Hàm với đối số nguyên

1 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh - o0o Nguyễn Thị Đào Hàm với đối số nguyên Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học : pGS.TS Nguyễn thành quang Vinh 2008 mục lục Trang Lời nói đầu Chơng 1:Các kiến thức sở hàm số số học 1.1 Hàm nhân, công thức tổng trải . 4 1.2 Hàm (n), (n) , (n) số hoàn chỉnh, số nguyên tố Mersenne 1.3 Căn nguyên thủy tính chất Chơng 2: Hàm với đối số nguyên. 2.1 Một số tính chất hàm số đối số nguyên . 8 2.2 Một số toán phơng trình hàm số số học 17 2.3 Tính toán với hàm số số học 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Các hàm số số học có vai trò quan trọng Số học Có thể thấy rằng, hàm số số học vừa công cụ vừa đối tợng nghiên cứu số học Trong phát triển chung toán học tin học, lý thuyết hàm số số học đóng vai trò quan trọng Ngày nay, thời đại công nghệ thông tin, nhiều thành tựu Số học có ứng dụng trực tiếp vào vấn đề đời sống nh kinh tế, xã hội Đặc biệt qua tìm hiểu toán mật mã thông tin gần đây, thấy xuất hàm số số học nh công cụ có hiệu Với lý nêu trên, luận văn tập trung nghiên cứu hàm số với đối số nguyên, nhằm làm phong phú lý thuyết hàm số số học nh tìm tòi thêm ứng dụng chúng Luận văn "Hàm với đối số nguyên" dành để xét toán liên quan đến hàm xác định nhận giá trị tập số nguyên Nội dung luận văn, gồm hai chơng: Chơng Các kiến thức sở hàm số số học Chơng Hàm số với đối số nguyên 2.1 Một số tính chất hàm số với đối số nguyên 2.2 Một số toán phơng trình hàm số số học 2.3 Tính toán với hàm số số học Phơng pháp nghiên cứu luận văn kết hợp phơng pháp lý thuyết hàm số với kiến thức số học Một số vấn đề luận văn quan tâm thể qua tính chất sau hàm số đối số nguyên 2.1.2 Mệnh đề Cho hàm f xác định tập số nguyên dơng nhận giá trị nguyên dơng Giả sử với n: f ( n + 1) > f ( f ( n)) , đó, ta có: f ( n) = n , với n 2.1.6 Mệnh đề Tập tất hàm f : Ơ * Ơ * thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1) f ( n + 1) > f (n), nƠ * , 2) f ( f (n)) = n + 2k , với n , k Ơ * gồm hàm f ( n) = n + k , với n, k Ơ * 2.2.1 Mệnh đề Nếu hàm số f : Ơ * Ơ * thỏa mãn f ( f (n) + m) = n + f (m + k ), m, n, k Ơ * f ( n) = n + k 2.2.2 Mệnh đề Không tồn hàm f từ tập hợp số nguyên không âm vào cho với n, ta có hệ thức: f ( f (n)) = n + k , với k số tự nhiên lẻ 2.2.3 Mệnh đề Cho S = { 0,1,2, , k 1} Ơ ={ 0,1,2, } Khi có k hàm số f : Ơ S thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây: 1) f ( s ) = s với s S; 2) Với m, n Ơ , f (m + n) = f ( f ( m) + f (n)) 2.2.5 Mệnh đề Tồn hàm f : Ơ * Ơ * thỏa mãn hệ thức: f ( f (n)) = n , nƠ * 2.2.6 Mệnh đề Nếu f hàm số xác định tập số nguyên nhận giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện: f ( m + f ( f (n))) = f ( f (m + 1)) n, m, n Thì f ( n) = n 2.2.8 Mệnh đề Giả sử hàm số f : Ơ * Ơ * thỏa mãn điều kiện: f ( mf ( n)) = n f (m), m, nƠ * Khi đó, f ( p) số nguyên tố, bình phơng số nguyên tố với số nguyên tố p Phần cuối luận văn thực số tính toán với hàm số số học phần mềm Maple Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn nhiệt tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời dành cho tác giả hớng dẫn chu đáo nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học trờng Đại học Vinh, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này, nh suốt khoá học vừa qua Tác giả xin chân thành cảm ơn tới học viên cao học Khóa XIV Toán buổi seminar bổ ích nhiều chứng minh chi tiết Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu tập thể giáo viên học sinh Trờng THPT Diễn Châu Sở Giáo dục Đào tạo Nghệ An động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Mặc dù cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả Nguyễn Thị Đào Chơng Các kiến thức sở hàm số số học 1.1 Hàm nhân, công thức tổng trải 1.1.1 Định nghĩa Một hàm số f xác định tập hợp Ơ + nhận giá trị trờng số hữu tỉ Ô đợc gọi hàm số học Nh vậy, hàm số học ánh xạ f : Ơ + Ô 1.1.2 Định nghĩa (i) Hàm số học f : Ơ + Ô đợc gọi hàm nhân nếu: - Có số n Ơ để k : Ơ + Ă - Nếu số tự nhiên a, b Ơ + với UCLN(a,b) = f ( ab) = f (a) f (b) (ii) Hàm số học k : Ơ + Ă đợc gọi hàm cộng số a, b Ơ + với UCLN(a,b) = k ( ab) = k ( a) + k (b) Ví dụ Các hàm số học f , g : Ơ + Ô xác định nh sau hàm nhân: f ( a) = a m m Ơ , g (a) = a 1.1.3 Mệnh đề Cho hàm số học f , g : Ơ + Ô hàm nhân k : Ơ + Ă hàm cộng Khi đó: (i) Ta có f (1) = 1, k (1) = (ii) Hàm fg xác định ( fg )( n) = f (n) g (n) hàm nhân Chứng minh (i) Vì f hàm nhân, nên có số nguyên dơng n để f ( n) Khi ta có f ( n) = f (1.n) = f (1) f (n) Vì f ( n) nên f (1) = Vì k (1) = k (1.1) = k (1) + k (1) nên k (1) = (ii) Ta có ( fg )(1) = f (1) g (1) theo nên fg Hơn nữa, số nguyên dơng a, b thỏa mãn UCLN(a,b) = ( fg )( ab) = f (ab) g (ab) = f (a) f (b) g (a) g (b) = ( fg )(a )( fg )(b) 1.1.4 Định lí (Công thức tổng trải) Nếu số nguyên dơng n có phân tích tắc n = p11 p2 ps s với hàm nhân f ta có: s j i =1 j =1 f (d ) = (1 + f ( pij )) d \n Chứng minh Khai triển tích vế phải hệ thức ta có: j s (1 + f ( p i j =1 i =1 j )) = = f ( p1 ) f ( p2 ) f ( ps ), i i , i = 1, , s, s = f ( p1 p2 ps ), f hàm số nhân = s f (d ), d = p1 p2 ps d \n s Nh hệ thức 1.2 Hàm (n) , (n) , (n) số hoàn chỉnh, số nguyên tố Mersenne Với số nguyên dơng n ta ký hiệu (n) số ớc n (n) tổng ớc dơng n, (n) số số không vợt n nguyên tố với n gọi phi hàm Euler Khi dễ thấy , , hàm số học 1.2.1 Một số tính chất hàm , , 1) Nếu n có phân tích tắc n = p11 p 2 pss (a) d d \n (b) s j i =1 j =1 = (1 + pimj ) ; s = (1 + i ) ; d \n (c) m i =1 s j d = (1 + p d \n i =1 j =1 i j ) 2) Các hàm , , hàm nhân 3) Nếu p số nguyên tố ( p) = p 1, ( p ) = p p với nguyên dơng 4) Nếu số nguyên dơng n > có phân tích tắc thành thừa số nguyên tố n = p11 p 2 pss s (n) = n (1 i =1 5) Với số nguyên dơng n > ta có ) pi (d ) = n d \n (Hệ thức Gau-xơ) 1.2.3 Định nghĩa Số nguyên dơng n đợc gọi số hoàn chỉnh ( n ) = 2n 1.2.4 Định lý Tất số hoàn chỉnh có dạng 2n1 (2n 1) , với 2n số nguyên tố 1.2.5 Định nghĩa Giả sử k số nguyên dơng, M k = 2k đợc gọi số Mersenne thứ k Nếu p số nguyên tố, M p nguyên tố M p đợc gọi số nguyên tố Mersenne Ví dụ M , M , M , M số nguyên tố Mersenne, M 11 hợp số 1.2.6 Định lí Nếu p số nguyên tố lẻ, ớc nguyên tố số Mersenne M p có dạng 2kp + k số nguyên dơng 1.3 Căn nguyên thuỷ tính chất 1.3.1 Định nghĩa Giả sử a m số nguyên dơng nguyên tố Khi số nguyên nhỏ x thỏa mãn đồng d thức a x 1(mod m) đợc gọi bậc a modulo m Ta viết x = ord m a 1.3.2 Định nghĩa Nếu r n số nguyên tố nhau, n > , ord n = (n) r đợc gọi nguyên thủy modulo n 1.3.3 Tính chất 1) Giả sử a n số nguyên tố nhau, n > Khi số nguyên x nghiệm phơng trình đồng d a x 1(mod m) x bội bậc a modulo n 2) Nếu a n số nguyên tố nhau, n > , ord n chia hết cho (n) 3) Nếu a n số nguyên tố nhau, n > , thì: a i a j (mod n) i j (mod ord n a ) Chơng Hàm với đối số nguyên 2.1 Một số tính chất hàm số với đối số nguyên 2.1.1 Mệnh đề Nếu hàm f có tính chất sau: 1) f ( n) đợc xác định với số nguyên dơng n 2) f ( n) số nguyên dơng 3) f ( f (m) + f (n)) = m + n , m, n Ơ * Khi đó, ta có f ( n) = n , với số nguyên dơng n Chứng minh Từ tính chất 3), ta có: f ( f (n)) = f ( f (n) + f (n)) = n + n = 2n Nh vậy, với n nguyên dơng, thì: f ( 2( f ( n)) = 2n (1) Trong (1) thay n = 1, ta có: f ( f (1)) = (2) Ta chứng minh rằng: f (1) =1 (3) Thật vậy, giả sử ngợc lại f (1) Từ tính chất 2), suy f (1) số nguyên dơng khác , nên f (1) viết dới dạng f (1) = k + 1, với k nguyên dơng Trong (1), thay n = k , thì: f ( f (k )) = 2k (4) Từ tính chất 3), ta lại có: f ( k ) + f (1) = f { f ( f ( k )) + f (2 f (1))} (5) Thay (2) (4) vào (5), ta đến: f ( k ) + f (1) = f (2k + 2) (6) Do f (1) = k + , nên từ (6) suy ra: f ( k ) + f (1) = f (2( f (1)) = (lại theo (2)), Hay: f ( k ) + f (1) = (7) 10 Vì f (1) (do f (1) nguyên dơng khác nên f (1) ) nên từ (7) thu đợc f ( k ) < Điều mâu thuẫn với f (k ) > (theo tính chất 2)) Tóm lại f (1) = , tức (3) Bây phơng pháp quy nạp toán học ta chứng minh với n nguyên dơng, thì: f ( n) = n (8) - Thật vậy, theo lập luận (8) n = - Giả sử (8) đến n, tức f ( n) = n , ta chứng minh (8) với n + Thật theo tính chất 3), dựa vào giả thiết quy nạp f ( n) = n, f (1) = , ta có: f ( n + 1) = f ( f (n) + f (1)) = n + Vậy (8) với n + Theo nguyên lý quy nạp suy (8) với n nguyên dơng 2.1.2 Mệnh đề Cho hàm f xác định tập số nguyên dơng nhận giá trị nguyên dơng Giả sử với n: f ( n + 1) > f ( f (n)) Khi f ( n) = n , với n Chứng minh Để chứng minh mệnh đề 1.2 trớc tiên ta chứng minh bổ đề sau: 2.1.3 Bổ đề Nếu hàm số f : Ơ * Ơ * thỏa mãn: f ( n + 1) > f ( f (n)) , với n f (1) < f (2) < f (3) < Chứng minh Gọi S n mệnh đề sau: Nếu r n m > r, f ( r ) < f (m) ) Xét S (tức n = 1) Lấy r r nguyên dơng nên r = Lấy m > r (tức m > 1) Theo giả thiết ta có: f { (m 1) + 1} > f ( f (m 1)) hay f ( m) > f ( f (m 1)) Nếu đặt s = f (m 1) , từ bất đẳng thức ta thu đợc: f ( m) > f ( s ) Bất đẳng thức chứng tỏ f (m) phần tử nhỏ tập hợp { f (1), f (2), f (3), } với m > 30 - Nếu 17 f (5) 24 Ta có: f ( 25) = f (5 ) = ( f (5) ) 24 = 576 Lại thấy: f ( 24) = f (3.8) = f (3).( f (2) ) = 9.64 = 576 Nh f ( 24) = f ( 25) , mà điều vô lí theo tính chất 1) ta có f ( 24) < f (25 ) Từ suy trờng hợp xảy - Nếu 27 f (5) 35 Ta có: f ( 25) = f (5 ) = ( f (5) ) Vì từ 27 f (5) 35 , ta có: 729 f (25) 1225 Mặt khác: f ( 27) = f (33 ) = ( f (3) ) = = 729 Từ suy điều vô lý sau: f ( 25) f (27) trờng hợp xảy Vậy ta có f (5) = 25 f (5) = 26 Tuy nhiên, f (5) = 26 , thì: f (125) = f (53 ) = ( f (5) ) = 26 = 17576 Lại thấy: f (128) = f (2 ) = ( f ( 2) ) = = 16384 Từ ta có f (125) > f (128) Điều vô lí chứng tỏ f (5) 26 Nh ta tính đợc: f (5) = 25 (7) Bây thay (7) vào (3) ta đợc: f ( 2000) = 4.253 = 000 000 2.2.8 Mệnh đề Giả sử hàm số f : Ơ * Ơ * thỏa mãn điều kiện: f ( mf ( n)) = n f (m) , với m, nƠ * 31 Khi đó, với số nguyên tố p giá trị f ( p ) số nguyên tố, bình phơng số nguyên tố Chứng minh Giả sử hàm số f : Ơ * Ơ * thỏa mãn điều kiện đầu Ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy, giả sử: f ( n1 ) = f ( n2 ), với n1 , n Ơ * Từ giả thiết suy f ( mf ( n1 )) = f ( mf ( n2 )) , hay: n12 f ( m) = n22 f ( m) , với mƠ * Do f : Ơ * Ơ * , nên f (m) ( f(m) > o ) Từ n12 = n22 hay n1 = n2 (vì n1 , n2 Ơ * ) Điều có nghĩa f đơn ánh Trong điều kiện f ( mf ( n)) = n f (m) , ta lấy m = , đợc: f ( f (n)) = n f (1) (1) Ta lấy n = , hệ thức đầu bài, có: f ( mf (1)) = f (m) , với mƠ * Do f đơn ánh, nên mf (1) = m , hay: f (1) = (2) Từ (1) (2) ta thu đợc: f ( f (n)) = n , với nƠ * (3) Thay điều kiện đầu m f ( m) có: f ( f (m) f (n)) = n f ( f (m)) Bây kết hợp (3) (4), thì: (4) f ( f (m) f (n)) = m n = f ( f (mn)) (lại theo (3)) Do tính đơn ánh f, suy ra: f ( mn) = f (m) f ( n) ,với m, nƠ * Giả thiết trái lại f ( p ) số nguyên tố, mà bình phơng số nguyên tố, tức tồn a, b Ơ ; a, b lớn a khác b cho f ( p) = ab Từ theo lập luận trên, suy ra: f ( f ( p)) = f (ab) = f ( a) f (b) ) (5) 32 Theo (3), f ( f ( p)) = ( p ) Nên từ (5) đến: f ( a) f (b) = ( p ) Do f ( a) >1, f (b) >1 f(a), f(b) nguyên p số nguyên tố, nên f ( a) = f (b) = p Từ tính đơn ánh f , suy a = b Điều mâu thuẫn với a b Vậy giả thiết phản chứng sai Từ mệnh đề 2.2.8 ta có toán 2.2.9 nh sau: 2.2.9 Bài toán Hãy hàm f : Ơ * Ơ * thỏa mãn điều kiện: f ( mf ( n)) = n f (m) , với m, nƠ * Lời giải Đặt p1 = 2; p = 3; p3 = 5; p k số nguyên tố thứ k Hàm f đợc xây dựng: - Trớc hết xây dựng f tập hợp số nguyên tố f ( p2i +1 ) = p2i + f(p 2i + ) = p2 i +1 với i = 0, 1, 2, với i = 0, 1, 2, tức là: f ( p1 ) = p , f ( p3 ) = p , f ( p ) = p12 , f ( p4 ) = p32 , ) - Sau f có tính chất: f ( mn ) = f ( m ) f ( n ) , m, nƠ * Khi ta có: f ( f ( p2i +1 ) ) = f ( p 2i + ) = p22i +1 ; f ( f ( p2i + ) ) = f ( p22i +1 ) = f ( p2 i +1 ) f ( p2i +1 ) = p22i + Dựa vào n N * , n = p1 p2 pk , thì: f ( n ) = ( f ( p1 ) ) k ( f ( p ) ) ( f ( p ) ) k k Lúc này: f ( f ( n ) ) = ( ff ( p1 ) ) ( ff ( p ) ) ( ff ( p ) ) 2 k k = p12 p22 pk2 = ( p1 p2 pk k Từ f ( f ( n ) ) = n , với n Ơ * , nên với m, nƠ * ta có: k ) = n2 33 f ( mf ( n ) ) = f ( m ) f ( f ( n ) ) = n f ( m ) Vậy hàm f : Ơ * Ơ * xác định nh thỏa mãn yêu cầu 2.2.10 Bài toán Tìm tất hàm số f : Ơ * Ơ * thỏa mãn điều kiện: 2( f (m + n )) = f ( m) f (n) + f ( n) f ( m) với m n Lời giải 1) Dĩ nhiên f (n) = a , a số nguyên dơng, thỏa mãn yêu cầu đề (khi với n Ơ hai vế 2a ) * * 2) Ta chứng minh hàm số nói trên, hàm f : Ơ Ơ không thỏa mãn yêu cầu đầu Thật vậy, giả sử f : Ơ * Ơ * thỏa mãn yêu cầu đề ra, f không đồng số Điều có nghĩa tồn m ', n ' Ơ mà f ( m' ) f (n' ) Xét m '', n '' Ơ , mà f (m' ' ) f (n' ' ) số nguyên dơng nhỏ Luôn tồn m' ' , n' ' , thật vậy: Do f (m' ) f (n' ) , nên giả sử f ( m' ) > f (n' ) f ( m' ) f (n' ) > Vì tập hợp sau: A = { ( m, n) : m, n Ơ * , f (m) f (n) > 0} khác rỗng (vì có (m' , n' ) A ) Theo nguyên lý cực hạn, tồn m' ' , n' ' với tính chất nói Do f ( n' ' < f (m' ' ) , nên ta có: f ( n ' ' ) < f ( m' ' ) f ( n ' ' ) + f ( n ' ' ) f ( m ' ' ) < f ( m' ' ) (1) Mặt khác, f thỏa mãn yêu cầu đề bài, nên ta có: f (m' ' ) f (n' ' ) + f (n' ' ) f (m' ' ) = 2( f (m' ' + n' '2 )) (2) Thay (2) vào (1), có: f ( n ' ' ) < f ( m' ' + n ' ' ) < f ( m ' ' ) Từ suy ra: < f ( m' ' + n ' ' ) f ( n ' ' ) < f ( m' ' ) f ( n' ' ) (3) 34 Bất đẳng thức (3) mâu thuẫn với cách xác định (m' ' , n' ' ) Vậy giả thiết phản chứng sai Nh f (n) = a với n, a Ơ hàm số f : Ơ * Ơ * cần tìm 2.2.11 Bài toán Tìm tất hàm f : Ơ Ơ thỏa mãn hệ thức: f ( m + n) + f (n m) = f (3n) , với m, nƠ , n m Lời giải Giả sử f hàm Ơ Ơ , thỏa mãn hệ thức: f ( n + m) + f (n m) = f (3n) , với m, nƠ , n m (1) Trong (1) cho m = , ta có: f ( n) = f (3n) , với nƠ (2) Trong (2) thay n = 0, thì: f (0) = f (0) f (0) = (3) Trong (1) lại thay n = m , thì: f ( 2n) + f (0) = f (3n) f (2n) = f (3n) ( f (0) = ) (4) Từ hệ thức (1), sau đặt n = 3m , ta có: f ( 4m) + f (2m) = f (9m) (5) Trong (4) thay n 2m, ta có: f ( 4m) = f (6m) Thay n = 3m (4), thì: f (6m) = f (9m) Vì ta có: f ( 4m) = f (9m) (6) Bây từ (5) (6), với mƠ , ta có: f ( 2m) = (7) Với mƠ , theo (2) suy ra: f (3m) Từ (4) (8) lại có: f ( m) = f ( m) = 1 f (3m) = f (2m) 2 (8) (9) 35 Kết hợp (7) (9), ta có: f (m) = , với mƠ Đảo lại, rõ ràng hàm f (m) = , với mƠ thỏa mãn yêu cầu đề Tóm lại: f ( m) = , m Ơ hàm cần tìm 2.2.12 Bài toán Cho Ơ tập hợp số nguyên không âm Tìm tất hàm f : Ơ Ơ Sao cho với m, n Ơ ta có: f ( m + f ( n)) = f ( f ( m)) + f ( n) Chứng minh Giả sử tồn hàm f : Ơ Ơ thỏa mãn hệ thức f ( m + f ( n)) = f ( f ( m)) + f (n) , (1) Với m, n Ơ Vì (1) thay m = n = 0, ta có: f (0 + f (0)) = f ( f (0)) + f (0) Từ đó: f (0) = (2) Chính từ (2) ta lại có f ( f (0)) = f (0) , suy ra: f ( f (0)) = (3) Trong (1) cho m = 0, ta đợc: f ( f (n)) = f ( f (0)) + f (n) (4) Kết hợp (4) với (3), thì: f ( f ( n)) = f ( n) , (5) Với m, n Ơ Nh f (n) điểm bất động hàm f với nƠ gọi k điểm bất động khác bé hàm f Chỉ có hai khả xảy ra: 1) Nếu k không tồn tại, f (n) điểm bất động f với n, mà lại f (n) khác không, nh vậy: f ( n) = nƠ Dễ thấy hàm dĩ nhiên thỏa mãn yêu cầu đầu Vậy f (n) = nghiệm tầm thờng toán 2) Giả sử tồn k nh Ta chứng minh rằng: f ( qk ) = qk vói q số nguyên âm tuỳ ý Điều chứng tỏ quy nạp nh sau: 36 Với q = f ( qk ) = f (0) = (theo (2)), dĩ nhiên qk = f (qk ) = qk q = - Giả sử điều khẳng định đến q , tức f ( qk ) = qk - Xét với q + Ta có: f ((q + 1)k ) = f (k + qk ) Do qk = f (qk ) (theo giả thiết quy nạp), nên: f ((q = 1)k ) = f (k + f (qk )) (6) Theo tính chất hàm f, thì: f ( k + f (qk )) = f ( f (k )) + f (qk ) (7) Từ (5) ta có f ( f (k )) = f (k ) , theo định nghiã k , f ( k ) = k Thay vào (7), đến (kết hợp với (6)): f ((q + 1)k ) = k + f ( qk ) = k + qk = (q + 1)k Vậy điều khẳng định với q + Theo nguyên lý quy nạp suy với q nguyên không âm, thì: f ( qk ) = qk (8) Giả sử n điểm bất động tuỳ ý f Xét biểu diễn sau: n' = ks + r , với r < k Theo giả thiết ta có f ( n' ) = n' Mặt khác f (n' ) = f (ks + r ) Theo (8) suy ra: f ( ks + r ) = f (r + f ( ks)) = f ( f ( r )) + f (ks ) (tính chất hàm f ) = f ( r ) + f (ks) (theo (5)) = f ( r ) + ks (theo (8)) Từ f ( n' ) = f (r ) + ks Kết hợp với f ( n' ) = n' , ta đến: f ( r ) + ks = n' = ks + r f ( r ) = r Hệ thức (9) chứng tỏ r điểm bất động f Nhng r < k (9) 37 mà k điểm bất động khác không bé f , nên r = (chú ý f (0) = ) Từ n ' = ks Nói cách khác, điểm bất động hàm f bội k Theo với n , f ( n) điểm bất động hàm f , nói riêng ta có f ( n) bội k với n Ơ Lấy số nguyên không âm tuỳ ý n1 , n2 , , nk chọn n0 = Hàm số F(n) đợc xác định với n nh sau: Giả sử n = qk + r , r < k đặt F (n) = qk + nr k Ta chứng minh hàm F(n) thỏa mãn yêu cầu đặt Thật vậy, giả sử m = ak + r , n = bk + s, r , s < k Khi ta có: F (m) = ak + nr k = (a + nr )k Từ theo định nghĩa hàm f , F ( F (m)) = F ((a + nr ) k ) = ( a + nr ) k Lại theo định nghĩa f , thì: F (n) = bk + ns k Ta có: m + F (n) = ak + r + bk + ns k = ( a + b + ns ) k + r , Nên: F (m + F ( m)) = (a + b + ns )k + nr k = ( a + b + ns + nr )k (10) Mặt khác: F ( F (m)) + F (n) = (a + nr )k + bk + ns k = (a + b + ns + nr )k , Từ (10) (11) suy với m, n Ơ , ta có: F (m + F ( n)) = F ( F ( m)) + F (n) (11) 38 Vậy hàm F xác định nh thỏa mãn yêu cầu đặt Kết hợp với lập luận suy hàm xác định nh nghiệm tổng quát toán (dựa vào nhận xét f ( n) bội k với n) Chú ý : Cho hàm f ( x) xác định miền D Điểm x0 D đợc gọi điểm bất động hàm f D, f ( x0 ) = x0 Từ mệnh đề 2.2.1; 2.2.3; 2.2.6 ta có toán sau: 2.2.13 Bài toán Chứng minh hàm số f : Ơ * Ơ * thỏa mãn f ( f (n) + m) = n + f (m + 2008), m, n Ơ * f ( n) = n + 2008 2.2.14 Bài toán Cho S = { 0,1,2, ,1999} Ơ ={ 0,1,2, } Khi có hàm số f : Ơ S thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây: 1) f ( s ) = s với s S; 2) Với m, n Ơ , f (m + n) = f ( f ( m) + f (n)) 2.2.15 Bài toán Cho f hàm số xác định tập số nguyên nhận giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện: f ( m + f ( f (n))) = f ( f (m + 1)) n, m, n Tính f (2008) 2.3 Tính toán với hàm số số học 2.3.1 Hàm Euler ứng dụng liên quan Hàm Euler số tự nhiên n đợc tính lệnh [>phi(n); Ví dụ: [ > phi(123456); 41088 Ngợc lại, ta tìm đợc số tự nhiên n nhận số a cho trớc làm giá trị Phi hàm Euler nó, lệnh [> invphi (a); Ví dụ: [> invphi (41088) ; 39 [51365, 54655, 55705, 82184, 82304, 87488, 89128, ,154260,154320,179970] Tuy nhiên công việc tính toán vô phức tạp với máy tính ta tìm đợc giá trị hàm với a đủ lớn khoảng thời gian chờ đợi đợc Ngoài ra, lu ý phi - hàm ánh xạ toàn ánh giá trị a hàm invphi () cho kết Ví dụ: [invphi(123); [] Ta biết a n số nguyên tố định lý Euler cho phép tìm nghịch đảo số a theo modulo n, tơng tự nh ta dùng định lý Fermat để tìm nghịch đảo số a theo modulo số nguyên tố Thủ tục đợc thực nh sau: Trớc hết ta kiểm tra tính nguyên tố hai số a n lệnh tính ớc chúng lớn chúng: [> gcd(a,n) ; Nếu chúng không nguyên tố (kết lệnh khác 1) ta kết luận không tồn nghịch đảo Ngợc lại, ta tính nghịch đảo a theo modulo n việc tính a ( n ) , thông qua lệnh: [> a^(phi(n)-1) mod n ; Ví dụ, tính nghịch đảo số 56341 theo modulo 13713471 qua lệnh sau: [> gcd(56341,13713471); [> 56341&^(phi(13713471)-1) mod 13713471; 11683261 Kiểm tra lại ta thấy [> 11683261*56341 mod 13713471; 2.3.2 Hàm sigma(.) số hoàn chỉnh Ta biết hàm tau(.) cho biết số lợng ớc dơng số nguyên Tổng ớc đợc tính hàm sigma( ), có cú pháp lệnh tính là: [> Sigma( n ) ; Ví dụ: 40 [> sigma (123456789) ; 178422816 Muốn biết số n có hoàn chỉnh hay không, ta dùng lệnh kiểm tra xem biểu thức sigma (n) = 2*n có đợc thỏa mãn không, lệnh: [> is ( sigma (n) = 2*n ; Ví dụ, ta có n = số hoàn chỉnh, [> is (sigma(6) = 2*6 ; true Tiếp tục với n =124 [> is (sigma (124) = 2*124 ; false ta thấy số hoàn chỉnh Để thấy đợc khả tính toán Maple, ta xét ví dụ không tầm thờng, với n = 2305843008139952128 Khi ta có: [> is ( sigma ( 2305843008139952128 ) = 2*2305843008139952121); nh 2305843008139952128 số hoàn chỉnh 2.3.3 Số Mersenne số nguyên tố Mersenne Số Mersenne thứ k số ( 1) đợc tính trực tiếp lệnh: k [> M[k] := 2^k ; Ví dụ, số Mersenne thứ đợc tính [> M[9] := 2^9 ; M := 511 Khi k số nguyên tố ta dùng hàm Mersenne (k) kiểm tra xem số Mersenne thứ k có số nguyên tố Mersenne hay không? Nếu hàm trả lại giá trị false số M[k] số nguyên tố Mersenne, ngợc lại hàm trả lại giá trị số Mersenne thứ k, tức Ví dụ: [> k := ; k:=7 [> mersenne(k) ; 127 Nh số Mersenne thứ số nguyên tố 127 Tơng tự, ta dễ dàng kiểm tra đợc 50 số Mersenene có số thứ 2, 3, 5, k 41 7, 13, 19, 31 số nguyên tố ( lại hợp số ) Càng sau chúng phân bố tha thớt, việc tìm đợc số nguyên tố Mersenne khó khăn Ví dụ: [> mersenne ( 111) ; false [> mersenne (203) ; false [> mersenne (307) ; false 2.3.4 Bậc số nguyên thủy Bậc số nguyên a theo modulo n số tự nhiên n nhỏ thỏa mãn a mod m = , đợc tính lệnh order (a, m) Kết trả lại lệnh FAIL ( không tồn ) nh a m hai số nguyên tố Ngợc lại hàm trả lại bậc a theo modulo m Ví dụ: [> order (18,30) ; FAIL [> order ( 171717, 23232323) ; 2040 Thật vậy, kiểm tra lại ta thấy: [> 171717&^2040 mod 23232323 ; n Căn nguyên thủy modulo m số có bậc ( m ) , muốn kiểm tra số a có phải nguyên thủy hay không cần dùng lệnh [> is (order (a,m) =phi(m) ; Ví dụ [> is ( order (123,1114111) = phi (1114111)) ; true [> is ( order (1111,1114111) =phi(1114111)) ; false Nh 123 nguyên thủy modulo 1114111 Ta biết tập nguyên thủy modulo m mà khác rỗng có số phần tử 42 ( ( m ) ) phần tử không đồng d với Nh số lợng nguyên thủy modulo 1114111 (không đồng d với nhau) đợc tính lệnh [> phi (phi (1114111) ; 297072 Phần tử tập nguyên thủy modulo m đợc tính lệnh [> primroot (m) ; Nếu không tồn nguyên thủy modulo m kết báo FAIL, ngợc lại cho kết cần tìm Ví dụ: [> primroot (a,m) (11111111) ; FAIL [> primroot (11111117) ; Phần tử lớn số a tập nguyên thủy modulo m đợc tính lệnh [> primroot (a,m) ; Ví dụ: [> primroot (23,11111117): 27 43 Kết luận Luận văn tập trung nghiên cứu hàm số với đối số nguyên, nhằm làm phong phú lý thuyết hàm số số học nh tìm tòi ứng dụng chúng Một số kết thu đợc luận văn gồm: Chỉ số tính chất hàm số đối số nguyên số học : 1) Nếu hàm f : Ơ * Ơ * thỏa mãn: f ( n + 1) > f ( f ( n)) , thì: f ( n) = n với n 2) Không tồn hàm f từ tập hợp số nguyên không âm vào cho với n, ta có hệ thức: f ( f (n)) = n + k , với k Ơ , k lẻ 3) Tồn hàm f : Ơ * Ơ * thỏa mãn hệ thức: f ( f (n)) = n , nƠ * Vận dụng số tính chất hàm số học để giải số toán phơng trình hàm hàm số số học: Giả sử hàm số f : Ơ * Ơ * thỏa mãn điều kiện ; f ( mf ( n)) = n f (m), m, nƠ * Khi đó, f(p) số nguyên tố, bình phơng số nguyên tố với số nguyên tố p Chỉ số toán cụ thể sử dụng làm tài liệu cho giáo viên học sinh kỳ thi học sinh giỏi, olympic Phần cuối luận văn thực số tính toán với hàm số số học phần mềm Maple 44 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Hà Huy Khoái (2004), Số học, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Đại học Vinh W J Kaczkor - M.T Nowak (2002), Số thực - Dãy số Chuỗi số, Nhà xuất Đại học S phạm (bản dịch tiếng Việt) Phan Huy Khải (2006), Các toán hàm số học, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội Hội toán học Việt Nam (1998), Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học tuổi trẻ, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội Đàm Văn Nhị, Lu Bá Thắng, Nguyễn Việt Hải (2006), Số học, Nhà xuất Hải Phòng Tiếng Anh S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw - Hill Pubshing Company Limited, New Delhi David M Burton (2002), Elementary Number Theory, McGraw - Hill Higher Education, India Z I Borevic, I R Safarevic (1966), Numbers Theory, Acamedic Press N Koblitz (1979) p-adic numbers, p-adic Analysis and Zeta Functions, Springer - Verlag J P Serr (1973), A course in Arithemetic, Springer - Verlag [...]... lại, dễ thấy hàm f ( n) = n + k thỏa mãn cả hai điều kiện đã cho Vậy chỉ có duy nhất hàm cần tìm, đó là hàm số: f ( n) = n + k ,với n , k Ơ * 2.1.7 Mệnh đề Hàm số f(n) xác định trên tập hợp các số nguyên dơng và nhận giá trị trên tập hợp các số nguyên không âm Giả sử f (2) = 0; f (3) > 0; f (3k ) = k và với mọi m,n ta có hệ thức: f ( m + n) f (m) f ( n) { 0;1} n Khi đó f ( n) = , với mọi 0 < n... 4 000 000 2.2.8 Mệnh đề Giả sử hàm số f : Ơ * Ơ * thỏa mãn điều kiện: f ( mf ( n)) = n 2 f (m) , với m, nƠ * 31 Khi đó, với mỗi số nguyên tố p thì giá trị f ( p ) hoặc là số nguyên tố, hoặc là bình phơng của một số nguyên tố Chứng minh Giả sử hàm số f : Ơ * Ơ * thỏa mãn các điều kiện đầu bài Ta chứng minh rằng f là đơn ánh Thật vậy, giả sử: f ( n1 ) = f ( n2 ), với n1 , n 2 Ơ * Từ giả thiết suy... ta có: f ( n ) = 3 Từ một số mệnh đề trên ta có thể ra một số bài toán cụ thể nh sau: 2.1.8 Bài toán Tìm tất cả các hàm f : Ơ * Ơ * thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1) f ( n + 1) > f (n), nƠ * , 2) f ( f (n)) = n + 2004 , với nƠ * (Dựa vào mệnh đề 2.1.6.) 2.1.9 Bài toán Hàm số f ( n) xác định trên tập hợp các số nguyên dơng và nhận giá trị trên tập hợp các số nguyên không âm Giả sử f (2)... không thể khác rỗng, tức là f ( n) = 1 với nƠ * 2.1.5 Mệnh đề Nếu hàm f có các tính chất sau: 1) f (n) đợc xác định với mọi số nguyên n 2) f ( n + 19) f (n) + 19 với mọi số nguyên n 3) f ( n + 94) f ( n) + 94 với mọi số nguyên n Thì: f ( 2003) = 1 + f ( 2002) Chứng minh Ta có với mọi n  : f ( n + 95) = f ( n + 5.19) = f [ (n + 4.19) + 19] Vì vậy theo tính chất 2), suy ra: f (n + 95) f (n... là số lẻ nên 1 f (4) = n2 ,1 = ( n2 ) = 32 = 9 21 Vì 5 = n3 , do đó 5 = n3, 0 , do 3 là số lẻ nên f (5) = n4 , 0 = ( n0 ) 20 = 6 Tóm lại, 5 giá trị đầu của hàm f ( n) là: n f(n) 1 1 2 3 3 4 4 9 5 6 2.2.6 Mệnh đề Nếu f là hàm số xác định trên tập các số nguyên và nhận giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện: f ( m + f ( f (n))) = f ( f (m + 1)) n, m, n Thì f ( n) = n 1 Chứng minh Giả sử f là hàm. .. tỏ giả thiết phản chứng là sai, tức là ta có với mọi n nguyên dơng, thì f (n) n f (n) n Nói cách khác f ( k ) = k với mọi k nguyên dơng 2.1.4 Mệnh đề Nếu hàm số f : Ơ * Ơ * , thỏa mãn các điều kiện sau: 1) Với mọi n Ơ * , f ( n + f (n)) = f (n) , 2) Tồn tại k Ơ * để cho f ( k ) = 1 , thì f (n) = 1 , với mọi n Ơ * Chứng minh Giả sử f : Ơ * Ơ * là hàm thỏa mãn các điều kiện đề bài Ta có nhận... và f(a), f(b) nguyên và p là số nguyên tố, nên f ( a) = f (b) = p Từ tính đơn ánh của f , suy ra a = b Điều này mâu thuẫn với a b Vậy giả thiết phản chứng là sai Từ mệnh đề 2.2.8 ta có bài toán 2.2.9 nh sau: 2.2.9 Bài toán Hãy chỉ ra một hàm f : Ơ * Ơ * thỏa mãn điều kiện: f ( mf ( n)) = n 2 f (m) , với m, nƠ * Lời giải Đặt p1 = 2; p 2 = 3; p3 = 5; và p k là số nguyên tố thứ k Hàm f đợc xây... ( 2m) = 0 (7) Với mƠ , theo (2) suy ra: 1 f (3m) 2 Từ (4) và (8) lại có: f ( m) = f ( m) = 1 1 f (3m) = f (2m) 2 2 (8) (9) 35 Kết hợp (7) và (9), ta có: f (m) = 0 , với mƠ Đảo lại, rõ ràng hàm f (m) = 0 , với mƠ thỏa mãn yêu cầu đề ra Tóm lại: f ( m) = 0 , m Ơ là hàm duy nhất cần tìm 2.2.12 Bài toán Cho Ơ là tập hợp các số nguyên không âm Tìm tất cả các hàm f : Ơ Ơ Sao cho với m, n Ơ ta... Giả sử dãy số n1 = 2, n2 = 3, n3 = 5, n4 = 6, n5 = 7, n6 = 8, n7 = 10, đợc đánh số theo thứ tự tăng dần của tất cả các số tự nhiên, không phải là bình phơng của số nguyên Đặt nk ,m = ( nk ) 2 ở đây (tức m nguyên lớn hơn hoặc bằng 0) Khi đó theo định m nghĩa ta có: k Ơ * , m Ơ nk ,m +1 = ( nk ) 2 m +1 ( ) = nk 2m 2 2 = ( nk , m ) (*) 25 Với mỗi giá trị n > 1 có tơng ứng duy nhất một cặp số (k, m),... 0; f (3) > 0 f (9999) = 3333 và với mọi m,n ta có hệ thức: f ( m + n) f (m) f (n) { 0;1} Hãy tính f (2004) (Dựa vào mệnh đề 2.1.7.) 2.2 Một số bài toán về phơng trình trên các hàm số số học 2.2.1 Mệnh đề Nếu hàm số f : Ơ * Ơ * thỏa mãn f ( f (n) + m) = n + f ( m + k ), m, n, k Ơ * thì f ( n) = n + k Chứng minh Lấy n1 , n2 Ơ và giả sử f ( n1 ) = f ( n2 ) Chọn một số m Ơ Khi đó ta có: 18 f ... Các kiến thức sở hàm số số học Chơng Hàm số với đối số nguyên 2.1 Một số tính chất hàm số với đối số nguyên 2.2 Một số toán phơng trình hàm số số học 2.3 Tính toán với hàm số số học Phơng pháp... 1.2 Hàm (n), (n) , (n) số hoàn chỉnh, số nguyên tố Mersenne 1.3 Căn nguyên thủy tính chất Chơng 2: Hàm với đối số nguyên. 2.1 Một số tính chất hàm số đối số nguyên . 8 2.2 Một số toán... trình hàm số số học 17 2.3 Tính toán với hàm số số học 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Các hàm số số học có vai trò quan trọng Số học Có thể thấy rằng, hàm số số học vừa công cụ vừa đối