CHUONG II! VANH VA TRUGNG §1 VÀNH 1 Định nghĩa và tính chất Vành là một tập X cùng hai phép tốn trên ÄX, thường kí hiệu cộng và nhân thỏa mãn các tính chất 1) X,+) là một nhĩm Abel; 2) (X,.) la một nửa nhĩm; 3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là mọi x,y,z c X ta cĩ X(y+z)=xy+xz; (y+z) X= yx + ZK
Một cách tương đương, ta cĩ thể định nghĩa (X, +, ) là một vành nếu nĩ thỏa mãn các điều kiện sau
Trang 2Nếu phép tốn nhân của vành là giao hốn thì vành gọi là Uành giao hốn Nếp phép tốn nhân cĩ đơn vị thì vành gọi là
vanh c6 don uị
Vi du 1 a) (Z +, ), (Q, +, ), CR, +, ) là các vành giao hốn,
cé don vi
b) (Z,.+.-) là một vành giao hốn cĩ đơn vị Xem vi du 2,
Chương II)
e) Cho (X, +) là một nhĩm Abel Kí hiệu End(X) là tập các
đồng cấu nhĩm từ X vào X (gọi là các tu đồng cấu) Trên End(ŒÄX)
xác định phép + và như sau f+ g được xác định bởi
(f + g) (x) = Đx) + g(x) với mọi xeX f.g được xác định bởi
f.g(x) = Đg(x)) với mọi xeX
Dễ dàng kiểm tra (End(X), +,.) là một vành cĩ đơn vị nhưng nĩi chung là khơng giao hốn Ta gọi vành này là ồnh cĩc tự
đồng cấu của nhĩm Abel X
d) Cho (X, +) JA một nhĩm Abel Trên X xác định phép tốn nhân
xy = Ủy với moi x, yeX
Dé dàng kiểm tra (X, +, ) là một vành giao hốn, nĩi chung khơng cĩ đơn vi Ta gọi vành này là pành khơng của nhĩm Abel X
Định lí 1 Với mọi x, y, z của vành X †a cĩ
1) x.0x = Oy x = Oy
Trang 33) (-x)(-y) = xy
4) x(V — Z) = xy - xz) (y- Z) xX = yX— ZX,
CHUNG MINH 1) Ta cé x.0y = x(Oy +0,) = x0, + x0, Do dé
x.0y =0y Tương tự cũng cĩ 0, x = 0,
2) Vi xy + (-x) y = (x + (x) y = Oy y = Oy nén (-x) y = -xy Tương tự ta cũng cĩ x(—y) = —xy
3) Theo 2) ta cĩ (—xX—Yy) = -x(-y) = - (-xy) = xy
4) Theo 2) ta cĩ XÍy — z) = x(y + (—z)) = xy + x(-z) = xy — XZ
Đẳng thức cịn lại chứng minh tương tự
Hệ quả Với mọi m « Z va moi phần tử x, ÿ của vành X ta cĩ m(xy) = (mx)y = x (my)
2 Vành con
Cho X là một vành và tập con A của X ổn định đối với hai
phép tốn của vành X Nếu với phép tốn cắm sinh, (Á, +, ) là một vành thì vành A gọi là oờnh con của X
Ví dụ 3 a) Cho X là một vành Khi đĩ {0,}va X là vành con
của X Các vành con này gọi là các únh con tâm thường cia X b) Vành Z/ các số nguyên là vành con của vành Q các số hữu tỉ
c) Tập 2Z là vành con của vành Z các số nguyên
Định lí 2 Tập con A của một vành X là vành con của vành X khí và
chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau
1l)AzØ
2)X,y< A —x+ye€A và xy cÀ 3)xeA>-xeA,
Trang 4CHUNG MINH Theo dinh li 1 Chuong II, (A, +) 14 nh6m Abel © A *Ø;x,y e À thì x+ y e Á,T—x e A; (A,.) là nửa nhĩm © x, y e A
thì xy e A Nếu A ổn định với các phép tốn thì trong À phép
nhân phân phối với phép cộng Như vậy À là vành con < A cé cdc tinh chat 1), 2), 3)
Định 1í 3 Tập con A của mét vanh X là vành con của vành X khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau
1)AzØ
2)x,y <eA >x-Vy&6A,Xy eA
Định lí 3 được chứng minh tương tự định lí 2 bằng cách áp
dụng định lí 2, Chương II
Cho S là một tập con của vành X Ta gọi vành con của X sinh bởi tập S là ồnh con nhỗ nhất chúa S, kí hiệu là [SỊ Như vậy vành con [S] sinh bởi tập S cĩ hai tính chất đặc trưng
1) [S] là vành con;
2) Nấu A là vành con va A > S thi A [SI
Định lí 4 Với mợi tập con S của vành X đầu tơn tại và duy nhất vành
con [S] sinh bởi lập S
CHUNG MINH, Goi Z?? là họ tất cả các vành con của vành X chứa 8 Vì x e Ø nên Ø7 + Ø Ta sẽ chứng minh (S]l= an B, Be &@ tức là cần chứng minh A = sˆ„P là vành con của X Thật vậy, €e
Oy e B với mọi B nên 0, € A Néux, y € A thi x, y e B với mọi B Vì B là vành con nền x — y € B và xy e B với mọi B Điều đĩ cĩ
nghĩa là x - y œ A và xy e À Theo định lí 3, A là vành con
Trang 5§2 IDEAL VANH THUONG
1 Định nghĩa và tính chất của ideal
Cho X là một vành Vành con A cilia X goi 1a ideal trdi (phdi)
néu moi x € X,a ¢ A déu cĩ xa © A (ax e€ A) Vanh con A goi 1a
ideal néu né viva 1a ideal phai, vita la ideal trai
Nếu vành giao hốn thì mọi ideal trái hay phải của X đều
1a ideal
Ví dụ 4 a) Với mọi vành X thi {oy} và X là hai ideal cia X,
goi 1A cdc ideal tầm thường
b) Véi moi kk c Đ, k2 là ideal của Z
©) Z là vành con của Q nhưng Z khơng là tdeal của Q Từ định lí 2 và 3 ta cĩ hai định lí sau
Định lí 5 Tập con A của vành X là idaal trái (phải) của X khi và chi khi thỏa măn các điều kiện sau
NAO
2abeArarbeadA
3)a<A —-ae<A
4)xe/X,aeA xã e  (âx e A)
Định lí 6 Tập con A của vành X là ideal trái (phải) của X khi và chỉ khí thỏa mãn các điều kiện sau
1)DAzØ
2a beA—>a~beA,
3)xXeé/A,aeA —xa e Á (ax e A)
Trang 62 Ideal sinh bởi một tập
Cho S là một tập con của vành X Tương tự như chứng rninh
định lí 4 dễ đàng thấy rằng giao của tất cả các ideal trái (phải, hai phía) của X chứa S cing là một ideal trái (phải, hai phía) Ideal
này là ¡ideal trái (phải, hai phía) nhỏ nhất chứa tập S, nên gọi là ideal trdi (phdi, hai phía) sinh bởi tập S
Ideal (hai phía) sinh bởi tập 5 kí biệu là <S> Chú ý rằng nĩi chung <S> z [S]
Ideal sinh bởi tập một phần tử {a} goi la ideal sinh bởi phần
tử a, ki hiệu là <a> Nếu tổn tại phần tử a sao cho ideal A = <a> thi ideal A goi la ideal chinh
Dã dàng thấy rằng nếu vành X ¢6 đơn vị và a là phần tử khả nghịch của X thì <a> = X Định lí 7 Nếu X là một vành cĩ đơn vị thì ideal trái sinh bởi phần tử aeXia Xa = {xal xe X} và ideal phái sinh bởi a là aX = {ax | xc X}
CHỨNG MINH Ta chỉ chứng minh Xa là ideal trái sinh bởi a
Trước hết ta chứng tổ Xa là ideal trái chứa a That vậy a=1ya Xa Với mọi b, e e Xa, tổn tại b,e'eX sao cho b = bìa,
c = ca, từ đĩ
b—ce=(Œ-c)ae Xa
Với mọi x e ÄX và b = ba e Xa ta cĩ xb + x(b’.a) = (xb’)a € Xa
Trang 7Bây giờ ta sẽ chi ra moi ideal trái A, chứa a đều chứa Xa Thật
vậy, vì ac À,và A,là Ideal trái nên mọi x e X ta cĩ xa c A, Vay Xac A, -
3 Vành thương
Cho X là một vành va A là một ideal của nĩ Vì phép cộng
giao hốn nên A là một nhĩm con chuẩn tắc của nhĩm (X, +) Từ đĩ ta cĩ nhĩm thương Š⁄4_ với phép tốn cộng
(X+ A)+(y+ A)=(xry)+A
Rõ ràng (X⁄4,+) là một nhĩm Abel Trên %⁄4_ ta đặt
(x + À).(y + ÀA) = xy+ A
Nếu x+ A=x +A,y+A=y+AthìxX-ax=aeA yY-y=beẤ.VìA là ideal nên
X`y'`— Xy = (a + x\(b + y) — xy = xb + ay + ab e A
Từ đĩ xy +A=xytA
Vậy cách đặt trên cho ta một phép tốn nhân trên X⁄4 Dễ dàng kiểm tra (%⁄4,+,.) là một vành
Vành này được gọi là ồnh thương của X theo idedl A
Nếu vành X cĩ đơn vị thì vành 3⁄4 cĩ đơn vị là 1, + Nếu
vành X giao hốn thì vành Ä⁄4 cũng giao hốn
Vi du 5 V6i moi k 6N, kZ là ideal của Z Vành thương 7;
chính là vành Z¡_ (Ví dụ 1, b))
Trang 8§3 ĐỒNG CẤU VÀNH
1 Định nghĩa và tính chất
Cho X và Y là hai vành Một ánh xạ f : X > Ÿ gọi là một đồng cấu uành nếu với moi x, y € X ta cĩ
f(x + y) = f(x) + Ấy) fxy) = f9) fly)
Như vậy một đồng cấu vành f : X -y Y là một đơng cấu từ nhĩm cộng X vào nhĩm cộng Ÿ và là một đồng cấu từ nửa nhĩm nhân X vào nửa nhĩm nhân Ÿ Vì flà đồng cấu nhĩm cộng nên
f(Oy)=0y, _x) = -Đ%)
Đồng cấu vành f được gọi tương ứng là đơn cấu, toờn cấu, đẳng cấu nếu ánh xạ f là đơn ánh, tồn ánh, song ánh
Một đồng cấu tì vành X vào chính nĩ được gọi là một tự đồng cốu
Vi du 6 a) Cho X là một vành cĩ đơn vị ly Ánh xạ f: Z -> X xác định bởi m) = m.l, là một đồng cấu từ vành Z các số nguyên vào vành X Thật vậy với mọi m, n e Z ta cĩ fm + n) = (m + n)1„ = m1, + n1y = f(m) + f(n) f(m.n) = (m.n)1ly = (m.1, (0.1, ) = f(m)f(n) - b) Cho X là một vành Ánh xạ đồng nhất ly: X -» Xlà đẳng cấu vành
c) Cho Á là một vành con của vành X Ánh xạ jy? A —-> X, j, (x) = x là đơn cấu vành, gọi là phép nhúng chính tắc A vào X
d) Cho X là một vành và A là một ideal của X Ánh xa
Trang 9e) Cho X và Y là hai vành Ánh xạ f: X -> Y, Đx) = 0y với
moi x e X là đơng cấu vành, gọi là đồng cấu khơng Tương tự như đồng cấu nhĩm, ta cĩ
Định lí 8 7) Cho f: X Y, g: Y — Z là các đồng cấu vành Khi đĩ
gof : X — Z là đồng cấu vành
2) Cho † : X Y là đẳng cấu vành Khi đĩ ánh xạ ngược f"!: Y — X
cũng là đẳng cấu vành
2 Ảnh và bạt nhân của đồng cấu vành
Vì đồng cấu vành là một đồng cấu của nhĩm cộng và là một, đồng cấu của nửa nhĩm nhần nên theo kết quả tương ứng của đồng
cấu nhĩm và đồng cấu nửa nhĩm ta cĩ
Định lí 9 Cho f : X — Y là một đồng cấu vành Khí đĩ 1} A là vành con của vành X thì f(A) là vành con của vành Y
2) B là vành con của vành Y thì f~ (B) là vành con của vành X Cho f : X — Y là một đồng cấu vành Theo định li 9, f(X) 1a
một vành con của ŸY, ta gọi vành con này là nh của f, kí hiệu là
Imf, f” ((oy}) =f! (0y) là một vành con của X, ta gọi vành con
nay la hat nhdén cua f, kí hiệu là Ker f
Định lí 10 Với mọi đồng cấu vành f : X — Y, Ker f là một ideal của
vành X
CHỨNG MINH Vì Ker f là một vành con nên ta chỉ cịn phải
chứng minh moi x e X và a e Ker f đầu cĩ xa và ax e Ker f Vì
f(xa) = f(x).fla) = f(x) Oy = Oy f(ax) = fla).f(x) = Oy f(x) = Oy nên ta cĩ điều cần chứng rninh
Trang 103 Định lí đồng cấu vành
Định lí 11 Cho f : X -+ Y là một đồng cấu vành, p : X — er, là lồn cấu chính tắc từ vành X lên vành thương X⁄4„„, Khi đĩ tồn tại duy nhất
đơn cấu vành f : X⁄4„„, —» Y sao cho fop = f
CHUNG MINH Su ton tai : Đặt A = Ker Ê Ta sẽ chỉ ra
f : X4 Y, f(x + A) = Đx) cĩ các tính chất địi hỏi Thật vậy,
hiển nhiên f là ánh xạ Với mọi x + A, y + A e X⁄4 ta cĩ
f((x+ A)+(y + A)) = Ÿ (x+y+ A) = ĐX + y)
f(x) + fly) = f(x + A) + fly + A);
f (xy + A) = fixy)
f(x) fly) = fox + A) fly + A)
nên f là đồng cấu Giả sử x + A, y + Á e ÄX⁄,x+A#zy+A>
f ((x + A) (y + A))
y-xe A> fly -x) 40> fx) ¢ fly of (x+ A) # f (y + A) nén
f là đơn cấu Cuối cùng với mọi xeX ta cĩ fop(x) = f(x + A) = f(x)
nên fop =f
Tinh duy nhất : Nếu f' : X4 —> Y cũng cĩ tính chất đồi hỏi
thì f'op =f Từ đĩ với mọi x + À e X⁄⁄_ ta cĩ
f'(x+ A) = F’ (p(x) = f() = F (x + A) Vay f' = f
Hai vành X và Y được gọi là đẳng cấu uới nhau, kí hiệu X = Y, nếu tổn tại một đẳng cấu f : X -> Y Theo định lí 8 dễ thấy rằng quan hệ đẳng cấu giữa các vành cĩ các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu
Nếu f ; X -> Y là một đơn cấu vành thì f : X -> fŒ là một đẳng cấu vành Do đĩ ta cĩ X s fƯO
Trang 11§4 VÀNH SẮP THỨ TỰ
1 Định nghĩa và tính chất
Cho ŒX, +, ) là một vành giao hốn và < là một quan hệ thứ tự
tồn phần trên X Khi đĩ ŒX, +,., <) gọi là mộ£ ồnh sắp thứ tự nếu mọi x, y, z © X ta cé 1)x<yx+Z<y+Zz 2)0<x,0<y >0 <xy Vành được gọi là sắp (hứ tự nghiêm ngặt nếu 2) được thay bởi 2)0<x,0<y—=Ơ<xy
Ở đây như thơng lệ x < y, nghĩa là x < y và x # y
Ví dụ 7 Vành Z các số nguyên với quan hệ thứ tự thơng
thường là vành sắp thứ tự nghiêm ngặt
Trong một vành sắp thứ tự nghiêm ngặt X ta gọi phần tử aeX la phan từ dương nếu ƠƯ < a
Kí hiệu P là tập các phần tử dương của vành sắp thứ tự X Định lí 12 Trong một vành sắp thứ tự nghiêm ngặi X ta cĩ lha,bePmat+b EP, abeP;
2) Moi a « X thi hodc a e P, hodt -a e P hodc a= Oy ;
3)abeX,a<bc+»b-aef,
4)0<a5-a<0
CHUNG MINH Nhan được từ định lí 15 Chương II Dễ dàng chứng mình định lí sau đây :
Định lí 13 Một vành giao hốn X được sắp thứ tu nghiêm ngại khi và chỉ khi trong X tồn tại một tập con P cĩ các tính chất 1), 2) và 3) của định 1í
12 Quan hệ thứ tự để biến X thành một vành sắp thử tự là quan hệ a <b nếu a =b hoặc b - a e P
Trang 12§5 TRUGNG
1 Dinh nghia va tinh chat
Ta gọi đrường là một vành giao hốn, cĩ đơn vị, cĩ nhiều hơn
một phần tử va moi phan tử khác khơng đều khả nghịch
Cho X là một trường, kí hiệu 0 là phần tử khơng, 1 là phản tử don vt
Trước hết ta nhận xét rằng 0 # 1 Thật vậy, trong x tổn tại x0, do đĩ tổn tai x) Ty dé xx ! z 0x” 1+0
Phần tử x # 0 của một vành X gọi là ước của khơng nếu tồn tai y e X, y = 0 sao cho xy = 0
Ta nhan xét rang : Moi trường X đâu khơng cĩ ước của khơng
Thật vậy, mọi x c X, x # 0, nếu cĩ y e X sao cho xy = O0 thì x xy =x 0= y =0 Do đĩ x khơng là ước của khơng
Dat X* = X\{0} Theo các nhận xét trên X* ổn định với phép
tốn nhân, 1 e X* Nếu x e X* thì tên tại x” e X* Do đĩ (X*,)
là một nhĩm Abel
Như vậy, một cách tương đương, cĩ thể định nghĩa : (X,+,.) /à một trường nếu
1) X cùng phép tốn cộng là một nhĩm Abel;
2) X* = X\/0) cing vdi phép nhén la mét nhém Abel;
3) Phép nhân phân phối đối uới phép cộng
Vi du 8 a) Với phép cộng và nhân thịng thường (Q,+,.), (R, +,.) là các trường
Trang 13Định lí 14 Vành giao hốn, cĩ đơn vị, cĩ nhiều hơn một phần tử X là
một trường khi và chỉ khi X cĩ đúng hai ideal tắm thường là (0 và X
CHUNG MINH Giả sử X là một trường và A là một ideal bất kì
của X, A z l0] Khi đĩ tổn tại a e A, a #0 Suy ra 1=a la A Với
mọi x e ÄX ta cĩ x.l e Á nên A = X Vậy X chỉ cĩ đúng hai ideal
Ngược lại, giả sử X là vành giao hốn, cĩ đơn vị, cĩ nhiều hơn một phần tử và cĩ đúng hai ideal V6i moi x € X, x z 0, theo định
lí 7, xX là ideal của X sinh bởi x Vi xX z {0ì nên xX = X Từ đĩ tơn
tại y e X dé xy = 1 Vì vành X giao hốn nên x cĩ phần tử nghịch
dao lay
2 Trường con
Cho X la một trường Tập con A của X gọi là một £rường con của X nếu A ổn định đối với hai phép tốn trong X và A cùng với hai phép tốn cảm sinh tạo thành một trường
Ví dụ 9 Q là trường con của trường con của trường số thực R Từ các định lí 1 và 2 Chương II ta cĩ hai định lí sau
Định lí 15 Tập con A cba trường X cĩ nhiều hơn một phần tử là trường con của trường X khi và chỉ khí thơa mãn các điều kiện
HxyeAmxt+yeA Wea
2xE€AD-<KXKEA
3)xe/A,xz0= x cA
Định lí 16 Tập con A của trưởng X cĩ nhiều hơn một phần tử là trường
con của Irường X khi và chỉ khi thỏa măn các điều kiện
Ï)x,ye<A>x-yeẬ,
2)x,yecA,yz0—xy eA
Trang 14Vi du 10 Q (v2) = {a + bV2 | abe Q} là trường con của trường số thực R Thật vậy với mọi x = a + bV2 vày=c + d2 thuộc Q(v2) ta 06 x—y=(a—c) + (b-d)v2 € Q(v2) Néu thém y # 0 thi xy = at+by2 (a+ b¥2)(c-dv2) _ce+d/2 2 sa? = Bc=2bd | be-ad 5 - Qa) e -2d° c - 2d Vậy theo định lí 16, o(w ) là trường con của trường R 4 Miền nguyên
Ta gọi một vành giao hốn, cĩ đơn vị, nhiều hơn một phần tử, khơng cĩ ước của khơng là một miền nguyên
Theo nhận xét trong 1 thì mọi trường đều là miền nguyên
Vành số nguyên Z là ví dụ về một miền nguyên nhưng khơng phải
là trường
Trong miền nguyên mọi phần tứ khác khơng đều thỏa mãn
luật giản ước đối với phép nhân Thật vay, vdi moi a # 0:
ab =ae—>a(b—-c)=0—>b~-e=0=b=c 5 Trường sắp thứ tự
Cho X là một trường và một quan hệ thứ tự tồn phần < trên
X Khi đĩ X được gọi là một trường sếp thứ tự nếu nĩ là một vành sắp thứ tự Dễ dàng thấy rằng mọi miền nguyên sắp thứ tự đều là
Trang 15Cho X là một trường (hoặc vành) sắp thứ tự Với mọi x e X ta gọi giá trị tuyệt đối của x là phần tử |x| eX được xác định bởi 3.1 8.2 3.3 x nếu 0 < x |x| = 0 nếu x= 0 -xnéux <0 Với mọi x, y c X ta cĩ các tính chất sau 1)0 < |x|,|x| = 0 © x =0 2) |xy| = |x||y| 3) |x + y| < |x| + |y| 4) al—Ibl|<|a BỊ
BÀI TAP CHUONG Hl
Cho X là một vành và x c X Chứng minh rằng với mọi n c N Cx)" = x nếu n chắn —X = n - , -x nếu n lẻ, Trong một vành cĩ đơn vị X chứng mỉnh rằng nếu x kha nghịch thì — x cũng khả nghịch và Cx) Ì =_x ”, Trên tập 2 x 2 định nghĩa các phép tốn (m, n) + (p, q) = (m + p, n + q) (m, n).(p, q) = (mp, mq + np + nq)
Chứng minh rằng với các phép tốn trên Z x Z⁄ là vành giao hốn, cĩ đơn vì
Trang 163.4 3.5 3.6 3.7, Cho X là một vành, S là một tập hợp Kí hiệu XŠ là tập các ánh xạ từ S đến X Với mọi f, g e XỔ ta định nghĩa f + g và fg xác định bởi (f + g) (s) = f(s) + g(s), (fg) (8) = Íf{s).g(4)
với mọi s e S Chứng minh rằng với các phép tốn trên
XŠlà một vành Nếu vành X giao hốn hay cĩ đơn vị thì vành XỒ cũng cĩ tính chất đĩ Các tập sau đây, tập nào là vành con của vành R : a) {m + n5 | m,n e Z}? b) {m + nŸ5 | m,n eZÌ? Cc) {m +n¥5 + p¥25 | m,n,p e Z}?
Cho X là một vành Ta gọi tâm của X là tập
C(X) = {ae Xl ax = xa véi moi x € X} Chứng minh rằng CỚX) là vành con giao hốn của X Trong một vành X nếu cĩ số nguyên m > 0 sao cho
mx = Oy vdi moi x € X (*)
thì số nguyên dương s nhỏ nhất thỏa mãn (*) gọi là đặc số
của vành X
Nếu khơng cĩ m > 0 thỏa mãn (*) thì m = 0 là số duy nhất
thỏa mãn (+), trường hợp này ta nĩi vành cĩ đặc số 0
Chứng minh rằng
Trang 17b) Nếu vành X cĩ đặc số s = 0 thì mọi phần tử khơng phải 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 1.18, +e tac aw sh
ước của khơng trong vành đều cĩ cấp vơ han
c) Nếu vành X cĩ đơn vị 1, #0, thì đặc số của vành X chính là cấp của phần tử 1„ trong nhĩm (X, +), tức 0 là số dương nhỏ nhất để s.1„ = 0v
Một vành X gọi là ồnh Bulle nếu mọi phần tử của nĩ đều cĩ tính chất lũy đẳng, tức là x? =x Chứng minh rằng vành Bulle là vành giao hốn, cĩ đặc số bằng 2
Cho X là một vành Với mọi m c Z chứng minh các tập sau đây là ideal của X :
a) mX = {mxlxeX];
b) A= {xe XI mx =0}
Cho A và B là hai ideal cha vanh X Chitng minh ring
A+B= {at+blae A,beB} cũng là một ideal của X Cho X là một vành, I, là ideal của X sinh bởi các phần tử dạng xy — yx, x,y e X a) Chimg minh 1⁄4 là vành giao hốn 0
b) Với mọi ideal I của X, %⁄{ là vành giao hốn © lạ c Ï Tìm tất cả các tự đồng cấu của vành số nguyên Z
Kí hiệu Q(Vn) = {a+ bvn ta,be Q}, n= 7; 11
Chứng minh rằng
Trang 183.14
3.15
b) Anh xa f: Q(v7) — Q(v11)
a+bV7 t>+a+bxv11
khơng phải là đẳng cấu trường
c) Khơng tổn tại một đẳng cấu nào giữa 0(⁄?) và o(1)
Cho A 14 mét ideal cia vành giao hốn, cĩ đơn vị 1 z 0 X Ideal A gọi là nguyên tố nếu mọi x, y e X, xy e Athixe A
hoặc y e A Ideal A gọi là đối đại nếu A z X và nếu M là một
ideal cha X%, À c M c X thì M = À hoặc M = X
Chứng minh rằng
a) Ideal {0} la nguyên tố ©> X là miền nguyên b) Ideal {0} là tối đại © X là một trường c) Ideal P là nguyên tố © %2 là miễn nguyên d) Ideal M là tối đại © X4¿ là một trường e) M 1a ideal tối đại thì M là ideal nguyên tố
Cho A là một vành con cĩ nhiều hơn một phần tử của một trường F Chứng minh rằng trường con của F sinh bởi A (tức
Trang 193.17
b) Anh xah: X > Z~x X, h(x) = (0,x) 1a đơn cấu vành Do đĩ
một vành bất kì đều cĩ thé coi là vành con của một vành cĩ đơn vỊ
(Trường các thương của một miền nguyên) Cho A là một mién nguyên Kí hiệu A = A\{o,} Trén tich Descartes
Ax A xét quan hé
(x, x’) ~ (y, y’) néu xy’ = yx’
a) Chứng tỏ ~ là một quan hệ tương đương trên A x A’ Kf
Trang 203.18
e) Hãy chứng tỏ Q là trường các thương của Z
Kí hiệu ,(F) là tập các ma trận vuơng cấp hai trên một
trường F Tức là tập các phần tử Á cĩ đạng
A-[ phabeder LG |
Hai ma trận gọi là bằng nhưu nếu cĩ tất cả các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau bị va A, = a by c.,(F) ta định qd, Cy do ay c Với mọi 4.-| 1 nghĩa AGA = a, +a, b, +b, 1 "2 le +e 1 2 d, +d, A.A = (i +bc, aị¡b, + |
cag +dye, cb, +d,do
a) Chứng minh rằng -4„(F) với phép cộng và phép nhân như trên là một vành cĩ đơn vị b) Với mọi A = [ i) <M,(F) ta dinh nghia dinh thi cia A là phan tử |A} = ad - be Chứng minh rằng với mọi A), Ag € -M,(F) ta cĩ |A¡-As|=|A+|-Aa
Trang 213.19 (Trường số phức) Trên vanh #/,(R) céc ma trận vuơng cấp hai trên trường R xét tập con oi a) Chứng minh rằng C là một trường con của vành My (R) aber} 0 b) Chứng minh rằng ánh xạ j: R-> €, j(a) = Í* {0 a là một đơn cấu 0 1 , e) Đặt i= i a)) đồng nhất, J(a) với a, chứng minh ïŸ =-1 và C={a+ibla,b e RÌ
Mỗi phần tử của C gọi là một số phức d) Với mọi a, + ib,,a, + ib, eC chứng minh :
(a, + ib,)+(a, + ib, )= {a, + a,)+i(b, +b,)
(a, + ib, )(a; + ib,) = (a,a, - bb, ) + i(a,b, + ab, )
e) Kí hiệu z = a + ib và gọi z = a - ¡b là số phức liên hiệp
Trang 223.20 (Thé quaternion) Trén vanh Mo (C ) các ma trận vuơng cấp
hai trên trường C xét tập con
= G ; sect
a) Chimg minh ring 2 là một thể con của vành MC ) (Thể
là một vành cĩ đơn vị, cĩ nhiều hơn một phần tử, mọi phần tử khác khơng đều khả đảo) by Bat |, d) -[ 0 } nh ð) “(0-1 -1 0 i O Chứng minh rằng 1Ÿ = J2 = K” = -1; IJ = -JI = Đ, JR = ~KJ = I, IK = -KI =J c) Đơng nhất số thực a với (3 | e 2 Chứng tỏ mọi phần tử của 2 đều cĩ dạng
a, +a,I+b,J +b K, ai, 8a, Ðị, bị, e R
Thé 2 dugc goi lA thé quaternion Theo b) 2 khơng giao hốn, do đĩ 2 khơng phải là trường
3.21 Trong một trường sắp thứ tự, chứng minh rang
a)0< 1;
b)0<ac>0< a1,
e)ìa<b<0©0> aL>xp},
đ) a< b thì tồn tại vơ số x để a < x < b
3.22 Chứng minh rằng khơng cĩ một quan hệ < để biến trường số
Trang 23CHUONG IV
MOT VAI LOP VANH DAC BIET
§1 SỐ HỌC TRONG MIỄN NGUYÊN
1 Khái niệm chỉa hết
Cho X là một miền nguyên, a, b c X và b z# 0 Nếu tồn tại c e X sao cho a = be thì ta viết
bla hoặc a : b
và gọi là a chia hết cho b Thay cho cách gọi “a chia hết cho b7 ta cịn gọi một trong các cách sau đây : “œ ià bội của b”, “b chia hết œ” hoặc “b la ude cua a”
Hai phan ti a vA b cla mét mién nguyén goi 1A lién kết nếu đồng thời cĩ alb và bla
Định lí 1 Haí phần tử a, b của mội miền nguyên X liên kết khi và chỉ khí a z 0, b = 0 và tồn tại ueX, u khã nghịch sao cho a = bu
CHUNG MINH Néu alb va bla thi a # 0 và b z 0 và tồn tại
u, v ¢ X sao cho a = bu va b = av Tir dé
a= auv => uv = 1 >, v kha nghich
Ngược lại, nếu a = bu thi bla Mat khác do u khả nghịch nên
b=a.u `, tức là cũng cĩ alb Vậy a và b liên kết
Từ định lí 1 suy ra quan hệ liên kết là một quan hệ tương
đương trên tập X” = X\{0} Cũng do định lí 1 ta cịn gọi hai phần
Trang 24Nếu bla, b khơng khả nghịch, b khơng liên kết với a thì b gọi
là ước thực sự của a, kí hiệu là blta
Liên hệ giữa tính chất chia hết và ideal sinh bởi một phần tử ta cĩ
Định lí 2 Cho X là miền nguyên, a, beX và b z0 Khi đĩ
1) bla <> <b> > <a> 2) bila < <b> D <a>
CHUNG MINH 1) bla = 3x e KX, a=bx ae <b> & <a>c <b> 2) bila © 3x e X, x khơng khả nghịch, khơng liên kết với a,
a =bx © a e <b>, b g <a> © <a> c<b>
z
Cho miền nguyên X và a,beX Phần tử deX gọi là ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu là UCLN (a,b), nếu đla, đlb và với
mọi c c X, cla, c†b thì cld
Định tí 3 Nếu ở là UCLN (a, b} thì tập các ước chung lớn nhất của a và b trùng với tập các phần tử liên kết với d
CHỨNG MINH Giả sử d' là mật ước chung lớn nhất bất kì của a và b Theo định nghĩa ta cĩ đ°Id va did’ Vay d' liên kết với d
Bây giờ giá sử d' lên kết với d Theo định lí 1 tồn tại u khả
nghịch để d = du = d’ = du’ Do d6 dla, db, cld thi cũng cĩ
d’la, d@’ lb, cld’ Vay d’ cing là ước chung lớn nhất của a và b
8 Phần tử nguyên tố và phần tử bất khá quy
Phần tử p của một miền nguyên X gọi là nguyên tố nếu p = 0, p khơng khả nghịch và với mọi a,beX, ptab thi pla hoae p Í b
Phần tử p gọi là ưấ? khá quy nếu p # 0, p khơng khả nghịch
Trang 25Định lí 4 Trong mội miễn nguyên X mọi phần tử nguyên tố đầu là phần tử bất khả quy
CHUNG MINH Gia sử p là nguyên tố va a, b € X sao cho p = ab
Vi p | ab nén pla hode plb Xét trường hợp pla Khi đĩ tên tại
ueX,a= pu Từ đĩ p = p(uh), suy ra ub = 1 Vay b 14 kha nghich
§2 VÀNH CHÍNH
1 Định nghĩa vành chính
Một miền nguyên X gọi là một uành chính nếu mọi ideal cia X déu 1a ideal chính
Ví dụ 2 Mọi ideal của vành số nguyên Z đầu c6 dang mZ = <m>, do đĩ đều là ideal chính Vậy Z là vành chính
Định lí 5 Trong vành chính X khơng tồn tại dãy vơ hạn các phần tử â;,3a ân, trong đĩ a¡,;¡ là ước thực sự của a, với mọi Í = 1, 2, , n,
CHỮNG MINH Nếu cĩ một, đãy như thế thì theo định lí 2 ta cĩ dãy các ideal lồng nhau
Trang 269 Vành nhân tử hĩa
Cho X là một miền nguyên Phần tử a e X gọi là phán tích được một cách duy nhốt thành tích các phần tử bất khả quy nếu ton tai các phần tử bất khả quy p,P; P„ sao cho a= P¡-Pa P„ và sự phân tích đĩ là duy nhất, nếu khơng kế đến thứ tự và các
nhân tử khả nghịch Nĩi cách khác, nếu cũng cĩ a = q¡-đa q với
các q, bất khả quy thì m = n và với một cách đánh số thích hợp ta
cĩ p, liên kết với q, với mọi ¡ = 1, 2, n
Miền nguyên được gọi là uành nhân tử hĩa hay ồnh Gauss nếu mọi phần tử khác khơng, khơng khả nghịch của nĩ đều phân tích được một cách duy nhất thành tích của các phan tit bat kha quy
Định lí 6 Mợi vành chính đều là vành nhân tử hĩa
CHỨNG MINH GIÁ sử a là một phần tử khác khơng, khơng khả nghịch của vành chính X Trước hết ta chứng minh a cĩ một ước
bất khá quy Thật vậy, nếu trái lại a khơng cĩ ước bất khả quy nào thì a khơng bất khả quy và cĩ ruột ước thực sự a, cing khơng bat
khả quy, a lại cĩ một ước thực sự khơng bất khả quy a 2 Ta được đãy a,,a,, vơ hạn các phần tử mà phần tử đứng sau là ước thực sự của phần tử đứng liễn trước, theo định lí 5 là một điểu mâu thuẫn
Giả sử p, là một ước bất khả quy của a Khi đĩ a = p¡a¡ Nếu a; khơng bất khả quy thì tồn tại ước bất khả quy pạ, ai = Đâo,
a=p¡Pạ-a„, Theo định lí 5, sau n bước ta sẽ cĩ a_ bất khá quy,
đặt p„=a, ta được a =pip, p, là tích của các phân tử bất khả
Trang 27Bây giờ giả sử a cĩ hai cách phân tích thành tích của cdc phan tử bất khả quy
A= P)Py P, = 4499-4, ©
Ta cĩ thể giả thiết n < m Vì mọi phần tử bất khả quy đều nguyên tế và p,Íq,q, q, nên tổn tại q, sao cho p, Lq, Nếu cần thì đánh số lại, ta cĩ thế giả thiết p, lq, Vì p, và q, bất khả quy nên tồn tại phần tử u, khả nghịch sao cho q, = p,.u, Từ đĩ G)- Io -4,, = Py -Py -P, -U = au vdi u=u,u, u, là một phần tử khả nghịch Nếu m > n thì a = q4; nan đạ = 208n,1 > In Suy ra q n+1 "” Gm <ul là một phần tử khả nghịch, ta gặp mâu thuẫn Vậy m = n và q, = p.u, véi moii = 1, 2, , n §3 VANH EUCLIDE
1 Dinh nghia vanh Euclide
Cho X là một miễn nguyên Kí hiệu X* = X \ {0} Miền nguyên X gọi là uành Euclide nếu cĩ một ánh xạ
õ:X*— Đ thỏa mãn các điều kiện
1) Nấu bÌa và a z 0 thi & (b) < 8 (a)
2) Với mọi a, b e X,b z0, tổn tại q, r e X sao cho a = bq +r trong đĩ r = 0 hoặc ð(r) < &(b)
Trang 28Ví dụ 3 Theo định lí phép chia cĩ dư trong Z, vdi anh xa
õ:Z*-~+N, n -> Inl
vanh sé nguyén Z 1A mét vanh Euclide Định lí 7 Mọi vành Euclide đều là vành chính
CHUNG MINH Giả sử ÄX cùng ánh xạ ồ : X*Ỷ > Đ là vành
Euclide, A là ideal tùy ý của X Néu A = (0} thì A là ideal chính sinh bởi 0 Xét trường hợp A # {0} Tập {ơ(a) la e A,a z0}CNĐ cĩ số
nhỏ nhất, do đĩ cĩ aeẤ, a + 0 sao cho &a) là số nhỏ nhất nĩi trên Ta sé ching minh À = <a> Thật vậy, với mọi x e Ấ vì X là
vành Euelide nên x = ag + r, trong đĩ r = Ơ hoặc õ(r) < ơ(a) Nếu r #0 thì r = x— aq e Á, ơ(r) < ð(a) mâu thuẫn với cách chọn phần
tử a Vậy r = 0 vA x = aq € <a> Ty dé A = <a> JA ideal chính
Nhận xét 1 Theo định lí 6 và 7 ta cĩ : mọi vành Euclide đều là
vành nhân tứ hĩa,
2 Thuật tốn tìm ước chung lớn nhất
Tương tự như đối với số nguyên, cĩ thể sử dụng thuật tốn Euclide để tìm ước chung lớn nhất của hai phần tử trong vành
Euclide
Nhén xét 2 Dé dang thay rang 1) Néu alb thi UCLN (a, b) = a
2) Nếu a = bq + r, b z 0 thi UCLN (a, b) cing 1A UCLN (b, r)
Giả sử a, b e X, b « 0 Khi đĩ tồn tại đọ, Tạ X sao cho a= bay +1, % =O hoặc BT) < &(b)
Néu rạ #0 thì ta cĩ
Trang 29Néu r, #0 thi ta cĩ
Ty =U Gq tly My = 0 hoặc ơ(r,) < d(x)
Vì ðb) >ð(ry) >ðứ) > nên sau một số hữu hạn bước ta phải cĩ r ¡ = 0, tức là t1 = Th Gat Theo nhận xét 2 1) ƯCLN (r,r ;)=r,_¡ Từ đĩ theo nhận xét-2 2) ta c6 UCLN (a, b) = r_¡- §4 VÀNH ĐA THỨC 1 Định nghĩa vành đa thức Cho A là một vành giao hốn cĩ đơn vị Ta gọi một đa thức trên Á là một tổng hình thúc cĩ dạng R f(x) = Ay +a,X+ +a x nh hay viét gon lai la f(x) = Ss a,x" , trong dé k=0 Ay By, > A, eA goi la các hệ tử; x là một kí hiệu được gọi là ẩn với quy ước x2 =1,xŸ =x.x x (Œ lần)
Nếu a, #0 thì a_ được gọi lA hé tt cao nhét cua da thifc f(x), số n gọi là bậc của da thie f(x), ki hiéu la deg f(x)
Trang 30-Hai da thức Đx) và g(x) được gọi là bằng nhau nếu tất cả các
hệ tử tương ứng của chúng đều bằng nhau, tức là nếu 1 f(x) = Ay tayx+ + aX , a, #0 mm a(x) = ba+bix+ +b,x , bạ z0 thì n =m và a, =b,,1= 0, 1, n Với mọi ceA ta goi f(c) = a, + act + ace é Ala giá trị của đo thức Đx) tại c
Một đa thức dạng ax gọi là một đơn thức Như vậy một đa
thức là tổng của một số hữu hạn các đơn thức hay các số hạng Ta
khơng phân biệt thứ tự các số hạng của một đa thức Đa thức
Ao+aiX+ † a,x”
được goi la viét dưới dạng chính tắc tiến, cịn da thức
n n-l +
aX +a 4X + +Aa
duge goi lA viét dudi dang chinh tac lui
Trang 31Ta goi tich cia f(x) vA g(x) la đa thức f(x).g(x) = Ayby + (ai bạ + aobi)X + +
n+m-—L n
+ CO + a,b x + a,b x +m
Như vậy tổng của hai đa thức là đa thức cĩ các hệ tử bằng tổng các hệ tử tương ứng của hai đa thức đĩ
Tích của hai đa thức f{x) và g(x) viết gọn lại là n+m f(x) g(x) = » Cx i=0 trong dé c, = > ab, ,120,1,.,0+m j+k=i
Ta cĩ kết qua sau đây :
Định lí 8 Với mọi vành giao hốn cĩ đơn vị A, với phĩp tốn cộng và nhân đa thức, Ajx] là mội vành giao hốn, cĩ đơn vị Phần tử 0 là đa thức cĩ tất cả các hệ số bằng khơng Phần tử 1 là đa thức 1 chỉ cĩ hệ số ao =1 cịn tất cả các hệ số khác bằng khơng Vành A[x] gọi là vanh da thiic trén A Từ định nghĩa các phép tốn ta cĩ
Định lí 9 Với moi f(x), g(x) © Afx] ta cé
1) deg (f(x) + g(x)) < max {deg f{x),deg 9(x)} , néu deg tx) = deg g(x) thi deg (f(x) + g(x)) = max {dag f(x), deg g(x)}
2) deg (f(x).g(x}) < deg f(x) + deg g(x), néu A là miền nguyên thì
deg (f(x) g(x)) = deg K(x) + deg g(x)
Trang 32Nhận xét 3 Để định li 9 ding trong mọi trường hợp, cần định nghĩa deg 0Ơ = -œ và với mọi n e Đ, —œ + n = —œ Và -œ < n Từ 2) của định lí 9 đặc biệt suy ra : Nếu A là miền nguyên thì A[x} cũng là miền nguyên :
2 Phép chia cĩ dư
Định lí 10 Cho A fa một miền nguyên, f(x4), g(x) e A[x} và g(x) cĩ hệ tử
cao nhất khả nghịch Khi đĩ tồn tại duy nhất g(⁄), r(x) e A[x] sao cho
(x) = g(x) q(x) + r(x)
trong đĩ r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x)
Đa thức q(x) gọi là £hương, đa thức r(x) gọi là đư của phép chia da thi f{x) cho g(x)
CHUNG MINH Tinh duy nhét Gia sit q’(x), r(x) eA[x] cũng cĩ
tính chất địi hỏi Khi đĩ
Ø(x) q(X) + r(X) = g(x) q(x) + r()
Tu dé g(x)(q(x) — q'(x)) = r'(x) — rí() Nếu r(%) — r(x) z 0 thì
theo định lí 9
deg(r (x) - r()) = deg g(x) + deg(q(x) - q'(x)) > deg g(x)
Đây là một điều mâu thuẫn vì deg r(x) < deg g(x),
deg rx) < deg g(x) Vậy r{(x) — r(x) = 0 Do A[x] là miền nguyên
nên cũng cĩ q(x) - q(x) = 0
Sự tơn tại Ta chứng minh bằng quy nạp theo bậc của f(x) Giá SỬ g(x)= bx + +bix+bạ, b_ là phần tử khả nghịch Nếu
deg f{x) < m thi chon q(x) = 0, r(x) = f(x), dinh li dung
Giả sử kết quả đúng với mọi da thức cĩ bậc nhỏ hơn n, n > m, Xét đa thức Đx) cĩ bậc n bất kì
n
Trang 33-1_n-m
Dat f(x) = f(x)- ab, x gx Ta cĩ f(x)=0 hoặc deg f(x) <n Theo giả thiết quy nạp tồn tai q(x) va r(x) € A[x] sao cho f(x) = g(x) q(x) + r(x) với r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x) = m Tir dé -1 n-m x m f(x) = g(x) (acx) +a,b } r(x)
Dat q(x) = q(x) + abox™™, ta cĩ cặp q(x) và r(x) e A[x] để f(x) = gx) q(x) + r(x) théa mãn r{x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x)
Định lí 1 Nếu F fa mét trường thi vanh Fix} la vanh Euclide va do đĩ
là vành nhân tử hĩa
CHUNG MINH Xét ánh xạ 6 : E[x]* -› Đ, õ(Ấx)) = deg Đ) Nếu g(x)! f(x) thi f(x) = g(x) u(x), do dé
deg f(x) = deg g(x) + deg u(x) = deg g(x)
Vay 5(f(x)) >8(g))
V6i moi f(x), g(x) e F[x], g(x) # 0 theo dinh li 10 tén tai q(x),
r(x) € F[x] sao cho
flx) = g(x) q(x) + r(x), r(x) = 0 hoặc 5(r(x)) < 8(g(x))
Vay theo dinh nghia, F[x] 1A vanh Euclide
Nhận xét 4 Vì F[x] là vành Euclide nên ước chung lớn nhất của
hai đa thức khác khơng bất kì trên trường F tần tại và cĩ thể được
tính theo thuật tốn Buclide (Xem §3)
Ví dụ ấ Tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức
2 f(x)=xÌ`+2xỶ+x +x+l
và g(x)= xf—x?+2x”—x+l trong Q[x]
Trang 34Theo thuat todn Euclide ta cĩ
f(x) = gŒ).qa(Œ) + tạ(S), Qo) = X41, Ty(K) = XỔ +X
B(x) = ro(X).qị(X) + 7, (8), gy (x) = X T 1, rị() = x +1
1) (x) = 4, (X).d9(X), Gp (x) =X
Vay UCLN (f(x),g(x)) = 1,00 =x" +1
4 Nghiệm của đa thức
Cho A là một miền nguyên và f(x) e A[x] Phần tử c 6 A gọi là một nghtệm của f(x) trong A néu f{c) = 0
Nếu B là một miền nguyên chứa A như một vành con thì cũng cĩ thể coi fx) e B[x] Khi đĩ fx) cĩ thể cĩ nghiệm trong B nhưng
khơng cĩ nghiệm trong A
Nếu b c B là nghiệm của một đa thức f(x) e A[x] thì b gọi là
phần tử đợi số trên A Trong trường hợp trái lại ta gọi b là phần
tỬ siêu u¿ệt trên A
Một phân tử đại số (siều việt) trên trường hữu tỉ Q được gọi
vắn tắt là phần tử đại số (siêu việt)
Ví dụ 6 2x — 1 cĩ nghiệm trong Q nhưng khơng cĩ nghiệm
trong 2; ; ¢ Z nhumg ; là phần tử đại số trên Z
Định lí 12 (Bezoul) Cho A là một miền nguyên Khi đĩ phần tử c « A là nghiệm của đa thúc f(x) e Alx] khi và chỉ khi Í(x) chia hết cho x — c trong vanh Alx]
Trang 35trong d6 r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg (x —c) = 1 Do d6 r(x) = re A Vì vậy Íc) = r và với mọi x e Á
f(x) = (x — c) q(x) + fic)
Từ đẳng thức này suy ra f(x) = (x — c)q(x) © f{e) = 0
Cho f(x) 1&4 một đa thức trên miễển nguyên A va c là một
nghiệm của f(z) Khi đĩ tổn tại k € N sao cho fx) chia hết cho
(x - c)" nhưng khơng chia hết cho (x -o n1, Nếu k = 1 thì c gọi là nghiệm don, k = 2 thì c gọi là nghiệm khép, k > 3 thì c gọi là
nghiệm bội Trong trường hợp chưa biết k bằng bao nhiêu thì ta
gọi chung c là nghiệm bội b
Định lí 13 Cho F là một trường và f(x) © FI), fod = 0, Cị,Cz, ., Êy là các nghiệm của f(x) với số lần bội kạ, ka, K, Khi đĩ tồn tai g(x) e F[x] sao cho
f(x) = (x— e+}(x —caJ*2 (x — œ}“ g(x), g(e¡) z0 với í = 1, 2, , r
CHUNG MINH Theo định lí 11, E [x] là vành nhân tử hĩa Vì x-—c, là các phân tứ bất khả quy nên trong sự phân tích f(x) thành tích các phần tử bất khả quy, sai khác một phần tử khả nghịch, sẽ cĩ k, thừa SỐ X— c,,í= 1, 2, , r Đặt g(x) là tích của các thừa số cịn lại, ta cĩ k k k f(x) =(x-Â,) '(x-Â,) đ (xc ) "g(X), g(e,) #0, = L, 2, r
Định lí 14 Cho fx) là một đa thức trên trường F, x) z 0 Khi đĩ số
nghiệm của í(x), mỗi nghiệm tính với số lẫn hội của nĩ, khơng vượi quá deg (x) CHỨNG MINH Giả sử Đx) cĩ r nghiệm khác nhau c, với số lần
bội k,, i= 1,2, , r Theo định lí 18 ta cĩ
f(x) =(x- vn (x- oy) ele - c.)* g(x)
Trang 36Suy ra deg f(x) = k, + k, tit k + deg g{x)
Vay k, + k, + + k < deg f(x)
Định lí 15 Cho f(x) va g(x) la hai đa thúc bậc n tiên trường F và cĩ n + † phần lử cụ, cạ, ©n,; c F, sao cho Í(c¡) = g(c¡), Ì = 1, 2, , n + 1
Khi đĩ f(x) = g(x)
Trang 37Dãy đẳng thức truy hồi đĩ được mơ tả dưới đạng sơ đồ dưới
đây, gọi là sơ đồ Horner : Ay oe | k-1 vit a sen 8y-1 - a, ww +Ve c | bo=ay Dyy by bat r [|i # x
Sơ đồ Horner cho ta thực hiện nhanh phép chia da thifc f(x)
cho đa thức x - e Vi f(c) = r nên nĩ cũng cho ta cách tính nhanh giá trị f{c) Ví dụ 7 Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) = 9x" ~x” +x -3x+2 cho x_— 2 Ta cĩ sơ để Horner | 2 -1 1 -8 2 2 | 2 3 7 11 24 Từ đĩ thương là 2x” + 3x” + 7x +11, dư là 24 = f2) BÀI TẬP CHƯƠNG IV
4.1 Cho a, b là các phần tử của một vành chính X, UCLN (a, b) = d Kí hiệu <a, b> là ideal của X sinh bởi tập hai phân tử a, b Ching minh ring <a, b> = <d>
4.2 Cho X là một vành chính và A là một ideal của X Chứng minh rang
a) Mọi ideal của vành %/ déu là ideal chinh b) Vành X⁄4 chính © ideal A nguyên tố
Trang 384.3 4.4 4.6 4.7 4.8 4.9 Cho X là một vành chính Chứng mỉnh rằng
a) Nếu p là phần tử bất khả quy thì <p> là ideal tối đại
b) Nếu P là ideal nguyên tố khác {0} thì P là ideal tối dai c) Moi phần tử a, b eX đều cĩ ước chung lớn nhất
Cho X là vành Echde và Á là một ideal của X Chứng minh
rằng vành thương X4 là vành Euclide © A 1a ideal nguyén
tố của X
a) Chứng minh rằng mọi trường đều là vành Euclide
b) Cho A là vành Euclide Chứng minh rằng A là trường <> & A* > N là ánh xạ hằng Tính số đa thức bậc n của Z, (x) Chứng minh rằng đa thức 1x” +14e ZzIx] cĩ 4 nghiệm trong Zi: Cho vành giao hốn cĩ đơn vị Á và I là một ideal của A Chứng minh rằng a) I[x] =|£@œ = Bọ +aiX+ + a,x" € A[x]| moi ae 1} là ideal của Á[x] b) AO = (34) bh
c) I nguyén t6 trong A © I{x} nguyén té trong A[x)
Trang 394.10 Cho A là một vành giao hốn, cĩ đơn vi Ching minh ring
các điều kiện sau tương đương 1) A là trường 2) Alx] la vanh Euclide 3) A[x) là vành chính 4.11 Cho A là một miền nguyên Hãy tìm trường các thương của vành À[x| 4.12 Chứng tỏ rằng các số sau đây là số đại số a) v5 + #5 b)i+2 4.13 Tìm ước chung lớn nhất của các đa thức a) f(x) = x! +x? — 3x” —Ax-1; g(x)= x? +x” -x-l1 b) f(x) =x°+x* —x?_—2x-1; g(x) = 3x" 42x +x" + 2x2 4.14 Dùng sơ đề Horner, biểu diễn f(x) theo lũy thừa của x — c a) f(x) =x! + 2x3 — 3y? ~4x41l,c=-l1 b) f(x) = x’, cz 1 4.15 a) Tìm một đa thức fx) bậc 3 sao cho Đx) - Đx— 1) = x’ b) Lập cơng thức tính tổng S, =1” +2” + +n^
4.16 Chứng minh ring néu f(x)=ax +bx+ceZ[x] cĩ
nghiệm hữu tỉ thì cĩ ít nhất một trong ba số a, b, c là chấn
Trang 401.1 1.2 1.4 1.5 1.6 1.7
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
CHƯƠNG IL PHÉP TỐN VÀ NỬA NHĨM
Khơng kết hợp, khơng giao hốn, 0 là phần tử trung hịa bên phải a) Kết hợp, giao hốn b) Kết hợp, giao hốn, 1 là phần tử trung hịa Giả sử a, b € S, Vx, y e ÄX ta cĩ ((ax b) + x)* y = (a x(b+* x))* y = a+ ((b + x) + y) = ax*(bx(xx y)) = (a * b)(x + y) Vậy a + b e 8 a) (R, +) là vị nhĩm giao hốn, 0 là phần tử trung hịa Phần tử — 1 khơng khả đối xứng
b)(Đ, ®) là nửa nhĩm giao hốn