ĐỊNH LÍ VỀ CÁC HỆ TỬ PHỔ DỤNG ĐỐI VỚI CÁC NHÓM ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _ Trần Văn Vương ĐỊNH LÍ VỀ CÁC HỆ TỬ PHỔ DỤNG ĐỐI VỚI CÁC NHÓM ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU Chun ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Xin gửi lời cảm ơn chân thành tới q thầy giảng dạy, truyền đạt cho em nhiều kiến thức khóa học, nhờ em có điều kiện để thực hồn thành luận văn Đặc biệt, TS Trần Hun – Người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ em nhiều q trình hồn thiện kiến thức hồn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn thật sâu sắc đến thầy Cuối cùng, em xin cảm ơn q thầy phản biện xem luận văn giúp em hiểu sâu sắc vấn đề Xin chân thành cảm ơn! MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Như ta biết, Đại Số Đồng Điều phần Tơpơ Đại Số , chun ngành xuất từ việc đưa cấu trúc đại số vào để tìm hiểu sâu sắc khơng gian tơpơ Trong đó, tri thức đồng ln dây chuyền, đồng điều đóng vai trò quan trọng Nếu K phức nhóm aben G nhóm aben tùy ý Hom(K,G) phức Định lí hệ tử phổ dụng lời giải cho tốn tính đối đồng điều phức Hom(K,G) thơng qua đồng điều phức K Khơng vậy, định lí hệ tử phổ dụng mở rộng thành định lí tổng qt hơn, định lí phân lớp đồng ln định lí giúp ta tính đồng điều phức Hom(K,L) thơng qua đồng điều phức K L.Vì vậy, việc hiểu rõ định lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng ln cần thiết Nó có vai trò hỗ trợ việc tìm hiểu sâu Đại Số Đồng Điều Tơpơ Đại Số Đó lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu rõ định lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng ln cho thấy vài ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phạm trù phức, Hom phức vấn đề liên quan Ý nghĩa khoa học thực tiễn Làm rõ hai định lí quan trọng đại số đồng điều: định lí hệ tử phổ dụng định lí phân lớp đồng ln Bên cạnh đó, cho thấy vài ứng dụng hai định lí việc tính đồng điều phức Hom tìm hiểu sâu đồng ln dây chuyền Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức sử dụng trình bày luận văn Đó số vấn đề phức đồng điều, hàm tử Ext, hàm tử Tor, … Phần chứng minh mệnh đề, định lí đọc chúng tài liệu tham khảo 1.1 Phức đồng điều 1.1.1 Các định nghĩa Cho R vành tùy ý, phức dây chuyền K R-mơđun họ K n , n  gồm R-mơđun K n R-đồng cấu  n : K n  K n 1 , cho theo tất số ngun n cho  n  n 1  Như vậy, phức K dãy vơ tận hai đầu: n  n 1 K :    K n 1   K n  K n 1   tích đồng cấu nối tiếp Chu trình n-chiều phức K phần tử mơđun Cn (K)  Ker n Bờ n-chiều phức K phần tử Bn  K    n 1K n 1 Đồng điều H(K) họ mơđun H n (K)  Ker n Im  n 1 Đẳng thức H n  K   có nghĩa dãy K khớp K n Phức K gọi tự K n mơđun tự với n   Cho K  K n ,  n  K '  K 'n ,  'n  phức Một biến đổi dây chuyền f : K  K ' họ đồng cấu f n : K n  K 'n , n   cho:  ' f  f n 1 n , n   n n f*  H n  f  : H n  K   H n  K '  c  K n 1  f  c   K 'n 1 cảm sinh từ f đồng cấu Họ đồng cấu s  s n : K n  K 'n 1 , n   gọi đồng ln dây chuyền biến đổi dây chuyền f, g thỏa:  'n 1s n  s n 1 n  f n  g n Kí hiệu : s : f g Cho K-phức R-mơđun G R-mơđun Khi đó, ta có phức nhóm aben sau: n 1 n   Hom(K, G) :   Hom(K n 1 , G)  Hom(K n , G)   Hom(K n 1 , G)   với n (f )  (1) n 1 f n 1 : K n 1  G Đồng điều phức Hom(K,G) gọi đối đồng điều phức K với hệ số G Đó họ nhóm aben đánh theo số trên: H n (K, G)  H n  Hom(K, G)   Ker n Im  n 1 Các phần tử Im n 1 gọi đối bờ n-chiều, phần tử Kern gọi đối chu trình n-chiều Như vậy, đối chu trình n-chiều đồng cấu f : K n  G cho f n 1  Mọi biến đổi dây chuyền h : K  K ' cảm sinh biến đổi dây chuyền: h *  Hom  h,1 : Hom  K ' , G   Hom  K, G  f  fh 1.1.2 Một số kết thường dùng Định lí 1.1 Nếu s : f g : K  K ' s' : f ' g ' : K '  K '' đồng ln dây chuyền ánh xạ sau đồng ln dây chuyền: f ' s  s' g : f ' f g ' g : K  K '' Định lí 1.2 Nếu f ,g : K  K ' biến đổi đồng ln dây chuyền từ phức K tới phức K’ với n   ta có: Hn( f )  Hn( g ) : Hn( K )  Hn( K' ) Định lí 1.3 (Dãy đồng điều khớp) Đối với dãy khớp ngắn phức:   E :  K   L  M  (  , biến đổi dây chuyền, dãy khớp theo nghĩa khớp n), dãy dài nhóm đồng điều sau khớp:   * * E ,n 1 E ,n   H n 1( M )   H n ( K )   H n ( L )   H n ( M )    H n 1( K )   đó, *  H n    ,*  H n     E ,n : H n  M   H n 1  K  đồng cấu nối xác định sau:  E ,n  clsM m   clsK   1 L  1m  Mệnh đề 1.1 Cho K-phức R-mơđun G R-mơđun Khi đó, Hom  K ,G  H n  K ,G  song hàm tử hiệp biến theo G phản biến theo K 1.2 Các hàm tử Hom Mệnh đề 1.2 Xét phạm trù R-mơđun trái, kí hiệu R Mod mơđun X  R Mod Quy tắc đặt tương ứng mơđun A  R Mod với nhóm Hom(X, A) đặt R-đồng cấu  : A  B với đồng cấu nhóm: * : Hom( X , A )  Hom( X ,B )    hàm tử hiệp biến từ phạm trù R Mod tới phạm trù nhóm aben Quy tắc đặt tương ứng mơđun A  R Mod với nhóm Hom(A, X) đặt R-đồng cấu  : A  B với đồng cấu nhóm: * : Hom( B, X )  Hom( A, X )    hàm tử phản biến từ phạm trù R Mod tới phạm trù nhóm aben Định lí 1.4 Với mơđun X với dãy khớp ngắn    A   B  C  dãy sau khớp: * *  Hom( X , A )   Hom( X ,B )   Hom( X ,C ) * *    Hom( C, X )   Hom( B, X )   Hom( A, X ) Định nghĩa 1.1 Cho K L phức R-mơđun Ta định nghĩa phức Hom(K,L) phức nhóm aben xác định bởi: Hom n (K, L)    Hom(K p  p , Lp n ) Như vậy, phần tử f  Hom n (K,L) họ đồng cấu f p : K p  Lpn , p   Bờ  H f họ ( H f ) p : K p  L pn 1 , ( H f ) p xác định bởi: ( H f ) p   L f p  (1) n 1 f p 1 K , f  Hom n  K, L  với  L  K đồng cấu bờ phức L K tương ứng Nếu g : K '  K, h : L  L' biến đổi dây chuyền thì: Hom  g, h  : Hom  K, L   Hom  K ' , L'   với Hom n  g, h    Hom  g p , h p  n  thỏa Hom n  g, h  f p   h p  n f p g p  biến đổi dây chuyền p  Mệnh đề 1.3 Chu trình 0-chiều phức Hom( K ,L ) biến đổi dây chuyền f : K  L ; bờ phần tử s  Hom1  K ,L  s đồng ln s : f Từ mệnh đề 1.3, ta có hệ sau đây: Hệ Nhóm đồng điều H  Hom  K ,L   nhóm aben lớp đồng ln biến đổi dây chuyền f : K  L Mệnh đề 1.4 Hom(K,L) song hàm tử hiệp biến theo L phản biến theo K 1.3 Hàm tử Ext 1.3.1 Các định nghĩa Cho A C mơđun vành R Một mở rộng A nhờ C dãy khớp ngắn   E   ,   :  A   B   C  R-mơđun R-đồng cấu Cấu xạ  : E  E ' mở rộng ba    , ,   đồng cấu cho biểu đồ sau giao hốn:   E :  A   B  C      ' '   E ' :  A '   B'   C'  Hai mở rộng E, E’ gọi tồn đẳng  E  E '  A = A’, C = C’ tồn cấu xạ 1A , ,1C  : E  E ' Dễ thấy quan hệ tồn đẳng mở rộng quan hệ tương đương Ta kí hiệu Ext R  C, A  hay đơn giản Ext  C, A  tập tất lớp tồn đẳng mở rộng A nhờ C Tổng trực tiếp  A  A  C  C  mở rộng A nhờ C Mở rộng   E   ,   :  A   B   C  gọi chẻ tồn đẳng với tổng trực tiếp với tư cách mở rộng Đồng cấu chéo, đồng cấu tổng Đồng cấu chéo mơđun C đồng cấu:    C : C  C  C, (c) = (c,c) Đồng cấu tổng mơđun A đồng cấu:     : A  A  A,  a1 ,a )  a1  a 1.3.2 Một số mệnh đề Mệnh đề 1.5 Mọi mở rộng nhờ mơđun xạ ảnh ln chẻ Mệnh đề 1.6 Cho A, C C’ mơđun vành R Nếu E mở rộng A nhờ C  : C'  C đồng cấu tồn mở rộng E’ A nhờ C’ cấu xạ   1A , ,   : E'  E Cặp   ,E  xác định cách xác tới tồn đẳng E’ Kí hiệu: ' E'  E  Mệnh đề 1.7 Cho A, C C’ mơđun vành R Nếu E mở rộng A nhờ C  : A  A' đồng cấu tồn mở rộng E’ A’ nhờ C cấu xạ     , ,1C  : E  E' Cặp   ,E  xác định cách xác tới tồn đẳng E’ Kí hiệu: ' E'  E Mệnh đề 1.8 Đối với đồng cấu ,  mở rộng E mệnh đề 1.6 1.7, tồn tồn đẳng:   E     E   Mệnh đề 1.9 Đối với mơđun A C cho trước, tập lớp tồn đẳng mở rộng mơđun A nhờ mơđun C nhóm aben với phép tốn hai ngơi cho tương ứng lớp tồn đẳng mở rộng E1 E2 lớp tồn đẳng mở rộng: E1  E2   A  E1  E2   C Lớp mở rộng chẻ  A  A  C  C  phần tử khơng nhóm này, phần tử đối mở rộng E  1A  E Ext  C, A  song hàm tử hiệp biến theo A phản biến theo C 1.4 Hàm tử Tor Định nghĩa 1.2 Cho G R R-mơđun phải R C R-mơđun trái, ta xác định TornR  G,C  tập tất ba: t   , L,   Trong đó, L phức mơđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n,  : L  G,  : L*  C biến đổi dây chuyền ( xem G, C phức tầm thường, L*  Hom R  L, R  ) Nếu L' phức khác  : L  L' biến đổi dây chuyền ánh xạ liên hợp * : L'*  L* biến đổi dây chuyền Đối với biến đổi  ' : L'  G  : L*  C , ta xem   ' , L,     ', L,' *  quan hệ TornR  G,C  quan hệ tương đương bé bảo tồn hệ thức Nếu cho ánh xạ  : G  G ' ,  : C  C' qui tắc: *  , L,     , L,   ; *  , L,     , L,   bảo tồn hệ thức Đơi khi, khơng sợ nhầm lẫn ta viết Torn thay cho TornR Mệnh đề 1.10 Torn  G,C  nhóm cộng aben với phép tốn xác định sau: với t1 ,t2  Torn  G,C  t1  t2   G *  C *  t1  t2   Torn  G,C  Torn song hàm tử hai lần hiệp biến từ phạm trù tích R-mơđun phải R-mơđun trái đến phạm trù nhóm aben Chương ĐỊNH LÍ HỆ TỬ PHỔ DỤNG VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Nếu K phức nhóm aben G nhóm aben tùy ý Hom(K,G) phức Định lí hệ tử phổ dụng lời giải cho tốn tính đối đồng điều phức Hom(K,G) thơng qua đồng điều phức K 2.1 Bổ sung tính khớp cho phản hàm tử Hom(-, G) Như biết, với mơđun G, phản hàm tử Hom(-, G) chuyển dãy khớp ngắn thành dãy khớp bên trái Các kết sau bổ khuyết cho tính khơng khớp phải phản hàm tư Hom(-, G) Mệnh đe 2.1 Cho A mơđun mơđun B E:  A  B  B/A = C  dãy khớp  mơđun Khi đó, đồng cấu  : A  G thác triển tới đồng cấu  : B  G mở rộng E chẻ Chứng minh  Giả sử đồng cấu  : A  G thác triển tới  : B  G Xét biểu đồ:  E:  A   B    C  (*)  i  E ' :  G   G  C  C   xác định sau: Với b  B, (b)    b, b  Khi đó, biểu đồ (*) giao hốn, thật    vậy: + a  A , ta có:   (a)    (a), (a)    (a),   i(a)  i     + b  B , ta có: (b)      b  ,   b      b         Vậy biểu đồ (*) giao hốn, điều dẫn tới E  E ' chẻ i   B'   C  chẻ tồn đồng cấu i ' : B'  G nghịch Ngược lại, E :  G  trái i Từ biểu đồ giao hốn:   E:  A   B   C0      B'   E:  G   C0  i' i Chương ĐỊNH LÍ PHÂN LỚP ĐỒNG LN 3.1 Định lí phân lớp đồng ln Trong định lí hệ tử phổ dụng ta xét G nhóm aben tùy ý ta xem G phức tầm thường để xây dựng đồng cấu  Vấn đề đặt vị trí G phức nhóm aben khơng tầm thường kết nào? Trong chương này, ta giải vấn đề Trước hết, ta cần xây dựng lại đồng cấu  : H n  Hom  K, L      Hom  H  K  , H  L   p  pn p   Tuy nhiên, cách đánh số lại phức L :  L n 1   L n  L n 1  , ta phức n ' n 1 ' 0 1 L' :  L'1   L'0   L'1  với L' p  L n  p ,  'p   n  p   p  p  Khi đó: Hom n  K, L    Hom  K p , Lp  n    Hom  K p , L'p   Hom0  K, L'  Vì thế: H n  Hom  K, L    H  Hom  K, L'    Do vậy, ta xây dựng  : H  Hom  K, L     Hom  H p  K  , H p  L   p  Do mệnh đề 1.3, chu trình 0-chiều phức Hom(K, L) biến đổi dây chuyền f : K  L Mỗi đồng cấu f p cảm sinh đồng cấu  f p * : H p  K   H p  L  , nên f cảm sinh họ đồng cấu    f*   f p    Hom  H p  K  , H p  L   Do hệ mệnh đề 1.3, phần tử H  Hom  K, L   * p  lớp đồng ln clsf biến đổi dây chuyền f, ta định nghĩa   clsf   f* Quy tắc  xác định tồn cấu nhóm Ta có mệnh đề sau:  Mệnh đề 3.1 Quy tắc  : H  Hom  K ,L     Hom  H p  K  ,H p  L   xác định p    clsf   f* tồn cấu nhóm Chứng minh Chứng minh  ánh xạ: Xét clsf , clsf '  H  Hom  K, L   Nếu clsf  clsf ' f f ' Theo định lí 1.2, ta có: f*  f*' Chứng minh  đồng cấu nhóm: Với clsf , clsf '  H  Hom  K, L   , ta có:    clsf  clsf '    cls  f  f '   f  f '   *  f*  f* '    clsf     clsf '  Chứng minh  tồn cấu:  Xét đồng cấu    p p   Hom  H p  K  , H p  L   Theo mệnh đề 2.6, tồn đồng cấu p  f : K  L cho  f* p  p , dẫn đến f*   Khi đó, tồn clsf  H  Hom  K, L   cho:   clsf   f*   Do  tồn cấu  Hơn nữa, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2 Đồng cấu  tự nhiên theo biến K L Chứng minh Chứng minh  tự nhiên theo K: Xét đồng cấu g : K  K ' , ta chứng minh biểu đồ sau giao hốn  H  Hom  K, L       Hom  H  K  , H  L    p Hom  g* , 1L *  Hom  g,1L *  p p   H Hom  K ' , L    '   Hom  H  K  , H  L   p  ' p p Thật vậy, xét clsf '  H  Hom  K ' , L   với f ' : K '  L biến đổi dây chuyền, ta có: + Hom  g,1L *  clsf '   cls  f 'g   Hom  g,1L *  clsf '     cls  f 'g     f 'g * + Hom  g* , 1L *   '  clsf '   Hom  g* , 1L *   f*'   1L * f*' g*   f ' g * Từ ta có: Hom  g,1L *  Hom  g* , 1L *   ' , tức biểu đồ giao hốn Vậy  tự nhiên theo K Chứng minh  tự nhiên theo L: hồn tồn tương tự  Như vậy,  tồn cấu tự nhiên theo biến K L Đặc biệt, đồng cấu bờ K đồng    đẳng cấu Cụ thể ta có: Mệnh đề 3.3 Nếu đồng cấu bờ K đồng đồng cấu    đẳng cấu:   : H  Hom( K ,L )   Hom  K p ,H p ( L ) p  Chứng minh Vì  tồn cấu nên cần chứng minh  đơn cấu Do  K  nên p, ta có: Ker p  K p ; Im  p 1  Do đó: H p  K   K p Giả sử   clsf   với f : K  L Khi đó: f*  Đối với p, ta có:  f p *   f p  K p   BP  L  Mặt khác,  Lp1 : L p 1  Bp  L  tồn cấu K p tự nên ánh xạ f p : K p  BP  L  nâng tới đồng cấu s p : K p  L p 1 p K p   Bp  L  f  Lp1 sp L p 1  Lp1s p  f p Vì s p 1 Kp  nên f p   Lp 1s p  s p 1 Kp f , kéo theo clsf   H  Hom(K, L)  , tức Ker  hay  đơn cấu Vậy mệnh đề chứng minh  Mệnh đề 3.4 Cho K L phức nhóm aben, K n tự Khi đó, ta có dãy khớp ngắn sau đây: j i E :  Hom( D,L )   Hom( K ,L )   Hom( C  K  ,L )  * * Chứng minh Theo mệnh đề 2.4c, ta có dãy khớp ngắn: in jn Tn :  Cn  K    K n   Dn  Do họ nhóm Cn  K   K n xét phức với vi phân nên ta có phức C  K  chu trình K từ ta có phức thương D  K CK Vậy ta có dãy khớp phức: i j T:  C  K    K  D  Trong i phép nhúng C  K  vào K j phép chiếu K vào D Do mệnh đề 2.2 ta có dãy khớp: j i  Hom(D, L)   Hom(K, L)   Hom(C  K  , L)  * *  Ext(D, L)  Ext(K, L)  Ext(C  K  , L) Theo mệnh đề 2.4a ta có: D n  Bn 1  K  , mà Bn 1  K  nhóm nhóm aben tự K n 1 nên Bn 1  K  nhóm aben tự Do D n nhóm aben tự Suy ra: Ext(D, L) = Vậy ta có dãy khớp j i E :  Hom(D, L)   Hom(K, L)   Hom(C  K  , L)   * * Dãy đồng điều khớp E là: j i E ,n 1 E ,n    H n  Hom(D, L)    H n  Hom(K, L)    H n  Hom(C  K  , L)     (3.1)  *  * với đồng cấu nối :  E,n : H n  Hom(C(K), L)   H n 1  Hom(D, L)  Đối với đồng cấu nối  E,n ta có kết sau: Mệnh đề 3.5 Với n, hai đồng cấu    Hom C  K  ,L    H  Hom  D,L    E : H n Hom  C  K  ,L   H n 1  Hom  D,L   Hom  ' ,1 : H n * n 1 trùng ( xác tới dấu ),  ' xác định mệnh đề 2.4 Chứng minh Lấy clsg  H n  Hom  C  K  , L   với g chu trình Hom n (C  K  , L) , ta có: Hom   ' ,1  clsg   cls  g '  * Đồng cấu nối  E xác định chu trình j*1 H i*1 , đó:  E  clsg   cls  j*1 H i*1g  Ta chứng minh: j*  H i* g   g ' , thật vậy: 1 1 Chu trình g  Hom n (C  K  , L) họ g p : Cp  K   L p  n  cho:   H g p    L g p   1 g p1 C    L g p    C   n 1 Vì nhóm D p tự nên K p  Cp  K   D p Do đó, đồng cấu g p mở rộng tới đồng cấu 1 f p : K p  L p  n cho  L f p  Vì i*f  fi  g nên ta đặt i* g  f Ta có:   H f p   L f p   1 f p 1 K n 1 mà  L f p  nên   H f p   1 f p 1 K    *K f p   H f  *K f n 1 1 1 Bây giơ, mệnh đề 2.4b ta có  K  i ' j nên  H f   j* '*i*f , kéo theo j*  H i* g   '*g  g ' Do đó:  E  clsg   cls  j*1 H i*1g   cls  g '  Vậy  E   Hom   ' ,1*  Mệnh đề 3.6 Với  E,n đồng cấu nối dãy (3.1).Ta có: Co ker  E ,1   Ext  H p  K  ,H p 1  L    p   K er  E ,0   Hom  H p  K  ,H p  L   p  Chứng minh Theo mệnh đề 3.5 ta có  E   Hom   ' ,1* Hơn nữa, đẳng cấu  mệnh đề 3.3 tự nhiên nên biểu đồ sau giao hốn xác tới dấu:   * H n  Hom(C  K  , L)   H n 1  Hom(D, L)   E  Hom  ' ,1  0  0   Hom  C  K  , H p p    (L)     Hom  D p 1 , H p  n (L)  '* pn p  Vì vậy, ta đồng hạt nhân  E với hạt nhân  '* Bây giờ, áp dụng hàm tử Hom  , H p  n (L)  vào dãy khớp ngắn: ' p Sp :  D p 1   Cp  K    H p (K)   Do mệnh đề 2.2 ta có dãy khớp :   Hom  H p (K), H p  n (L)   Hom  Cp  K  , H p  n (L)    '* S    Hom  D p 1 , H p  n (L)    Ext  H p (K), H p  n (L)   '* * đó, bên phải Ext  Cp  K  , H p n (L)   C p (K) tự Tích trực tiếp tất dãy theo p ta dãy khớp: 0   Hom  H p (K), H pn (L)   p  '*       Hom  C  K  , H p  p  (L)    '* pn  S   Ext  H p (K), H p  n (L)    Hom  Dp1 , H pn (L)   p  * p  Do mệnh đề 3.3, ta thêm vào dãy khớp sau:   Ext  H p  p (K), H p  n (L)  S* 0   Hom  H p   p (K), H p  n (L)    Hom  C p  K  , H p  n (L)    '* p    Hom  D p  0 p 1 , H p  n (L)  0 H n  Hom(C  K  , L)  E ,n    H n 1  Hom(D, L)   (3.2) với hình vng giao hốn Từ ta có: Ker E,0  Ker '*    Hom  H p  Co ker  E,1  Coker '*  p (K), H p (L)    Ext  H p  p (K), H p 1 (L)  Vậy mệnh đề chứng minh  Định lí 3.2 ( Định lí phân lớp đồng ln ) Nếu K L phức nhóm aben, K n tự do, n dãy sau khớp chẻ ra:   p  p      Ext  H p ( K ),H p  n 1( L )   H n  Hom( K ,L )    Hom  H p ( K ),H p  n ( L )  (3.3) Trong đó, đồng cấu ,  tự nhiên theo biến K L Chứng minh Từ nhận xét đầu chương, ta cần chứng minh dãy sau khớp chẻ ra:   p  p      Ext  H p (K), H p 1 (L)    H  Hom(K, L)     Hom  H p (K), H p (L)   (3.4)  Tồn cấu tự nhiên  : H  Hom(K, L)    Hom  H p (K), H p (L)  xác định qua mệnh đề p  3.1 3.2 Mệnh đề 3.4 cho ta dãy khớp: j i E :  Hom(D, L)   Hom(K, L)   Hom(C  K  , L)  * Do định lí 1.3, ta có dãy khớp: * j i E ,1 E ,0   H  Hom(D, L)    H  Hom(K, L)    H  Hom(C  K  , L)     *  * Từ ta có dãy khớp:  Co ker  E,1  H  Hom(K, L)   Ker E,0  Do mệnh đề 3.6 ta có:     Co ker  Ext  H p  K  , H p1  L   E,1  p     K er    Hom  H p  K  , H p  L   E,0  p  Vì ta có biểu đồ sau:   p  p      Ext  H p (K), H p 1 (L)    H  Hom(K, L)     Hom  H p (K), H p (L)   Hom  i*1 ,1*   j  Co ker  E,1   H  Hom(K, L)  i  Ker E,0  * * Bây ta chứng minh hình vng phải giao hốn tìm  để hình vng trái giao hốn Xét hình vng phải, lấy clsf  H  Hom  K, L   , ta có:   clsf   f*  1 1 1 1 * Hom  i* ,1*   0i  clsf   Hom  i* ,1*    clsfi   Hom  i* ,1*   fi *  1*  fi * i*  f* Suy ra:   Hom  i*1 ,1*   0i* 1 1 Do đó, hình vng phải giao hốn Để hình vng trái giao hốn ta chọn   j*  01S* , S* xác định (3.2) Khi ta có dãy (3.4) khớp, đồng cấu  tích ánh xạ tự nhiên nên tự nhiên Chứng minh (3.4) chẻ ra: i j  K   D  Ta có D n  Bn 1  K n 1 nhóm tự Vì vậy, D Xét dãy khớp T:  C  phức tự kéo theo dãy T chẻ nhờ đồng cấu  : D  K mà j  1D Khi đó: * j*  nên ánh 1 1 xạ 1  S* 0* nghịch trái   j*  01S* Vậy (3.4) chẻ Nhận xét: Do dãy (3.3) chẻ nên ta có:   p  p  H n  Hom(K, L)    Ext  H p (K), H p  n 1 (L)    Hom  H p (K), H p  n (L)  từ ta tính đồng điều phức Hom(K,L) biết đồng điều phức thành phần K L Hơn nữa, H  Hom  K, L   nhóm lớp đồng ln biến đổi dây chuyền f : K  L nên n = ta có cơng thức biểu diễn nhóm sau:   p  p  H  Hom(K, L)    Ext  H p (K), H p 1 (L)    Hom  H p (K), H p (L)  Nếu thay n –n (3.3) ta dãy khớp chẻ sau:   p  p      Ext  H p (K), H p  n 1 (L)    H  n  Hom(K, L)     Hom  H p (K), H p  n (L)   Bây xét trường hợp đặc biệt với phức L có G chiều thứ chiều lại ( xem nhóm aben G phức tầm thường ), đồng thời thay H  n  H n ta có dãy khớp chẻ:    Ext  H n 1 (K),G    H n (K,G)   Hom  H n (K),G   Đây dãy (2.2) định lí hệ tử phổ dụng Như vậy, định lí hệ tử phổ dụng trường hợp đặc biệt định lí phân lớp đồng ln 3.2 Một vài ưng dụng định lí phân lớp đồng ln 3.3.1 Điều kiện cần đủ để đồng cấu cảm sinh hai biến đổi dây chuyền Từ định lí 1.2, f đồng ln dây chuyền với g điều kiện đủ để đồng cấu cảm sinh chúng Từ nảy sinh câu hỏi: Chiều ngược lại định lí có khơng? Ta xét ví dụ sau:   Ví dụ 3.1 Xét phức K :   Z9   Z9   Z9   với   k   3k Ta có: Im   ker   0,3, 6 , phức K dãy khớp Xét biểu đồ sau:       Z9   Z9   … …  Z9  s n-1 1 0 sn    Z   Z   Z   …    Dễ thấy 1: K  K : K  K biến đổi dây chuyền Do phức khớp nên H 1  H    :  Giả sử , tồn họ đồng cấu s cho: s  s  Xét dãy khớp: i    Cn  K    K n   Bn 1  K    (3.5) k  Bn 1  K  : s  k   s  k   k Mà  tồn cấu nên với k  Bn 1  K  , t  K n cho  (t)  k Suy ra:   k     t    s  k    s  k   k Hay s  1B n 1 K , Suy : tức  có nghịch đảo phải Do đó, dãy khớp (3.1) chẻ K n  Cn  K   Bn 1  K  hay Z9  0,3, 6  0,3, 6 Nhưng nhóm Z9 có phần tử cấp nhóm 0,3, 6  0,3, 6 khơng có phần tử cấp nên nhóm khơng đẳng cấu với (mâu thuẫn) Vậy khơng đồng ln với  Ví dụ 3.2 Cho phức nhóm aben tự K K’ sau: K sinh a0 , K1 sinh a1 K '0 sinh b , K1'  J  J ' với J, J ' nhóm aben tự sinh b1 , b1' Tất nhóm lại Các đồng cấu bờ xác định bởi:   a1   2a ,   b1 ,   2b0 ,   b1' ,   b0 Lấy f : K  K ' cho f  a   b , f  a1    b1 ,  Khi ta có: f biến đổi dây chuyền, thật vậy:     K   K     … …  f f     K '0   K1'     … …  Với ma1  K1  m  Z  , ta có: f1  ma1   f  2ma   2mb  f  f  1f  ma1   1  mb1 ,   2mb Vậy f biến đổi dây chuyền f*  , thật vậy: Do 1K đơn cấu nên H1  K   H0  K '   K '0 Im 1K ' mà b  1K  0, b1'   Im 1K , Im 1K  K H  K '   ' ' ' Từ ta có: f*  f khơng đồng ln với 0, thật vậy: Giả sử f , tồn biến đổi dây chuyền s cho: f  s  s  f  a1   s  a1   s  a1    b1 ,   s  a1    b1 ,   s  2a    b1 ,   s  a   s  a   3.6  Do  b1 ,  phần tử sinh nhóm aben tự nên (3.6) khơng thể xảy Vậy f khơng đồng ln với  Ta thấy, K, K’ nhóm aben tự phần đảo định lí 1.2 khơng Như vậy, chiều ngược lại định lí nói chung khơng Vậy trường hợp ta có phần đảo định lí? Mệnh đề sau câu trả lời Mệnh đề 3.7 Nếu K L phức nhóm aben, nhóm K n H n (K) tự hai biến đổi dây chuyền f, f’ : K  L đồng ln với  n : f*  f*' : H n (K)  H n (L) Chứng minh Giả sử f f ' : K  L Theo định lí 1.2 ta có f*  f*' : H n (K)  H n (L), n Ngược lại, giả sử n, f*  f*' : H n (K)  H n (L)   p  p  Do dãy khớp (3.4) chẻ nên: H  Hom(K, L)    Ext  H p (K), H p 1 (L)    Hom  H p (K), H p (L)  , mà H p  K  nhóm aben tự nên: Ext  H p  K  , H p 1  L     D  : H  Hom  K, L     Hom  H p  K  , H p  L   đẳng cấu p  Ta có: f*  f*'    clsf     clsf '     clsf  clsf '    clsf  clsf '    đẳng cấu   clsf  clsf ' f f' Vậy mệnh đề chứng minh  3.3.2 Luật kết hợp hàm tử Ext hàm tử Tor 3.3.2.1 Các kết dùng đến Định lí Cho X, Y, M mơđun vành giao hốn Khi đó: Hom  X ,Hom Y ,M    Hom  X  Y ,M  Định lí ( Cơng thức Quy net phức nhóm aben ) Cho phức dây chuyền nhóm aben K L, K n khơng xoắn với n Khi đó, dãy sau khớp chẻ ra: 0  m q n p  H m  K   H q  L    H n  K  L     m  q  n 1 Tor  H m  K  ,H q  L    với p tích đồng điều  đồng cấu tự nhiên 3.3.2.2 Luật kết hợp hàm tử Ext hàm tử Tor Mệnh đề 3.8 Cho A, B, C nhóm aben Khi đó: Ext  A,Ext  B,C    Ext Tor  A,B  ,C  Chứng minh Ta biết, với nhóm aben A, B, C ln tồn nhóm aben tự K , L0 , M nhóm tương ứng K1 , L1 , M1 cho: A K0 K1 ,B L0 L1 ,C M0 M1 Hiển nhiên K1 , L1 , M1 nhóm aben tự Khi đó, ta có phức tự sau: K 1 K :   K   K1   L 1 K :   L0   L1   M 1 K :   M  M1   Trong 1K , 1L , 1M phép nhúng Đối với phức trên, ta có: A, n = Hn  K    0, n  B, n = Hn  L    0, n  (1) C, n = Hn  M     0, n  Đương nhiên phức K, L, M thỏa mãn u cầu định lý cơng thức Quy net phức nhóm aben Ap dụng cơng thức Quy net phức K  L ( trường hợp n = ) ta có dãy sau khớp chẻ:   H  K   H1  L     H1  K   H  L    H1  K  L   Tor  H  K  , H  L    Từ đó, kết hợp với ( ), ta được: H1  K  L   Tor  A, B  (2) Bây giờ, ta xem xét cụ thể phức K  L Ta có: 1 2 K  L :  K  L    K  L1    K1  L    K1  L1  đó, ta thấy với k  l  K1  L1 2  k  l  k  l  k  l  Từ suy ra: H  K  L   (3) Ap dụng định lí phân lớp đồng ln cho phức K  L M ( trường hợp n = -2 ) ta dãy sau khớp chẻ:   p  p    Ext  H p (K  L), H p 1 (M)   H 2  Hom  K  L, M     Hom  H p (K  L), H p  (M)   Kết hợp với ( ) ( ), ta được: H 2  Hom  K  L, M    Ext  H1 (K  L), H (M)  (4) Từ ( ), ( ) ( ) ta có: Ext  Tor(A, B), C   H 2  Hom  K  L, M   (5) Tiếp tục áp dụng định lí phân lớp đồng ln cho phức L M ( trường hợp n = -1), ta dãy sau khớp chẻ:   p  p    Ext  H p (L), H p (M)   H 1  Hom  L, M     Hom  H p (L), H p 1 (M)   Từ ta có: Suy ra: H 1  Hom  L, M    Ext  H (L), H (M)  Ext  B, C   H 1  Hom  L, M   (6) Tương tự, áp dụng định lí phân lớp đồng ln cho phức K Hom(L,M) ( trường hợp n = -2 ), ta được:    H 2 Hom  K, Hom  L, M    Ext H (K), H 1  Hom  L, M   Từ ( ), ( ) ( ) ta có:  (7)  Ext  A, Ext(B, C)   H 2 Hom  K, Hom  L, M   Bây ta chứng minh: Hom  K, Hom  L, M    (8) Hom  K  L, M  tương đương đồng ln Do mệnh đề ta có hạng tử chiều hai phức đẳng cấu Gọi i đẳng cấu chiều thứ i từ hạng tử phức Hom  K, Hom  L, M   vào hạng tử phức Hom  K  L, M    i  lập thành biến đổi dây chuyền hai phức Thật vậy, xét bổ đồ sau: '  Hom n-1 (K  L, M)   Hom n (K  L, M)    Hom n 1  K, Hom  L, M     Hom n  K, Hom  L, M   Lấy f  Hom n  K, Hom  L, M   ;f   f p p , ta có:   f p    f p    Hom L,M  f p   1  n 1   f p 1 K     Hom L,M  f p   1  n 1   f p 1 K    Mặt khác:  '  f p   M   f p   1 n 1   f p 1  K L   Tác động   lên phần tử sinh k  l  k  K p , l  L t  , ta được:    k  l   n 1    Hom L,M  f p   k  l    1   f p 1 K    k  l       M n  p  t  f p  k    l    1 n  p 1 t f p  k     Lt  l     1 t 1 n 1  f p 1   Kp  k     l       k  l n 1   M   f p   k  l    1   f p 1  K L   k  l         M n  p  t  f p  k    l    1 n 1    M n  p  t  f p  k    l    1 n 1    M n  p  t  f p  k    l    1 n  p 1 t t t     f    pK  k   l   1p k   Lt  l  p 1   f    k    l    1 f  k     l    k     l     1 f    k    l  p 1 f p p K p p t t 1 L t t 1 n 1 p 1 K p Như :    ' , tức  tương đương dây chuyền Vậy ta có Hom  K, Hom  L, M   Hom  K  L, M  tương đương đồng ln Theo mệnh đề 2.2.2 ta có:   H 2 Hom  K, Hom  L, M    H 2  Hom  K  L, M    (9) Từ (5), (8) (9) ta có: Ext  A, Ext  B,C    Ext  Tor  A, B ,C   L t Khi đó, KẾT LUẬN Nội dung luận văn có số vấn đề làm sau: Tìm hiểu rõ định lí hệ tử phổ dụng nhóm đối đồng điều Cho thấy vài ứng dụng định lí hệ tử phổ dụng, bao gồm: - Tính đối đồng điều phức khơng gian vectơ - Đưa điều kiện đủ để hai nhóm đối đồng điều đẳng cấu Tìm hiểu rõ định lí phân lớp đồng ln phức nhóm aben Cho thấy vài ứng dụng định lí phân lớp đồng ln, bao gồm: - Đưa điều kiện cần đủ để đồng cấu cảm sinh hai biến đổi dây chuyền - Chứng minh luật kết hợp hàm tử Ext hàm tử Tor TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Hun, Nguyễn Trọng Khâm (1993), Giáo trình Mơđun phạm trù, Đại học quốc gia, Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Viết Đơng, Trần Hun (2002), Đại số đồng điều, Đại học quốc gia, Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Viết Đơng, Trần Hun, Nguyễn Văn Thìn (2003), Bài điều, Đại học quốc gia, Thành phố Hồ Chí tập đại số đồng Minh S – T Hu (2000), Nhập mơn đại số đồng điều (bản dịch), Đại học sư phạm, Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh A Dold (1972), Lectures on Algebraic Topology, Springer – Verlag, Berlin – Heidelberg – New York S – T Hu (1970), Homology Theory ( a first course in algebraic – Day, Inc, San Francisco, London, Amsterdam S – T Hu (1959), Homotopy Theory, Academic Press, New York S.MacLane (1963), Homology, Academic Press, New York topology), Holden [...]... trái đối với   j*n (S*n 1 ) 1 , tức là dãy khớp (2.2) chẻ ra Vậy định lí được chứng minh  Nhận xét: Do dãy khớp (2.2) chẻ ra nên ta có: H n (K, G)  Ext  H n 1 (K), G   Hom  H n (K), G  Từ đẳng cấu trên ta có thể tính được nhóm đối đồng điều H n (K, G) thơng qua các nhóm đồng điều H n 1 (K) và H n (K) 2.3 Một vài ứng dụng của định lí hệ tử phổ dụng 2.3.1 Tính đối đồng điều của phức các. .. biệt với phức L chỉ có G ở chiều thứ 0 và 0 ở những chiều còn lại ( xem nhóm aben G như một phức tầm thường ), đồng thời thay H  n  H n thì ta có dãy khớp chẻ:   0  Ext  H n 1 (K),G    H n (K,G)   Hom  H n (K),G   0 Đây chính là dãy (2.2) của định lí hệ tử phổ dụng Như vậy, định lí hệ tử phổ dụng là một trường hợp đặc biệt của định lí phân lớp đồng ln 3.2 Một vài ưng dụng của định lí. .. Nhưng nhóm Z9 có phần tử cấp 9 còn nhóm 0,3, 6  0,3, 6 khơng có phần tử cấp 9 nên 2 nhóm này khơng đẳng cấu với nhau (mâu thuẫn) Vậy 1 khơng đồng ln với 0  Ví dụ 3.2 Cho các phức các nhóm aben tự do K và K’ như sau: K 0 sinh bởi a0 , K1 sinh bởi a1 K '0 sinh bởi b 0 , K1'  J  J ' với J, J ' là các nhóm aben tự do lần lượt được sinh bởi b1 , b1' Tất cả các nhóm còn lại đều bằng 0 Các đồng cấu... cấu nên các ánh xạ biên đứng Ext   f n 1 * ,1G  và Hom   f n * ,1G  cũng là các đẳng cấu Từ bổ đề 5 ngắn suy ra ánh xạ  f n  : H n (K ' , G)  H n (K, G) là đẳng cấu * Vậy: H n (K ' , G)  H n (K, G)  Chương 3 ĐỊNH LÍ PHÂN LỚP ĐỒNG LN 3.1 Định lí phân lớp đồng ln Trong định lí hệ tử phổ dụng ta đã xét G là nhóm aben tùy ý nhưng ta cũng đã xem G như một phức tầm thường để xây dựng đồng cấu... dụng của định lí phân lớp đồng ln 3.3.1 Điều kiện cần và đủ để đồng cấu cảm sinh của hai biến đổi dây chuyền bằng nhau Từ định lí 1.2, f đồng ln dây chuyền với g là điều kiện đủ để các đồng cấu cảm sinh của chúng bằng nhau Từ đây nảy sinh một câu hỏi: Chiều ngược lại của định lí có đúng khơng? Ta xét các ví dụ sau:   Ví dụ 3.1 Xét phức K :   Z9   Z9   Z9   với   k   3k Ta có: Im... minh  2.2 Định lí hệ tử phổ dụng 2.2.1 Các mệnh đề bổ trợ Mệnh đề 2.4 Gọi C n (K) là nhóm các chu trình n - chiều của phức K Khi đó: a Dn  K n Cn  K   Bn 1  K  - nhóm các bờ (n – 1) – chiều của K b Đồng cấu bờ  n : K n  K n 1 phân tích được: jn n in1 K n   Dn   Cn 1  K    K n 1 ' Trong đó: jn là phép chiếu , in1 là phép nhúng và  'n ( k  Cn  K  )   n  k  c Các dãy ngắn... Dòng trên của biểu đồ (2.3) là dãy khớp đối với S n - Dòng dưới của biểu đồ (2.3) là dãy khớp đối với S n-1 và 0 ở góc dưới bên phải chính là Ext  Cn 1  K  , G   0 vì Cn-1  K   K n 1 - tự do - Các cột của biểu đồ (2.3) cũng là các bộ phận của các dãy khớp đối với T n-1 , T n và T n+1 và 0 ở đỉnh giữa là Ext  D n ,G   0 vì D n - tự do Nhóm đối đồng điều của dòng giữa là: H n  K, G   Ker...   Hom(K, L)   Hom(C  K  , L)  0  * * Dãy đồng điều khớp đối với E là: j i E ,n 1 E ,n    H n  Hom(D, L)    H n  Hom(K, L)    H n  Hom(C  K  , L)     (3.1)  *  * với các đồng cấu nối :  E,n : H n  Hom(C(K), L)   H n 1  Hom(D, L)  Đối với các đồng cấu nối  E,n ta có kết quả sau: Mệnh đề 3.5 Với mỗi n, hai đồng cấu    Hom C  K  ,L    H  Hom  D,L... (K), V   0 Do đó: H n (K, V)  Hom  H n (K), V   2.3.2 Điều kiện đủ để hai nhóm đối đồng điều đẳng cấu nhau Mệnh đề 2.10 Cho f : K  K ' là biến đổi dây chuyền giữa các phức K và K’ của các nhóm aben tự do và G là nhóm aben tùy ý Khi đó, nếu  f n * : H n ( K )  H n ( K ' ) đối với mọi n thì H n ( K ' ,G )  H n ( K ,G ) Chứng minh Do các ánh xạ  và  là tự nhiên nên ta có biểu đồ giao hốn sau:... K ' , G  với h : K 'n  G là chu trình, ta có: + Hom  g* ,1G    clsh   Hom  g* ,1G  h *   1G h *g*   hg * + g*  clsh     cls  hg     hg * Từ đó ta có: Hom  g* ,1G    g* , tức là biểu đồ trên giao hốn Vậy  tự nhiên theo K Chứng minh  tự nhiên theo G: hồn tồn tương tự  2.2.2 Định lí hệ tử phổ dụng Định lí Giả sử K là phức của các nhóm aben tự do và G là nhóm aben tùy