Hàm tử độ đo xác suất fedorchuk bảo toàn một số tính chất tôpô

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU §1 Các khái niệm tính chất §2 Các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn số tính chất tôpô 10 §3 Hàm tử độ đo xác suất tác động không gian khả mêtric 17 §4 Các lưới bất biến qua tác động hàm tử Pk 26 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết tôpô ngành toán học quan trọng chuyên ngành Giải tích nói riêng Toán học nói chung Nó bắt đầu xây dựng cách lâu trở tnành tiền đề thiếu để phát triển nghiên cứu ngành toán học đại Sự bảo toàn tính chất tôpô qua ánh xạ từ lâu thu hút nhiều người quan tâm Vấn đề đặt liệu có bảo toàn qua tác động hàm tử độ đo xác suất hay không? Năm 1986, báo Probability measure and absolute neighborhood Retract ([4]) V V Fedorchuk xây dựng khái niệm hàm tử độ đo xác suất với giá hữu hạn chứng minh hàm tử bảo toàn tính chất AN R không gian mêtric compact Đến năm 1989, báo Probability measure preserving the AN Rproperty of metric spaces ([5]), Nguyễn Tố Như Tạ Khắc Cư chứng minh hàm tử độ đo xác suất bảo toàn tính chất AN R không gian mêtric tùy ý Quan tâm đến vấn đề hàm tử độ đo xác suất bảo toàn số tính chất tôpô dựa sở báo Tạ Khắc Cư (2003) Probability measures with finite supports on topological spaces ([6]), tác giả chọn đề tài "Hàm tử độ đo xác suất Fedorchuk bảo toàn số tính chất tôpô" Luận văn trình bày theo mục sau: §1 Các khái niệm tính chất Trong mục này, trình bày định nghĩa, khái niệm tính chất dùng cho nội dung mục sau §2 Các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn số tính chất tôpô Trình bày khái niệm độ đo xác suất với giá hữu hạn không gian Hausdorff X xây dựng tôpô Fedorchuk Pk (X), Pk (X) tập hợp tất độ đo xác suất X với giá không vượt k điểm Trình bày số kết bảo toàn số tính chất tôpô qua tác động hàm tử độ đo xác suất không gian Hausdorff X như: hoàn toàn quy, liên thông đường, corút, corút địa phương, tiên đề đếm thứ §3 Hàm tử Pk tác động không gian khả mêtric Chứng minh chi tiết bảo toàn tính mêtric hóa tính AN R không gian Hausdorff X qua tác động hàm tử Pk §4 Các lưới bất biến qua tác động hàm tử Pk Đưa chứng minh tính bất biến loại lưới qua tác động hàm tử Pk như: sn-lưới, wcs∗ -lưới Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo PGS TS Tạ Khắc Cư Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo tổ Giải tích - Khoa Toán, Khoa Sau đại học tận tình giảng dạy Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn tất bạn bè lớp Cao học 13 - Giải tích quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả trình học tập nghiên cứu Trong trình hoàn thành luận văn, có nhiều cố gắng lực thân nhiều hạn chế nên trình bày nội dung luận văn có nhiều thiếu sót Vì vậy, tác giả mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện tốt Xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả §1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa ([2]) Cho tập hợp X tuỳ ý Họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn (i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ; U2 ∈ τ ; (ii) Nếu U1 ∈ τ U2 ∈ τ U1 (iii) Nếu {Ui }i∈I họ tập X Ui ∈ τ , với i ∈ I Ui ∈ τ i∈I Tập hợp X với tôpô τ xác định gọi không gian tôpô ký hiệu (X, τ ) hay X 1.2 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X gọi T1 -không gian với hai phần tử khác x1 x2 X, tồn tập mở U chứa x1 không chứa x2 1.3 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X gọi T2 -không gian (hay không gian Hausdorff ) với cặp điểm khác x1 , x2 ∈ X, tồn lân cận U x1 lân cận V x2 cho U V = ∅ 1.4 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X gọi không gian hoàn toàn quy với điểm x ∈ X tập đóng F không chứa x, tồn hàm liên tục f : X−→[0, 1] cho f (x) = f (y) = 1, với y ∈ F 1.5 Định nghĩa ([2]) Giả sử X không gian tôpô, x ∈ X U(x) họ tất lân cận x Họ B(x) ⊂ U(x) gọi sở lân cận điểm x, với U ∈ U(x), tồn V ∈ B(x) cho x ∈ V ⊂ U Không gian tôpô X gọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, điểm x ∈ X, tồn sở lân cận có lực lượng đếm 1.6 Định nghĩa ([2]) Giả sử X không gian tôpô, a, b ∈ X Ánh xạ liên tục s : [0, 1]−→X cho s(0) = a, s(1) = b gọi đường cong nối a b Không gian tôpô X gọi liên thông đường (hay liên thông tuyến tính) với hai điểm a, b ∈ X, tồn đường cong s : [0, 1]−→X nối a b 1.7 Định nghĩa ([1]) Giả sử X, Y T2 -không gian Khi đó, ta ký hiệu Y X tập gồm ánh xạ từ X vào Y Trong không gian hàm Y X trang bị tôpô cách cho tiền sở β đó, sau: Đối với tập compact X0 ⊂ X tập mở V ⊂ Y , ta ký hiệu G(X0 , V ) tập tất ánh xạ f ∈ Y X cho f (X0 ) ⊂ V Họ β tất tập G(X0 , V ) tạo nên tiền sở không gian Y X Tôpô gọi tôpô compact mở Ký hiệu cặp không gian (X, X0 ) gồm không gian X tập X0 Cặp (X, φ) ta xem X 1.8 Định nghĩa ([1]) Ánh xạ cặp ϕ : (X, X0 )−→(Y, Y0 ) hiểu ánh xạ ϕ : X−→Y , thỏa mãn điều kiện ϕ(X0 ) ⊂ Y0 Ánh xạ ϕ gọi r-ánh xạ tồn ánh xạ ψ : (Y, Y0 )−→(X, X0 ) cho ϕψ ánh xạ đồng (Y, Y0 ) Trong trường hợp riêng Y ⊂ X, Y0 ⊂ X0 , ánh xạ ϕ : (X, X0 )−→(Y, Y0 ) gọi ánh xạ co rút ánh xạ lồng i : (Y, Y0 )−→(X, X0 ) nghịch phải ϕ Trong trường hợp ta nói cặp (Y, Y0 ) co rút (X, X0 ) 1.9 Định nghĩa ([1]) Không gian hàm Y X gồm tất ánh xạ ϕ ∈ Y X thỏa mãn ϕ(X0 ) ⊂ Y0 , ký hiệu (Y, Y0 )(X,X0 ) 1.10 Định nghĩa ([1]) Các ánh xạ f0 , f1 ∈ (Y, Y0 )(X,X0 ) gọi đồng luân với t ∈ [0, 1], tồn ánh xạ ft ∈ (Y, Y0 )(X,X0 ) liên tục phụ thuộc t thỏa mãn ft=0 = f0 , ft=1 = f1 Khi đó, ta nói họ {ft } họ đồng luân nối f0 với f1 1.11 Định nghĩa ([1]) Tập A T2 -không gian X gọi co rút theo không gian X vào tập B ⊂ X, ánh xạ lồng i : A−→X đồng luân với ánh xạ f : A−→X cho f (A) ⊂ B Nếu B gồm điểm ta nói tập A co rút theo X vào điểm Nếu ánh xạ đồng i : X−→X đồng luân với ánh xạ f : X−→X, thỏa mãn f (x) = a, với x ∈ X, a điểm X ta nói X co rút điểm 1.12 Mệnh đề ([1]) Mọi tập lồi A không gian tuyến tính X co rút điểm 1.13 Định nghĩa ([1]) Giả sử X T2 -không gian Khi X gọi co rút điểm địa phương điểm x0 ∈ X, lân cận U x0 chứa lân cận U0 co rút theo U điểm Không gian X gọi co rút điểm địa phương co rút điểm địa phương điểm 1.14 Định lý ([1]) Mỗi thành phần liên thông không gian co rút điểm địa phương tập liên thông tuyến tính 1.15 Mệnh đề ([1]) Mỗi tập lồi M không gian tuyến tính X co rút điểm địa phương 1.16 Định nghĩa ([1]) Không gian X gọi đa diện tồn họ J đơn hình hình học σ cho (1) X = σ; σ∈J (2) Mỗi mặt đơn hình σ ∈ J thuộc J; (3) Nếu đơn hình σ1 , σ2 thuộc J σ1 σ2 mặt đơn hình đó; (4) Tập G ⊂ X mở G σ mở σ ∈ J Họ J gọi tam giác phân không gian X, đỉnh đơn hình σ ∈ J đỉnh J Mỗi đa diện X gọi phức đơn hình 1.17 Định nghĩa ([1]) Giả sử G = {Gµ }, µ ∈ M phủ không gian X Ta xem Gµ = Gµ , với µ = µ Ta giả thiết phần tử họ G lập nên sở không gian vectơ F Nói cách khác F môđun tự thực với sở G Khi đó, điểm p ∈ F biểu diễn cách dạng p = tµ Gµ , với hệ số tµ thực có hữu hạn hạng tử khác µ∈M không Nếu số µ0 , µ1 , , µn khác nhau, ta ký hiệu đơn hình σ F với đỉnh Gµ0 , Gµ1 , , Gµn σ(Gµ0 , Gµ1 , , Gµn ) tập dạng n σ(Gµ0 , , Gµ1 , , Gµn ) = n tµi Gµi , tµi ≥ p= i=0 tµi = i=0 Số tµi gọi toạ độ trọng tâm điểm p, tương ứng với đỉnh Gµi Ta xem tất đơn hình trừu tượng đơn hình hình học bình thường Mỗi đơn có đỉnh phần tử phủ G có giao khác rỗng Còn hợp chúng với tôpô yếu tạo nên đa diện W với tam giác phân J Nói cách khác, đơn hình σ thuộc J đỉnh n Gµi = ∅ Gµ0 , , Gµ1 , , Gµn thỏa mãn i=0 Đa diện W gọi thần kinh phủ G = {Gµ } ký hiệu W = N (G) 1.18 Định nghĩa ([1]) Giả sử M lớp tất không gian khả mêtric Khi đó, không gian X gọi co rút lân cận tuyệt đối không gian mêtric Y X ∈ M đồng phôi h, ánh xạ X lên tập đóng h(X) không gian Y ∈ M , h(X) co rút lân cận Y Khi ta ký hiệu X ∈ AN R(M ) 1.19 Định lý Kuratowski - Woidyslawski ([1]) Đối với không gian mêtric X, tồn không gian định chuẩn Z đồng phôi h : X−→h(X) ⊂ Z h(X) đóng bao lồi C(h(X)) 1.20 Định nghĩa ([2]) Giả sử X không gian tôpô Một họ A tập X gọi hữu hạn địa phương với điểm x ∈ X, tồn lân cận V x giao với số hữu hạn tập A ∈ A Họ A gọi σ-hữu hạn địa phương A hợp đếm họ hữu hạn địa phương 1.21 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X gọi khả mêtric tồn mêtric d X cho tôpô sinh d trùng với tôpô cho X 1.22 Định nghĩa ([3]) Giả sử P họ gồm tập X Khi (1) P gọi lưới, với x ∈ X U lân cận x, tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U (2) P gọi wcs∗ -lưới, với dãy {xn } hội tụ đến x ∈ X U lân cận x, tồn dãy {xni : i ∈ N} {xn } P ∈ P cho {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U 1.23 Định nghĩa ([3]) Giả sử X không gian, x ∈ P ⊂ X Ta nói P lân cận dãy x với dãy {xn } hội tụ đến x, tồn m ∈ N cho xn ∈ P với n ≥ m 1.24 Định nghĩa ([3]) Giả sử P = Px phủ không gian x∈X X với x ∈ X, P thỏa mãn hai điều kiện sau (1) Px lưới x; (2) Nếu P1 , P2 ∈ Px tồn P ∈ Px cho P ⊂ P1 P2 Khi P gọi sn-lưới X, với x ∈ X phần tử Px lân cận dãy x 1.25 Định nghĩa ([2]) Giả sử F σ-đại số tập hợp tập hợp X Hàm số µ : F−→[0, ∞] gọi độ đo (1) µ(∅) = 0; (2) µ σ-cộng tính, tức A1 , A2 , họ đếm tập hợp đôi rời thuộc F ∞ ∞ An µ µ(An ) = n=1 n=1 Bộ ba (X, F, µ) F σ-đại số tập hợp tập hợp X, µ : F−→[0, 1] độ đo, gọi không gian độ đo 1.26 Định nghĩa Giá độ đo µ tập đóng nhỏ X ⊂ Rn cho µ(Rn \ X) = Ký hiệu supp µ Độ đo µ gọi độ đo xác suất, µ(supp µ) = §2 CÁC HÀM TỬ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT BẢO TOÀN MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ 2.1 Định nghĩa ([6]) Giả sử X không gian tôpô Hausdorff Một độ đo xác suất với giá hữu hạn X hàm µ : X −→ [0, 1] thỏa mãn điều kiện sau (i) supp µ = {x ∈ X : µ(x) > 0} hữu hạn; µ(x) = (ii) x∈supp µ Với k ∈ N, ký hiệu Pk (X) tập hợp tất độ đo xác suất X, với giá không vượt k điểm Khi µ ∈ Pk (X) biểu diễn dạng q mi δxi , µ= q ≤ k, i=1 δx hàm cho δx (y) = y = x y = x; q mi = µ(xi ) > 0, mi = Khi ta nói mi khối lượng µ xi i=1 Trong [4], Fedorchuk trang bị tôpô Pk (X) sau: Với điểm q m0i δx0i ∈ Pk (X) ta xây dựng tập O(µ0 , U1 , U2 , , Uq , ε), µ0 = i=1 ε > 0, U1 , U2 , , Uq lân cận rời điểm x01 , x02 , , x0q tương ứng (ở Ui chọn từ sở tôpô X), µi = µ(xi ) xi ∈supp µi ∩Ui q+1 O(µ0 , U1 , U2 , , Uq , ε) = µ ∈ Pk (X) : µ = µi ; supp µi ∈ Ui ; i=1 | m0i − µi |< ε, i = 1, 2, , q + 1; q Ui ; m0q+1 = Uq+1 = X \ i=1 10 Cho trước On (µ) Từ điều kiện εn (γ) < 2−n với γ ∈ Pk (X) nên tồn m ∈ N cho εm (γ) < min{εn (γ), mi , i = 1, 2, , q} 4k (3) với γ ∈ Pk (X) Bây ta chứng minh m(µ, n) = max{m, m(xi , n), i = 1, 2, , q} thỏa mãn đòi hỏi điều kiện Frink Giả sử Om (γ) = Om (γ, V1m , V2m , , Vqm , εm (γ)) với Om (γ) ∩ Om (µ) = ∅ Chọn θ ∈ Om (γ) ∩ Om (µ) ký hiệu θi = θ|Uim , i = 1, 2, , q giả sử θq+1 = θ , Ai = supp θi , i = 1, 2, , q + q Uim X\ i=1 Từ θi ≥ mi − εm (µ) > mi − 14 mi = 34 mi > εm (γi ), i = 1, 2, , q ta suy với i ≤ q tồn số j ∈ {1, 2, , r} cho Ai ∩ Aj = ∅ Giả sử Gi = ∪{Vj : Ai ∩ Vj = ∅}, i = 1, 2, , q; q Gq+1 = ∪ Vj : Vj ⊂ X \ Ai i=1 Bởi Ai ⊂ Uim từ (2) ta suy Gi ⊂ Uim với i = 1, 2, , q (4) Bây ta chứng minh Om (γ) ⊂ On (µ) Với ω ∈ Om (γ), ký hiệu ωi = ω|Gi với i = 1, 2, , q + 1, ωij = ωi |Vj với Vj ⊂ Gi ; θij = θi |Vj với Vj ⊂ Gi Do ω, θ ∈ Om (γ) ta suy | ωij − θij 18 |< 2εm (γ) Mà k ≥ r ≥ card{j : Vj ⊂ Gi } nên từ (3) ta có | ωij − |≤ θij | − ωij θij Vj ⊂Gi |< 2kεm (γ) < εn (µ) với i = 1, 2, , q + (5) Do | ωi −mi |≤| ωi − θi − mi < εn (µ) + εm (µ) < εn (µ) |+ θi với i = 1, , q nhờ (5) ta có ωq+1 ≤ θq+1 1 + εn (µ) ≤ εm (µ) + εn (µ) < εn (µ) 2 Từ (4) suy ω ∈ On (µ) Vậy Om (γ) ⊂ On (µ) Nhờ Định lý Frink ta suy Pk (X) mêtric hóa 3.3 Định lý ([1]) Nếu không gian tôpô X T1 -không gian không gian quy, tôpô có sở σ-hữu hạn địa phương Pk (X) có tính chất Chứng minh Do X T1 -không gian không gian quy, tôpô có sở σ-hữu hạn địa phương nên X mêtric hóa Khi nhờ Hệ 3.2 ta có Pk (X) mêtric hóa Do Pk (X) T1 -không gian không gian quy, tôpô có sở σ-hữu hạn địa phương Vậy định lý chứng minh • Giả sử {Un } dãy phủ mở không gian mêtric X giả sử Un Ký hiệu N (U ) thần kinh phủ U Ta viết K ≺ {Un } U = n∈N K phức đơn hình N (U ) với đơn hình σ ∈ K σ ⊂ Un Un+1 với n ∈ N Ta viết N (σ) = max n ∈ N : σ ⊂ Un 19 Un+1 3.4 Định lý Nguyễn Tố Như ([1]) Không gian mêtric X ∈ AN R tồn dãy phủ mở {Un } X cho với K ≺ {Un } với phép chọn f : K −→ X (nghĩa f (U ) ⊂ U ) tồn ánh xạ g : K −→ X cho {σn } dãy đơn hình K thoả mãn f (σn0 ) −→ x0 ∈ X N (σn ) −→ ∞ ta có g(σn ) −→ x0 3.5 Định lý ([1]) Nếu X ∈ AN R(M ) Pk (X) ∈ AN R(M ) với k ∈ N Chứng minh Giả sử X ∈ AN R Theo Định lý Kuratowski - Woidyslainski ta xem X tập mở không gian định chuẩn Z Với n ∈ N, ta chọn phủ mở Wn X cho Wn+1 ≺ Wn ∞ diam W < 2−n với W ∈ Wn Đặt W = Wn Ta giả thiết tôpô n=1 Fedorchuk Pk (X) cảm sinh từ W Với n ∈ N ta chọn phủ Vn X gồm tập lồi cho (i) Con V ≺ Wn với V ∈ stVn ; (ii) Vn+1 ≺ Vn với n ∈ N Đặt Un = {O µ, U1 , , Uq , 2−n | Ui ∈ Vn ; dist(Ui , Uj ) ≥ 3.2−n với Ui = Uj min{mi , i = 1, 2, , q} ≥ (k + 1)k 2−n } (1) ∞ Un = Ui U = Un n=1 i≥n Ta có Un phủ mở Pk (X) với n ∈ N Với đơn hình σ ∈ N(U ) ta có σ(V1 , , Vp ) với Vi = O µi , U1i , U2i , , Uqi(i) , ε ∈ U ; q(i) mij δxij , xij ∈ Uji , j = 1, 2, , q(i), i = 1, 2, , p µi = j=1 20 p Vi = ∅ i=1 Ta giả thiết Vi ∈ Un(i) với n(1) ≤ n(2) ≤ · · · ≤ n(p) Giả sử ta đặt i } với i = 1, 2, , p Fi = {U1i , , Uq(i) Bây ta đặt A(σ) = L = {U i } U i ∈ Fi , U i = ∅, U i ∩ U = ∅ với U ∈ / L (2) U i ∈L U i ∈L Khi ta có Bổ đề sau 3.6 Bổ đề ([1]) CardA(σ) ≤ k Chứng minh Ta chứng minh CardA(σ) = q(p) ≤ k Từ (1) suy với U ∈ F thuộc nhiều L ∈ A(σ) Do ta cần chứng tỏ với L ∈ A(σ), tồn phần tử U ∈ Fp cho U ∈ L Điều suy từ kết sau: Nếu mij(i) ≥ (k + 1)k ε, với ε = max{εi | i = 1, , p} với i = j, p tồn i , j(i) Uj(i) i Uj(i) = ∅ ≤ q(i) cho p i=1 r mi δxi với r ≤ k Để đơn giản Vi với µ = Thật vậy, giả sử µ = i=1 i=1 q(1)+1 µ1i , với ta giả thiết i = Vì µ ∈ V1 nên viết dạng µ = i=1 µ1i = µ |Ui1 , i = 1, 2, , q(1), µ1q(1)+1 = µ q(1) Ui1 X\ i=1 Ta có q(1)+1 µ1q(1)+1 −n(1) p i Uj(1) ⊃ Ap = ∅ Nói riêng ta có i=1 Bây ta chứng minh Định lý 3.5 Giả sử K ≺ {Un }, f : K −→ Pk (X) phép chọn Đối với V = O(µ, U1 , , Uq , ε) ∈ K ta đặt g0 (V ) = µ i ,ε ) ∈ U Giả sử σ = (V1 , , Vp ) ∈ K với Vi = O(Ui , U1i , , Uq(1) i n(i) p n(1) ≤ n(2) ≤ · · · ≤ n(p) Khi Vi = ∅ i=1 Chú ý µi viết dạng i m(U )δx(U ) , với Fi = U1i , , Uq(i) µi = U ∈Fi p i=1 Với U p ∈ Fp , tồn L = L(U p ) ∈ A(σ) cho U p ∈ L Với U ∈ Fi ta đặt J(U ) = j (Ujp , U ) ⊂ L(Ujp ) Với i = 1, 2, , p ta xác 23 định dãy mij , xij xij q(p) sau: j=1 xpj , L(Ujp ) ∩ Fi = ∅ x(U ), U ∈ L(Ujp ) ∩ Fi = Như xij hoàn toàn xác định Dễ thấy L(U p ) ∩ Fi chứa không phần tử với U p ∈ Fp với i = 1, 2, , p Bây ta đặt mij = L(Ujp ) ∩ Fi = ∅ L(Ujp ) ∩ Fi = ∅ ta đặt mij phương trình: mij = m(U ); j∈J(U ) mij mpj = mj , với i, j ∈ J(U ) mpj Khi µi viết dạng: q(p) mij δxij với i = 1, 2, , p µi = j=1 Ta xác định gσ : σ −→ Pk (X) sau: p Với x ∈ σ ta có x = p λi Vi , λi ≥ λi = Đặt i=1 i=1 q(p) λi xij mj δxj , với xj = gσ (x) = p p j=1 λi mij mj = j=1 j=1 với i = 1, 2, , q(p) Ta có q(p) p q(p) mj = j=1 q(p) p λi mij j=1 i=1 = λi i=1 p mij j=1 p = λi i=1 m(U ) = U ∈Fi Do gσ (x) ∈ Pk (X) Dễ thấy với cặp σ, σ ∈ K ta có gσ σ∩σ = gσ σ∩σ 24 gσ σ0 = gσ λi = i=1 Do họ {gσ }σ∈K cảm sinh ánh xạ g : K −→ Pk (X) cho g K0 = g0 Bây ta chứng minh họ {σn } thỏa mãn Định lý 3.4 Giả sử {σn } họ đơn hình K cho f (σn0 ) −→ µ0 ∈ Pk (X) N (σn ) −→ ∞ q Giả sử V = O(µ0 , W1 , , Wp , ε) lân cận µ0 = m0i δx0i , với Wi ∈ i=1 U, i = 1, , q lân cận rời xi , i = 1, 2, , q tương ứng Do f (σn0 ) −→ µ0 N (σn ) −→ ∞ ta suy g(σn0 ) −→ µ0 Nhờ (1), (2) cách xác định g, tồn n0 ∈ N cho N (σn ) ≥ n0 x ∈ σn ta có q+1 g(x) = µi (x) với µi (x) = g(x) Wi , i = 1, , q i=1 µq+1 = g(x) ; |m0i − q µi (x) |< ε, với i = 1, 2, , q Wi X\ i=1 µq+1 (x) < ε Từ ta có g(σn ) −→ µ0 N (σn ) −→ ∞ Khi nhờ Định lý 3.4 ta suy Pk (X) ∈ AN R Vậy Định lý chứng minh 25 §4 CÁC LƯỚI BẤT BIẾN QUA TÁC ĐỘNG CỦA HÀM TỬPk Trong mục này, ta giả thiết X T2 -không gian Pk (X) không gian tất độ đo xác suất X với giá không vượt k điểm q mi δxi ∈ Pk (X), q ≤ k P phủ 4.1 Định nghĩa Giả sử µ = i=1 X Với họ hữu hạn phần tử P1 , P2 , , Pq , Pi ∈ P, i = 1, 2, , q, q ≤ k; với ε > tuỳ ý, ta định nghĩa tập q+1 ∗ P (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) = µi : supp µi ⊂ Pi , | µi µ= −mi |< ε, i=1 q i = 1, 2, , q; Pq+1 = X \ Pi , mq+1 = 0; Pi ∩ Pj = ∅(i = j) i=1 µi = µ(xi ), µq+1 < ε (1) xi ∈supp µ∩Pi Ta ký hiệu Pµ∗ họ tất tập dạng (1) P∗ = Pµ∗ µ∈Pk (X) Khi P ∗ phủ Pk (X) 4.2 Định lý Giả sử P = Px phủ không gian X P thỏa x∈X mãn điều kiện sau (1) Px lưới x; (2) Nếu P1 , P2 ∈ Px tồn P ∈ Px cho P ⊂ P1 ∩ P2 Pµ∗ có tính chất tương tự P Khi P ∗ = µ∈Pk (X) 26 Chứng minh (1) Với µ ∈ Pk (X), ta biểu diễn µ dạng: q mi δxi , q ≤ k, mi = µ(xi ) > µ= i=1 Với lân cận tùy ý O(µ, U1 , U2 , , Uq , ε) µ, với xi ∈ Ui , i = 1, 2, , q; Ui ∩ Uj = ∅, i = j Vì Pxi lưới xi nên tồn Pi ∈ Pxi cho Pi ⊂ Ui , i = 1, 2, , q Ta có P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) ∈ Pµ∗ nghĩa q+1 P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) = µi : supp µi ⊂ Pi , µ ∈ Pk (X) : µ = i=1 q | µi −mi |< ε, i = 1, 2, , q; Pq+1 = X \ Pi , mq+1 = 0; i=1 Pi ∩ Pj = ∅(i = j) µi = µ (xi ), µq+1 < ε xi ∈supp µ ∩Pi Lấy µ thuộc P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) Vì Pi ⊂ Ui , i = 1, 2, , q nên µ ∈ O(µ, U1 , U2 , , Uq , ε) Do ta có P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) ⊂ O(µ, U1 , U2 , , Uq , ε) Vậy Pµ∗ lưới µ (2) Nếu P1∗ , P2∗ ∈ Pµ∗ , ta tồn P3∗ ∈ Pµ∗ cho P3∗ ⊂ P1∗ ∩ P2∗ Thật vậy, ta biểu diễn µ dạng: q mi δxi , mi = µ(xi ) > 0, q ≤ k µ= i=1 27 Từ định nghĩa Pµ∗ , ta suy P1∗ = P ∗ (µ, P11 , P21 , Pq1 , ε) với ε > 0, Pi1 ∩ Pj1 = ∅(i = j), Pi1 ∈ Pxi , i = 1, 2, , q; P2∗ = P ∗ (µ, P12 , P22 , Pq2 , ε), với ε > 0, Pi2 ∩ Pj2 = ∅(i = j), Pi2 ∈ Pxi , i = 1, 2, , q Giả sử P1∗ ∩ P2∗ = ∅ Không tính tổng quát ta giả thiết P11 ∩ P12 = ∅, , Pq1 ∩ Pq2 = ∅ Từ giả thiết định lý, ta suy tồn Pi3 ⊂ Pi1 ∩ Pi2 , Pi3 ∈ Pxi cho P3∗ = P ∗ (µ, P13 , P23 , , Pq3 , ε) ⊂ P1∗ ∩ P2∗ Vậy định lý chứng minh q mi δxi ∈ Pk (X), q ≤ k dãy {µn } ⊂ 4.3 Nhận xét Giả sử µ = i=1 Pk (X), µn hội tụ µ Khi với ε > 0, tồn N > cho với n > N ta có µn ∈ O(µ, U1 , U2 , , Uq , ε) nghĩa q+1 n µni , suppµni ⊂ Ui , | µ = µni −mi | < ε, i = 1, 2, , q, µnq+1 < ε i=1 4.4 Định lý Nếu P sn-lưới X, P ∗ sn-lưới Pk (X) Chứng minh Giả sử P sn-lưới X Để chứng minh P ∗ sn-lưới Pk (X), từ Định lý 4.2 định nghĩa sn-lưới, ta cần chứng minh phần tử P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) ∈ P ∗ lân cận dãy µ ∈ Pk (X) 28 Nghĩa là, với dãy {µn } ⊂ Pk (X), hội tụ đến µ, ta cần tồn m ∈ N, cho µn ∈ P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε), với n ≥ m Thật vậy, ta biểu diễn µ dạng: q mi δxi , q ≤ k, µ= i=1 mi = µ(xi ), δxi hàm Dirac Vì µn −→ µ nên suy với ε > 0, tồn mi ∈ N, i = 1, 2, , q, cho với n > mi ta có q+1 µni , supp µni ⊂ Pi , | n µ = µni −mi |< ε, i = 1, 2, , q; i=1 µnq+1 < ε Đặt m = max{m1 , m2 , , mq } Khi đó, với n ≥ m ta có µn ∈ P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) Điều chứng tỏ P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) lân cận dãy µ Do P ∗ sn-lưới Pk (X) Vậy Định lý chứng minh 4.5 Định lý Các hàm tử độ đo xác suất Pk bảo toàn wcs∗ -lưới Chứng minh Giả sử P wcs∗ -lưới X, {µn } dãy Pk (X) hội tụ đến µ, O(µ, U1 , U2 , , Uq , ε) lân cận tuỳ ý µ Để chứng minh P ∗ wcs∗ -lưới ta cần tồn dãy {µnil : nil ∈ N} {µn } tồn P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) ∈ P ∗ cho {µnjl : jl ∈ N} ⊂ P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) ⊂ O(µ, U1 , U2 , , Uq , ε) 29 Ta biểu diễn µ µn dạng q q mni δxni , q ≤ k mi δxi , µn = µ= i=1 i=1 Vì µn −→ µ, nên suy với ε > 0, tồn m ∈ N cho với n ≥ m ta có µn ∈ O(µ, U1 , U2 , , Uq , ε) xni −→xi , i = 1, 2, , q Từ giả thiết P wcs∗ -lưới X, xni −→ xi , i = 1, 2, , q ta n suy với lân cận Ui xi , tồn Pi ∈ P dãy {xi j } {xni }, i = 1, 2, , q cho n {xi j : nj ≥ m} ⊂ Pi ⊂ Ui , i = 1, 2, , q Ta có P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) ∈ P ∗ n Dễ thấy tập điểm giá {xi j } có số hữu hạn điểm nj điểm giá phần tử đó, ký hiệu µi l , jl ≥ m Ta xác định µnjl công thức q+1 µ | njl = nj nj µi l , supp µi l ⊂ Pi ⊂ Ui ; i=1 njl µi −mi njl µq+1 < ε |< ε, i = 1, 2, , q; Khi dãy {µnjl } dãy {µn } Từ ta có {µnjl : njl ≥ m} ⊂ P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) ⊂ O(µ, U1 , U2 , , Uq , ε) 30 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Tạ Khắc Cư, tác giả hoàn thành luận văn Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày cách xây dựng khái niệm độ đo xác suất với giá hữu hạn cách xây dựng tôpô Fedorchuk Pk (X) với X không gian Hausdorff Trình bày chi tiết kết có bảo toàn số tính chất tôpô qua tác động hàm tử độ đo xác suất Pk như: hoàn toàn quy, liên thông đường, corút điểm, corút điểm địa phương, tiên đề đếm thứ nhất, AN R Đưa chứng minh tính bất biến loại lưới qua tác động hàm tử độ đo xác suất Pk như: sn-lưới, wcs∗ - lưới 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạ Khắc Cư, (2005), Lý thuyết corút, NXB Đại học Quốc gia [2] Nguyễn Xuân Liêm (1995), Tôpô đại cương - Độ đo tích phân, NXB Giáo dục [3] Lương Quốc Tuyển (2006), Không gian với k-lưới cs-ảnh phủcompact không gian mêtric [4] V V Fedorchuk (1986), Probability measure and absolute neighborhood Retracts, Soviet Math Dokl 22 [5] Nguyen To Nhu and Ta Khac Cu (1989), Probability measure functors preserving the AN R-property of metric spaces,Proc Amer Math Soc, 106, 493 - 501 [6] Ta Khac Cu (2003), Probability measures with finite supports on topological space, VNU Journal of science, T XIX, No1, 22-31 [7] H Torunczyk, Once-maps of the Hilbert cube and characterization of Q-manifolds point-countable covers, Pacific J of Math., 113 (2), 303 - 332 32 [...]... hoàn thành luận văn này Luận văn đã giải quyết được một số vấn đề cơ bản sau: 1 Trình bày cách xây dựng khái niệm độ đo xác suất với giá hữu hạn và cách xây dựng tôpô Fedorchuk trong Pk (X) với X là không gian Hausdorff 2 Trình bày chi tiết các kết quả đã có về sự bảo toàn một số tính chất tôpô qua tác động của hàm tử độ đo xác suất Pk như: hoàn toàn chính quy, liên thông đường, corút điểm, corút điểm... thành cơ sở lân cận tại µ0 theo tôpô trong Pk (X) Tôpô này gọi là tôpô Fedorchuk Trong các Định lý sau ta luôn giả sử X là không gian tôpô Hausdorff và Pk (X) là không gian tất cả các độ đo xác suất trên X với giá không vượt quá k điểm 2.2 Định lý ([6]) Nếu X là không gian hoàn toàn chính quy thì Pk (X) là không gian hoàn toàn chính quy Chứng minh Giả sử X là không gian hoàn toàn chính quy, và q m0i δx0i... Đưa ra và chứng minh tính bất biến của các loại lưới qua tác động của hàm tử độ đo xác suất Pk như: sn-lưới, wcs∗ - lưới 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạ Khắc Cư, (2005), Lý thuyết corút, NXB Đại học Quốc gia [2] Nguyễn Xuân Liêm (1995), Tôpô đại cương - Độ đo và tích phân, NXB Giáo dục [3] Lương Quốc Tuyển (2006), Không gian với k-lưới và cs-ảnh phủcompact của không gian mêtric [4] V V Fedorchuk (1986),... , Pq , ε) là một lân cận dãy của µ Do đó P ∗ là một sn-lưới của Pk (X) Vậy Định lý được chứng minh 4.5 Định lý Các hàm tử độ đo xác suất Pk bảo toàn wcs∗ -lưới Chứng minh Giả sử P là một wcs∗ -lưới của X, {µn } là một dãy bất kỳ của Pk (X) hội tụ đến µ, và O(µ, U1 , U2 , , Uq , ε) là một lân cận tuỳ ý của µ Để chứng minh P ∗ là wcs∗ -lưới ta cần chỉ ra rằng tồn tại dãy con {µnil : nil ∈ N} của {µn... đề đếm được thứ nhất, nên với mỗi x0i ∈ X, tồn tại một cơ sở lân cận đếm được của x0i , ký hiệu là {Uin }, i = 1, 2, , q Ta đặt On = O µ0 , U1n , U2n , , Uqn , 1 , n với n ∈ N, Uin ∈ {Uin }, Uin ∩ Ujn = ∅(i = j) Dễ thấy rằng {On } là cơ sở lân cận đếm được của µ0 Do đó Pk (X) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất 16 §3 HÀM TỬ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TÁC ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN KHẢ MÊTRIC Trong mục này, nếu... P là một wcs∗ -lưới của X, xni −→ xi , i = 1, 2, , q ta n suy ra với mỗi lân cận Ui của xi , tồn tại Pi ∈ P và dãy con {xi j } của {xni }, i = 1, 2, , q sao cho n {xi j : nj ≥ m} ⊂ Pi ⊂ Ui , i = 1, 2, , q Ta có P ∗ (µ, P1 , P2 , , Pq , ε) ∈ P ∗ n Dễ thấy rằng trong tập các điểm giá {xi j } có một số hữu hạn điểm là các nj điểm giá của một phần tử nào đó, ký hiệu là µi l , jl ≥ m Ta xác. .. A(σ) sao cho U p ∈ L Với mỗi U ∈ Fi ta đặt J(U ) = j (Ujp , U ) ⊂ L(Ujp ) Với mỗi i = 1, 2, , p ta xác 23 định một dãy mij , xij xij q(p) như sau: j=1 xpj , nếu L(Ujp ) ∩ Fi = ∅ x(U ), nếu U ∈ L(Ujp ) ∩ Fi = Như vậy xij hoàn toàn được xác định Dễ thấy rằng L(U p ) ∩ Fi chứa không quá một phần tử với mỗi U p ∈ Fp với i = 1, 2, , p Bây giờ ta đặt mij = 0 nếu L(Ujp ) ∩ Fi = ∅ và nếu L(Ujp ) ∩ Fi... ([1]) Nếu không gian tôpô X là T1 -không gian và là không gian chính quy, và tôpô có cơ sở σ-hữu hạn địa phương thì Pk (X) cũng có các tính chất đó Chứng minh Do X là T1 -không gian và là không gian chính quy, và tôpô có cơ sở σ-hữu hạn địa phương nên X mêtric hóa được Khi đó nhờ Hệ quả 3.2 ta có Pk (X) mêtric hóa được Do đó Pk (X) là T1 -không gian và là không gian chính quy, và tôpô có cơ sở σ-hữu... LƯỚI BẤT BIẾN QUA TÁC ĐỘNG CỦA HÀM TỬPk Trong mục này, ta luôn giả thiết X là T2 -không gian và Pk (X) là không gian tất cả các độ đo xác suất trên X với giá không vượt quá k điểm q mi δxi ∈ Pk (X), q ≤ k và P là phủ của 4.1 Định nghĩa Giả sử µ = i=1 X Với họ hữu hạn các phần tử P1 , P2 , , Pq , Pi ∈ P, i = 1, 2, , q, q ≤ k; và với ε > 0 tuỳ ý, ta định nghĩa tập q+1 ∗ P (µ, P1 , P2 , , Pq ,... ∈supp µ∩Pi Ta ký hiệu Pµ∗ là họ tất cả các tập dạng (1) và P∗ = Pµ∗ µ∈Pk (X) Khi đó P ∗ là một phủ của Pk (X) 4.2 Định lý Giả sử P = Px là một phủ của không gian X và P thỏa x∈X mãn các điều kiện sau (1) Px là một lưới của x; (2) Nếu P1 , P2 ∈ Px thì tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ P1 ∩ P2 Pµ∗ cũng có các tính chất tương tự như P Khi đó P ∗ = µ∈Pk (X) 26 Chứng minh (1) Với mỗi µ ∈ Pk (X), ta biểu diễn ... Tố Như Tạ Khắc Cư chứng minh hàm tử độ đo xác suất bảo toàn tính chất AN R không gian mêtric tùy ý Quan tâm đến vấn đề hàm tử độ đo xác suất bảo toàn số tính chất tôpô dựa sở báo Tạ Khắc Cư (2003)... Các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn số tính chất tôpô Trình bày khái niệm độ đo xác suất với giá hữu hạn không gian Hausdorff X xây dựng tôpô Fedorchuk Pk (X), Pk (X) tập hợp tất độ đo xác suất. .. suất, µ(supp µ) = §2 CÁC HÀM TỬ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT BẢO TOÀN MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ 2.1 Định nghĩa ([6]) Giả sử X không gian tôpô Hausdorff Một độ đo xác suất với giá hữu hạn X hàm µ : X −→ [0, 1] thỏa