On thi vao 10 chuyen TOAN

ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT TOÁN ĐẠI SỐ I BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT : (ĐẲNG THỨC – TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC) Bài : Cho ab = Chứng minh : a5 + b5 = (a3 + b3)(a2 + b2) – (a + b) Bài : Cho a > b > thỏa mãn : 3a2 + 3b2 = 10ab Gợi ý : Bình phương vế P + nhân tử a−b Tính giá trị biểu thức : P = mẫu cho + giả thiết a+b x+y Bài : Cho x > y > 2x2 + 2y2 = 5xy Tính giá trị biểu thức : E = x−y 1 ab c ca Bài : Cho + + = Tính giá trị biểu thức : P = + + a b c c a b 3 Gợi ý : + Trước hết chứng minh : x + y + z = x + y + z3 = 3xyz Bằng cách biến đổi x + y + z = ⇒ z = – (x + y), lập phương vế 1 + Sử dụng kết x3 + y3 + z3 = 3xyz cách thay x = , y = ,z = a b c  a  b  c  Bài : Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức : A = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷  b  c  a  3 Gợi ý: Sử dụng HĐT : a + b = (a + b) – 3ab(a + b) thay vào giả thiết biến đổi để được: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = • Xét a + b = c = ⇒ A = - • Xét a + b + c − ab − bc − ca = ⇒ A = Bài : Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức : B = a4 + b4 + c4 Gợi ý : Bình phương vế a2 + b2 + c2 = 14 Để tính a2b2 + b2c2 + c2a2 sử dụng giả thiết a + b + c = bình phương vế 1 Bài : Cho x > thỏa mãn : x + = Chứng minh : x + số nguyên x x Tìm số nguyên 1  Gợi ý : + Sử dụng HĐT  x + ÷ để x + , dễ thấy : x x    1  1 x + =  x + ÷ x + ÷−  x + ÷ x  x  x  x   1     + x + =  x + ÷ x + ÷ −  x + ÷ Đặt biệt: x + =  x + ÷− (SD : HĐT) x  x  x  x  x  x  1 Bài : Cho a + b + c = + + = Chứng minh : a2 + b2 + c2 = a b c Gợi ý : Sử dụng giả thiết : (a + b + c)2 = 1 1 bc + ac + ab + + =0 ⇔ =0 a b c abc Bài : Cho số x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by x + y + z ≠ Tính giá trị biểu 1 + + thức : Q = 1+ a 1+ b 1+ c 2z 1 = ; Gợi ý : Cộng x + y + z lại thay z = ax + by ⇒ tương tự cho 1+ c x + y + z 1+ b 1+ b ⇒ Cộng vế theo vế đpcm x y4 Bài 10 : Cho + = thay = x + y Chứng minh : a b a+b a) bx2 = ay2 x 2000 y 2000 b) 1000 + 1000 = 1000 a b ( a + b) x4 y + = ⇒ ( ay − bx ) = ⇒ đpcm a b a+b 2 b) Từ kết bx = ay biến đổi để sử dụng tỉ lệ thức Gợi ý : a) Biến đổi giả thiết : Bài 11 : Cho a + b + c = Chứng minh : a + b + c = a + b2 + c 2 ( ) Gợi ý : Từ a + b + c = ⇒ b + c = – a bình phương vế Lại tiếp tục bình phương vế a − b − c = 2bc ⇒ đpcm 5 2 Bài 12 : Chứng minh x + y + z = : ( x + y + z ) = xyz ( x + y + z ) Gợi ý : Tam giác pascal : + Từ x + y + z = ⇒ y + z = - x ⇒ ( y + z ) = − x triển khai thu gọn 1 (a + b) : (a + b) : 3 ( a + b) : ( a + b) : 5 10 10 Bài 13 : Cho a , b , c ba số khác Chứng minh : b−c c−a a −b 2 + + = + + ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a ) ( c − a ) ( c − b) a − b b − c c − a ( a − c) − ( a − b) = − = + b−c = ( a − b) ( a − c) ( a − b) ( a − c ) a − b a − c a − b c − a Tương tự cho phân thức lại + cộng vế theo vế ⇒ đpcm 1 Bài 14 : Chứng minh xyz = : + x + xy + + y + yz + + z + zx = 1 Gợi ý : Biến đổi từ xyz = ⇒ x = yz thay vào ( * ) ⇒ đpcm 2 Bài 15 : Phân tích thừa số : a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) (1) Gợi ý : Tách Gợi ý : Thay b − c = − ( c − a ) − ( a − b ) vào (1) Bài 16 : Phân tích thừa số : a) a + 4a − 29a + 24 kq : ( a − 1) ( a − 3) ( a + ) b) x3 + x + 11x + kq : ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) c) x + x3 + x − x + kq : ( x + 3x − 1) Bài 17 : Phân tích đa thức thừa số : ( x + 1) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) + 15 Gợi ý : Tính tích cặp ( x + 1) ( x + ) … đặt ẩn phụ Bài 18 : Phân tích thừa số : (x – y)3 + (y – z)3 + (z – y)3 Gợi ý : Đặt x – y = a , y – z = b , z – x = c Tính tổng a + b + c = ? a−b b−c c−a ; y= ; z= : a+b b+c c+a ( 1+ x) ( 1+ y) ( 1+ z ) = ( 1− x) ( 1− y ) ( 1− z ) Bài 19 : Chứng minh x = (*) 1 + x = ?  1 + y = ? 1 + z = ?  Gợi ý : Tính 1 − x = ?  1 − y = ? nhân nhóm so sánh 1 − z = ?  Bài 20 : Cho a , b , c ba số thực khác Chứng minh : a+b b+c a+c b+c a+c b+a + + = −1 a −b b −c c −a b −c c −a a −b a+b x= ⇒ x + = ? x − = ? a−b b+c ⇒ y + = ? y − = ? Gợi ý : Đặt y = b−c c+a z= ⇒ z + = ? z − = ? c−a triển khai rút gọn kq 19 Bài 21 : Cho a , b , c đôi khác Tính giá trị biểu thức : ab bc ca + + ( b − c) ( c − a) ( c − a) ( a − b) ( a − b) ( b − c) Gợi ý : + Đặt + Tính : a b c ,y= ,z= b−c c−a a −b x +1 = ? x −1 = ?    y − = ? nhân nhóm so sánh  y +1 = ? z +1 = ? z −1 = ?   x= II BẤT ĐẲNG THỨC : Bất đẳng thức Cô si ( cau chy ) : + Với hai số a , b không âm : a+b ≥ ab Đẳng thức xảy a = b + Với ba số a , b , c không âm : a+b+c ≥ abc Đẳng thức xảy a = b = c Bất đẳng thức Bu nhia kovski : Cho 2n số thực a1 ,a2 , ,an ; b1 ,b2 , ,bn Khi : ( a1b1 + + anbn ) ≤ ( a12 + + an2 ) ( b12 + + bn2 ) Dấu đẳng thức xảy ⇔ a1 a2 = = b1 b2 Bài : Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 1 + − < a b c abc Hướng dẫn : + Từ : ( a + b − c ) ≥ ⇒ a + b + c + ( ab − bc − ca ) ≥ + kết hợp giả thiết : a + b + c = 5 ( lưu ý : < ) + Chia vế cho abc ta đpcm Bài : Chứng minh với số a , b , c , d tùy ý ta có : a + b + c + d ≥ ab + ac + ad Hướng dẫn : 2 + Từ BĐT : ( a − 2b ) ≥ , ( a − 2c ) ≥ , ( a − 2d ) ≥ a ≥ + Cộng BĐT suy đpcm Bài : Cho abc = , a > 36 Chứng minh : a2 + b + c > ab + bc + ca a2 + b + c − ab − bc − ca > Hướng dẫn : + Cm : a2 a2 + + b + 2bc + c − ab − ac − 3bc + cách viết : 12 a  a2 a2 2 + b + bc + c − a b + c + − bc ( ) − 3bc > ( kết hợp gt ) ) (  ( ) cm :  12 12 4  Bài : Cho x > y , xy = Chứng minh : (x + y2 ) ( x − y) ≥8 Hướng dẫn : + Đặt x = a , y = b ⇒ ab = , a ≥ , b ≥ ⇒ a + b ≥ ab = ⇒ a + b − ≥ Nhưng x > y nên a + b -2 > + Thay giá trị vào b.thức cm : (x + y2 ) ( x − y) 2 ( a + b) −8 = (x + y2 ) ( x − y) 2 −8 ≥ − 8a − 8b + 16 a + b + 42 + 2ab − 8a − 8b = suy đpcm a+b−2 a+b−2 Bài : a ) Cho a ≥ , b ≥ Chứng minh : a b − + b a − ≤ ab b ) Cho ba số a , b , c đôi khác Chứng minh : ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) 2 ( a − b) ( b − c) ( c − a) 2 ≥2 Hướng dẫn : b −1 a −1 + ≤ ( a ≥ , b ≥ ) b a a −1 b −1 ≤ , ≤ phép biến đổi tđ BĐT cô si cách cm : a b a −1 ≤ cho hai số không âm : a = ( a − 1) + ≥ a − ⇒ a a+b b+c c+a ,y= ,z = b ) + Đặt : x = dễ dàng cm : a −b b−c c−a a ) BĐT cần cm tương đương với : ( x + )( y + )( z + ) = ( x – )( y – )( z – ) + Khai triển rút gọn lại : xy + yz + zx = -1 + Từ : ( x + y + z ) ≥ biến đổi suy đpcm Bài : a ) Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện : x − y2 + y − x2 = (1) Chứng minh : x + y = (2) b ) Từ đẳng thức (2) suy đẳng thức (1) hay không ? giải thích Hướng dẫn : a ) BĐT BuNhia : ( a1b1 + a2b2 ) ≤ ( a12 + a22 ) ( b12 + b22 ) dấu đẳng thức xảy ⇔ Từ (1) ⇒ (x − y2 + − x2 y dấu đẳng thức xảy ⇔ ) a1 a2 = b1 b2 ≤ ( x2 + − x2 ) ( − y2 + y2 ) = 1 − x2 = biến đổi suy đpcm y − y2 x b ) từ (2) suy (1) không chẳng hạn : chọn ( x ; y ) = ( ; -1 ) ( -1 ; ) Bài : a + b + c >  Cho số thực a , b , c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca > abc >  Chứng minh ba số a , b , c số dương Hướng dẫn : Vì abc > nên ba số a , b , c phải có số dương ( giả sử ngược lại ba số âm ⇒ abc < vô lý ) Không tính tổng quát , ta giả sử a > Mà : abc > ⇒ bc > ⇒ b+c-a ⇒ Từ : a + b + c > ( b + c ) < −a ( b + c ) ⇒ ⇒ b + 2bc + c < − ab − ac ab + bc + ca < −b − bc − c ⇒ ab + bc + ca < , vô lý ; trái với giả thiết : ab + bc + ca > Vậy : b > , c > ⇒ đpcm Bài : ) Cho x , y dương Chứng minh : 1 + ≥ x y x+ y Dấu đẳng thức xảy lúc ? ) Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c ( a , b , c độ dài ba cạnh ) Chứng minh : 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p −a p −b p −c a b c Dấu bất đẳng thức xảy lúc tam giác ABC có đặc điểm ? Hướng dẫn : ) Dùng BĐT cô si cho x , y (1) , 1 + x y (2) nhân vế theo vế (1) (2) ) Trước hết Cm mẫu thức dương a+b+c b+c−a −a = > ( tổng độ dài cạnh > cạnh thứ ) 2 1 1 1 + ; + ; + + Áp dụng câu cho : p −a p −b p −b p −c p−c p−a + p−a = Bài : Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a , b , c , chu vi 2p Chứng minh : Hướng dẫn : Cô si : ( p − a ) + ( p − b ) ≥ abc ≥ ( p − a ) ( p − b) ( p − c) ( p − a) ( p − b) ⇒ c≥2 ( p − a ) ( p − b ) ( )…… Bài 10 : x + y + z = Cho x , y , z số thực thỏa mãn điều kiện :  2 x + y + z = Chứng minh : ≤ x, y,z ≤ Hướng dẫn : + Tạo giả thiết : Từ : x + y + z = ⇒ y + z = − x ⇒ + Từ BĐT sẵn có : ( y + z ) ≥ ( y + z ) + giải bpt ta : ≤ x ≤ (2) ( y + z) = ( − x) (1) , (1) vào (2) chứng minh tương tự ta y , z Bài 11 : ) Chứng minh : với x > ta có : x ≥2 x −1 ) Cho a > , b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức E = Hướng dẫn : ) Cách : + Biến đổi từ x > ⇒ + Bằng cách x ≥2 ⇔ x −1 x − > cm : a2 b2 + b −1 a −1 x −2≥0 x −1 x ≥ x − bình phương vế Cách : sử dụng BĐT cô si cho số ( x – ) : x = ( x − 1) + ) Áp dụng câu ( cô si ) : a2 b2 a2 b2 a b E= + ≥2 = b −1 a −1 b −1 a −1 b −1 a −1 Bài 12 : Chứng minh bất đẳng thức sau với x , y số thực x y x2 y Khác không : + + ≥  + ÷ y x y x (1) Hướng dẫn :  x y x2 y + + − 3 + ÷≥ y x  y x x y x y x y ⇒ a = + = + ≥ ( cô si ) ⇒ a ≥ a ≤ −2 Đặt : a = + y x y x y x (1) ⇔ x2 y 2 Và + = a − , (1) ⇔ a − 3a + ≥ ( lập luận thêm ) y x Bài 13 : Cho a , b , c số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn : a + b + c = Chứng minh : a + b + c ≤ Hướng dẫn : Ta có : −1 ≤ a,b,c ≤ ⇒ a + ≥ a − ≤ Tính : ( a + )( a – ) …… Bài 14 : Chứng minh bất đẳng thức : a ) a + b ≥ a 3b + ab3 với a , b với a + b ≥ c ) a + b + c ≥ ab + bc + ca d ) a + b + ≥ ab + a + b với số thực a , b b ) a2 + b2 ≥ Hướng dẫn : 4 a ) Cm : ( a − a b ) + ( b − ab ) ≥ b ) Từ a + b ≥ ⇒ ( a + b) ≥1 ⇒ a + 2ab + b ≥ (1) mà : ( a − b ) ≥ ⇒ a − 2ab + b ≥ (2) , cộng vế theo vế (1) (2) c ) nhân vế BĐT cần Cm cho biến đổi ⇒ đpcm d ) cách làm tương tự câu c ) Bài 15 : Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a + b + c < ( ab + bc + ca ) Hướng dẫn : Sử dụng BĐT cạnh : a < b + c ⇒ a < a ( b + c ) = ab + ac (1) … Bài 16 : Với a > , b > Chứng minh bất đẳng thức : Hướng dẫn : Dùng phép biến đổi tương đương : a b − a≥ b− b a ⇔ (a a b − a≥ b− b a ) a + b b − ab ( ) a+ b ≥0 Bài 17 : Cho ba số thực x , y , z 2 a ) Chứng minh : ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≤ ( x + y + z ) Hướng dẫn : a ) với x , y , z ta có : ( x + y + z) ≥0 ⇒ x + y + z + xy + yz + zx ≥ ⇒ x + y + z ≥ −2 xy − yz − zx ⇒ ( x + y + z ) ≥ x + y + z − xy − yz − zx ( x − y) ≥ + ( y − z) + ( z − x) 2 Bài 19 : Cho a , b hai số thực có tổng Chứng minh : a + b3 ≥ Gợi ý : Biến đổi vế trái + BĐT a + b 2 ( a + b) ≥ 2 Bài 20 : Cho a , b số thực thỏa mãn điều kiện : a + b = + ab ≤ a + b ≤ Dấu đẳng thức xảy ? Chứng minh : Gợi ý : + Từ giả thiết : a + b = + ab ⇒ nhân vế cho để sử dụng đẳng thức ( dạng cực trị ) ⇒ a + b ≤ + từ 2a + 2b = + 2ab bổ sung vào vế cho a + b để a + b ≥ Bài 21 : Cho a , b , c ba số dương thỏa mãn : a + b + c = Chứng minh : ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ a 3b c Gợi ý : 2 Sử dũng BĐT có sẵn : ( a + b ) ≥ 4ab ⇒ ( a + b + c ) = ( a + b ) + c  ≥ ( a + b ) c ⇒ a + b ≥ abc tương tự cho b + c , c + a Bài 22 : Cho a , b , c > Chứng minh : ) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc 2) bc ca ab + + ≥ a+b+c a b c Gợi ý : ) Sử dụng BĐT cô si cho số dương a , b ; b , c ; c , a ) Sử dụng BĐT cô si cho : b c + c a ; c a + a 2b ; a 2b + b 2c tiến hành cộng vế Bài 23 : a b3 c + + ≥ ab + bc + ca Cho a , b , c > Chứng minh : b c a Gợi ý : 3 + Từ BĐT a + b ≥ ab ( a + b ) + Chia vế cho b : với a , b > a3 b3 + b ≥ a ( a + b ) làm tương tự cho + c ……… b c III PHƯƠNG TRÌNH : Bài : Cho phương trình có ẩn số x : x − 2( m − 1) x − − m = ) Chứng tỏ phương trình có nghiệm số với m ) Tìm m cho nghiệm số x1 , x2 phương trình thỏa mãn điều kiện : x12 + x22 ≥ 10 Gợi ý : ) Chứng minh : ∆ ' > với m ) Sử dụng đẳng thức : ( a + b) − 2ab = a2 + b2 Bài : Cho phương trình bậc hai có ẩn x : x2 − 2mx + 2m − = ) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1 , x2 với m ) Đặt A = 2( x1 + x2 ) − 5x1x2 a ) Chứng minh A = 8m2 − 18m + b ) Tìm m cho A = 27 ) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai nghiệm 2 Gợi ý : ) Biến đổi A = ( x1 + x2 ) − 9x1x2 ) Giả sử : x1 = 2x2 , thay vào tổng tích nghiệm Bài : Cho phương trình : ( m − 1) x + 2( m − 1) x − m = ( ẩn số x ) a) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt âm Gợi ý : a ≠ ⇔ a) Phương trình có nghiệm kép  ∆ ' = b) Phương trình có nghiệm phân biệt âm a ≠  ∆ ' > ⇔  x1.x2 > x1 + x2 <  Bài : Cho phương trình : ( m + ) x − ( 2m − 1) x − + m = ) Chứng minh phương trình có nghiệm với m ) Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 tìm giá trị m để nghiệm gấp hai lần nghiệm Bài : Cho phương trình : x − x + m + = a ) Định m để phương trình có nghiệm b ) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 10 Bài : Cho phương trình : x − 2mx + m + = a ) Xác định m để phương trình có nghiệm không âm b ) Khi tính giá trị biểu thức : E = x1 + x2 gợi ý : + Cần xác định m : ∆ ' ≥   x1 x2 ≥ x + x ≥  + E ≥ ⇒ E = E2 Bài : Cho phương trình : 3x − mx + = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn : 3x1 x2 = x2 − gợi ý : Cần tìm m để : ∆ ≥ 3 x x = x − 2   m  x1 + x2 =    x1.x2 =  đáp số : m = IV PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ : ( PT có chứa dấu ) Bài : Cho phương trình : x +1+ x + + x = a ( x ẩn số ) ) Tìm điều kiện x để phương trình có nghĩa ) Với giá trị a phương trình có nghiệm số ? Tính x theo a Bài : Giải phương trình sau : a ) x +1 = x −1 b ) 1− x − + x = c ) 1− x + + x = Bài : x2 + x − = 3+ x x −1 Giải phương trình : Bài : Giải phương trình : a) c) x − 14 =3 3+ x −5 x+ y + z +4 = x−2 +4 y −3 +6 z −5 x−5 − b) − 2x2 = x − Bài : Giải phương trình : 3x − 12 x + 16 + y − y + 13 = Bài : a ) Cho A = 2x + x −1 x −1 Với trị số x A có nghĩa x + 10 , B= B nghĩa b ) Giải phương trình A = B Bài : Giải phương trình : 3x + x = x + x + − x Gợi ý : Chuyển hết vế trái thu gọn đặt ẩn phụ Bài : Giải phương trình : x + x + = 2 x + Gợi ý : Chuyển vế trái , đưa bình phương tổng hiệu Bài : (5−2 6) Giải phương trình : x + ( 5+ 6) Gợi ý : ( 5− 6) ( 5+ 6) =1 Đặt : ( − ) = u > x Bài 10 : Giải phương trình : x + x + + x + =2 x = 10 Gợi ý : + đk + đặt : x+ =t ≥0 Bài 11 : Giải phương trình : − x + x + = x − x + 13 Gợi ý : + Vế phải tìm + vế trái sử dụng BĐT Bu Nhia Côp ski Bài 12 : Cho phương trình : 25 − x − 15 − x = a ) Tính : 25 − x + 15 − x b ) Tìm giá trị thực x thỏa mãn 25 − x − 15 − x = Bài 13 : Giải phương trình : x3 + = x − x + Gợi ý : Đặt : u = x + , t = x − x + ; xét : t − u = ? Bài 14 : Giải phương trình : a ) ( x − x − 1) = ( x + x − ) b ) x − x − = x − x + 12 gợi ý : a ) Biến đổi pt tích tìm nghiệm b ) Đặt ẩn phụ : t = x − x + ; đk ? V PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI : Bài : Giải phương trình : x + = x ( x + 1) Gợi ý : |A.B| = |A|.|B| Bài : Giải phương trình : a ) x2 − 2x + + x2 + 4x + = b ) x + + x −1 + x + − x −1 = c ) + x + x −1 = x − x −1 Bài : Giải phương trình : a ) x − x −1 + x + − x −1 = b ) x + − x −1 + x + + x −1 = c) x + x −1 = x − 2x −1 Bài : Giải phương trình : x − + x − = Gợi ý : Lập bảng xét dấu , bỏ giá trị tuyệt đối , ta có nghiệm : ≤ x2 ≤ ⇔  −2 ≤ x ≤   x ≥   x ≤ −1  Bài : Giải phương trình : a) |x2 + 3x – 4| – 2|x + 3| + = 1 ≤ x ≤ ⇔   −2 ≤ x ≤ −1 x−2 =1 x −1 −1 Gợi ý : a) Biến đổi x + 3x − = ( x − 1) ( x + ) , sau lập bảng xét dấu bỏ GTTĐ b) + ĐK : |x – 1| ≠ + PT đưa dạng : |x – 1| – |x – 2| = 1, lập bảng xét dấu bỏ GTTĐ ⇒ pt có nghiệm : x > b) ...x y4 Bài 10 : Cho + = thay = x + y Chứng minh : a b a+b a) bx2 = ay2 x 2000 y 2000 b) 100 0 + 100 0 = 100 0 a b ( a + b) x4 y + = ⇒ ( ay − bx ) = ⇒ đpcm... + z = - x ⇒ ( y + z ) = − x triển khai thu gọn 1 (a + b) : (a + b) : 3 ( a + b) : ( a + b) : 5 10 10 Bài 13 : Cho a , b , c ba số khác Chứng minh : b−c c−a a −b 2 + + = + + ( a − b) ( a − c) (... bc + ca < , vô lý ; trái với giả thi t : ab + bc + ca > Vậy : b > , c > ⇒ đpcm Bài : ) Cho x , y dương Chứng minh : 1 + ≥ x y x+ y Dấu đẳng thức xảy lúc ? ) Trong tam giác ABC có chu vi 2p =