phương pháp số trị trong nghiên cứu và phục vụ khí tượng thủy văn

trình bày phương pháp số trị trong nghiên cứu và phục vụ khí tượng thủy văn

Bé Tµi nguyªn vµ M«i trêng

ViÖn KhÝ tîng Thuû v¨n

Ph¬ng ph¸p sè trÞ trong nghiªn cøu

vµ phôc vô khÝ tîng thuû v¨n

Hµ néi, 1/2005

Chơng I các phơng trình cơ bản của cơ học chất lỏng

1.1 Các phơng pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng

Có hai phơng pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng Phơng pháp thứ nhất là phơng phápLagrange Phơng pháp này khảo sát chuyển động của từng hạt lỏng trong không gian và theothời gian Phơng pháp thứ hai là phơng pháp Euler, khảo sát biến trình thời gian của các tínhchất vật lý của chất lỏng tại những điểm cố định trong không gian Trong bài giảng này, chỉ trừkhi nói rõ ràng, ta mặc nhiên thừa nhận là phơng pháp Euler sẽ đợc dùng để mô tả chuyển

động của chất lỏng do tính thuận tiện của nó Trong phơng pháp này, một hệ tọa độ cần đợcthiết lập và chuyển động của chất lỏng đối với hệ tọa độ đó sẽ đợc xem xét Hệ tọa độ này cóthể là hệ tọa độ đợc vẽ trên hình 1.4 Ngoài ra, đôi khi phơng pháp Lagrange cũng đợc sửdụng Khi đó, nó sẽ đợc phát biểu rõ ràng

1.2 Đạo hàm thời gian

Giả thiết rằng ta dùng phơng pháp Lagrange để mô tả chuyển động của chất lỏng và

khảo sát sự thay đổi của một tính chất vật lý s của một hạt lỏng chuyển động cùng với chất

lỏng Tốc độ thay đổi toàn bộ của tính chất vật lý này có thể đợc chia thành hai phần: mộtphần biểu thị thay đổi theo thời gian của tính chất vật lý tại vị trí cho trớc và một phần biểu thị

sự thay đổi của tính chất vật lý gây ra do sự thay đổi vị trí của hạt lỏng Nh vậy, có thể viết

ph-ơng trình sau:

i

i x

s u t

s dt

ở đây, quy định Eistein về việc tổng đợc lấy theo chỉ số lặp lại trong một số hạng đơn

đã đợc áp dụng Trong phơng trình (1.1), ký hiệu d / dtbiểu thị tốc độ thay đổi toàn phầncủa

tính chất vật lý s của hạt lỏng và đợc coi là đạo hàm toàn phần hoặc là đạo hàm Lagrange Ký

hiệu / t biểu thị tốc độ thay đổi theo thời gian của tính chất vật lý tại một điểm cố định và

đợc gọi là tốc độ thay đổi địa phơng theo thời gian của tính chất vật lý đó

1.3 Phơng trình thể tích kiểm tra

Hình1.1 chỉ ra một thể tích kiểm tra cố định trong không gian trong một hệ tọa độ cho

Hình 1.1 Thể tích kiểm tra và khối chất lỏng tại các thời điểm t và t + t.

Giả thiết là B biểu thị tổng lợng của một tính chất nào đó của chất lỏng (nh khối lợng,

động lợng hay nhiệt lợng v.v…) chứa trong thể tích kiểm tra ) chứa trong thể tích kiểm tra V Ký hiệu b là lợng của B trên

một đơn vị khối lợng (mật độ của B) sao cho:





V bdV

Định luật bảo toàn của tính chất vật lý yêu cầu rằng tốc độ thay đổi tổng cộng của tínhchất vật lý bên trong thể tích kiểm tra bằng tốc độ thay đổi địa phơng của tính chất vật lý cộngvới tốc độ của tính chất vật lý ra khỏi thể tích kiểm tra trừ đi tốc độ của tính chất vật lý đi vàotrong thể tích kiểm tra Điều này khi thể hiện bằng phơng trình thì có thể đợc viết nh sau:

t

B B bdV

t dt

Hình 1.2 Một diện tích vô cùng bé trên bề mặt của thể tích kiểm tra

Bởi vì tính chất B chuyển động cùng với chất lỏng, tốc độ chảy ra của B từ thể tích kiểm

tra chỉ có thể là hàm số của vận tốc dòng chảy trên bề mặt thể tích kiểm tra Nh chỉ ra trên

y z

Thể tích kiểm tra

hình 1.2, khối lợng chất lỏng chảy ra khỏi thể tích kiểm tra trong khoảng thời gian t qua một

diện tích rất nhỏ trên bề mặt thể tích kiểm tra làunAt với n là vector đơn vị vuônggóc với phần tử bề mặtAvà hớng ra ngòai un ký hiệu tích vô hớng của hai vector Đại l-

ợng B chảy ra khỏi phần tử bề mặt trong khoảng thời gian vô cùng bé này sẽ làbunAt.Tích phân trên toàn bộ bề mặt cho ta:

u ndA b

t

B B

S

in out t

bdV t dt

với S là diện tích của bề mặt thể tích kiểm tra.

Nếu nh không có điểm nguồn hoặc điểm hút của tính chất vật lý ở bên trong thể tíchkiểm tra thì ta sẽ có phơng trình sau:







Tại điểm này, ta có đợc phơng trình bảo toàn cho thể tích kiểm tra Tuy nhiên, rất khó

đánh giá từng số hạng trong phơng trình (1.6) Để có thể làm đợc điều này, nh đã chỉ ra trênHình 1.3, thể tích kiểm tra đợc chia nhỏ thành một số vô hạn các thể tích kiểm tra vô cùng bé.Sau đó, thay vì khảo sát tốc độ chảy của tính chất vật lý ra khỏi thể tích kiểm tra, ta khảo sáttốc độ chảy của tính chất vật lý ra khỏi mỗi thể tích kiểm tra vô cùng bé Tốc độ chảy ra khỏimột thể tích nh thế này trừ đi tốc độ chảy vào thể tích này là:

z

u y

u x

u y

x u z x u z y u

x y z z

u u z x y y

u u z y x x

u u

z y x z

y x

z z y

y x

Hình 1.3 Các thể tích vô cùng bé bên trong thể tích kiểm tra

Bởi và thể tích kiểm tra CV là tuỳ ý chọn, rõ ràng là nếu có một điểm trong không gian

mà tại đó đại lợng trong ngoặc vuông bên vế trái của phơng trình (1.9) khác zero, ta có thể

điều chỉnh thể tích kiểm tra sao cho nó chỉ chứa điểm này Điều này có nghĩa là tích phân bên

vế trái của phơng trình (1.9) khác zero và phơng trình này không đợc thỏa mãn đối với thể tíchkiểm tra này Nh vậy, để đảm bảo là phơng trình (1.9) đợc thỏa mãn cho toàn bộ miền tính, đạilợng trong ngoặc vuông ở vế trái của phơng trình (1.9) phải là zero tại tất cả mọi điểm trongmiền nghiên cứu Hay nói cách khác:

     0





u b

1.4 Định luật bảo toàn vật chất và phơng trình liên tục

Nếu nh đại lợng vật lý nói ở trên đợc lấy là khối lợng chất lỏng thì b trong phơng trình

(1.10) bằng 1, và phơng trình bảo toàn vật chất trở thành

u x



(1.11)

Phơng trình (1.11) thờng đợc gọi là phơng trình liên tục của dòng chảy lỏng

1.5 Định luật bảo toàn động lợng và phơng trình chuyển động

1.5.1 Phơng trình chuyển động của Cauchy

Phơng trình chuyển động đợc rút ra bằng cách liên hệ B với động lợng của toàn hệ thống.

Động lợng là một đại lợng vector, là tích của khối lợng và vận tốc Nh vậy, b là vector vận tốc

u Từ định luật chuyển động của Newton, tốc độ thay đổi của động lợng trong một hệ vớikhối lợng bất biến bằng lực tác dụng:

F dt

x

u t

i j

x

u u t

một đơn vị thể tích là:

x

p z

y x x

p p z y p

chỉ ra trong hình, lực d trên một đơn vị thể tích do ứng suất nhớt gây ra theo hớng i là:

 

j

ji zi

yi xi i

x z

y x

h g f







ở đây, chiều dơng của h hớng lên phía trên

Tiếp theo, dùng các phơng trình từ (1.18) tới (1.20), phơng trình (1.17) trở thành:

j

ji i i

j

i j i

x x

h g x

p x

u u t

1.5.2 Chuyển dịch, quay và vận tốc biến dạng

Hãy xem xét một điểmx i0trong một chất lỏng mà tại đó vận tốc là u0 (xem Hình 1.6) Tạimột điểm lân cận với tọa độ làx i0  x, vận tốc là u0  u Giả thiết rằng u là một hàm liêntục của các biến không gian thì ta có thể khai triển Taylor hàm này tại lân cận điểmx i0 nh sau:

 

!2

2 2

2 0

x x

u x x

u u u u

j j

j j

i j

i

j j

i

x

u x

u x

x

u x

1

(1.24)

Nh vậy tensor u i / x jđã đợc chia thành một tensor bất đối xứng ijvà một tensor

đối xứng d ij lần lợt đợc định nghĩa nh sau:

i ij

x

u x

i ij

x

u x

u d

 Hãy xem xét hạt lỏng này sau một khoảng thời gian t,

nh thấy trên hình 1.8 Điểm o chuyển động đợc một quãng đờng u  0 t, điểm a chuyển động

đợc một quãng đờng uat, v.v Bởi vì vận tốc chuyển động tại các điểm khác nhau nói chung

là khác nhau một chút, phần tử lỏng đã bị biến dạng và không còn là hình chữ nhật nữa Để cóthể thấy rõ tính chất của sự biến dạng này, trớc hết ta hãy xem xét trờng hợp:

x

u y

Bởi vì không có sự biến đổi vận tốc chuyển động theo hớng x dọc theo trục x, các cạnh

a-b và o-c không dài ra và cũng không ngắn đi; tơng tự, các cạnh o-a và b-c cũng giữ nguyên

chiều dài Sau một khoảng thời gian t, hạt lỏng trở thành hình dạng nh trên hình 1.9 Điểm a

đã chuyển động đợc một quãng đờng dài hơn một khoảng làu x / yyt theo hớng x so với

điểm o, và điểm c đã chuyển động đợc một quãng đờng dài hơn một khoảng làu y / xxt

theo hớng y so với điểm o Góc giữa cạnh o-a và phơng thẳng đứng làu x / yt; góc giữacạnh o-c và phơng nằm ngang làu y / xt

Nh vậy, với những giả thiết nh trên, phần tử lỏng đã trải qua một quá trình dịch chuyển vịtrí và quay Mở rộng lý luận cho ba chiều, ta thấy rằng điều kiện cho chuyển động nh thế này

làij  0vàd ij  0 Xem xét tiếp tensor ij ta thấy rằng nó mô tả chuyển động quay củaphần tử lỏng

Với ký hiệu  biểu thị tích vector của hai vector

Bởi vì ijđã đợc xác định là vận tốc quay của phần tử lỏng, d ijcó thể đợc xem là vậntốc biến dạng của phần tử lỏng Có nghĩa là ij biểu thị sự quay của phần tử lỏng nh là mộtvật rắn trong khi đó d ij biểu thị sự chuyển động tơng đối của các điểm khác nhau trên phần

tử lỏng Nh vậy, chuyển động của một chất lỏng bao gồm:

1 một sự di chuyển của chất lỏng nh với vật rắn cộng với

2 một sự quay của chất lỏng nh với vật rắn (tensor bất đối xứng) cộng với

3 một sự biến dạng (tensor đối xứng)

Các hiệu ứng trên đợc diễn tả bằng một chuyển động đơn giản với vận tốc biến đổi nhthấy trên hình 1.10 Một phần tử lỏng gần gốc tọa độ bị biến dạng và quay nh trên hình vẽ đểtạo ra một dòng chảy nh sau

Hình 1.10 Dòng chảy với vận tốc biến đổi tạo ra chuyển động quay và chuyển

Trong phơng trình chuyển động của chất lỏng, tensor ứng suất cắt nhất định phải đợcliên hệ với những tính chất vật lý của dòng chảy Cơ sở cho mối liên hệ này là định luật

Newton về tính nhớt Nếu nh có một chất lỏng với vận tốc chảy theo hớng trục x chỉ biến đổi theo hớng trục y, thì ứng suất cắt tác động lên một đơn vị diện tích bề mặt vuông góc với trục

y chỉ có một thành phần theo hớng x và đợc biểu thị nh sau:

là các chất lỏng phi Newton May mắn là nớc và không khí trong những điều kiện thông thờng

nhất là các chất lỏng Newton

Dấu âm trong phơng trình (1.29) có nghĩa là động lợng đợc vận chuyển từ nơi cao (vớivận tốc lớn) tới nơi thấp (với vận tốc nhỏ)

Dùng định luật Newton về tính nhớt, ta có thể rút ra phơng trình chuyển động cơ bản củachất lỏng, phơng trình Navier-Stokes nh sau:

i i

i i

j

i j i

x

u x

p x

u u t

u dt

với g i là thành phần gia tốc trọng trờng theo phơng i.

Phơng trình Navier-Stokes có thể viết dới dạng vector nh sau:

u t

ở đây    2 / x2   2 / y2   2 / z2 là ký hiệu của toán tử Laplace, và g vector gia tốc

trọng trờng

Phơng trình Navier-Stokes (1.31) biểu thị sự bảo toàn động lợng của chất lỏng Số hạng

đầu tiên trong ngoặc đơn ở vế trái của phơng trình này biểu thị tốc độ biến đổi địa phơng của

động lợng, số hạng thứ hai biểu thị tốc độ biến đổi của động lợng gây ra do bình lu (hay đối u); số hạng thứ nhất ở vế phải biểu thị sự biến đổi của động lợng gây ra bởi áp suất, số hạngthứ hai biểu thị sự khuyếch tán động lợng gây ra bởi độ nhớt, và số hạng cuối cùng biểu thị sựthay đổi của động lợng gây ra bởi trọng lực

l-Các phơng trình Navier-Stokes cho các thành phần vận tốc dòng chảy theo các hớng(1.30) cùng với phơng trình liên tục (1.11) tạo nên một hệ bốn phơng trình cho bốn ẩn dùng đểmô tả dòng chảy: ba thành phần vận tốc dòng chảy theo ba hớng và áp suất Đối với các bàitoán cơ học chất lỏng nói chung, mật độ của chất lỏng cũng là những đại lợng cha biết và cầnphải đợc xác định dựa trên phơng trình trạng thái Tuy nhiên, trong nhiều bài toán, mật độ củachất lỏng (nớc và không khí) có thể xem là không đổi.

u x



(1.32)

i i j

i j

x

p x

u u t

độ nhớt là có thể bỏ qua và nớc đợc coi là chất lỏng lý tởng

Đối với những vấn đề thuộc động lực sóng, nớc có thể đợc coi là không nén đợc và nhvậy các phơng trình (1.32) và (1.33) trở thành:

i j

x

p x

u u t

i x

u x u

(1.36)

Thay thế phơng trình (1.37) vào (1.36) cho thấy rằng điều kiện không xoáy đợc tự độngthỏa mãn Ngợc lại, thế vận tốc tồn tại chỉ khi nào dòng chảy là không xoáy.

Tiếp tục, ta giả thiết rằng ngoài tính không nhớt, chất lỏng là không nén đợc Khi đó

ph-ơng trình liên tục biểu thị phân kỳ bằng không,

  0





i i

Phơng trình này đợc gọi là phơng trình Laplace's Bài toán dòng chảy không nhớt đã trở

thành bài toán với một phơng trình cho một ẩn là thế vận tốc Hơn nữa, phơng trình này làtuyến tính trong khi hệ phơng trình ban đầu là phi tuyến Các giả thiết (hay phép xấp xỉ) vềtính không xoáy và tính không nén đợc đã cho ta những đơn giản hóa vô cùng lớn

Một khi đã biết thế vận tốc bằng cách giải phơng trình (1.39), phơng trình chuyển độngcho ta biết đợc áp suất Thế dịnh nghĩa của thế vận tốc, phơng trình (1.37) vào phơng trình(1.35) cho ta:

i i j

i j i

g x

p x

x x x

1

2

j j i j

j i

j i j

u u x x

x x

x x

Chú ý rằng u j u j u12u22u32u2 và gia tốc trọng trờng chỉ có một thành phần theo

ph-ơng thẳng đứng, sau khi đã thay đổi thứ tự đạo hàm, phph-ơng trình (1.40) có thể đợc viết lại dớidạng:

0 2

Phơng trình (1.42) chỉ ra rằng đại lợng trong ngoặc đơn là không thay đổi theo các tọa

độ không gian Nh vậy, nếu nh có biến đổi, nó chỉ có thể là hàm của thời gian:

 t f gz p u

Phơng trình này đợc gọi là phơng trình Bernoulli, đợc rút ra với các giả thiết (1) chất

lỏng không nén đợc, (2) dòng chảy không xóay, và (3) dòng chảy dừng Với hầu hết các dòng

chảy, điều kiện không xoáy có nghĩa là không có ứng suất cắt và nh vậy không cần điều kiện

là dòng chảy không có ma sát Với những giới hạn này, phơng trình (1.44) là một phơng trìnhcho một điểm (ngợc với phơng trình dạng tích phân áp dụng cho một thể tích), bởi vì nó đợcrút ra từ một phơng trình vi phân và đợc áp dụng cho tất cả các điểm trong trờng dòng chảy

Chơng II

Lý thuyết rối và các mô hình rối khép kín

2.1 Phơng trình Reynolds và vấn đề khép kín rối

Rối biểu thị các nhiễu động của vận tốc, áp suất, nhiệt độ, độ ẩm v.v do tồn tại cácxoáy có kích thớc khác nhau trong một trờng dòng chảy Để xét xem một dòng chảy có phải làdòng chảy rối hay không, ngời ta căn cứ vào số Reynolds đợc định nghĩa nh sau:



VL

Trong đó R là số Reynolds; V và L là vận tốc và kích thớc đại diện của dòng chảy; và

 là hệ số nhớt động học Nói chung, dòng chảy là dòng chảy rối khi có số Reynolds v ợt quákhoảng 3000 Nh vậy, hầu hết các dòng chảy trong tự nhiên là dòng chảy rối Quan sát vận tốctức thời của dòng chảy rối tại một điểm nào đó, ta có thể thấy rằng nó thay đổi một cách rất

i i i

i f i

x

U x

U x

v x

P t

U U t

p P P u U

Trong đó U và P biểu thị vận tốc và áp suất trung bình (tính theo phơng pháp trung

bình Reynolds) và uvà p biểu thị các giá trị nhiễu động của vận tốc và áp suất Giá trị trung

bình Reynolds của các thành phần nhiễu động là bằng 0 Vì vậy:

x

T

T T

) (

x t dx

V

t

V V

) (

) (

(2.6)

(2.6)Trong đó V là đủ lớn để thỏa mãn (2.4) nhng đủ nhỏ để không triệt tiêu sự biến đổikhông gian của các đại lợng trung bình Trong thực tế, trờng rối không dừng và cũng không

đồng nhất nên thờng là trung bình tập hợp (ensemble average) của các giá trị quan trắc đợc sửdụng:

),(

1lim),(

1

) (

t x N

t

k n N

Với các trờng rối dừng và đồng nhất, ba giá trị trung bình là bằng nhau

áp dụng phép lấy trung bình vào phơng trình Navier-Stokes (2.2), ta có:

j j

i j i

j

i j i

u u x x

U x

U x

v x

P x

U U t

Trong không gian ba chiều, có thất cả 9 thành phần u i v j Các thành phần này đợc gọi

là các thành phần của ứng suất Reynolds Đây là các thành phần ẩn và cần phải đợc tìm Đểlàm việc này, ta tiến hành một số thao tác sau Hiệu của các phơng trình (2.2) và (2.8) cho taphơng trình của các thành phần nhiễu động vận tốc

j i j i

j j

i j i

j

i j j

i j j

i j

x x

u x

u x

v x

p x

u u x

U u x

u U t

k j k i i

j i jk

j k j i k

i j j i k

j k i k

i k j k

j i k j i

x

u x

u v x

u u v u

p u u u x

x

u x

u p x

U u u x

U u u x

u u U t

ẩn của phơng trình ngày càng tăng lên nên ta phải dừng lại tại một vị trí nào đó bằng cáchtham số hoá các đại lợng cha biết biểu thị các quá trình rối trên Bài toán tính toán trờng rốitheo cách nh trên đợc gọi là bài toán khép kín rối

Một mô hình rối đơn giản nhất là mô hình khép kín rối bậc 1 Trong mô hình này, ảnhhởng của rối đợc biểu thị bằng một hệ số nhớt rối t Mô hình này dựa trên lý thuyết đoạn đ-ờng xáo trộn của Prandtl Theo lý thuyết này thì trờng rối đợc giả thiết là bao hàm rất nhiều

xoáy bất biến (xoáy đông cứng) khi nó di chuyển một khoảng cách l ở cuối khoảng cách này,

xoáy đợc xáo trộn với các xoáy bên cạnh và biến mất Khoảng cách này đợc gọi là đoạn đờngxáo trộn Prandtl giả thiết rằng hệ số nhớt rối là tích của vận tốc đại diện v t và độ dài đại diện

gian đại diện t0(quy mô thời gian rối) Quy mô thời gian rối đợc xác định là tỷ lệ nghịch với

gradient vận tốc Vì vậy, giả thiết là vận tốc dòng chảy chỉ biến đổi theo phơng trục y thì độ

i j j

i t

x

u x

u l

j i i j h

j k

x

k v u p u u u x

P x

k U t

k

2 2

i j i

u x

u v x

U u u P

j j

j j j i

k v u p u u u

có thể dùng tốc độ tiêu tán năng lợng rối  để biểu thị quy mô rối l Loại mô hình này đợc gọi

là mô hình k-e Trong lý thuyết khép kín rối, cả hai loại mô hình trên đều đợc gọi là mô hình hai phơng trình Các phơng trình cơ bản của mô hình k- nh sau:

 

92 1 : , 14 1 : , 3 1 : , 0 1 : , 09 0 :

2 1

3 2 1

2 1

2

2 1

2

t t

t k

i i

t j t

i k

t j k

i

j j

i t j

i j i k

i t

k t

k k

r t

i

j j

i t u j

i

j i j

i j

i t

C C

C

x

v x D

x

k v x D

x

U x

U v x

U u u P

D C

P C k Dt

D

D P

Dt

Dk

k C v

x

U x

U v k u

u

u u x

U v x x

P Dt

sẽ đợc tham số hoá Các mô hình dạng này có độ chính xác cao hơn các mô hình dạng hai ph

-ơng trình nhng rất phức tạp, khó lập trình và đòi hỏi thời gian tính toán rất dài

2.6 Mô hình mô phỏng các xoáy lớn LES và mô hình mô phỏng trực tiếp DNS

Trong các mô hình mô phỏng các xoáy lớn, thay vì lấy trung bình thời gian, ngời ta lấytrung bình không gian (lọc không gian) Vì vậy, họ thông số hoá các quá trình rối trong mỗimắt lới và tính hiện tất cả các xoáy rối có kích thớc lớn hơn lới Mô hình này có độ chính xáccao nhng đòi hỏi máy tính mạnh

Mô hình mô phỏng trực tiếp, ngời ta giải trực tiếp phơng trình Navier-Stokes Mô hìnhnày rất khó áp dụng trong thực tế vì đòi hỏi máy tính rất mạnh.

Chơng III Các sơ đồ sai phân để giải các phơng trình vi phân đạo hàm riêng

Trừ những trờng hợp đơn giản nhất, không thể giải hệ phơng trình Navier-Stokes bằngphơng pháp giải tích Cần phải dùng phơng pháp số trị để tìm nghiệm của hệ phơng trình trên.Thay vì tìm nghiệm liên tục theo không gian và thời gian nh phơng pháp giải tích, phơng pháp

số trị tìm nghiệm tại các điểm rời rạc, đợc gọi là các điểm lới Để tìm đợc nghiệm theo dạngnày, cần phải tìm các phơng trình của hệ tại các điểm lới tơng ứng Có một số phơng pháp biểuthị nh phơng pháp sai phân hữu hạn, phơng pháp thể tích hữu hạn, phơng pháp phần tử hữuhạn v.v Trong bài giảng này, ta sẽ xét chủ yếu phơng pháp sai phân hữu hạn và mở rộng tớiphơng pháp thể tích hữu hạn

3.1 Lới sai phân không gian

Một lới sai phân không gian đợc thể hiện trên hình 3.1 Trong hình, xvà yđợc gọi

là bớc lới theo các trục x và y Nói chung, bớc lới là hằng số, nhng có thể khác nhau theo các

trục không gian khác nhau

Với một lới sai phân nh chỉ trên hình 3.1, các giá trị của một hàm f nào đó tại một

điểm i, j của lới sẽ đợc ký hiệu là f i,j

Hình 3.1 Lới sai phân dùng trong mô hình số trị thuỷ khí động lực học

Hình 3.1 là lới sai phân thông thờng để giải các phơng trình đạo hàm riêng nói chung

Trong trờng hợp giải hệ phơng trình Navier-Stokes, ngời ta thờng dùng lới sai phân so le Lớisai phân so le này sẽ đợc trình bày trong phần sau của bài giảng này.

3.2 Các công thức sai phân hữu hạn không gian cơ bản

Phơng pháp đơn giản nhất để rút ra các phơng trình sai phân hữu hạn cơ bản là dùngkhai triển Taylor Theo khai triển Taylor, giá trị của hàm f(x) tại điểm x  xđợc biểu thị nhsau:

f x

x

f x x

f x f x x f

n n

3

, 3

3 2

, 2 2

, ,

u x

x

u x

x

u u

u

j j

j j

2

, 3 3

, 2

2 ,

, 1 ,

x

u x

u u x

u

j j

j j i j

(3.3)

Có thể viết lại (3.3) dới dạng:

 x

O x

u u

So sánh (3.4) và (3.5), có thể thấy rằng phần bị bỏ qua tỷ lệ với x, vì vậy độ chính xác

của phép xấp xỉ (3.5) có bậc 1 và công thức (3.5) đợc gọi là công thức sai phân hữu hạn tiếnbậc 1

Bây giờ ta hãy xem xét biểu thức của u i1,j tại điểm i+1,j của lới:

6 2

3

, 3

3 2

, 2 2

, ,

u x

x

u x

x

u u

u

j j

j j

3

, 3

3 2

, 2 2

, ,

u x

x

u x

x

u u

u

j j

j j

j

Lấy hiệu của (3.2) và (3.7), ta có:

6 2

2

3

, 3 3

, ,

1 ,

u x

x

u u

u

j j

j i j

Vậy:

 2 ,

1 , 1

u u

Phơng trình (3.10) có độ chính xác bậc 2 và đợc gọi là sai phân trung tâm bậc 2

Từ những điều đã đợc trình bày ở trên, ta có thể thấy rằng dờng nh công thức sai phântrung tâm (3.10) cho ta kết quả chính xác nhất Tuy nhiên, trong cơ học chất lỏng, vấn đềkhông phải là đơn giản nh thế Nh ta sẽ xem xét sau này, công thức sai phân trung tâm (3.10)

đối với các thành phần bình lu trong phơng trình Navier-Stokes có thể dẫn đến những sai số rấtlớn gây ra do sự dao động nghiệm Vì vậy, thay vì sai phân trung tâm, ngời ta phải dùng các sơ

đồ sai phân một phía (tiến hay lùi) Để tăng độ chính xác của phép sai phân, ngời ta đã tìm racác sơ đồ sai phân tiến hoặc lùi có độ chính xác bậc 2

Cũng tơng tự nh trục x, theo trục y ta có các công thức sai phân hữu hạn tiến, lùi và

, 1

,

1 , ,

, 1

,

,

u u

y O y

u u

y O y

u u

y u

j i j

i

j i j

i

j i j

i j

4

, 4

4 2 , 2

2 , ,

1 ,

u x

x

u u

u u

j j

j j

i j

Từ đó:

2 2

, 1 , ,

1 ,

2

x O x

u u u

1 , , 1 , , 2

y O y

u u u

Trong trờng hợp đạo hàm hỗn hợp, ta có thể tìm biểu thức sai phân hữu hạn theo phơng

pháp sau đây Bằng cách đạo hàm phơng trình (3.2) theo hớng y, ta có:

6 2

3

, 3

4 2

, 2 3

, 2

, ,

x

u x

y x

u x

y x

u y

u y

u

j j

j j

j i

(3.15)

Tơng tự với phơng trình (3.6), ta có:

6 2

3

, 3

4 2

, 2 3

, 2

, ,

x

u x

y x

u x

y x

u y

u y

u

j j

j j

j i

(3.16)

Lấy hiệu của (3.15) và (3.16), ta có:

6 2

3

, 3 4

, 2

, 1 ,

x

u x

y x

u y

u y

u

j j

j i j

/

, 3

4 ,

1 ,

1 ,

u x

y u y

u y

x

u

j

j i j

i j

(3.17)

 

 2 1

, 1 1 , 1 ,

1

2 1

, 1 1 , 1 ,

1

2

2

y O y

u u

y

u

y O y

u u

y

u

j i j i j i

j i j i j i

2

,

u u

u u

y x

Tổng kết lại, ta có các sơ đồ sai phân sau:

Sai phân bậc 1 tiến theo phơng x

Sai phân bậc 1 lùi theo phơng x

Sai phân bậc 2 trung tâm theo phơng x

Sai phân bậc 2 hỗn hợp

Các công thức sai phân ở trên chỉ áp dụng đợc cho các lới nằm trọn trong miền tính.Với các lới nằm trên biên, nhất là biên cứng, phơng pháp đơn giản nhất là áp dụng sơ đồ saiphân bậc nhất một phía (tiến hay lùi tuỳ theo vị trí của điểm cho trớc đối với biên) Thí dụ nhtrên hình 3.2, ta có thể áp dụng sơ đồ sai phân tiến nh trong công thức (3.19)

 y

O y

u u y

Hình 3.2 Sai phân tại biên cứng

Tuy nhiên, sơ đồ sai phân này chỉ có độ chính xác bậc nhất Trong trờng hợp cần có độchính xác cao thì ta không nên áp dụng sơ đồ sai phân này vì những sai số bậc nhất của sơ đồtại biên cứng sẽ làm giảm độ chính xác của kết quả tính toán trên toàn bộ miền tính Vì vậy,cần tìm một công thức sai phân một phía với độ chính xác bậc hai để áp dụng cho sai phân tạibiên Một cách để tìm công thức này là sử dụng xấp xỉ hàm mũ Bằng cách này, ng ời ta đã tìm

đợc công thức xấp xỉ sai phân với độ chính xác bậc hai cho trờng hợp trong hình (3.2) nh sau:

 2 3

2 1

4 3

y O y

u u u y

Để có thể trình bày vấn đề một cách rõ ràng hơn, ta hãy xét phơng trình truyền nhiệtkhông dừng một chiều nh (3.21):

2

2

x

T t

T T t

i

n i

n i n

i

(3.22)

Trong đó các giá trị có chỉ số n+1 chỉ các giá trị tại bớc thời gian sau (với các giá trị cha biết, hay ẩn), các giá trị có chỉ số n chỉ bớc thời gian hiện tại (đã biết), t là bớc thời gian.

Bố trí của lới không gian và thời gian đợc chỉ trên hình (3.3)

Đồng thời, nếu ta sử dụng sai phân trung tâm để biểu thị đạo hàm không gian và dùngcác giá trị tại thời điểm hiện tại để biểu thị đạo hàm không gian, sau một số phép biến đổi đơngiản, ta có phơng trình sau:

Hình 3.3 Lới không gian và thời gian

2 0

2 4

4 2

2

2 1 1

1 2

2

x t

T t

t T

x

T T T

t

T T x

T t

n i

n i

n i

n i







(3.23)

 

 2

1 1

x

T T T

n i

n i

n i

T tại điểm i và thời điểm tơng lai n+1 nếu nh ta biết đợc các giá trị của nhiệt độ tại điểm

đó và hai điểm lân cận tại thời điểm hiện tại Bằng cách viết phơng trình (3.24) cho tất cả các

điểm trên toàn bộ miền tính, ta sẽ có phơng trình (3.24) đợc gọi là phơng trình sai phân hiện vì

nó cho phép tính trực tiếp giá trị nhiệt độ tại điểm i theo các giá trị của nhiệt độ tại điểm đó và

hai điểm lân cận tại thời điểm hiện tại Thí dụ nh để tính nhiệt độ tại điểm số 3 trên hình (3.4)tại bớc thời gian mới, cần biết nhiệt độ tại các điểm số 2, 3, 4 tại thời điểm hiện tại

Có thể thấy rằng phơng trình (3.24) áp dụng đợc cho tất cả các điểm bên trong miềntính Tuy nhiên, tại điểm trên biên của miền tính nh điểm số 1, nó không áp dụng đợc vì phíabên trái điểm này không có một điểm nào khác Vì vậy, cần có một phơng trình khác để liên

hệ nhiệt độ tại điểm biên với nhiệt độ tại một điểm bên trong miền tính Phơng trình này đợcgọi là điều kiện biên Từ hình (3.4), ta cũng có thể thấy rằng đối với trờng hợp 1 chiều nh trênhình (3.4), ta cần hai điều kiện biên Nếu nh giá trị của nhiệt độ đợc cho trớc trên biên tại tấtcả các thời điểm, ta có điều kiện biên Diriclet Nếu nh thông lợng nhiệt đợc cho trên biên, ta

có điều kiện biên Neumann Hơn nữa, để tích phân phơng trình (3.21) theo thời gian, cần phảibiết giá trị nhiệt độ tại tất cả các điểm trên toàn bộ miền tính tại thời điểm ban đầu để có thể

áp dụng phơng trình (3.24) để tính nhiệt độ tại thời điểm sau đó Các giá trị nhiệt độ cho trớcnày là điều kiện ban đầu

Hình 3.4 Sơ đồ sai phân hiện

Nh vậy, để giải phơng trình (3.21), ta cần các điều kiện biên và điều kiện ban đầu Với

phơng trình dạng elliptic nh phơng trình (3.21) hay hệ phơng trình Navier-Stkes, số điều kiệnbiên phải gấp đôi số chiều của phơng trình.

Sơ đồ sai phân hiện có u điểm là đơn giản và dễ dàng cho việc lập trình Tuy nhiên, nó

có nhợc điểm là nó có sai số bỏ qua lớn vì nó là sơ đồ sai phân thời gian có độ chính xác bậcnhất Hơn nữa, để có kết quả tính toán ổn định, yêu cầu bớc thời gian phải nhỏ hơn một giá trịgọi là tiêu chuẩn ổn định Courant:

C (3.26)

Trong đó C là số Courant, c là vận tốc truyền sóng trong môi trờng liên tục (nớc hoặc

khí) Tiêu chuẩn (3.26) đợc gọi là tiêu chuẩn ổn định Courant-Friedrichs-Lewy

Hiện tại, sơ đồ hiện đang đợc sử dụng rất rộng rãi vì nó cho phép tính các giá trị tại các

điểm trên toàn bộ miền tính một cách đồng thời Việc này rất thuận tiện khi sử dụng các máysong song vì khi đó có thể sử dụng mỗi CPU cho một điểm lới Tuy nhiên, nó cũng có một sốhạn chế cần đợc khắc phục nh trình bày dới đây

Cần chú ý rằng nhiễu động áp suất lan truyền trong nớc và không khí với vận tốc sóng

âm Nh vậy, khi giải hệ phơng trình Navier-Stokes, c đợc coi là vận tốc truyền sóng âm Thông

thờng, khi mà tốc độ dòng chảy nhỏ hơn 1/2 vận tốc truyền sóng âm trong nớc hay không khí,nớc hay không khí sẽ đợc coi là không nén đợc Điều này cũng có nghĩa là ta coi vận tốctruyền sóng âm trong không khí là lớn vô hạn Rõ ràng là điều này đòi hỏi bớc thời gian theo(3.26) bằng 0 và nh vậy không thể tính toán đợc theo sơ đồ hiện Ngời ta khắc phục điều nàybằng cách tính riêng áp suất theo sơ đồ ẩn còn các thành phần vận tốc, nhiệt độ và một số yếu

tố khác sẽ đợc tính theo sơ đồ hiện Phơng pháp áp dụng sơ đồ hiện để giải hệ phơng trìnhNavier-Stokes sẽ đợc trình bày trong phần sau

     

1

1 1

1 1

1 1 1

2

12

22

12

1

x

T T T

T T

T t

T

n i

n i

n i

n i

n i n

i

n i

i n i n i n

i n

i n

i n

t

t T

T x

t T

x

t T

x

t

1 1

2

1 1 2 1

2

1 1

2 2

i

x

t T

K

x

t B

x

t A

1 1

2 2 2

2 2

1 2

n i

và nhiệt độ tại hai điểm lân cận tại thời điểm n+1 Vì nhiệt độ tại tất cả mọi điểm tại thời điểm

n+1 là cha biết nên trong phơng trình (3.28) có ba ẩn Bởi vậy, không thể trực tiếp tính nhiệt

độ tại điểm i tại thời điểm n+1 theo các giá trị nhiệt độ tại điểm đó và các điểm lân cận tại thời

điểm hiện tại n nên phơng pháp sai phân này là phơng pháp sai phân ẩn

Để giải các phơng trình dạng (3.30), ta cần phải lập một hệ phơng trình với số ẩn bằng

số phơng trình Nhận xét rằng ta có thể viết một phơng trình tơng tự nh (3.30) cho điểm i+1, ta

sẽ có thêm đợc 1 phơng trình nhng cũng tăng số ẩn lên 1 Bằng cách viết tất cả các phơng trìnhcho toàn bộ miền tính (trừ hai điểm trên biên), ta có đợc số phơng trình ít hơn số ẩn là 2 Haiphơng trình cuối cùng viết cho hai điểm biên sẽ cho ta một hệ ph ơng trình có số phơng trìnhbằng số ẩn Hệ phơng trình đó sẽ có dạng nh trên hình (3.5) Có thể dễ dàng giải hệ phơngtrình nh trên hình (3.5) bằng một thuật toán khử nh thuật toán Thomas

Hình 3.5 Ma trận ba đờng chéo trong sơ đồ sai phân ẩn

Ta cũng có thể dùng các giá trị tại bớc thời gian tơng lai để biểu thị sai phân thời gian.Sơ đồ sai phân khi đó sẽ là sơ đồ sai phân thời gian ẩn bậc 1 và sẽ cho một phơng trình tơng tự

nh phơng trình (3.30)

3.4 Phơng pháp thể tích hữu hạn và các sơ đồ sai phân tơng ứng cho bài toán 1 chiều

Ta đã nghiên cứu rất kỹ về phơng pháp sai phân hữu hạn để có đợc một khái niệm tổngthể về các sơ đồ số trị Tuy nhiên, trong thực tế, phơng pháp sai phân hữu hạn ít đợc sử dụngtrong số trị cơ học chất lỏng Thông thờng, ngời ta sử dụng phơng pháp thể tích hữu hạn Bởivậy, ta sẽ xem xét cách biểu thị các phơng trình sai phân đạo hàm riêng bằng phơng pháp thểtích hữu hạn Bản chất của phơng pháp thể tích hữu hạn là tích phân theo không gian các ph-

ơng trình vi phân đạo hàm riêng trên một thể tích kiểm tra để tìm các phơng trình số học chocác thể tích kiểm tra Về tích phân thời gian, phơng pháp thể tích hữu hạn (và các phơng phápkhác) cũng sử dụng các sơ đồ sai phân giống hệt phơng pháp sai phân hữu hạn Trong phơngpháp thể tích hữu hạn, ta xét các thể tích kiểm tra nh trên hình (3.6) với các giá trị ẩn của cácbiến đợc cho tại tâm của các thể tích này Các giá trị thông lợng đợc cho trên bề mặt củachúng Độ lớn của các thể tích hữu hạn không nhất thiết phải bằng nhau Thông thờng, tạinhững vị trí mà các tính chất của trờng dòng chảy thay đổi nhanh theo không gian thì ta chọnbớc lới dày (các thể tích hữu hạn nhỏ) Trờng hợp ngợc lại, căn cứ vào yêu cầu của công việc,

ta có thể chọn bớc lới tha hơn (thể tích hữu hạn lớn) để giảm bộ nhớ và thời gian tính toán, tức

là giảm giá thành tính toán

3.4.1 Phơng trình truyền nhiệt dừng

Ta hãy xét phơng trình truyền nhiệt dừng:

Trong đó S là nguồn hay điểm hút nhiệt (thí dụ do tiêu thụ nhiệt do bốc hơi) Tích phân

Sdx dx

dT dx

dT



 (3.32)

Hình 3.6 Thể tích kiểm tra dùng trong phơng pháp thể tích hữu hạn

Trong đó chỉ số w biểu thị mặt phía bên trái (phía tây) còn chỉ số e biểu thị mặt phía

T T x

T T

w

W P w e

P E e

b T a T a T a

W E P w

w W

e

e E

W W E E P P

,

độ này nh một phơng trình trên biên Với điều kiện biên Neuman, giả sử ta có thông lợngnhiệt trên biên nh sau:

dx dT

b T a T a

x

T T q

x T S S q q

W E P w

w W e

e E

B B

i

B i i B

B P e B i

,

,

,0

1 1

Trong phơng trình (3.37), ta đã lấy hệ số khuyếch tán nhiệt bằng đơn vị Có thể làm

đ-ợc điều này bằng cách áp dụng phép đổi biến thích hợp đối với các phơng trình truyền nhiệtthông thờng

Tích phân phơng trình (3.37) trên một thể tích kiểm tra cho ta:

T T x

T T T

T x

dxdt x

T x

dtdx t T

t t

W P e

P E P

P

t t t

e w

e w

t t t

(3.38)

Bằng cách dùng một hệ số trung bình trọng lợng f giữa các giá trị tại thời điểm hiện tại

và thời điểm tơng lai để biểu thị tích phân thời gian trong (3.38), ta có:

     

t t

t

P P