1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

cac bai hinh tong hoc on thi vao 10

31 228 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 31
Dung lượng 1,23 MB

Nội dung

Bµi tËp H×nh tỉng hỵp C©u IV(3,5®): HN Cho ®êng trßn (O;R) vµ ®iĨm A n»m bªn ngoµi ®êng trßn KỴ tiÕp tun AB, AC víi ®êng trßn (B, C lµ c¸c tiÕp ®iĨm) 1/ Chøng minh ABOC lµ tø gi¸c néi tiÕp 2/ Gäi E lµ giao ®iĨm cđa BC vµ OA Chøng minh BE vu«ng gãc víi OA vµ OE.OA = R2 3/ Trªn cung nhá BC cđa ®êng trßn (O;R) lÊy ®iĨm K bÊt kú (K kh¸c B vµ C) TiÕp tun t¹i K cđa ®êng trßn (O;R) c¾t AB, AC theo thø tù t¹i P, Q Chøng minh tam gi¸c APQ cã chu vi kh«ng ®ỉi K chun ®éng trªn cung nhá BC 4/ §êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi OA c¾t c¸c ®êng th¼ng AB, AC theo thø tù t¹i c¸c ®iĨm M, N Chøng minh PM + QN ≥ MN C©u V: (4,0®) C tho Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, cã AB = 14, BC = 50 §êng ph©n gi¸c cđa gãc ABC vµ ®êng trung trùc cđa c¹nh AC c¾t t¹i E Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn X¸c ®Þnh t©m O cđa ®êng trßn nµy TÝnh BE VÏ ®êng kÝnh EF cđa ®êng trßn t©m (O) AE vµ BF c¾t t¹i P Chøng minh c¸c ®êng th¼ng BE, PO, AF ®ång quy TÝnh diƯn tÝch phÇn h×nh trßn t©m (O) n»m ngoµi ngò gi¸c ABFCE Bµi 4: (2,75®) hue Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R VÏ tiÕp tun d víi ®êng trßn (O) t¹i B Gäi C vµ D lµ hai ®iĨm t ý trªn tiÕp tun d cho B n»m gi÷a C vµ D C¸c tia AC vµ AD c¾t (O) lÇn lỵt t¹i E vµ F (E, F kh¸c A) Chøng minh: CB2 = CA.CE Chøng minh: tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®êng trßn t©m (O’) Chøng minh: c¸c tÝch AC.AE vµ AD.AF cïng b»ng mét sè kh«ng ®ỉi TiÕp tun cđa (O’) kỴ tõ A tiÕp xóc víi (O’) t¹i T Khi C hc D di ®éng trªn d th× ®iĨm T ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh nµo? C©u V: HCM Cho tam gi¸c ABC (AB CD C©u IV: (3,0®) NghƯ An Cho ®êng trßn (O;R), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh vµ CD lµ mét ®êng kÝnh thay ®ỉi kh«ng trïng víi AB TiÕp tun cđa ®êng trßn (O;R) t¹i B c¾t c¸c ®êng th¼ng AC vµ AD lÇn lỵt t¹i E vµ F Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2 Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®êng trßn Gäi I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CEFD Chøng minh r»ng t©m I lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh Bµi (3,0 ®iĨm) QUẢNG NINH Cho ®iĨm M n»m ngoµi ®êng trßn (O;R) Tõ M kỴ hai tiÕp tun MA , MB ®Õn ®êng trßn (O;R) ( A; B lµ hai tiÕp ®iĨm) a) Chøng minh MAOB lµ tø gi¸c néi tiÕp b) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c AMB nÕu cho OM = 5cm vµ R = cm c) KỴ tia Mx n»m gãc AMO c¾t ®êng trßn (O;R) t¹i hai ®iĨm C vµ D ( C n»m gi÷a M vµ D ) Gäi E lµ giao ®iĨm cđa AB vµ OM Chøng minh r»ng EA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CED Bài : (3 điểm) HẢI PHỊNG Cho tam giác ABC vng A Một đường tròn (O) qua B C cắt cạnh AB , AC tam giác ABC D E ( BC khơng đường kính đường tròn tâm O).Đường cao AH tam giác ABC cắt DE K · · 1.Chứng minh ADE = ACB 2.Chứng minh K trung điểm DE 3.Trường hợp K trung điểm AH Chứng minh đường thẳng DE tiếp tuyến chung ngồi đường tròn đường kính BH đường tròn đường kính CH Bài 4: (3,5 điểm) KIÊN GIANG Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R Trên tia đối AB lấy điểm C cho BC = R, đường tròn lấy điểm D cho BD = R, đường thẳng vng góc với BC C cắt tia AD M a) Chứng minh tứ giác BCMD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tam giác ABM tam giác cân c) Tính tích AM.AD theo R d) Cung BD (O) chia tam giác ABM thành hai hần Tính diện tích phần tam giác ABM nằm ngồi (O) Bài : (3,5 điểm) AN GIANG Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB dây CD vng góc với (CA < CB) Hai tia BC DA cắt E Từ E kẻ EH vng góc với AB H ; EH cắt CA F Chứng minh : 1/ Tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn 2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng 3/ HC tiếp tuyến đường tròn (O) Bài (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho đường tròn (O; R) A điểm nằm bên ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) 1)Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp 2)Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA=R2 3)Trên cung nhỏ BC đường tròn (O; R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC 4)Đường thẳng qua O, vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M, N Chứng minh PM + QN ≥ MN Bài (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DM, đường thẳng cắt đường thẳng DM DC theo thứ tự H K Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; · Tính CHK ; Chứng minh KH.KB = KC.KD; Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC N Chứng minh 1 = + 2 AD AM AN Câu 8:( 3,0 điểm) VĨNH PHÚC Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB kẻ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường tròn đường kính IC cắt IK P ( P khác I) a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn, rõ đường tròn · · b, Chứng minh CIP = PBK c, Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích tứ giác ABKI lớn Bài (3,5 điểm) THANH HĨA Cho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R Trên tia đối tia BA lấy điểm G (khác với điểm B) Từ điểm G; A; B kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B C D Gọi N tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BDNO nội tiếp Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ suy CN DN = CG DG · Đặt BOD = α Tính độ dài đoạn thẳng AC BD theo R α Chứng tỏ tích AC.BD phụ thuộc R, khơng phụ thuộc α Bài ( 3,5 điểm ) ĐÀ NẲNG Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C khơng trùng với M, N B Nối AC cắt MN E a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆AME ∆ACM AM2 = AE.AC c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2 d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Câu : PHÚ N ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường tròn đường kính AB = 2R Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp b) Chứng minh : DB.DC = DN.AC c) Xác định vị trí điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn tính diện tích trường hợp Bµi 4: (3,0 ®iĨm) hƯng yªn Cho A lµ mét ®iĨm trªn ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R Gäi B lµ ®iĨm ®èi xøng víi O qua A KỴ ®êng th¼ng d ®i qua B c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D (d kh«ng ®i qua O, BC < BD) C¸c tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) t¹i C vµ D c¾t t¹i E Gäi M lµ giao ®iĨm cđa OE vµ CD KỴ EH vu«ng gãc víi OB (H thc OB) Chøng minh r»ng: a) Bèn ®iĨm B, H,M, E cïng thc mét ®êng trßn b) OM.OE = R2 c) H lµ trung ®iĨm cđa OA Bài ( Cho tam giác ABC có góc A 60 0, góc B, C nhọn vẽ đường cao BD CE tam giác ABC Gọi H giao điểm BD CE a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB c/ Tính tỉ số DE BC d/ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA vng góc với DE Câu (3,5 điểm) QUẢNG TRỊ Cho điểm A nằm ngồi đường tròn tâm O bán kính R Từ A kẻ đường thẳng (d) khơng qua tâm O, cắt đường tròn (O) B C ( B nằm A C) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) B C cắt D Từ D kẻ DH vng góc với AO (H nằm AO), DH cắt cung nhỏ BC M Gọi I giao điểm DO BC Chứng minh OHDC tứ giác nội tiếp Chứng minh OH.OA = OI.OD Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn (O) Cho OA = 2R Tính theo R diện tích phần tam giác OAM nằm ngồi đường tròn (O) C©u IV : (3,0 ®iĨm) H¶i d Ư¬ng Cho ®êng trßn (O), d©y AB kh«ng ®i qua t©m Trªn cung nhá AB lÊy ®iĨm M (M kh«ng trïng víi A, B) KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i H KỴ MK vu«ng gãc víi AN ( K ∈ AN ) 1) Chøng minh: Bèn ®iĨm A, M, H, K thc mét ®êng trßn 2) Chøng minh: MN lµ ph©n gi¸c cđa gãc BMK 3) Khi M di chun trªn cung nhá AB Gäi E lµ giao ®iĨm cđa HK vµ BN X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm M ®Ĩ (MK.AN + ME.NB) cã gi¸ trÞ lín nhÊt Câu 4:(3 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc Cho tam giác MNP cân M có cậnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn ( O;R) Tiếp tuyến N P đường tròn cắt tia MP tia MN E D a) Chứng minh: NE2 = EP.EM a) Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp b) Qua P kẻ đường thẳng vng góc với MN cắt đường tròn (O) K ( K khơng trùng với P) Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2 Bµi 4: Hµ Giang (3,0 ®iĨm ) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O, ba ®êng cao AD, BE, CF cđa tam gi¸c ABC c¾t ë H KÐo dµi AO c¾t ®êng trßn t¹i M, AD c¾t ®êng trßn O ë K ( K kh¸c A, M kh¸c A) Chøng minh r»ng : a, MK song song BC b, DH = DK c, HM ®i qua trung ®iĨm I cđa BC Bài 4: (3 điểm) BÌNH THUẬN Cho tam giác ABC vng A có cạnh AB = 4,5 cm; AC = cm 1/ Tính độ dài đường cao AH diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2/ Trên cạnh AC lấy điểm M vẽ đường tròn (O) đường kính MC, BM cắt (O) D; DA cắt (O) S; (O) cắt BC N Chứng minh: a/ Các tứ giác ABCD, ABNM nội tiếp b/ CA phân giác góc SCB Câu 4: (3đ) Long An Cho đường tròn (O) đường kính AB, C điểm nằm O A Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt (O) P,Q.Tiếp tuyến D cung nhỏ BP, cắt PQ E; AD cắt PQ F Chứng minh: a/ Tứ giác BCFD tứ giác nội tiếp b/ED=EF c/ED2=EP.EQ C©u 6: (3,0 ®iĨm) B¾c Ninh Cho nưa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB Tõ ®iĨm M trªn tiÕp tun Ax cđa nưa ®êng trßn vÏ tup tun thø hai MC(C lµ tiÕp ®iĨm) H¹ CH vu«ng gãc víi AB, ®êng th¼ng MB c¾t ®êng trßn (O) t¹i Q vµ c¾t CH t¹i N Gäi giao ®iĨm cđa MO vµ AC lµ I Chøng minh r»ng: a/ Tø gi¸c AMQI néi tiÕp b/ ·AQI = ·ACO c/ CN = NH C©u V:(3,0 ®iĨm) B¾c giang 1/ Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O C¸c ®êng cao BH vµ CK tam gi¸c ABC c¾t t¹i ®iĨm I KỴ ®êng kÝnh AD cđa ®êng trßn t©m O, c¸c ®o¹n th¼ng DI vµ BC c¾t t¹i M.Chøng minh r»ng a/Tø gi¸c AHIK néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn b/OM ⊥ BC 2/Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A,c¸c ®êng ph©n gi¸c cđa go¸c B vµ gãc C c¾t c¸c c¹nh AC vµ AB lÇn lỵt t¹i D vµ E Gäi H lµ giao ®iĨm cđa BD vµ CE, biÕt AD=2cm, DC= cm tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng HB C©u V:(3,0 ®iĨm) B¾c giang Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB cè ®Þnh H thc ®o¹n th¼ng OA( H kh¸c A;O vµ trung ®iĨm cđa OA) KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i H MN c¾t AK t¹i E Chøng minh tø gi¸c HEKB néi tiÕp Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c AKM Cho ®iĨm H cè ®Þnh, x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa K ®Ĩ kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MKE nhá nhÊt Bài 4: (3,5 điểm) ĐĂK LĂK Cho tam giác vng cân ADB ( DA = DB) nội tiếp đường tròn tâm O Dựng hình bình hành ABCD ; Gọi H chân đường vng góc kẻ từ D đến AC ; K giao điểm AC với đường tròn (O) Chứng minh rằng: 1/ HBCD tứ giác nội tiếp · · 2/ DOK = 2.BDH 3/ CK CA = 2.BD Bµi (3,5®iĨm) B×NH D¦¥NG Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB cã b¸n kÝnh R, tiÕp tun Ax Trªn tiÕp tun Ax lÊy ®iĨm F cho BF c¾t ®êng trßn t¹i C, tia ph©n gi¸c cđa gãc ABF c¾t Ax t¹i E vµ c¾t ®êng trßn t¹i D a) Chøng minh OD // BC b) Chøng minh hƯ thøc : BD.BE = BC.BF c) Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp d) X¸c ®Þnh sè ®o cđa gãc ABC ®Ĩ tø gi¸c AOCD lµ h×nh thoi TÝnh diƯn tÝch h×nh thoi AOCD theo R Bµi (3,0 ®iĨm): qu¶ng b×nh Cho tam gi¸c PQR vu«ng c©n t¹i P Trong gãc PQR kỴ tia Qx bÊt kú c¾t PR t¹i D (D kh«ng trïng víi P vµ D kh«ng trïng víi R) Qua R kỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi Qx t¹i E Gäi F lµ giao ®iĨm cđa PQ vµ RE d) Chøng minh tø gi¸c QPER néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn e) Chøng minh tia EP lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DEF f) TÝnh sè ®o gãc QFD g) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n th¼ng QE Chøng minh r»ng ®iĨm M lu«n n»m trªn cung trßn cè ®Þnh tia Qx thay ®ỉi vÞ trÝ n»m gi÷a hai tia QP vµ QR Bài 4: (4,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUN Cho tam giác ABC ( AB < AC) có góc nhọn Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự E D 1/ Chứng minh AD.AC = AE.AB 2/ Gọi H giao điểm DB CE Gọi K giao điểm AH BC Chứng minh AH ⊥ BC 3/ Từ A kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (O) (M,N tiếp điểm).Chứng · · minh ANM = AKN 4/ Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng Bµi Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) C¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t t¹i H vµ c¾t ®êng trßn (O) lÇn lỵt t¹i M,N,P Chøng minh r»ng: Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp Bèn ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H vµ M ®èi xøng qua BC X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: ∠ CEH = 900 ( V× BE lµ ®êng cao) ∠ CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 Mµ ∠ CEH vµ ∠ CDH lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900 CF lµ ®êng cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900 Nh vËy E vµ F cïng nh×n BC díi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC VËy ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: ∠ AEH = ∠ ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung => ∆ AEH ∼ ∆ADC => AE AH = => AE.AC = AH.AD AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: ∠ BEC = ∠ ADC = 900 ; ∠C lµ gãc chung => ∆ BEC ∼ ∆ADC => BE BC = => AD.BC = BE.AC AD AC Ta cã ∠C1 = ∠A1 ( v× cïng phơ víi gãc ABC) ∠C2 = ∠A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => ∠C1 = ∠ C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc HCM; l¹i cã CB ⊥ HM => ∆ CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®¬ng trung trùc cđa HM vËy H vµ M ®èi xøng qua BC Theo chøng minh trªn ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ∠C1 = ∠E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp ∠C1 = ∠E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) ∠E1 = ∠E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc FED Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t t¹i H ®ã H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF Bµi Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao AD, BE, c¾t t¹i H Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE ∠ CEH = 900 ( V× BE lµ ®êng cao) Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bèn ®iĨm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh ED = BC Chøng minh DE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = Cm, AH = Cm Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: ∠ CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 Mµ ∠ CEH vµ ∠ CDH lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900 AD lµ ®êng cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900 Nh vËy E vµ D cïng nh×n AB díi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB VËy ®iĨm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng trung tun => D lµ trung ®iĨm cđa BC Theo trªn ta cã ∠BEC = 900 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tun => DE = BC V× O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iĨm cđa AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => ∠E1 = ∠A1 (1) Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => ∠E3 = ∠B1 (2) Mµ ∠B1 = ∠A1 ( v× cïng phơ víi gãc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 Mµ ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE t¹i E VËy DE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) t¹i E Theo gi¶ thiÕt AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm ¸p dơng ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bµi Cho nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R Tõ A vµ B kỴ hai tiÕp tun Ax, By Qua ®iĨm M thc nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun thø ba c¾t c¸c tiÕp tun Ax , By lÇn lỵt ë C vµ D C¸c ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t t¹i N Chøng minh AC + BD = CD Lêi gi¶i: Chøng minh ∠COD = 90 Chøng minh AC BD = AB 4 Chøng minh OC // BM Chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD Chøng minh MN ⊥ AB X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc BOM, mµ ∠AOM vµ ∠BOM lµ hai gãc kỊ bï => ∠COD = 900 Theo trªn ∠COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM ⊥ CD ( OM lµ tiÕp tun ) ¸p dơng hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM DM, Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = AB Theo trªn ∠COD = 90 nªn OC ⊥ OD (1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cđa BM => BM ⊥ OD (2) Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD) 10 => ∠OPM = ∠OCM XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã ∠MOC = ∠OMP = 900; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2) Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã ∠MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠MOC =∠DNC = 900 l¹i cã ∠C lµ gãc chung => ∆OMC ∼∆NDC => CM CO => CM CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®ỉi => = CD CN CM.CN =2R2 kh«ng ®ỉi hay tÝch CM CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm M ( HD) DƠ thÊy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 900 => P ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨn A , VÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn Lêi gi¶i: Ta cã : ∠BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠AEH = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) (1) ∠CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠AFH = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï).(2) ∠EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng) Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn =>∠F1=∠H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) Theo gi¶ thiÕt AH ⊥BC nªn AH lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (O1) vµ (O2) => ∠B1 = ∠H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => ∠B1= ∠F1 => ∠EBC+∠EFC = ∠AFE + ∠EFC mµ ∠AFE + ∠EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kỊ bï) => 17 ∠EBC+∠EFC = 1800 mỈt kh¸c ∠EBC vµ ∠EFC lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c BEFC ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã ∠A = 900 lµ gãc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Chøng minh trªn) => ∆AEF ∼∆ACB => AE AF = => AE AB = AF AC AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE ⊥ AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF ⊥ AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => ∆IEH c©n t¹i I => ∠E1 = ∠H1 ∆O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => ∠E2 = ∠H2 => ∠E1 + ∠E2 = ∠H1 + ∠H2 mµ ∠H1 + ∠H2 = ∠AHB = 900 => ∠E1 + ∠E2 = ∠O1EF = 900 => O1E ⊥EF Chøng minh t¬ng tù ta còng cã O2F ⊥ EF VËy EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn Bµi 14 Cho ®iĨm C thc ®o¹n th¼ng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vỊ mét phÝa cđa AB c¸c nưa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nưa ®êng trßn (O) t¹i E Gäi M N theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa EA, EB víi c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) Chøng minh EC = MN Chøng minh MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) TÝnh MN TÝnh diƯn tÝch h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn Lêi gi¶i: Ta cã: ∠BNC= 900( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn t©m K) => ∠ENC = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) (1) ∠AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m I) => ∠EMC = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï).(2) ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn t©m O) hay ∠MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) Theo gi¶ thiÕt EC ⊥AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (I) vµ (K) => ∠B1 = ∠C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN) Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => ∠C1= ∠N3 => ∠B1 = ∠N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => ∠B1 = ∠N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => ∠N1 = ∠N3 mµ ∠N1 + ∠N2 = ∠CNB = 900 => ∠N3 + ∠N2 = ∠MNK = 900 hay MN ⊥ KN t¹i N => MN lµ tiÕp tun cđa (K) t¹i N Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tun cđa (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) 18 Ta cã ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m O) => ∆AEB vu«ng t¹i A cã EC ⊥ AB (gt) => EC2 = AC BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = π OA2 = π 252 = 625 π ; S(I) = π IA2 = π 52 = 25 π ; S(k) = π KB2 = π 202 = 400 π Ta cã diƯn tÝch phÇn h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn lµ S = S= ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 ( 625 π - 25 π - 400 π ) = 200 π = 100 π ≈ 314 (cm2) 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Trªn c¹nh AC lÊy ®iĨm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB Gäi E lµ giao ®iĨm cđa BC víi ®êng trßn (O) Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE Chøng minh ®iĨm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE Lêi gi¶i: Ta cã ∠CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠CDB = 900 nh vËy D vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠D1= ∠C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB) ¼ = EM ¼ => ∠C2 = ∠C3 (hai gãc néi tiÕp ®êng trßn (O) ch¾n hai cung ∠D1= ∠C3 => SM b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB XÐt ∆CMB Ta cã BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy ¼ = EM ¼ => ∠D1= ∠D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE.(1) Theo trªn Ta cã SM Ta cã ∠MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn (O)) => ∠MEB = 900 19 Tø gi¸c AMEB cã ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®êng trßn => ∠A2 = ∠B2 Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠A1= ∠B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => ∠A1= ∠A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u : ∠ABC = ∠CME (cïng phơ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cïng bï ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS » = CS » => SM ¼ = EM ¼ => ∠SCM = ∠ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB => CE Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E C¸c ®êng thẳng CD, AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i F, G Chøng minh : Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG C¸c ®êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy Lêi gi¶i: XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠DEB = ∠BAC = 900 ; l¹i cã ∠ABC lµ gãc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB Theo trªn ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (v× hai gãc kỊ bï); ∠BAC = 900 ( v× ∆ABC vu«ng t¹i A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp * ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) hay ∠BFC = 900 nh vËy F vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠E1 = ∠C1 l¹i cã ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le nªn suy AC // FG (HD) DƠ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S Bµi 17 Cho tam gi¸c ®Ịu ABC cã ®êng cao lµ AH Trªn c¹nh BC lÊy ®iĨm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B C, H ) ; tõ M kỴ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB AC Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã Chøng minh r»ng MP + MQ = AH Chøng minh OH ⊥ PQ Lêi gi¶i: => ∠AQM = 900 nh vËy P vµ Q cïng Ta cã MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn P (gt) 20 vµ Q cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp * V× AM lµ ®êng kÝnh cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung ®iĨm cđa AM 2 Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao => SABC = BC.AH Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®êng cao => SABM = AB.MP Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®êng cao => SACM = AC.MQ Ta cã SABM + SACM = SABC => 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = 2 BC.AH Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Ịu) => MP + MQ = AH Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng ph©n gi¸c => ∠HAP = ∠HAQ => » = HQ ¼ ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n HP gi¸c gãc POQ Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy OH còng lµ ®êng cao => OH ⊥ PQ Bµi 18 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iĨm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iĨm M ë ngoµi ®êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh c¸c ®êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I Gäi K lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp Lêi gi¶i: Ta cã : ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠MCI = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠MDI = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) => ∠MCI + ∠MDI = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MCID nªn MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn Ta cã BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nªn BC vµ AD lµ hai ®êng cao cđa tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t t¹i I nªn I lµ trùc t©m cđa tam gi¸c MAB Theo gi¶ thiÕt th× MH ⊥ AB nªn MH còng lµ ®êng cao cđa tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I ∆OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => ∠A1 = ∠C4 ∆KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => ∠M1 = ∠C1 21 Mµ ∠A1 + ∠M1 = 900 ( tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => ∠C1 + ∠C4 = 900 => ∠C3 + ∠C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bĐt) hay ∠OCK = 900 XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã ∠OHK = 900; ∠OCK = 900 => ∠OHK + ∠OCK = 1800 mµ ∠OHK vµ ∠OCK lµ hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi 19 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iĨm B t ý (B kh¸c O, C ) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n AB Qua M kỴ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB Nèi CD, KỴ BI vu«ng gãc víi CD Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chøng minh MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Lêi gi¶i: ∠BIC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BID = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï); DE ⊥ AB t¹i M => ∠BMD = 900 => ∠BID + ∠BMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iĨm cđa DE (quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AD ⊥ DC; theo trªn BI ⊥ DC => BI // AD (1) Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2) Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.) I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tun ( v× M lµ trung ®iĨm cđa DE) =>MI = ME => ∆MIE c©n t¹i M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠I3 = ∠C1 mµ ∠C1 = ∠E1 ( Cïng phơ víi gãc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 Mµ ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi 20 Cho ®êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi t¹i C Gäi AC vµ BC lµ hai ®êng kÝnh ®i qua ®iĨm C cđa (O) vµ (O’) DE lµ d©y cung cđa (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iĨm M cđa AB Gäi giao ®iĨm thø hai cđa DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G Chøng minh r»ng: Tø gi¸c MDGC néi tiÕp ∠BGC = 900 ( néi tiÕp ch¾n Bèn ®iĨm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng nưa ®êng trßn ) trßn => ∠CGD = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi B, E, F th¼ng hµng DF, EG, AB ®ång quy MF = 1/2 DE MF lµ tiÕp tun cđa (O’) Lêi gi¶i: 22 Theo gi¶ thiÕt DE ⊥ AB t¹i M => ∠CMD = 900 => ∠CGD + ∠CMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BFD = 900; ∠BMD = 900 (v× DE ⊥ AB t¹i M) nh vËy F vµ M cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iĨm cđa DE (quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AD ⊥ DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE lµ h×nh tho => BE // AD mµ AD ⊥ DF nªn suy BE ⊥ DF Theo trªn ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => BF ⊥ DF mµ qua B chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DF ®o B, E, F th¼ng hµng Theo trªn DF ⊥ BE; BM ⊥ DE mµ DF vµ BM c¾t t¹i C nªn C lµ trùc t©m cđa tam gi¸c BDE => EC còng lµ ®êng cao => EC⊥BD; theo trªn CG⊥BD => E,C,G th¼ng hµng VËy DF, EG, AB ®ång quy Theo trªn DF ⊥ BE => ∆DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tun (v× M lµ trung ®iĨm cđa DE) suy MF = 1/2 DE ( v× tam gi¸c vu«ng trung tun thc c¹nh hun b»ng nưa c¹nh hun) (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => ∆MDF c©n t¹i M => ∠D1 = ∠F1 ∆O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠F3 = ∠B1 mµ ∠B1 = ∠D1 (Cïng phơ víi ∠DEB ) => ∠F1 = ∠F3 => ∠F1 + ∠F2 = ∠F3 + ∠F2 Mµ ∠F3 + ∠F2 = ∠BFC = 900 => ∠F1 + ∠F2 = 900 = ∠MFO’ hay MF ⊥ O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi 21 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Gäi I lµ trung ®iĨm cđa OA VÏ ®êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q Chøng minh r»ng c¸c ®êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc ∆OAQ c©n t¹i O ( v× t¹i A OA vµ OQ cïng lµ b¸n Chøng minh IP // OQ kÝnh ) => ∠A1 = ∠Q1 Chøng minh r»ng AP = PQ X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa P ®Ĩ tam gi¸c AQB cã diƯn tÝch lín ∆IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ nhÊt IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => Lêi gi¶i: ∠A1 = ∠P1 Ta cã OI = OA – IA mµ OA vµ IA lÇn lỵt lµ c¸c b¸n kÝnh cđa ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (I) VËy ®êng trßn (O) vµ ®- => ∠P1 = ∠Q1 mµ ®©y lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy êng trßn (I) tiÕp xóc t¹i A IP // OQ 23 ∠APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => OP ⊥ AQ => OP lµ ®êng cao cđa ∆OAQ mµ ∆OAQ c©n t¹i O nªn OP lµ ®êng trung tun => AP = PQ (HD) KỴ QH ⊥ AB ta cã SAQB = AB.QH mµ AB lµ ®êng kÝnh kh«ng ®ỉi nªn SAQB lín nhÊt QH lín nhÊt QH lín nhÊt Q trïng víi trung ®iĨm cđa cung AB §Ĩ Q trïng víi trung ®iĨm cđa cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iĨm cđa cung AO ThËt vËy P lµ trung ®iĨm cđa cung AO => PI ⊥ AO mµ theo trªn PI // QO => QO ⊥ AB t¹i O => Q lµ trung ®iĨm cđa cung AB vµ ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt Bµi 22 Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iĨm E thc c¹nh BC Qua B kỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp TÝnh gãc CHK Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chun trªn c¹nh BC th× H di chun trªn ®êng nµo? Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn ∠BCD = 900; BH ⊥ DE t¹i H nªn ∠BHD = 900 => nh vËy H vµ C cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn H vµ C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠BDC + ∠BHC = 1800 (1) ∠BHK lµ gãc bĐt nªn ∠KHC + ∠BHC = 1800 (2) Tõ (1) vµ (2) => ∠CHK = ∠BDC mµ ∠BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => ∠CHK = 450 XÐt ∆KHC vµ ∆KDB ta cã ∠CHK = ∠BDC = 450 ; ∠K lµ gãc chung => ∆KHC ∼ ∆KDB => KC KH = => KC KD = KH.KB KB KD (HD) Ta lu«n cã ∠BHD = 900 vµ BD cè ®Þnh nªn E chun ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chun ®éng trªn cung BC (E ≡ B th× H ≡ B; E ≡ C th× H ≡ C) Bµi 23 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Dùng ë miỊn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE Chøng minh ba ®iĨm H, A, D th¼ng hµng §êng th¼ng HD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c 24 ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n Cho biÕt ∠ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iĨm cđa BF vµ ED, Chøng minh ®iĨm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh MC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => ∠BAH = 450 Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => ∠CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => ∠BAC = 900 => ∠BAH + ∠BAC + ∠CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iĨm H, A, D th¼ng hµng Ta cã ∠BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F (1) ∠FBC = ∠FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn ∠CAD = 450 hay ∠FAC = 450 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ∆FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F Theo trªn ∠BFC = 900 => ∠CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kỊ bï); ∠CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng) => ∠CFM + ∠CDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®êng trßn suy ∠CDF = ∠CMF , mµ ∠CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => ∠CMF = 450 hay ∠CMB = 450 Ta còng cã ∠CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); ∠BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng) Nh vËy K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => ®iĨm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn ∆CBM cã ∠B = 450 ; ∠M = 450 => ∠BCM =450 hay MC ⊥ BC t¹i C => MC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Bµi 24 Cho tam gi¸c nhän ABC cã ∠B = 450 VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AC cã t©m O, ®êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E Chøng minh AE = EB => ∆AEB lµ tam gi¸c vu«ng Gäi H lµ giao ®iĨm cđa CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®- c©n t¹i E => EA = EB êng trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa A BH D Chøng minh OD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp F tam gi¸c BDE O H Lêi gi¶i: / _ ∠AEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) _K / I => ∠AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kỊ bï); Theo gi¶ thiÕt ∠ABE B E C = 450 1 Gäi K lµ trung ®iĨm cđa HE (1) ; I lµ trung ®iĨm cđa HB => IK lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c HBE => IK // BE mµ ∠AEC = 900 nªn BE ⊥ HE t¹i E => IK ⊥ HE t¹i K (2) Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cđa HE VËy trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH theo trªn I thc trung trùc cđa HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iĨm cđa BH => IE = IB 25 ∠ ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BDH = 900 (kỊ bï ∠ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tun (do I lµ trung ®iĨm cđa BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID Ta cã ∆ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => ∠D1 = ∠C1 (3) ∆IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => ∠D2 = ∠B1 (4) Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®êng cao cđa tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®êng cao cđa tam gi¸c ABC => BH ⊥ AC t¹i F => ∆AEB cã ∠AFB = 900 Theo trªn ∆ADC cã ∠ADC = 900 => ∠B1 = ∠C1 ( cïng phơ ∠BAC) (5) Tõ (3), (4), (5) =>∠D1 = ∠D2 mµ ∠D2 +∠IDH =∠BDC = 900=> ∠D1 +∠IDH = 900 = ∠IDO => OD ⊥ ID t¹i D => OD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE Bµi 25 Cho ®êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R) KỴ c¸c tiÕp tun víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C chóng c¾t t¹i A Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iĨm M råi kỴ c¸c ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK xng c¸c c¹nh t¬ng øng BC, AC, AB Gäi giao ®iĨm cđa BM, IK lµ P; giao ®iĨm cđa CM, IH lµ Q Chøng minh tam gi¸c ABC c©n C¸c tø gi¸c BIMK, Tõ (1) vµ (2) => ∆MKI CIMH néi tiÕp MI MK Chøng minh MI2 = MH.MK Chøng minh PQ ⊥ MI ∆MIH => MH = MI => Lêi gi¶i: MI2 = MH.MK Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã AB = AC => ∆ABC c©n t¹i A Theo gi¶ thiÕt MI ⊥ BC => ∠MIB = 900; MK ⊥ AB => ∠MKB = 900 => ∠MIB + ∠MKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t¬ng tù tø gi¸c BIMK ) Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠KMI + ∠KBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ∠HMI + ∠HCI = 1800 mµ ∠KBI = ∠HCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) => ∠KMI = ∠HMI (1) Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠B1 = ∠I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ∠H1 = ∠C1 ( néi tiÕp ¼ ) => ∠I1 = cïng ch¾n cung IM) Mµ ∠B1 = ∠C1 ( = 1/2 s® BM ∠H1 (2) Theo trªn ta cã ∠I1 = ∠C1; còng chøng minh t¬ng tù ta cã ∠I2 = ∠B2 mµ ∠C1 + ∠B2 + ∠BMC = 1800 => ∠I1 + ∠I2 + ∠BMC = 1800 hay ∠PIQ + ∠PMQ = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => ∠Q1 = ∠I1 mµ ∠I1 = ∠C1 => ∠Q1 = ∠C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) Theo gi¶ thiÕt MI ⊥BC nªn suy IM ⊥ PQ Bµi 26 Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R VÏ d©y cung CD ⊥ AB ë H Gäi M lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung CB, I lµ giao ®iĨm cđa CB vµ OM K lµ giao ®iĨm cđa AM vµ CB Chøng minh : 26 KC AC = KB AB AM lµ tia ph©n gi¸c cđa ∠CMD Tø gi¸c OHCI néi tiÕp Chøng minh ®êng vu«ng gãc kỴ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i M » = MC ¼ » Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa BC => MB => ∠CAM = ∠BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CAB => KC AC ( t/c tia ph©n gi¸c cđa = KB AB tam gi¸c ) » => ∠CMA = ∠DMA => MA (HD) Theo gi¶ thiÕt CD ⊥ AB => A lµ trung ®iĨm cđa CD lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CMD » (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa BC => OM ⊥ BC t¹i I => ∠OIC = 900 ; CD ⊥ AB t¹i H => ∠OHC = 900 => ∠OIC + ∠OHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp KỴ MJ ⊥ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC) Theo trªn OM ⊥ BC => OM ⊥ MJ t¹i J suy MJ lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i M Bµi 27 Cho ®êng trßn (O) vµ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn C¸c tiÕp tun víi ®êng trßn (O) kỴ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C Gäi M lµ ®iĨm t ý trªn ®êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kỴ MH ⊥ BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB Chøng minh : Tø gi¸c ABOC néi tiÕp ∠BAO = ∠ BCO ∆MIH ∼ ∆MHK MI.MK = MH Lêi gi¶i: (HS tù gi¶i) Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => ∠BAO = ∠ BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO) Theo gi¶ thiÕt MH ⊥ BC => ∠MHC = 900; MK ⊥ CA => ∠MKC = 900 => ∠MHC + ∠MKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => ∠HCM = ∠HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM) Chøng minh t¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => ∠MHI = ∠MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) ¼ ) => ∠HKM = ∠MHI (1) Chøng minh t¬ng tù ta còng Mµ ∠HCM = ∠MBI ( = 1/2 s® BM cã ∠KHM = ∠HIM (2) Tõ (1) vµ (2) => ∆ HIM ∼ ∆ KHM 27 MI MH = Theo trªn ∆ HIM ∼ ∆ KHM => => MI.MK = MH2 MH MK Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) Gäi H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC; E lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua BC; F lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm I cđa BC Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh E, F n»m trªn ®êng trßn (O) Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n Gäi G lµ giao ®iĨm cđa AI vµ OH Chøng minh G lµ träng t©m cđa tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm I cđa BC => I lµ trung ®iĨm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®êng chÐo c¾t t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => ∠BAC + ∠B’HC’ = 1800 mµ ∠BHC = ∠B’HC’ (®èi ®Ønh) => ∠BAC + ∠BHC = 1800 Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => ∠BHC = ∠BFC => ∠BFC + ∠BAC = 1800 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thc (O) * H vµ E ®èi xøng qua BC => ∆BHC = ∆BEC (c.c.c) => ∠BHC = ∠BEC => ∠ BEC + ∠BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thc (O) Ta cã H vµ E ®èi xøng qua BC => BC ⊥ HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iĨm cđa cđa HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE ⊥ HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang (3) Theo trªn E ∈(O) => ∠CBE = ∠CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4) Theo trªn F ∈(O) vµ ∠FEA =900 => AF lµ ®êng kÝnh cđa (O) => ∠ACF = 900 => ∠BCF = ∠CAE ( v× cïng phơ ∠ACB) (5) Tõ (4) vµ (5) => ∠BCF = ∠CBE (6) Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n Theo trªn AF lµ ®êng kÝnh cđa (O) => O lµ trung ®iĨm cđa AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iĨm cđa HF => OI lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c AHF => OI = 1/ AH Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iĨm cđa BC => OI ⊥ BC ( Quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => ∠OIG = ∠HAG (v× so le trong); l¹i cã ∠OGI = ∠ HGA (®èi ®Ønh) => ∆OGI ∼ ∆HGA => GI OI mµ OI = AH = GA HA => GI = mµ AI lµ trung tun cđa tam gi¸c ABC (do I lµ GA trung ®iĨm cđa BC) => G lµ träng t©m cđa tam gi¸c ABC Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cđa ®êng trßn (O; R) (BC ≠ 2R) §iĨm A di ®éng trªn cung lín BC cho O lu«n n»m tam gi¸c ABC C¸c ®êng cao AD, BE, CF cđa tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c Lêi gi¶i: (HD) ABC Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => Gäi A’ lµ trung ®iĨm cđa BC, Chøng minh AH = 2OA’ ∠AEF = ∠ACB (cïng bï Gäi A1 lµ trung ®iĨm cđa EF, Chøng minh R.AA1 = ∠BFE) AA’ OA’ Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vÞ trÝ cđa A ®Ĩ tỉng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 28 ∠AEF = ∠ABC (cïng bï ∠CEF) => ∆ AEF ∼ ∆ ABC VÏ ®êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iĨm cđa HK => OK lµ ®êng trung b×nh cđa ∆AHK => AH = 2OA’ ¸p dơng tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tun, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng ta cã : R AA ' ∆ AEF ∼ ∆ ABC => R ' = AA (1) ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC; R’ lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ AEF; AA’ lµ trung tun cđa ∆ABC; AA1 lµ trung tun cđa ∆AEF Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆AEF Tõ (1) => R.AA1 = AA’ R’ = AA’ AH A 'O = AA’ 2 VËy R AA1 = AA’ A’O (2) Gäi B’, C’lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AC, AB, ta cã OB’⊥AC ; OC’⊥AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iĨm cđa mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn lỵt lµ c¸c ®êng cao cđa c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ BC’ + OB’ AC + OC’ AB ) 2SABC = OA’ BC + OB’ AC’ + OC’ AB (3) AA1 AA mµ lµ tØ sè gi÷a trung tun cđa hai tam gi¸c ®ång d¹ng AA ' AA ' AA EF FD ED AEF vµ ABC nªn = T¬ng tù ta cã : OB’ = R ; OC’ = R Thay vµo (3) AA ' BC AC AB Theo (2) => OA’ = R ta ®ỵc 2SABC = R ( EF FD ED BC + AC + AB )  2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®ỉi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt SABC Ta cã SABC = AD.BC BC kh«ng ®ỉi nªn SABC lín nhÊt AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt A lµ ®iĨm chÝnh giìa cđa cung lín BC Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cđa gãc BAC c¾t (O) t¹i M VÏ ®êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cđa gãc OAH a) ∠B vµ ∠C cđa tam Gi¶ sư ∠B > ∠C Chøng minh ∠OAH = ∠B - ∠C gi¸c ABC Cho ∠BAC = 600 vµ ∠OAH = 200 TÝnh: 29 b) DiƯn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) AM lµ ph©n gi¸c cđa ∠BAC => ∠BAM = ∠CAM => ¼ = CM ¼ => M lµ trung ®iĨm cđa cung BC => OM ⊥ BC; Theo BM gi¶ thiÕt AH ⊥ BC => OM // AH => ∠HAM = ∠OMA ( so le) Mµ ∠OMA = ∠OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O cã OM = OA = R) => ∠HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc OAH 30 VÏ d©y BD ⊥ OA => »AB = »AD => ∠ABD = ∠ACB Ta cã ∠OAH = ∠ DBC ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => ∠OAH = ∠ABC - ∠ABD => ∠OAH = ∠ABC - ∠ACB hay ∠OAH = ∠B - ∠C a) Theo gi¶ thiÕt ∠BAC = 600 => ∠B + ∠C = 1200 ; theo trªn ∠B ∠C = ∠OAH => ∠B - ∠C = 200 ∠B + ∠C = 1200 ∠B = 700 ⇔ =>  0 ∠C = 50 ∠B − ∠C = 20 2 R π R R R (4π − 3) b) Svp = SqBOC - S V BOC = π R 120 = − R − = 3600 2 12 [...]... hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau) Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta cũng có PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ (6) Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có PAO = AON = ONP = 900 => K là trung điểm của PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật) (6) AONP là hình chữ nhật => APO = NOP (... tại M cắt tiếp tuyến tại N của đờng tròn ở P Chứng minh : Tam giác ONC cân tại O 1 Tứ giác OMNP nội tiếp vì có ON = OC = R => 2 Tứ giác CMPO là hình bình hành ONC = OCN 3 CM CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M 4 Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào Lời giải: 1 Ta có OMP = 900 ( vì PM AB ); ONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến ) Nh vậy M và N cùng nhìn OP dới một... AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10. 40 = 400 => EC = 20 cm Theo trên EC = MN => MN = 20 cm 4 Theo giả thi t AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn là S = S= 1 ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 2 Bài 15 Cho... thuộc vào vị trí của điểm M 4 ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đờng thẳng cố định vuông góc với CD tại D Vì M chỉ chạy trên đoạn thẳng AB nên P chỉ chạy trên doạn thẳng A B song song và bằng AB Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F 1 Chứng... bằng 900 => M và N cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp 2 Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM = ONM (nội tiếp chắn cung OM) 16 => OPM = OCM Xét hai tam giác OMC và MOP ta có MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM lại có MO là cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo giả thi t Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2) Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành 3 Xét hai tam giác OMC... giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp 2 Theo giả thi t M là trung điểm của AB; DE AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đờng kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng 3 ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD (1) 4 Theo giả thi t ADBE là hình thoi => EB // AD (2) Từ (1) và... 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD (1) 4 Theo giả thi t ADBE là hình thoi => EB // AD (2) Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đờng thẳng song song với AD mà thôi.) 5 I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông tại I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm của DE) =>MI = ME => MIE cân tại M => I1 = E1 ; OIC cân tại O ( vì OC và OI cùng là bán... Lời giải: 22 Theo giả thi t DE AB tại M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp 2 BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vì DE AB tại M) nh vậy F và M cùng nhìn BD dới một góc bằng 900 nên F và M cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BD => M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn 3 Theo giả thi t M là trung điểm của... Theo giả thi t MI BC nên suy ra IM PQ Bài 26 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R Vẽ dây cung CD AB ở H Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM K là giao điểm của AM và CB Chứng minh : 26 1 KC AC = KB AB 2 AM là tia phân giác của CMD 3 Tứ giác OHCI nội tiếp 4 Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đờng tròn tại M ằ = MC ẳ ằ Lời giải: 1 Theo giả thi t... nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => AK là tia phân giác của góc CAB => KC AC ( t/c tia phân giác của = KB AB tam giác ) ằ => CMA = DMA => MA 2 (HD) Theo giả thi t CD AB => A là trung điểm của CD là tia phân giác của góc CMD ằ 3 (HD) Theo giả thi t M là trung điểm của BC => OM BC tại I => OIC = 900 ; CD AB tại H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác OHCI nội tiếp 4 Kẻ ... hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau) Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ Ta còng cã PM ⊥ OJ ( PM lµ tiÕp tun ), mµ ON vµ PM c¾t t¹i I nªn I... t©m tam gi¸c POJ (6) DƠ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 900 => K lµ trung ®iĨm cđa PO ( t/c ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt) (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => ∠APO = ∠ NOP (... tiÕp tun t¹i N cđa ®êng trßn ë P Chøng minh : Tam gi¸c ONC c©n t¹i O Tø gi¸c OMNP néi tiÕp v× cã ON = OC = R => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh ∠ONC = ∠OCN CM CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm

Ngày đăng: 15/12/2015, 17:33

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w