ψ ex , ϕ , ψ vế phải (1.9) cho ϕ − ϕex L2 (R) ≤ , ψ − ψex L2 (R) Khi đó, ta có uex (ξ, y) =        b (ξ) ψ ex + L2 (R) ≤ với · L2 (R) chuẩn √2 √ ξ −k2 y − ξ −k2 y e +e √ √2 ξ2 −k2 y ξ −k2 y ϕ (ξ), √ −1 √e2 e ex 2 ξ2 −k2 y      ψex (ξ) cos ξ −k e k2 − ξ y + ϕex (ξ) k2 −ξ sin |ξ| ≥ k, k2 − ξ y , |ξ| < k, (1.10) vex (ξ, y) b (ξ) ψ ex = − √1 α+e− +e ξ −k2 y ξ −k2 y √2 e ξ −k y ϕex (ξ) χ[−β,−k]∪[k,β] (ξ) √ ξ2 −k2 y e √ −1 √ ξ −k2 e2 ξ2 −k2 y + √ k − ξ y + √ϕb ex2 (ξ)2 sin + ψ ex (ξ) cos k −ξ k2 − ξ y χ(−k,k) (ξ), (1.11) v (ξ, y) = b (ξ) ψ + √1 α+e− ξ −k2 y − +e ξ −k2 y √2 e ξ −k y ϕ (ξ) χ[−β,−k]∪[k,β] (ξ) √ ξ −k2 y e √ −1 √ ξ −k2 e2 ξ2 −k2 y + ψ (ξ) cos √ k − ξ y + √ϕb 2(ξ) sin k2 − ξ y k −ξ χ(−k,k) (ξ) (1.12) Ta có v − uex L2 (R) = v − uex L2 (R) ≤ v − vex L2 (R) + vex − uex L2 (R) (1.13) Trước tiên, ta có bổ đề sau Bổ đề 1.2.1 (Sự ổn đònh nghiệm toán (1.8)) Giả sử ϕ ex , ψ ex , ϕ , ψ ∈ L2 (R) ϕ − ϕex giá sau L2 (R) ≤ , ψ − ψex v (·, y) − vex (·, y) L2 (R) với y ∈ (0, 1] ≤ L2 (R) ≤ Khi đó, ta có đánh √ + 2(eβ + 1) α Kết báo sau Đònh lý 1.2.2 Cho ϕex , ψ ex , ϕ , ψ ∈ L2 (R) ϕ − ϕex L2 (R) ≤ , ψ − ψex L2 (R) ≤ , ∈ (0, 1) Giả sử tồn hai số không âm E1 and E2 cho ∂ ψex L2 (R) ≤ E1 ∂x uex (·, y) ta có, với < y ≤ 1, ≤ E2 Khi đó, với α = L2 (R) v (·, y) − uex (·, y) L2 (R) ≤ C ln 1 , C = + E1 + 8E2 1.3 Chứng minh kết 1.3.1 Chứng minh Bổ đề 1.2.1 Trước tiên, từ (1.11) (1.12), ta có v (·, y) − vex (·, y) L2 (R) |v (ξ, y) − vex (ξ, y)|2 dξ = R = |v (ξ, y) − vex (ξ, y)| χ[−β,−k]∪[k,β] (ξ)dξ R |v (ξ, y) − vex (ξ, y)|2 χ(−k,k) (ξ)dξ + R 10 β = ln 1/8 , = √1 α+e− ξ −k2 y − +e √ ξ −k2 y ψ (ξ) − ψex (ξ) R + + √ √e2 ξ −k2 y ξ −k2 e2 √ −1 ξ −k2 y √2 e ξ −k y [ϕ (ξ) − ϕex (ξ)] χ[−β,−k]∪[k,β] (ξ)dξ k2 − ξ y ψ (ξ) − ψ ex (ξ) cos R k2 −ξ +√ e2 ξ −k2 y (1.14), (1.15) ta ≤ v (·, y) − vex (·, y) ≤ α ξ −k2 y ξ − √ k2 − ξ y 1, sin √ χ(−k, (1.14) k) (ξ)dξ e|x| − ≤ e|x| , ta có |x| Áp dụng bất đẳng thức Chú ý e − k2 − ξ y [ϕ (ξ) − ϕex (ξ)] sin k e2 −1 √2 ξ −k2 y ≤ 1, for < y ≤ (1.15) √2 ≤ 1, e ξ −k y ≤ e|ξ| , với |ξ| ≥ k, cos k2 − ξ y k − ξ for |ξ| < k, < y ≤ 1, α ∈ (0, 1), đó, từ L2 (R) + ψ (ξ) − ψex (ξ) + e|ξ| |ϕ (ξ) − ϕex (ξ)| χ[−β,−k]∪[k,β] (ξ)dξ R + ψ (ξ) − ψ ex (ξ) + |ϕ (ξ) − ϕex (ξ)| χ(−k, k) (ξ)dξ R α ≤ ψ (ξ) − ψ ex (ξ) + e|ξ| |ϕ (ξ) − ϕex (ξ)| χ[−β,−k]∪[k,β] (ξ)dξ R + ψ (ξ) − ψ ex (ξ) + |ϕ (ξ) − ϕex (ξ)| R 11 χ(−k, k) (ξ)dξ ≤ Bằng phương pháp tách biến, ta nghiệm toán (2.1) sau u(x, y) = √ ∞ e n2 −k2 y n=1 + e− ∞ f (x) = √ √ n2 −k2 y gn + fn sin nx, g(x) = n=1 cho e ∞ n2 −k2 y √ − e− n √ n2 − k 2 −k y fn sin nx (2.2) gn sin nx n=1 Trong vật lý, g đo, có sai số ta có hàm g ∈ L2 (0, π) số thuộc vào g −g ≤ > 0, · chuẩn L Ký hiệu β tham số chỉnh hóa phụ Trường hợp f = 0, toán (2.1) trở  ∆u + k u = 0,    u(0, y) = u(π, y) = 0,  uy (x, 0) = 0,    u(x, 0) = g(x), thành (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1), y ∈ (0, 1), (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1), x ∈ (0, π) (2.3) Gần đây, [9], H H Quin T Wei xét toán (2.2) phương pháp quasi-reversibility Họ thiết lập toán với phương trình bậc bốn sau  ∆u + k u − β uβxxyy = 0,    u (0, y) = u (π, y) = 0,  uy (x, 0) = 0,    u(x, 0) = g(x), (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1), y ∈ (0, 1), (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1), x ∈ (0, π) (2.4) Bằng phương pháp tách biến, nghiệm toán (2.4) sau u (x, y) = ∞ n=1 r e n2 −k2 1+β2 n2 y − +e 20 r n2 −k2 1+β n2 y gn sin nx (2.5) √ 2 Nhận xét rằng, lượng e n −k y (2.2) tăng nhanh n lớn, gây tính không ổn đònh Để chỉnh hóa toán (2.2), thay lượng tốt Trong (2.4), r tác giả thay r lượng e n2 −k2 2 y − n2 −k2 2 √ n2 −k2 y y 1+β n e−ny hai lượng tương ứng tốt e 1+β n e Chú ý rằng, trường hợp k = 0, toán (2.4) xét [12] (xem trang 481) Theo biết, toán (2.4) khảo sát vài báo gần kết khảo sát cho toán (2.3) √ 2 Trong√ báo này, thay lượng e n −k y lượng khác tốt 2 2 e( n −k −β(n −k ))y nghiệm xấp xỉ u (x, y) = ∞ n=1 eA(β,n,k)y + e− √ n2 −k2 y gn + √ eA(β,n,k)y − e− n √ n2 − k 2 −k y fn sin nx, (2.6) A(β, n, k) = với kiện nhiễu g v (x, y) = ∞ n=1 √ n2 − k − β(n2 − k ) Đặt v nghiệm chỉnh hóa ứng eA(β,n,k)y + e− √ n2 −k2 y gn + √ eA(β,n,k)y − e− n √ n2 − k 2 −k y fn sin nx, (2.7) với gn = π π g (x) sin(nx)dx 21 2.2 Các kết Đònh lý sau chứng minh nghiệm toán (2.7) phụ thuộc liên tục vào kiện Cauchy cho trước g Đònh lý 2.2.1 Cho v w nghiệm toán (2.7) v (x, 0) = g (x), w (x, 0) = h (x) Giả sử g − h ≤ , ta có (2.8) v (·, y) − w (·, y) ≤ e 4β Chứng minh v (x, y) = ∞ n=1 eA(β,n,k)y + e− √ n2 −k2 y gn + √ eA(β,n,k)y − e− n √ n2 − k 2 −k y fn sin nx, (2.9) w (x, y) = ∞ n=1 eA(β,n,k)y + e− √ n2 −k2 y hn + A(β,n,k)y e √ − n2 −k2 y −e √ n2 − k fn sin nx, (2.10) hn = π π h (x) sin(nx)dx Từ (2.9) (2.10), suy v (x, y) − w (x, y) = ∞ n=1 eA(β,n,k)y + e− 22 √ n2 −k2 y (gn − hn ) sin nx Dùng bất đẳng thức A(β, n, k) ≤ v (·, y) − w (·, y) π = 4β ∞ (a + b) ≤ 2a2 + 2b2 , ta có eA(β,n,k)y + e− n=1 √ n2 −k2 y |gn − hn | ∞ ≤ π (e + 1) |gn − hn |2 n=1 ≤ 21 (e + 1) g − h e 2 ≤ 2 (2.11) Đònh lý chứng minh xong Đònh lý 2.2.2 Cho u(·, 1) ≤ A1 Giả sử f hàm cho ∞ n=1 Cho β = ln −1 (n2 − k )2 e2 √ n2 −k2 a fn < A2 (2.12) , ta có u(·, y) − v (·, y) ≤ √ + ln −1 π A1 + A2 (1 − y) (2.13) với y ∈ [0, 1), v nghiệm (2.7) Nhận xét 2.2.3 Nếu f = (2.13) trở thành u(·, y) − v (·, y) ≤ √ + ln −1 √ 2πA1 (1 − y)2 Cấp sai số giống với kết Đònh lý 3.1, [9] Chứng minh 23 (2.14) Ta có u(x, y) − u (x, y) = √ ∞ e n2 −k2 y n=1 − eA(β,n,k)y √ e gn + n2 −k2 y − eA(β,n,k)y √ n2 − k fn sin nx Lại có √ e u(x, 1), sin nx = n2 −k2 + e− √ √ n2 −k2 e gn + √ n2 −k2 − e− n √ n2 − k 2 −k fn Suy ϕn = √ e √ n2 −k2 + e− √ n2 −k2 u(x, 1), sin nx − √ (e e n2 −k2 n2 −k2 − e− + e− √ √ n2 −k2 √ fn n2 − k n2 −k2 ) Do √ u(x, y) − u (x, y), sin nx = + n2 −k2 y − eA(β,n,k)y √ √ e n2 −k2 + e− n2 −k2 e √ √ A(β,n,k)y n2 −k2 √−e (e √ (e n2 −k2 +e− n2 −k2 )2 n2 −k2 √ e n2 −k2 y u(x, 1), sin nx + e− √ n2 −k2 − 1)fn Dùng bất đẳng thức (a + b) ≤ 2a2 + 2b2 , ta có | u(x, y) − u (x, y), sin nx |2 √ ≤ + ≤ e n2 −k2 y (1 √ e n2 −k2 √ e √ n2 −k2 y − e−β(n + −k2 )y ) | u(x, 1), sin nx |2 √ e− n2 −k2 − eA(β,n,k)y √ n2 − k 2 fn2 e2(y−1) n −k β (n2 − k )2 y | u(x, 1), sin nx |2 √ 2 + β y (n2 − k )e2 n −k y fn2 (2.15) 24 2 (n2 −k2 )2 √ e2k n2 −k2 Với k, n > 0, dễ dàng chứng minh √ 2(y−1) n2 −k2 e ≤ k4 Vì vậy, với y < 4β β (n − k ) ≤ (1 − y)4 2 2 Suy √ 4β 2 2 2 n2 −k2 y | u(x, y) − u (x, y), sin nx | ≤ | u(x, 1), sin nx | + β (n −k ) e fn (1 − y)4 2 Do u(·, y) − u (·, y) π = ∞ | u(x, y) − u (x, y), sin nx |2 n=1 2πβ (1 − y)4 ≤ π + β ∞ | u(x, 1), sin nx |2 n=1 ∞ 2 n=1 (n − k )2 e2 2πβ u(·, 1) (1 − y)4 ≤ + √ n2 −k2 y fn π β A2 (2.16) Từ Đònh lý 2.2.1, ta v (·, y) − u (·, y) ≤ e 4β Từ β = ln −1 kết hợp với (2.11), (2.16), (2.17), ta u(·, y) − v (·, y) ≤ ≤ u(·, y) − u (·, y) + u (·, y) − v (·, y) π A + A2 (1 − y)4 e 2β + β ≤ + ln Đònh lý chứng minh 25 −1 π A1 + A2 (1 − y) (2.17) Đònh lý 2.2.4 Cho f Đònh lý 2.2.2 Giả sử u(x, 1) thỏa điều kiện ∞ n=1 Cho β = ln −1 (n2 − k )2 | u(x, 1), sin nx |2 < A3 ta có u(·, y) − v (·, y) ≤ ln −1 π π A3 + A4 + 4 với y ∈ [0, 1], v nghiệm toán (2.7) Chứng minh Từ (2.15) suy | u(x, y) − u (x, y), sin nx | β (n2 − k )2 y | u(x, 1), sin nx | √ 2 + β y (n2 − k )e2 n −k y fn2 ≤ Khi u(·, y) − u (·, y) = ≤ ≤ ∞ π | u(x, y) − u (x, y), sin nx | n=1 π 2 β (n − k )2 y | u(x, 1), sin nx | √ π 2 + β y (n2 − k )e2 n −k y fn2 π π β A3 + β A2 Vì vậy, ta có u(·, y) − u (·, y) ≤ β 26 π π A3 + A2 (2.18) Từ β = ln −1 kết hợp với (2.11), (2.18), ta thu u(·, y) − v (·, y) ≤ ≤ u(·, y) − u (·, y) + u (·, y) − v (·, y) π π A3 + A2 + e 4β β ≤ ln −1 π π A3 + A2 + 4 Đònh lý chứng minh 2.3 Ví dụ số Trong phần này, ví dụ đưa để chứng minh cho tính hiệu phương pháp phần Để so sánh báo với báo [9], xét toán sau với ví dụ tham số  uxx + uyy + 14 u = 0, (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1),    u(0, y) = u(π, y) = 0, y ∈ (0, 1), (2.19)  (x, 0) = 0, (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1), u y    u(x, 0) = sin(x), x ∈ (0, π) Nghiệm xác toán √ y √ − y +e sin x Cho y = 1, ta u(x, 1) = 1.39903135064541 sin x u(x, y) = e Cho g m kiện đo đạc gm (x) = sin(x) + sin(mx) m Sai số kiện t = π F (m) = gm − g = sin2 (mx)dx = m 27 π ≤ 2m Nghiệm (2.11) tương ứng với g m √ √ √ √ − 3 m −4y − m2 − 14 y y y 2 e +e e +e um (x, y) = sin x + sin mx 2m Sai số y = π um (·, 1) − u(·, 1) = O(n) := (e2 = √ m2 − 14 + e−2 4m2 √ m2 − 14 q√ √ − m2 − 14 m −4 (e +e ) sin2 (mx)dx + 2) π Khi đó, ta ý π = 0, m→∞ m √ + e−2 m − + 2) 4m2 (2.20) lim F (m) = lim m→∞ lim O(m) = lim m→∞ (e2 √ m2 − 14 m→∞ π = ∞ (2.21) Từ hai bất đẳng thức trên, ta thấy (2.19) toán không chỉnh Do đó, toán Cauchy (2.19) giải phương pháp số thông thường cần chỉnh hóa Cho π m = v (x, y) = ∞ n=1  Bằng xấp xỉ (2.15), nghiệm chỉnh hóa “√ ” n2 − 14 − (n2 − 14 ) y e − +e 28 √ n2 − 14 y   gm (x), sin nx sin nx (2.22) = 10−2 = 10−4 = 10−10 Bảng Sai số phương pháp báo v a = v (·, 1) − u(·, 1) π 1.38790989314992 sin(x) 0.0139386799063127 −14 +4.9945311108 × 10 sin(100x) π 1.39891961780226 sin(x) 0.000140036351583956 −1105 +3.712424644 × 10 sin(10 x) π 1.39903135053340 sin(x) 1.40045321703634 × 10−10 +6.716243945 × 10−1100129330 sin(1010 x) Cho y = 1, nghiệm viết lại sau v (x, 1) = e √ 3 −4 +e √ − sin x + e( √ m2 − 14 − (m2 − 14 )) + e− √ m2 − 14 2m sin mx Sai số y = e π v (·, 1) − u(·, 1) = √ 3 −4 −e √ 2 + e( √ m2 − 14 − (m2 − 14 )) + e− √ m2 − 14 2m Bảng cho thấy sai số nghiệm chỉnh hóa v nghiệm xác u với ba giá trò Ta chọn vài giá trò sau = 10−2 π ứng với m = 10 = 10−4 π ứng với m = 10 = 10−10 π ứng với m = 10 10 Bằng cách dùng phương pháp [9], ta có nghiệm xấp xỉ w (x, y) = ∞ n=1  r e  n2 − 1+ n2 y − +e r n2 − 1+ n2 29 y    gm (x), sin nx sin nx (2.23) Cho y = 1, ta có w (x, 1) = ∞ n=1 =  r e  n2 − 1+ n2 − +e Nếu ta chọn n2 − 1+ n2    gm (x), sin nx r √ √ e 4+4 + e− 4+4 e sin x + w (·, 1) − u(·, 1) = √ √ √ √ − 3 − 4+4 e 4+4 +e e +e − 2 π r m cho  = + e π m s m2 − 1+ m2 m2 − 1+ m2 − +e 2m s − +e 2m r m2 − 1+ m2 sin nx m2 − 1+ m2 sin mx, 2  w (·, 1) − u(·, 1) không hội tụ Do đó, để so sánh sai số hai phương pháp, ta chọn vài giá trò cho tham số sau = 10−2 π ứng với m = 10 = 10−3 π ứng với m = 10 15 = 10−4 π ứng với m = 10 20 Bảng Sai số phương pháp báo [9] −2 10 π 10−3 π 10−4 π w 1.39379109494861 sin(x) +0.3786841911 sin(104 x) 1.39850107010763 sin(x) +0.00092555956190 sin(1015 x) 1.39850107010763 sin(x) +9.255956190 × 10−10 sin(1020 x) w −u 0.474655690138409 0.00133695472487849 0.000664608094405560 Nhìn vào Bảng 1, 2, 3, ta thấy kết sai số Bảng nhỏ sai số Bảng Với tham số chỉnh hóa, sai số Bảng hội tụ nhanh nhiều so với sai số Bảng Điều cho thấy 30 tính hiệu phương pháp báo so với phương pháp [7, 9, 22] Bảng Sai số khác phương pháp báo −2 10 π 10−3 π 10−4 π v 1.38790989314992 sin(x) +5.667504490 × 10−4348 sin(104 x) 1.39891961780226 sin(x) +7.548683905 × 10−4342953 sin(1015 x) 1.39902017688822 sin(x) +6.247671360 × 10−434294492 sin(1020 x) 31 v (·, 1) − u(·, 1) 0.0139386799063127 0.000140036351583956 0.0000140042275147629 Tài liệu tham khảo [1] D.E Beskos, Boundary element method in dynamic analysis: Part II (19861996), ASME Applied Mechanics Review 50, 149-197, 1997 [2] J.T Chen, F.C Wong, Dual formulation of multiple reciprocity method for the acoustic mode of a cavity with a thin partition, Journal of Sound and Vibration 217, 75-95, 1998 [3] T DeLillo, V Isakov, N Valdivia, L Wang, The detection of the source of acoustical noise in two dimensions, SIAM J Appl Math 61, 2104-2121, 2001 [4] T DeLillo, V Isakov, N Valdivia, L Wang, The detection of surface vibrations from interior acoustical pressure, Inverse Problems 19, 507-524, 2003 [5] J Hadamard, Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations, Dover Publications, New York, 1953 [6] I Harari, P.E Barbone, M Slavutin, R Shalom, Boundary infinite elements for the Helmholtz equation in exterior domains, International Journal for Numerical Methods in Engineering 41, 1105-1131, 1998 [7] D.N Hao and D Lesnic, The Cauchy for Laplace's equation via the conjugate gradient method, IMA Journal of Applied Mathematics 65, 199-217, 2000 [8] V Isakov, Inverse problems for partial differential equations, Volume 127 of Applied Mathematical Sciences Springer-Verlag, New York, 1998 32 [9] Hai Hua Quin, Ting Wei, Modified regularization method for the Cauchy problem of the Helmholtz equation, Appl Math Model 33, No 5, 2334-2348, 2009 [10] L Marin, L Elliott, P.J Heggs, D.B Ingham, D Lesnic, X Wen, Conjugate gradient boundary element solution to the Cauchy problem for Helmholtz-type equations, Comput Mech 31 (3-4), 367-377, 2003 [11] L Marin, L Elliott, P Heggs, D Ingham, D Lesnic, X.Wen, BEM solution for the Cauchy problem associated with Helmholtz-type equations by the Landweber method, Eng Anal Boundary Elem 28 (9), 1025-1034, 2004 [12] Z Qian, C.L Fu, Z.P Li, Two regularization methods for a Cauchy problem for the Laplace equation, J Math Anal Appl 338 (1), 479-489, 2008 [13] Z Qian, C.L Fu, X.T Xiong, Fourth-order modified method for the Cauchy problem for the Laplace equation, J Comput Appl Math 192 (2), 205-218, 2006 [14] A.S Wood, G.E Tupholme, M.I.H Bhatti, P.J Heggs, Steady-state heat transfer through extended plane surfaces, International Communications in Heat and Mass Transfer 22, 99-109, 1995 [15] T.Wei, Y Hon, L Ling, Method of fundamental solutions with regularization techniques for Cauchy problems of elliptic operators, Eng Anal Boundary Elem 31 (4), 373-385, 2007 [16] Tomasz Hrycak and Victor Isakov, Increased stability in the continuation of solutions to the Helmholtz equation, Inverse Problems 20, 697, 2004 [17] H.H Qin, T Wei and R Shi, Modified Tikhonov regularization method for the Cauchy problem of the Helmholtz equation, J Comput Appl Math 224, No 1, 39-53, 2009 33 [18] W.S Hall, X.Q Mao, Boundary element investigation of irregular frequencies in electromagnetic scattering, Eng Anal Bound Elem 16, 245-252, 1995 [19] L Marin, L Elliott, P.J Heggs , D.B Ingham, D Lesnic, X Wen, An alternating iterative algorithm for the Cauchy problem associated the Helmholtz equation, Comput Methods Appl Mech Engrg 192, 709-722, 2003 [20] T Reginska, K Reginski, Approximate solution of a Cauchy problem for the Helmholtz equation, Inverse Problems 22, 975-989, 2006 [21] H J Reinhardt, H Han, D N Hao, Stability and regularization of a discrete approximation to the Cauchy problem of Laplaces equation, SIAM J Numer Anal 36, 890-905, 1999 [22] A Yoneta, M Tsuchimoto, T Honma, Analysis of axisymmetric modified Helmholtz equation by using boundary element method, IEEE Trans Magn 26 (2), 1015-1018, 1990 [23] Pham Hoang Quan and Phan Trung Hieu, A new regularization method for the Cauchy problem of the Helmholtz equation with nonhomogeneous Cauchy data, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 36, Number 2, 419-430, 2011 [24] Nguyen Huy Tuan and Pham Hoang Quan, A Cauchy problem for the Helmholtz equation: Regularization and error estimates, Acta Universitatis Apulensis 25, 177-188, 2011 34 [...]... xác 17 Hình 1.3: Biến đổi Fourier của nghiệm chỉnh hóa với 2 = 9 × 10−7 Hình 1.4: Biến đổi Fourier của nghiệm chỉnh hóa với 3 = 10−10 18 Chương 2 Bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz: Chỉnh hóa và đánh giá sai số 2.1 Giới thiệu bài toán Xét bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz với điều kiện biên Neumann  ∆u + k 2 u = 0,    u(0, y) = u(π, y) = 0,  uy (x, 0) = f (x),    u(x, 0) =... Để chỉnh hóa bài toán (2.2), chúng tôi thay nó bằng một lượng tốt hơn Trong (2.4), các r tác giả đã thay r lượng e n2 −k2 2 2 y − n2 −k2 2 2 √ n2 −k2 y y 1+β n và e−ny bằng hai lượng tương ứng tốt hơn là e 1+β n và e Chú ý rằng, trong trường hợp k = 0, bài toán (2.4) đã được xét trong [12] (xem trang 481) Theo chúng tôi được biết, mặc dù bài toán (2.4) đã được khảo sát trong một vài bài báo gần đây... trong [9], H H Quin và T Wei xét bài toán (2.2) bằng phương pháp quasi-reversibility Họ đã thiết lập bài toán với phương trình bậc bốn như sau  ∆u + k 2 u − β 2 uβxxyy = 0,    u (0, y) = u (π, y) = 0,  uy (x, 0) = 0,    u(x, 0) = g(x), (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1), y ∈ (0, 1), (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1), x ∈ (0, π) (2.4) Bằng phương pháp tách biến, nghiệm của bài toán (2.4) như sau u (x, y) = ∞ n=1... quả của phương pháp trong phần trên Để so sánh giữa bài báo này với bài báo [9], chúng tôi xét bài toán sau đây với cùng một ví dụ và cùng các tham số  uxx + uyy + 14 u = 0, (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1),    u(0, y) = u(π, y) = 0, y ∈ (0, 1), (2.19)  (x, 0) = 0, (x, y) ∈ (0, π) × (0, 1), u y    u(x, 0) = sin(x), x ∈ (0, π) Nghiệm chính xác của bài toán là √ 3 2 y √ − 3 2 y +e sin x 2 Cho y = 1, ta... trên, ta thấy (2.19) là bài toán không chỉnh Do đó, bài toán Cauchy (2.19) không thể giải được bằng phương pháp số thông thường và nó cần được chỉnh hóa Cho π 1 2 m = v (x, y) = ∞ n=1  Bằng xấp xỉ như trong (2.15), nghiệm chỉnh hóa là “√ ” n2 − 14 − (n2 − 14 ) y e − +e 2 28 √ n2 − 14 y   gm (x), sin nx sin nx (2.22) 1 = 10−2 2 = 10−4 3 = 10−10 Bảng 1 Sai số của phương pháp trong bài báo này v a = v... − e− n √ 2 n2 − k 2 2 −k 2 y fn sin nx, (2.7) với gn = 2 π π 0 g (x) sin(nx)dx 21 2.2 Các kết quả chính Đònh lý sau đây chứng minh rằng nghiệm của bài toán (2.7) phụ thuộc liên tục vào dữ kiện Cauchy cho trước g Đònh lý 2.2.1 Cho v và w là nghiệm của bài toán (2.7) và v (x, 0) = g (x), w (x, 0) = h (x) Giả sử rằng g − h ≤ , khi đó ta có 1 (2.8) v (·, y) − w (·, y) ≤ e 4β Chứng minh v (x, y) = ∞ n=1... nghiệm của bài toán (2.1) như sau u(x, y) = √ ∞ e n2 −k2 y n=1 trong đó + e− 2 ∞ f (x) = √ √ n2 −k2 y gn + fn sin nx, g(x) = n=1 cho e ∞ n2 −k2 y √ − e− n √ 2 n2 − k 2 2 −k 2 y fn sin nx (2.2) gn sin nx n=1 Trong vật lý, g được đo, do đó sẽ có sai số và ta có hàm g ∈ L2 (0, π) sao trong đó hằng số thuộc vào g −g ≤ > 0, · là chuẩn L 2 Ký hiệu β là tham số chỉnh hóa phụ Trường hợp f = 0, bài toán (2.1)... = 0, bài toán (2.4) đã được xét trong [12] (xem trang 481) Theo chúng tôi được biết, mặc dù bài toán (2.4) đã được khảo sát trong một vài bài báo gần đây nhưng kết quả khảo sát cho bài toán (2.3) thì rất hiếm √ 2 2 Trong√ bài báo này, chúng tôi thay lượng e n −k y bằng một lượng khác tốt hơn 2 2 2 2 là e( n −k −β(n −k ))y và nghiệm xấp xỉ là u (x, y) = ∞ n=1 eA(β,n,k)y + e− 2 √ n2 −k2 y gn + √ eA(β,n,k)y... regularization method for the Cauchy problem of the Helmholtz equation, Appl Math Model 33, No 5, 2334-2348, 2009 [10] L Marin, L Elliott, P.J Heggs, D.B Ingham, D Lesnic, X Wen, Conjugate gradient boundary element solution to the Cauchy problem for Helmholtz-type equations, Comput Mech 31 (3-4), 367-377, 2003 [11] L Marin, L Elliott, P Heggs, D Ingham, D Lesnic, X.Wen, BEM solution for the Cauchy problem associated... alternating iterative algorithm for the Cauchy problem associated the Helmholtz equation, Comput Methods Appl Mech Engrg 192, 709-722, 2003 [20] T Reginska, K Reginski, Approximate solution of a Cauchy problem for the Helmholtz equation, Inverse Problems 22, 975-989, 2006 [21] H J Reinhardt, H Han, D N Hao, Stability and regularization of a discrete approximation to the Cauchy problem of Laplaces equation, ... phần lại biên điểm bên miền xét Bài toán toán Cauchy ngược Đây toán không chỉnh theo nghóa cần thay đổi nhỏ kiện Cauchy gây thay đổi lớn nghiệm Bài toán nhiều nhà Toán học quan tâm khảo sát với... [23, 24] nhận đăng Chương Một phương pháp chỉnh hóa cho toán Cauchy phương trình Helmholtz với kiện Cauchy không 1.1 Giới thiệu toán Xét toán Cauchy cho phương trình tựa Helmholtz ∆u(x, y) + k u(x,... Fourier nghiệm chỉnh hóa với = 10−10 18 Chương Bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz: Chỉnh hóa đánh giá sai số 2.1 Giới thiệu toán Xét toán Cauchy cho phương trình Helmholtz với điều kiện