Về định lý hệ số phổ dụng

1 MỞ ĐẦU Trong phát triển chung toán học, lý thuyết môđun có phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lĩnh vực khác toán học, đặc biệt việc nghiên cứu lý thuyết vành Ta biết vành R R-môđun (phải) nó, nên hiển nhiên số kết môđun chuyển sang vành Môđun nội xạ xạ ảnh xem hai trụ cột lý thuyết môđun Việc nghiên cứu môđun nội xạ mở rộng hướng nhiều người quan tâm Luận văn tập trung nghiên cứu môđun tựa nội xạ lớp môđun mở rộng thực lớp môđun nội xạ Mặt khác luận văn trình bày cách hệ thống bao nội xạ môđun Luận văn chia thành hai chương: CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ MÔĐUN Trong chương trình bày khái niệm môđun cốt yếu, môđun bé tính chất nó, mặt khác trình bày hệ thống khái niệm môđun nội xạ mô đun A- nội xạ số tính chất Kết chương trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất môđun A- nội xạ, môđun nội xạ CHƯƠNG MÔĐUN TỰA NỘI XẠ VÀ BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN Chương nghiên cứu khái niệm số tính chất môđun tựa nội xạ Ngoài trình bày lời giải toán tồn bao nội xạ môđun ứng dụng để chứng minh số tính chất môđun vành Kết đạt dựa vào khái niệm môđun cốt yếu chứng minh rằng: Bao nội xạ môđun mở rộng cốt yếu tối đại môđun mở rộng nội xạ tối tiểu môđun Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến thầy, người thầy đáng kính hướng dẫn tận tình, chu đáo, sâu sắc, nghiêm khắc đầy lòng bao dung, thầy hướng dẫn động viên trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy cô khoa Toán, khoa sau đại học trường Đại học Vinh anh chị lớp cao học khóa 16 chuyên ngành Đại số lý thuyết số động viên, giúp đỡ, góp ý kiến cho trình hoàn thành luận văn Do nhiều nguyên nhân, luận văn không tránh khỏi hạn chế, mong góp ý chân tình quý thầy cô bạn Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ⊕ Ai : Tổng trực tiếp môđun Ai , i ∈ I i E(M): Bao nội xạ môđun M m m N ⊂ M (hay N ⊆ M): N môđun môđun M N ⊂* M: N môđun cốt yếu M K ⊂0 M: K môđun bé môđun M N ⊂ ⊕ M: N hạng tử trực tiếp M n I Mi: Giao mô đun Mi, i = 1, n i=1 Q: nhóm cộng số hữu tỷ Z: Vành số nguyên : Kết thúc chứng minh CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ MÔĐUN 1.1 MÔĐUN CON CỐT YẾU, ĐỐI CỐT YẾU 1.1.1 Định nghĩa Môđun N R - môđun M gọi môđun cốt yếu M, ký hiệu N ⊂* M với môđun khác không K M ta có K ∩ N ≠ Khi ta nói M mở rộng cốt yếu N Nếu môđun khác không môđun M môđun cốt yếu M M gọi môđun (uniform) 1.1.2 Hệ Nếu M môđun nửa đơn, K môđun M K môđun cốt yếu M K = M 1.1.3 Thí dụ a) Với môđun M M ⊂* M b) Q Z - môđun 1.1.4 Bổ đề Cho A môđun môđun M R Khi A ⊂* M với phần tử ≠ m ∈ M tồn r ∈ R cho ≠ mr ∈ A Chứng minh Giả sử A ⊂* M, m ≠ m ∈ M mR ≠ A I mR ≠ Từ suy tồn r ∈R mà ≠ mr ∈ A Ngược lại, B môđun khác không M, lấy ≠ m ∈ B tìm r∈ R, cho ≠ mr ∈ A mr ∈ B nên B I A ≠ Vậy A ⊂* M 1.1.5 Hệ Cho A môđun môđun M R Khi đó: A ⊂* B ⇔ Rx I A ≠ 0, ∀x ∈ M 1.1.6 Mệnh đề Cho f: M → N đồng cấu môđun, A môđun M A⊂ N f-1(A) ⊂* M Chứng minh Giả sử X môđun khác không M Ta phải chứng −1 −1 minh Nếu f(X) = f ( X ) ⊆ A ⇒ X ⊆ f ( A) Khi X ⊆ X ∩ f ( A ) −1 Vậy X ∩ f ( A ) ≠ Nếu f(X) ≠ 0, có A ⊂* N nên ta có f ( X ) ∩A ≠ , nghĩa tồn x ∈X, x ≠ để cho f(x) = a với a ∈ A, a ≠ ⇒ x ∈ f-1(A) Tức ta có x ∈ X I f-1(A) Suy X I f-1(A) ≠ Vậy f-1(A) ⊂* M 1.1.7 Mệnh đề Cho K môđun khác không môđun M, A ⊂* M A ∩ K môđun cốt yếu K Chứng minh Giả sử X môđun khác không môđun K, X môđun M Do A ⊂* M nên A I X ≠ ⇒ ∃ ≠ a ∈ A I X ⇒ a ∈ X a ∈ A, a ∈ K ⇒ a ∈ ( A ∩ K ) ∩ X ⇒ ( A ∩ K ) ∩ X ≠ ⇒ ( A ∩ K ) ⊂* K 1.1.8 Mệnh đề Cho A ⊂ B ⊂ M Nếu (B/A) ⊂* (M/A) B ⊂* M Chứng minh Chọn X môđun khác không M Nếu B I X = dĩ nhiên ta có A I X = ⇒ tồn tổng trực tiếp X ⊕ A ⊇ A Vì (B/A) ⊂* (M/A) (X ⊕ A)/A ⊂ (M/A) nên (B/A) ∩ ((X ⊕ A)/A) ≠ ⇒ ∃ c ∉ A mà c + A ∈ (B/A) I ((X ⊕ A)/A) ⇒ c + A = b + A = x + a + A (với a ∈ A, b ∈ B, x ∈ X) ⇒ x = b - a + a’,a’∈ A Ta có: a’ - a ∈ A ⊂ B nên (b - a + a’) ∈ B ⇒ x ∈ B ⇒ x = ⇒ b ∈ A ⇒ c + A = A ⇒ c ∈ A, điều mâu thuẫn với giả thiết c ∉ A Vậy B I X ≠ 0, tức ta có B ⊂* M 1.1.9 Bổ đề a) Nếu môđun M có dãy môđun A ⊂ B ⊂ C A⊂*M B ⊂* C b) Nếu Ai ⊂* M, i = 1, 2, , n n A i ⊂ *M i =1 Chứng minh a) Giả sử X môđun khác không C Khi X môđun M Vì A ⊂* M nên A ∩ X ≠ ⇒ B ∩ X ≠ ⇒ B ⊂* C b) Ta chứng minh bổ đề quy nạp theo n Với i = 1, mệnh đề theo giả thiết n Giả sử mệnh đề với n - 1, tức ta có: I Ai ⊂* M i =1 Cho X môđun khác không M Do An cốt yếu M nên An I X ≠ Lại giả thiết quy nạp, ta có: n n i =1 i =1 Ai ( An X ) ≠ ⇒ ( Ai ⇒ n I  An)  n X ≠ ⇒ ( Ai i =1  An) ⊂* M Ai ⊂* M i =1 1.1.10 Mệnh đề Cho Ai,(với i = 1, 2, , n) môđun môđun M n Nếu Ai ⊂* Mi A i i =1 n ⊂* M i i =1 1.1.11 Hệ Giả sử M = ⊕I Mi B môđun M Khi phát biểu sau tương đương: a) (B I Mi) ⊂* Mi, ∀i ∈I b) ⊕ (B I Mi) ⊂* M I c) B ⊂* M 1.1.12 Định nghĩa Cho M R - môđun Môđun K M gọi đối cốt yếu (hay môđun bé) M với môđun X M mà X ≠ M K + X ≠ M Nói cách khác, môđun K gọi môđun bé M với môđun X M mà K + X = M X = M Khi ta ký hiệu: K ⊂0 M Nếu môđun môđun M bé M gọi môđun trống (hollow) 1.1.13 Thí dụ a) Với môđun M ta có ⊂0 M b) Mỗi môđun hữu hạn sinh Qz đối cốt yếu Qz Thật vậy, giả sử X môđun Q sinh tập {q 1, q2, , qn} ⊂ Q E môđun Q cho X + E = Q Khi {q 1, q2, , qn} I E hệ sinh Qz Suy E hệ sinh Q E = Q Điều chứng tỏ X ⊂0 Q 1.1.14 Bổ đề a) Nếu M có dãy môđun A ⊂ B ⊂ C B ⊂0 C kéo theo A ⊂0 M b) Nếu Ai ⊂ M, i = 1, 2, , n n ∑A i =1 i ⊂0 M c) Nếu f: M → N đồng cấu môđun A ⊂0 M f(A) ⊂0 N Chứng minh a) Giả sử X môđun M cho A + X = M Khi đó: B + X = M theo luật môđun thì: (X ∩ C) + B =(X + B) I C = M ∩ C = C Do B ⊂0 C nên X I C = C Điều kéo theo C ⊂ D, suy M = A + X = X Vậy A ⊂0 M b) Ta chứng minh mệnh đề quy nạp theo n Với i = 1, mệnh đề hiển nhiên Giả sử mệnh đề với i = n - 1, tức A = (A1 + A2 + + An - 1) ⊂0 M Ta chứng minh mệnh đề với i = n Giả sử X môđun M cho A + A n + X = M Khi đó, A ⊂0 M nên An + X = M Lại An ⊂0 M nên X = M ⇒ A + An ⊂0 M ⇒ n ∑A i =1 i ⊂0 M c) Lấy X môđun N giả sử f(A) + X = N Khi với phần tử m∈ M tùy ý ta có f(m)= f(a) + x, a ∈ A, x ∈ X ⇒ x = f (m - a) ⇒ m - a ∈ f-1 (x) ⇒ m ∈ A + f-1(X) Do A ⊂0 M nên suy f-1 (X) = M ⇒ ⊂ f(M) ⊂ X nên N = f(A) + X = X, f(A) ⊂0 N 1.1.15 Mệnh đề Giả sử A, B, C môđun môđun M Khi đó: a) Nếu B ⊆ C A ⊂0 B A ⊂0 C f(A) b) A ⊆ B, A ⊆ M B hạng tử trực tiếp M A ⊂0 B 1.1.16 Mệnh đề Đối với a thuộc MR, môđun aR không đối cốt yếu M tồn môđun tối đại K cho a không thuộc K Chứng minh (⇐) Nếu K môđun tối đại M a ∉ K aR + K = M Bởi aR + K = M Bởi aR không đối cốt yếu M (⇒) Đặt ∏ tập tất môđun B M, B ≠ M để aR + B = M, ∏ = {B \ B ≠ M, aR + B = M} Tập ∏ ≠ ∅ aR không đối cốt yếu Giả sử Φ dây chuyền ∏ (theo quan hệ bao hàm), đó: B0 I B, B ∈ Φ lân cận Φ Ta chứng minh B0 ≠ M, tức phải chứng minh a ∉ B0 Thật vậy, a ∈ B0 a∈ B với B thuộc Φ; aR ⊂ B nên M = aR + B = B, điều trái với giả thiết B ≠ M Vậy a ∉B0 Mặt khác, B0 + aR = M nên B0 ∈∏ Khi theo bổ đề Zorn ∏ có phần tử tối đại K, ta chứng minh phần tử K môđun tối đại M Giả sử X môđun của M cho K ⊂ X K ≠ X Khi X không thuộc ∏ Đồng thời, M = aR + K ⊂ aR + X ⊂ M ⇒ aR + X = M Vậy X = M nên K tối đại M 1.2 MÔNĐUN A - NỘI XẠ 1.2.1 Định nghĩa Môđun M R gọi A - nội xạ (injective) với môđun X đồng cấu f: X → M mở rộng tới đồng cấu f*: A → M cho f = f*.i nghĩa X O i A f biểu đồ sau giao hoán, với i: X → A f* M phép nhúng Một môđun M gọi nội xạ M A - nội xạ với A 1.2.2 Định nghĩa Cho M, N môđun a) Đơn cấu f: M →N gọi chẻ N= Imf ⊕ A A môđun N b) Toàn cấu f: M →N gọi chẻ M = Kerf ⊕ B B môđun M 1.2.3 Bổ đề Nếu môđun N A- nội xạ đơn cấu f: N → A chẻ Hơn nữa, A không phân tích f đẳng cấu Chứng minh Vì f: N → A đơn cấu nên ta xem N môđun môđun A Do N A-nội xạ nên tồn đồng cấu g: A → N cho gf=1N Ta chứng minh: A = Imf ⊕ Kerg Thật vậy, với a ∈ A ta có g(a)∈ N Đặt n = g ( a ) , a = f ( n ) + a − f ( n ) Hiển nhiên f ( n ) ⊂ Imf Xét g(a-f(n)) = g(a) – gf(n) = n - n = Vậy a - f(n) ∈ Kerg (2) Từ (1) (2) suy A = Imf + Kerg (3) (1) 10  a = f (n) Giả sử a ∈ Imf ∩ Kerg Khi đó, a ∈ Imf nên  với n∈N  g (a) = hay g.f ( n ) = ⇔ n = ⇒ a = f ( n ) = f ( ) = Do Imf ∩ Kerg = (4) Từ (3) (4) suy A = Imf ⊕ Kerg Vậy f chẻ Hơn nữa, A không phân tích theo định nghĩa Kerg = 0, A = Imf nên f toàn cấu Vậy f đẳng cấu m 1.2.4 Mệnh đề Cho N A- môđun nội xạ Nếu B ⊂ A N B- nội xạ N A B - nội xạ Chứng minh Chứng minh N B-nội xạ m i X i B A m Với môđun X ⊂ B ta có X ⊂ A Mà ψ ϕ N A- nội xạ nên với đồng cấu ∃h ϕ: X →N mở rộng thành đồng cấu h: A → N cho ϕ= hi Chọn ψ: B →N N cho ψ = h.i Khi ψ mở rộng ϕ nên N B - nội xạ *Chứng minh N A B - nội xạ Giả sử X B môđun X Π A B ϕ : X B →N đồng cấu Gọi Π đồng cấu tự nhiên từ A vào A B Π thu hẹp Π X.( Π’ = Π|X) Ta có biểu đồ trên: X i A ∃θ B ϕ N A B 25 2.2 VẤN ĐỀ NHÚNG MỘT MÔĐUN VÀO MỘT MÔĐUN NỘI XẠ Trong phần luận văn trình bày vấn đề nhúng môđun vào môđun nội xạ 2.2.1 Mệnh đề Nếu A Z - môđun A nhúng vào Z môđun chia Chứng minh Ta có: A ≅ F/K F nhóm aben tự nên ta có m F ≅ ⊕I Z Do Z nhúng vào Q nên ta có: A ≅ F/K ≅ ⊕I Z/K ⊂ ⊕I Q/K Mà ⊕Q chia ⇒ ⊕ Q/K chia 2.2.2 Bổ đề Cho R vành D nhóm Aben chia Khi đó, Hom (R, D) R - môđun trái nội xạ Chứng minh Giả sử I < RR, f: I → Hom (R, D) đồng cấu i I Bây ta phần tử g ∈ Hom (R, R D) thỏa mãn: f ( x ) = xg = g ( x ) , ∀x ∈ I Gọi ϕ: I → D đồng cấu, với ϕ(x) = f(x) Do D chia nên D nội xạ (trên Z), từ suy f ∃g ϕ ϕ đồng cấu nhóm cộng, mà tồn g: R → D cho ϕ = g.i Hom (R, D) D Dễ dàng kiểm tra g thỏa mãn tiêu chuẩn Bear 2.2.3.Bổ đề Nếu A R - môđun trái A đẳng cấu với nhóm đồng cấu R - môđun Hom R(R, A) Chứng minh Giả sử ϕ: A → Hom R(R, A) a  f(a) 26 Với fa (1) = a ta có: fa(r) = ra, suy ϕ đẳng cấu 2.2.4 Định lý Mọi môđun R đẳng cấu với môđun môđun nội xạ R Chứng minh M môđun ⇒ Nhóm cộng M nhúng vào nhóm Aben chia D ⇒ Homz (R,D) R - môđun nội xạ Ta có: M ≅ HomR (R,D) ⊂ Homz (R, M) ⊂ HomZ(R,D) m m Suy ra: M ≅ X ⊂ HomZ(R, D) R - môđun nội xạ m 2.2.5 Hệ Mọi môđun M R nhúng vào dãy khớp ngắn: f g  → M → X → L  → môđun R, X nội xạ Chứng minh Giả sử M R môđun tùy ý, M đẳng cấu với môđun M’ môđun nội xạ X Do ta có dãy: f g  → M ' ≅ M → X → X / M '  →0 f = i.ϕ với ϕ đẳng cấu M M’, i phép nhúng M’ → X g phép chiếu tự nhiên từ X → X/M’ Khi f đơn cấu, g toàn cấu Vậy dãy khớp dãy khớp ngắn cần tìm 27 2.3 BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN Ta biết môđun M môđun môđun nội xạ Bây trình bày chứng minh số môđun nội xạ chứa A có môđun tối tiểu môđun nội xạ theo nghĩa sai khác đẳng cấu 2.3.1 Định nghĩa Đơn cấu ϕ: A → M gọi cốt yếu Im(ϕ) môđun cốt yếu M 2.3.2 Bổ đề Nếu α: A → B β: B → C đơn cấu β α cốt yếu α β cốt yếu 2.3.3 Bổ đề A có mở rộng cốt yếu tồn đơn cấu cốt yếu f: A → M 2.3.4 Mệnh đề (Eckmann - Schopf) Một môđun A nội xạ A mở rộng cốt yếu Chứng minh ⇒ ) Giả sử A môđun nội xạ A có mở rộng cốt yếu A ⊂* B, A nội xạ nên A ⊕ C = B, C môđun B Mặt khác, A ⊂* B nên từ A I C = ta có C = ⇒ B = A ⇐) Giả sử A không nội xạ, tồn môđun C ⊇ A cho A không hạng tử trực tiếp C Chọn môđun B ⊆ C cực đại cho B = Khi đó: A ⊕ B ⊂ C ⇒ (A ⊕ B) / B ⊂* C/B ⇒ đơn cấu α: A → C β: C → C/B cốt yếu ⇒ β α = f: A → C/B cốt yếu ⇒ A có mở rộng cốt yếu AI 28 2.3.5 Định nghĩa Cho C môđun A môđun C, ta nói A cốt yếu đóng C A mở rộng cốt yếu C Tức với A ⊆* B ⊆ C B = A 2.3.6 Mệnh đề Cho A môđun môđun nội xạ M Khi A nội xạ A cốt yếu đóng M Chứng minh ⇒) Nếu A nội xạ theo mệnh đề Eckmann - Schopf, A mở rộng cốt yếu M Vậy A cốt yếu đóng M ⇐ ) Giả sử A cốt yếu đóng M Xét mở rộng cốt yếu A ⊂* B, ánh xạ mở rộng A vào B mở rộng thành đồng cấu f: B → M, Ta có A I Ker (f) = ⇒ Ker (f) = (do A ⊂* B) ⇒ f phép đẳng cấu từ B lên m f (B) ⇒ A = f(A) ⊆* f(B) ⊆ M ⇒ f(B) = A Do A cốt yếu đóng M nên suy B = A ⇒ A không chứa mở rộng cốt yếu ⇒ A nội xạ 2.3.7 Định nghĩa Cho môđun A Đơn cấu α: A → M gọi bao nội xạ A M môđun nội xạ α đơn cấu cốt yếu Khi α: A → M bao nội xạ A, không sợ nhầm lẫn ta thường gọi môđun M bao nội xạ A ký hiệu M = E(A) 2.3.8 Định lý Cho A môđun Bất kỳ môđun nội xạ chứa A bao hàm bao nội xạ A m Chứng minh Xét môđun nội xạ M ⊇ A theo bổ đề Zorn, tồn m m môđun U ⊆ M cho A ⊆ U U cực đại với điều kiện A ⊆* U Nếu 29 U’ môđun M để U ⊆* U’ A ⊆* U’ Do tính chất cực đại U nên U = U’ ⇒ U cốt yếu đóng M ⇒ U nội xạ (theo mệnh đề 2.3.6) ⇒ U bao nội xạ A Như vậy, ta nói bao nội xạ môđun A môđun nội xạ M cho mở rộng cốt yếu A 2.3.9 Bổ đề Nếu α: A → M đơn cấu M môđun nội xạ đơn cấu cốt yếu ϕ: A → A’ tồn đơn cấu α’: A’ → M cho biểu đồ sau giao hoán, tức là:α =α’ϕ ϕ A α A’ α’ M Nói cách khác, mở rộng cốt yếu A nhúng vào mở rộng nội xạ Chứng minh Do M nội xạ nên tồn đồng cấu α’: A’ → M cho α = α’ϕ Gọi K = Ker (α’) Do α đơn cấu nên K I Im(ϕ) = Ker(α’) ∩ Im(ϕ) = Ker (α’ ϕ) = Ker (α) = Do ϕ cốt yếu nên ta có K = ⇒ α’ đơn cấu 2.3.10 Mệnh đề Giả sử α1: A → M1 bao nội xạ α2: A → M2 đơn cấu vào môđun nội xạ M2, Khi tồn đơn cấu chẻ ϕ: M1 → M2 cho biểu đồ sau giao hoán: α1 A M1 ϕ α2 M2 30 α2 = ϕ α1 Đơn cấu α2 bao nội xạ A ϕ đẳng cấu Chứng minh: Do M2 nội xạ nên tồn đồng cấu ϕ: M1 → M2 cho ϕα = α ⇒ Ker(ϕα ) = Ker (ϕ ) ∩ Im (α ) = Ker (ϕ ) ∩ A = Ker (α ) = 1 (do α1 đơn cấu cốt yếu α2 đơn cấu) Mặt khác, A ⊂* M1, A I Ker (ϕ) = nên suy Ker (ϕ) = ⇒ ϕ đơn cấu Lại M1 nội xạ nên đơn cấu ϕ chẻ nên ta có M2 = Im(ϕ) ⊕ C Như đơn cấu chẻ ϕ: M1 → M2 tồn cho ϕ α1 = α2 Bây giờ, α2 bao nội xạ A α2 đơn cấu cốt yếu, theo bổ đề 2.3.2 ϕ cốt yếu ⇒ C = ⇒ ϕ đẳng cấu Ngược lại, ϕ đẳng cấu ϕ cốt yếu ⇒ α2 bao nội xạ A 2.3.11 Mệnh đề Nếu M M’ bao nội xạ môđun A phép đồng A mở rộng thành phép đẳng cấu từ M vào M’ Chứng minh Giả sử f: A → M f’: A → M’ ánh xạ bao hàm Khi đó, tồn đơn cấu g: M → M’ cho g.f = f’ ⇒ f’(A) ⊆ g(M) ⇒ g(M) ⊆* M’ ⇒ g đơn cấu cốt yếu Tuy nhiên M bao nội xạ nên mở rộng cốt yếu, từ suy g(M) = M’ ⇒ g đẳng cấu Mệnh đề 2.3.11 chứng tỏ bao nội xạ xác định sai khác đẳng cấu; nữa, xem mở rộng nội xạ tối tiểu A 2.3.12 Định lý Mọi môđun A có bao nội xạ 31 Chứng minh Giả sử U môđun nội xạ, α: A → U đơn cấu, C=Im(α), C’  - bù C C’’  - bù C’ Khi C’’  - bù thứ hai C = Im(α) U thỏa mãn điều kiện C ⊂ C” Lấy môđun D C” cho C I D = 0, đó: x ∈ C I (C’ + D) x = c = c’ + d với c ∈ C, c’ ∈ C’, d ∈ D ⇒ c’ = c - d ∈ C’ I C” = ⇒ x = c = d ∈ C I D = 0⇒ C I (C’+D) = ⇒ C’ + D = C’ (do C’ có tính cực đại) ⇒ D ⊂ C’ ⇒ D ⊂ C’ I C” = ⇒ D = ⇒ C ⊂* C” Xét biểu đồ: C” ⊕ C’ β i U ϕ U/C’ ⊕ U/C” Trong i đơn cấu tắc, β ϕ xác định sau: Đối với c” + c’ ∈ C” ⊕ C’:β (c” + c’) = (c” + c’ + C’, c” + c + C’) = (c” + C’, c’ + C’) Đối với u ∈ U: ϕ(u) = (u + C’, u + C”) ⇒ β = ϕi Do C’ ∩ C” = nên β, ϕ đơn cấu, lại U nội xạ nên ϕ chẻ Bây giờ, chọn D’ môđun U cho: ((C” ⊕ C’) / C’) I (D’/C’) = ⇒ (C” ⊕ C’) I D’ = C’ ⇒ ⇒ C’ = ((C” I D’) ⊕ C’) ⇒ (C” I D’) ⊂ C ⇒ (C” I D’) ⊂ C” I C’ 32 Vì C” I C’ = nên C” I D’ = Từ tính tối đại C’ ⇒ C’ = D’ ta suy D’/C’ = ⇒ ((C” ⊕ C’)/C’) ⊂* U/C’ Tương tự, (C” ⊕ C’)/C” ⊂* U/C”⇒ β đơn cấu cốt yếu ⇒ ϕ đơn cấu cốt yếu Do ϕ chẻ nên β đẳng cấu ∀u∈U, ∃ u’ ∈ U cho (u + C’, + C”) = (u’ + C, u’ + C”) ⇒ u’ ∈ C” nghĩa u ∈ C” + C’ ⇒ U = C” ⊕ C’ ⇒ C” hạng tử trực tiếp U ⇒ C” nội xạ Như vậy, với kết quả: Im(α) = C ⊂* C” C” môđun nội xạ ta có α’: A→ C” với α’(a) = α(a), ∀a ∈ A bao nội xạ A 2.3.13 Định lí Bao nội xạ môđun A cực đại mở rộng cốt yếu cực tiểu tất mở rộng nội xạ Chứng minh Giả sử M mở rộng cốt yếu A f Ta chứng minh M ⊆ E(A) M A Xét biểu đồ: ∃ϕ i E(A) f đơn cấu cốt yếu, i phép nhúng Vì E(A) nội xạ nên ∃ϕ: M → E(A) cho gf = i Giả sử Ker(g) ≠ ⇒ f(A) I Ker(g) ≠ 0, f(A) ⊆* M ⇒ ∃x ≠ 0, x ∈ X cho x = f(a) ∈ Ker(g) với a ∈ A Khi đó, a = i(a) = gf(a) = ⇒ x = 0, mâu thuẫn x ≠ ⇒ Ker(g) = ⇒ g đơn cấu ⇒ M ⊂ E(A) 33 Ngược lại, giả sử E’ mở rộng nội xạ A Ta chứng minh E(A) ⊆ E’ Xét biểu đồ: A E(A) ∃g f i phép nhúng, f đơn cấu  → i E’ Do E’ nội xạ nên ∃g: E(A) → E’ cho gi = f Giả sử Ker(g) ≠ ⇒ Ker(g) ∩ A ≠ A ⊆* E(A) ⇒ ∃a ∈ A, a ∈ Ker(g), a ≠ Khi f(a) = gi(a) = g(a) = Vì f đơn cấu nên ⇒ a = điều mâu thuẫn với a ≠ ⇒ Ker(g) = ⇒ g đơn cấu Vậy E(A) ⊆ E’ Bây giờ, ứng dụng tồn bao nội xạ để xem xét chứng minh số tính chất môđun 2.3.14 Bổ đề Cho A, B môđun môđun M A ∩ B = Khi bao nội xạ E (A ⊕ B) = E(A) ⊕ E(B) Chứng minh Ta có E (A) ⊕ E(B) môđun nội xạ chứa A ⊕ B E(A ⊕ B) môđun nội xạ bé chứa A ⊕ B, đó: E(A ⊕ B) ⊆ E(A) ⊕ E(B) (1) Mặt khác, A ⊂* E(A) B ⊂* E(B) nên (A ⊕ B) ⊂* E(A) ⊕ E(B) Mà E(A ⊕ B) mở rộng cốt yếu tối đại (A ⊕ B) nên ta có: E(A) ⊕ E(B) ⊆ E(A ⊕ B) (2) Từ (1) (2) ⇒ E(A ⊕ B) = E(A) ⊕ E(B) 2.3.15 Mệnh đề Nếu M môđun nội xạ không phân tích M môđun 34 Chứng minh Nếu A, B môđun khác không M mà A I B = tồn A ⊕ B ⊆ M Vì bao nội xạ E (A ⊕ B) ⊆ E(M) = M (do M nội xạ) nên E(A ⊕ B) hạng tử trực tiếp M Mà A B khác không nên E(A ⊕ B) = M Ta lại có: E (A) ⊕ E(B) = M Do M không phân tích nên E(A) = E(B) = suy ra: A = B = Điều mâu thuẫn chứng tỏ tồn A I B = Vậy M môđun 2.3.16 Mệnh đề Nếu Q môđun nội xạ không phân tích vành tự đồng cấu End(Q) vành địa phương Chứng minh Nếu ϕ ∈ End(Q) đơn cấu ảnh Im(ϕ) nội xạ, Im(ϕ) hạng tử trực tiếp Q Mà Q không phân tích nên Im(ϕ) = Q ⇒ ϕ đẳng cấu, ϕ khả nghịch End(Q) Bây lấy f ∈ End(Q) không khả nghịch End(Q) Khi đó, f không đơn cấu ⇒ Ker(f) ≠ Giả sử ϕ1, ϕ2 không khả nghịch End(Q) Khi Ker(ϕ1) ≠ 0, Ker(ϕ2) ≠ Ta có Q môđun đều, Ker(ϕ1) I Ker(ϕ2) ≠ Mà Ker(ϕ1) I Ker(ϕ2) ⊆ Ker(ϕ1 + ϕ2) ⇒ (ϕ1 + ϕ2) không đơn cấu, hay (ϕ1 + ϕ2) không khả nghịch End(Q) Vậy End(Q) vành địa phương Đến ta nhắc lại môđun A gọi bé A môđun bé bao nội xạ A Mệnh đề sau đưa điều kiện để A môđun bé 2.3.17 Mệnh đề Nếu A môđun bé môđun M A môđun bé 35 Chứng minh Giả sử A ⊂0M Ta có bao nội xạ E(A) ⊆ E(M) ⇒ E(M) = E(A) ⊕ X Do A ⊂0 M nên A ⊂0 E(M), E(A) hạng tử trực tiếp E(M) A⊆ E(M) nên A ⊂0 E(A) Vậy A môđun bé 2.3.18 Định lý (Papp and Bass) Vành R Noether phải tổng trực tiếp R - môđun phải nội xạ nội xạ Chứng minh Giả sử R Noether phải E = ⊕I E i , Ei nội xạ với ∀i ∈ I Ta chứng minh E nội xạ Theo tiêu chuẩn Bear, ta cần chứng minh E RR - nội xạ Xét biểu đồ sau đó: J < RR f: J → E R J R - đồng cấu môđun phải Do RR - Noether nên J = < x1, , xn > Vì f(x1) , f(xn)∈E nên tồn k f ∃h để f(J) ⊆ E1 ⊕ ⊕ Ek = E’ Do k hữu hạn nên E’ nội xạ, từ suy tồn đồng cấu h: R R → E’ mở rộng f Vậy E nội xạ E Ngược lại, tổng trực tiếp môđun nội xạ nội xạ, ta phải chứng minh RR Noether Giả sử I ⊂ I2 ⊂ dãy tăng ∞ n I = U Ii gọi E = ⊕ E ( R I ) Theo giả thiết, E nội iđêan phải R Đặt n i=1 i=1 ∞ xạ I < RR Xác định f: I = ∏ E (R / I n ) , (f(x))n = x + In n=1 Với x ∈ I ta có x ∈ Ik với k Từ suy x + In = với ∀n ≥ k Vậy thực chất, đồng cấu f: I → E (tức ảnh f n E với E = ⊕ E ( R I ) Do E nội xạ nên theo tiêu chuẩn Bear, tồn n i=1 α ∈ E để f(x) = α.x, ∀x ∈I Khi đó, αk = Bây giờ, ∀x ∈I ta có: x + Ik = (f(x))k = (α.x)k = αk.x = ⇒ ∀x ∈Ik, hay 36 I = Ik Tức dãy iđêan dừng Vậy RR Noether 37 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: Chứng minh số tính chất môđun cốt yếu, đối cốt yếu (môđun bé) Trình bày môt cách hệ thống khái niệm chứng minh tường minh số tính chất môđun A- nội xạ, môđun nội xạ Trình bày chi tiết chứng minh tồn bao nội xạ môđun Chứng tỏ bao nội xạ môđun M mở rộng cốt yếu tối đại M mở rộng nội xạ tối tiểu Trình bày chứng định lý Papp and Bass Hệ thống khái niệm tính chất môđun tựa nội xạ 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sơ lý thuyết môđun,Nxb Đại học sư phạm [2] N.T.Quang - N.D.Thuan (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, Nxb giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh [3] Anderson.F.W and Fuller K.R, (1994), Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, New York, Heidelberg, Berlin [4] C.Faith, (1976), Algebra II: Ring theory, Springer Verlag [5] Dung.N.V, Huynh.D.V, Smith.P.F and Wisbauer.R, (1994), Extending Modules, Pitman, London [6] Mohamed S.H and Muller B.J, (1990), Continuous and Discrete Modules, London, Math.Soc Lecture note series 147, Cambridge Univ.Press [7] R.Wisbauer, (1991), Foundations of Module and Ring theory, Gordon and Breach, Reading [8] W.K Nicholson, M.F.Yousif, (2003), Quasi - Frobenius Rings, Cambridge at the University Press 39 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Môđun cốt yếu, đối cốt yếu 1.2 Môđun A- nội xạ…………………………………………………… .9 1.3 Môđun nội xạ……………………………………………………… 14 Chương MÔĐUN TỰA NỘI XẠ VÀ BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN 2.1 Môđun tựa nội xạ …………………………………………… 23 2.2 Vấn đề nhúng môđun vào môđun nội xạ………………… 25 2.3 Bao nội xạ môđun…………………………………………… 27 KẾT LUẬN…………………………………………………………… 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………… 37 [...]... Xác định quan hệ ⊆ trên X bằng quy ước: (C1, f1) ⊆ (C2, f2) nếu và chỉ nếu C1 ⊆ C2; f2 mở rộng f1 Kiểm tra lại rằng, quy ước này là một trật tự riêng trên X và mọi chuỗi không rỗng trong X đều có một cận trên Sử dụng bổ đề Zorn, ta có phần tử lớn nhất trong X là (C*, f*) Nếu C* = B, ta có ngay điều phải chứng minh Nếu C* ≠ B: Ta chọn b ∈B - C* và đặt I = { r∈R\ b r ∈ C*} Quy ước, r  f*(b r) xác định. .. h.g = β.f Bây giờ ta xác định α: B → Homz(R, D) cho bởi công thức: α(b)(r) = β (br), b ∈ B, r ∈ R Khi đó, rõ ràng đối với phần tử cố định b ∈ B ta có: α(b) ∈Homz(R, D), α(br1)(r) = β(br1r) = α(b)(r1r) = (α(b)r1)(r), nghĩa là α(br1) = α(b)(r1) Do đó α là R - đồng cấu Hơn nữa ta có: (((αf)a)r) = β (f(a)r) = βf (ar) = hg (ar) = g (ar)(1) = (g(a)r) (1) = g(a)(r) ⇒ αf = g 1.3.11 Định lý Mỗi môđun M đều có... Ta khẳng định rằng, N∩(ν- ψ)A = 0 E(N) ψ 24 Thật vậy, giả sử n ∈ N, a ∈ A thì ta có n = (ν - ψ)(a) Khi đó ψ(a) = ν(a) -n ∈ N vì thế a ∈ X Suy ra rằng n = ν(a)-ψ(a) =ψ(a) - ψ(a) = 0 Tức là N ∩ (ν - ψ)A= 0 ⇒ (ν - ψ)A = 0 khi N ⊂* E(N) Do đó ψA = νA ⊂ N m Từ bổ đề 2.1.2 chứng minh được một số kết quả sau: m 2.1.3 Hệ quả Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu f(M) ⊂ M với mọi f ∈ End E(M) 2.1.4 Hệ quả... phải chứng minh (a) ⇔ (d): Theo định nghĩa g* = Hom(g, i) là một toàn cấu nếu và chỉ nếu với mọi phần tử f: A → X trong Hom(A, X) tồn tại một phần tử h: B → X trong Hom (B, X) sao cho g* (h) = i.h.g = h.g = f Tức là (d) xảy ra khi và chỉ khi X là nội xạ, nghĩa là (d) ⇔ (a) 1.3.7 Định nghĩa Một nhóm Aben X được gọi là chia được nếu và chỉ nếu với mọi phần tử x của X và mọi số nguyên n ≠ 0, tồn tại một... B ⊕ Y → b xác định như sau: θ(b + y) = θ (b) + θ(y) = y(b) + 0 = ψ(b) Như vậy, θ là đồng cấu mở rộng của ψ và cũng là mở rộng của ϕ Do đó (B, ψ) ⊂ (B ⊕Y, θ) mâu thuẫn với (B, ψ) tối đại Dẫn đến B là môđun con m 12 cốt yếu trong A Giả sử B ≠ A, ta đặt K= {r ∈ R : a r ∈ B}, với phần tử a ∈ A - B Vì aK = aR ∩ B nên K ≠ 0 (do B là cốt yếu trong A) Ta xác định một đồng cấu µ: aK →N, xác định như sau: µ(ak)... môđun nội xạ Chứng minh Giả sử M là môđun đã cho Khi đó, tồn tại Z - đơn cấu f: M → D, trong đó D là nhóm Aben chia được Xác định tương ứng h: M → Homz(R, D); h(m)(r) = f(mr), m ∈ M, r ∈ R Rõ ràng h là đồng cấu R - môđun Từ tính đơn cấu của f suy ra h cũng đơn cấu 21 1.3.12 Định lý (Tiêu chuẩn Bear) Một môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi iđêan phải U ⊂ R và mỗi đồng cấu f: U → Q đều tồn tại... X )  →0 , với f*= Hom(f , i) và g* = Hom(g, i) cũng là một dãy khớp ngắn Chứng minh: (a) ⇒ (b): Giả sử X là nội xạ và xét biểu đồ những đồng cấu sau: Theo định nghĩa, tồn tại một đồng M cấu h: U → X thỏa mãn h.g = i ∃h i 0 X g U Theo hệ luận về dãy khớp, điều này kéo theo dãy khớp ngắn g X f V → 0 → U → → 0 chẻ ra 18 (b) ⇒ (c): Ta biết, X đẳng cấu với một môđun con của một môđun nội xạ trên... (1) = a ta có: fa(r) = ra, suy ra ϕ đẳng cấu 2.2.4 Định lý Mọi môđun trên R đều đẳng cấu với một môđun con của một môđun nội xạ trên R Chứng minh M là môđun bất kỳ ⇒ Nhóm cộng M nhúng vào nhóm Aben chia được D ⇒ Homz (R,D) là R - môđun nội xạ Ta có: M ≅ HomR (R,D) ⊂ Homz (R, M) ⊂ HomZ(R,D) m m Suy ra: M ≅ X ⊂ HomZ(R, D) là một R - môđun nội xạ m 2.2.5 Hệ quả Mọi môđun M trên R đều có thể nhúng vào dãy... trong M nên suy ra B = A ⇒ A là không chứa mở rộng cốt yếu ⇒ A nội xạ 2.3.7 Định nghĩa Cho môđun A Đơn cấu α: A → M được gọi là bao nội xạ của A nếu M là môđun nội xạ và α là đơn cấu cốt yếu Khi α: A → M là bao nội xạ của A, nếu không sợ nhầm lẫn ta cũng thường gọi môđun M là bao nội xạ của A và ký hiệu M = E(A) 2.3.8 Định lý Cho A là một môđun Bất kỳ một môđun nội xạ nào chứa A cũng bao hàm một bao... Tuy nhiên do M là một bao nội xạ nên nó không có mở rộng cốt yếu, từ đó suy ra g(M) = M’ ⇒ g là đẳng cấu Mệnh đề 2.3.11 chứng tỏ rằng bao nội xạ được xác định duy nhất sai khác đẳng cấu; hơn nữa, nó xem như một mở rộng nội xạ tối tiểu của A 2.3.12 Định lý Mọi môđun A đều có bao nội xạ 31 Chứng minh Giả sử U là một môđun nội xạ, α: A → U là một đơn cấu, C=Im(α), C’ là  - bù của C và C’’ là  - bù của ... Mi, i = 1, n i=1 Q: nhóm cộng số hữu tỷ Z: Vành số nguyên : Kết thúc chứng minh 4 CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ MÔĐUN 1.1 MÔĐUN CON CỐT YẾU, ĐỐI CỐT YẾU 1.1.1 Định nghĩa Môđun N R - môđun M... Từ bổ đề 2.1.2 chứng minh số kết sau: m 2.1.3 Hệ Một môđun M tựa nội xạ f(M) ⊂ M với f ∈ End E(M) 2.1.4 Hệ Mọi môđun có mở rộng tựa nội xạ cực tiểu với đẳng cấu 2.1.5 Hệ Cho A B môđun nội xạ lẫn... Noether 37 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: Chứng minh số tính chất môđun cốt yếu, đối cốt yếu (môđun bé) Trình bày môt cách hệ thống khái niệm chứng minh tường minh số tính chất môđun A- nội xạ,