Ứng dụng phương pháp số trị trong nghiên cứu và phục vụ khí tượng thủy văn

Mô hình độ nhớt rối– Khép kín rối bậc 1

Theo lý thuyết này thì trờng rối đợc giả thiết là bao hàm rất nhiều xoáy bất biến (xoáy đông cứng) khi nó di chuyển một khoảng cách l. Prandtl giả thiết rằng hệ số nhớt rối là tích của vận tốc đại diện vt và độ dài đại diện l (đoạn đờng xáo trộn).

Mô hình 2 phơng trình (k- ε )

Đôi khi, ngời ta cũng gọi các mô hình khép kín rối hai phơng trình là mô hình khép kín rèi bËc 1,5.

Mô hình mô phỏng các xoáy lớn LES và mô hình mô phỏng trực tiếp DNS

Thay vì tìm nghiệm liên tục theo không gian và thời gian nh phơng pháp giải tích, phơng pháp số trị tìm nghiệm tại các điểm rời rạc, đợc gọi là các điểm lới. Có một số phơng pháp biểu thị nh phơng pháp sai phân hữu hạn, phơng pháp thể tích hữu hạn, phơng pháp phần tử hữu hạn v.v.

Lới sai phân không gian

Trừ những trờng hợp đơn giản nhất, không thể giải hệ phơng trình Navier-Stokes bằng phơng pháp giải tích. Để tìm đợc nghiệm theo dạng này, cần phải tìm các phơng trình của hệ tại các điểm lới tơng ứng. Trong bài giảng này, ta sẽ xét chủ yếu phơng pháp sai phân hữu hạn và mở rộng tới phơng pháp thể tích hữu hạn.

Trong trờng hợp giải hệ phơng trình Navier-Stokes, ngời ta thờng dùng lới sai phân so le. Lới sai phân so le này sẽ đợc trình bày trong phần sau của bài giảng này.

Các công thức sai phân hữu hạn không gian cơ bản

Từ những điều đã đợc trình bày ở trên, ta có thể thấy rằng dờng nh công thức sai phân trung tâm (3.10) cho ta kết quả chính xác nhất. Để tăng độ chính xác của phép sai phân, ngời ta đã tìm ra các sơ đồ sai phân tiến hoặc lùi có độ chính xác bậc 2. Với các lới nằm trên biên, nhất là biên cứng, phơng pháp đơn giản nhất là áp dụng sơ đồ sai phân bậc nhất một phía (tiến hay lùi tuỳ theo vị trí của điểm cho trớc đối với biên).

Trong trờng hợp cần có độ chính xác cao thì ta không nên áp dụng sơ đồ sai phân này vì những sai số bậc nhất của sơ đồ tại biên cứng sẽ làm giảm độ chính xác của kết quả tính toán trên toàn bộ miền tính. Vì vậy, cần tìm một công thức sai phân một phía với độ chính xác bậc hai để áp dụng cho sai phân tại biên.

Các sơ đồ sai phân hữu hạn thời gian

Tuy nhiên, tại điểm trên biên của miền tính nh điểm số 1, nó không áp dụng đợc vì phía bên trái điểm này không có một điểm nào khác. Hơn nữa, để tích phân phơng trình (3.21) theo thời gian, cần phải biết giá trị nhiệt độ tại tất cả các điểm trên toàn bộ miền tính tại thời điểm ban đầu để có thể. Với phơng trình dạng elliptic nh phơng trình (3.21) hay hệ phơng trình Navier-Stkes, số điều kiện biên phải gấp đôi số chiều của phơng trình.

Ngời ta khắc phục điều này bằng cách tính riêng áp suất theo sơ đồ ẩn còn các thành phần vận tốc, nhiệt độ và một số yếu tố khác sẽ đợc tính theo sơ đồ hiện. Phơng trình (3.28) cho ta mỗi liên hệ giữa nhiệt độ tại một điểm không gian i trong miền tính tại thời điểm n+1 với nhiệt độ tại chính điểm đó và hai điểm lân cận tại thời điểm n và nhiệt độ tại hai điểm lân cận tại thời điểm n+1.

Phơng pháp thể tích hữu hạn và các sơ đồ sai phân tơng ứng cho bài toán 1 chiều

Bằng cách viết tất cả các phơng trình cho toàn bộ miền tính (trừ hai điểm trên biên), ta có đợc số phơng trình ít hơn số ẩn là 2. Trong đó chỉ số w biểu thị mặt phía bên trái (phía tây) còn chỉ số e biểu thị mặt phía bên phải (phía đông). Có hai loại điều kiện biên đối với phơng trình truyền nhiệt là điều kiện biên Dirichlet với nhiệt độ cho trớc trên biên và điều kiện biên Neuman với thông lợng nhiệt đợc cho trớc trên biên.

Bằng cách đa các điều kiện biên vào, ta có thể khép kín hệ phơng trình và có thể giải bằng phơng pháp áp dụng cho ma trân có ba đờng chéo. Có thể làm đ- ợc điều này bằng cách áp dụng phép đổi biến thích hợp đối với các phơng trình truyền nhiệt thông thờng.

Các phơng pháp giải các hệ phơng trình

Để thuận tiện, ta đã không dùng chỉ số trên để biểu thị các giá trị cha biết mà dùng chỉ số dới j. Ta sẽ quy định là j biểu thị giá trị tại bớc thời gian hiện tại và j+1 biểu thị giá trị tại b- ớc thời gian tơng lai. Phơng pháp này đảm bảo hội tụ cho tất cả các giá trị r và rất thuận tiện cho việc lập chơng trình trên các máy vector và máy song song.

Bởi vậy, phơng pháp này là một trong những phơng pháp đợc áp dụng rộng rãi hiện nay. Phơng pháp này hội tụ nhanh, nhng đòi hỏi phải có giá trị ban đầu thích hợp.

Phơng pháp thể tích hữu hạn và các sơ đồ sai phân tơng ứng cho bài toán 2 chiều Hãy xét phơng trình truyền nhiệt hai chiều

Xét kỹ công thức (4.7), ta thấy trong trờng hợp dòng chảy đều của chất lỏng có mật độ không đổi, đạo hàm bậc nhất của thành phần bình lu triệt tiêu giá trị của đại lợng cần tìm tại. Vậy, khi số Peclect nhỏ thì hiệu ứng khuyếch tán là lớn hơn hiệu ứng bình lu và do vậy những dao động do thành phần bình lu gây ra bị thành phần khuyếch tán san bằng và ta có nghiệm ổn. Để khắc phục những vấn đề do công thức (4.7) của đạo hàm trung tâm gây ra, ta có thể chú ý rằng nếu vận tốc dòng chảy là dơng (chảy theo hớng trục x) thì điểm P phải nhận thông tin từ điểm W.

Trong phơng trình (4.24), tất cả các hệ số đều lớn hơn 0 cho tất cả mọi trờng hợp và hệ số aPlớn hơn cả hai hệ số còn lại nên sơ đồ sai phân này luôn luôn cho nghiệm ổn định. Tuy nhiên, trong nhiều trờng hợp, các sơ đồ sai phân đón gió bậc cao vẫn tạo ra nghiệm dao động, đặc biệt là tại lân cận các biên rắn hoặc biên giữa khí và nớc.

Líi so le

Nếu nh áp suất phân bố dạng zigzag nh trong hình (4.8), ta sẽ có gradient áp suất bằng 0 và không có dòng chảy. Để loại trừ những vấn để liên quan tới sơ đồ sai phân trung tâm nh trên, ngời ta đã sử dụng lới so le nh trên hình (4.9). Trong thực tế, nếu nh kèm theo hệ phơng trình Navier-Stokes, ta giải các phơng trình vận chuyển và khuyếch tán của các đại lợng vô hớng nh nhiệt độ, hàm lợng ẩm (với không khí) v.v… thì giá trị của đại lợng vô hớng này sẽ đợc tính tại tâm của các thể tích kiểm tra.

Một cách tổng quát, trên hình (4.9) thì các điểm đen, tâm của các thể tích kiểm tra là các điểm tính áp suất, còn các điểm trắng, mặt của các thể tích kiểm tra là các điểm tính vận tốc. Nh vậy, ta có thể thấy rằng các điểm tính cho các đại lợng khác nhau nằm so le với nhau và lới tính trên đợc gọi là lới so le.

Phơng pháp tính áp suất .1 Khái niệm hiệu chỉnh áp suất

Vì các thành phần khác nhau của vận tốc đợc tính tại các điểm khác nhau nên để có thể sai phân hoá phơng trình thứ nhất của (4.38), ta phải tính vận tốc trung bình theo phơng trục y. Để giảm bớt gánh nặng của việc giải hệ phơng trình để xác định hiệu chỉnh áp suất tại thời điểm n+1, ngời ta đa ra thuật toán HSMAC bằng cách sử dụng công thức xấp xỉ sau đây. Điều này có nghĩa là một thứ tự cho trớc của các phép tính đợc xử lý lần lợt một cách đồng thời trong ống và do vậy sau mỗi clock, một phần tử của ma trận đợc đa vào đầu vào của ống và tại đầu ra của ống là kết quả tính cho một phần tử ma trận đợc đa vào trớc đó.

Điều này có nghĩa là máy sẽ xử lý lần lợt các phần tử của ma trận theo thứ tự tăng lên trong quá trình tính lặp cho tới khi đạt đợc tiêu chuẩn hội tụ trên toàn bộ miền tính. Ta nhận thấy rằng với công thức (5.1), vì rằng tại một bớc lặp nào đó, khi tính giá trị của phần tử i, ta cần giá trị của phần tử i-1 cha biết nên không vector hoá đợc. Vậy, nếu nh ta có thể tránh dùng giá trị của phần tử i-1 cha biết tại bớc lặp hiện tại bằng cách tính các phần tử của ma trận một cách xen kẽ giống nh trên hình 5.2 và sử dụng các giá trị tại bớc lặp trớc của các phần tử ngay trớc phần tử đợc tính, ta sẽ sử dụng đợc u thế vector của máy tính và tăng tốc.

Trong hình (5.2), sơ đồ sai phân liên quan tới 5 điểm (nh sai phân phơng trình Poisson cho trờng hợp 2 chiều), khi tính giá trị tại một điểm, ta cần giá trị tại 4 điểm lân cận.

Thuật toán song song

Quá trình trao đổi thông tin giữa 2 CPU đợc thực hiện trong khi giải hệ phơng trình ẩn, sau mỗi bớc lặp và sau khi giải mỗi phơng trình. Với các thuật toán thích hợp hơn nh thuật toán MAC hoặc một số thuật toán mới đợc đa ra, tốc độ tính toán bằng máy song song còn đợc tăng lên nhiều hơn.