DAU THE CAP
CẤU TRÚC ,
Trang 4LỜI NĨI Đầu
Quyển sách này được biên soạn trên cơ sở bài giâng Cấu trúc đại số của tác giả tại khoa Giáo dục Tiểu học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
Cấu trúc đại số (phần cơ bản của Đại số đại cương) là một
mơn học quan trọng của sinh viên khoa Tốn các trường Dai hoc |
Khoa học Tự nhiên, Đại học Sư phạm và Cao đẳng Sư phạm
Mơn học Cấu trúc đại số giúp chúng ta hiểu biết lí thuyết tổng quát về pháp lốn, biết được rằng số tự nhiên, số nguyên, số hữu lÏ, v.v cùng với các phép tốn trên chúng chỉ là các mơ hình của những cấu trúc đại số tổng quát Vì lí do trên, cấu trúc đại số cũng là
mội mơn học quan trọng của sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học Hơn
nữa do đặc điểm của chương trình đào tạo Cử nhân Giáo dục Tiểu học, trong sách cịn dé cập đến một vài vấn dé của cấu trúc thứ tự Sách gồm bốn chương : 1 Phép tốn đại số và nửa nhĩm 2 Nhĩm ' 3 Vành và trường 4 Một số loại vành đặc biệt
Cuối mỗi chương của sách cĩ một số bài tập chọn lọc
Ngồi các bài tập đơn thuần để bạn đọc rèn luyện khẢ năng vận dụng !/ thuyết và phát triển tư duy, trong sách cịn cĩ một số bài
Trang 5năng giải tốn bạn đọc cịn bổ sung được cho mình về kiến thúc của
mơn học
Đối lượng phục vụ chính của sách là sinh viên khơng phải chuyên ngành tốn Do đĩ các kiến thức chỉ trình hày ở mức độ tổng quát vừa phải Mặc dù vậy, chúng lơi cho rằng quyển sách nhỏ này cũng rất hữu ích cho sinh viên chuyên ngành tốn và đặc biệt là những bạn đọc bước đầu tìm hiểu về mơn học thú vị này
Để quyển sách được hồn chỉnh hơn khi tái bản, chúng tơi rất
mơng nhận được nhiều sự gĩp ý của bạn đọc và của các bạn đồng
nghiệp
Trang 6CHUONG | PHÉP TỐN ĐẠI SỐ VÀ NỬA NHĨM §1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP TỐN 1 Định nghĩa và ví dụ Cho X là một tập hợp Ta gọi một phép tốn trên X là một ánh xạ T:XxX 7X tir tich Decartes X x X vào X
Như vậy phép tốn T đặt mỗi cặp phần tứ (x, y) của tập X x X
với một phần tử duy nhất T(x, y) của X Phần tử T(x, y) gọi là kết quả của phép tốn T Thay cho cách viết T(x, y) ta sẽ viết là xTy và
thay cho kí hiệu T ta cịn viết các kí hiệu khác như +, , *, o,
x + y được đọc là z cộng y và kết quả đĩ gọi là ¿ổng của x và y
Trang 7Vi dụ 2 Kí hiệu Xlà tập các ánh xạ từ X vào chính nĩ Khi đĩ phép hợp thành của hai ánh xạ f, g e XẾ T, (f, g) = gof là phép tốn trên X*, Ví dụ 3 a) Phép trừ là phép tốn trên Z nhưng khơng là phép tốn trên N
b) Phép chia là phép tốn trên Q nhưng khơng là pháp tốn trên Q, khơng là phép tốn trên Z`
2 Phép tốn căm sinh
Cho x là mật phép tốn trên X và À là một tập con của X
Phép tốn x gọi là ổn định trên tập A nếu với mọi x, y cA déu cĩ
x*yeA
Nếu phép tốn + én dinh trén’A thi
T:Ax AOA, Tix,y)=x*y
cũng là một, ánh xạ, do đĩ cũng là một phép tốn trên Á
Phép tốn này trên tập À được gọi là phép tốn cảm sinh bởi phép tốn x trên X
Ví dụ 4 a) Phép cộng trên Z ổn định trên tập con NĐ, ổn định
trên tập con C các số nguyên chấn Do đĩ phép cộng trên Nvà C cảm sinh bởi phép cộng trên Z
b) Phép trừ trên Z2 khơng ổn định trên tập con Đ Do đĩ
phép trừ trên Z khơng cảm sinh một phép tốn trên Đ Ví dụ 5 Trên R xét phép tốn
Trang 8Phép tốn o 6n dinh trên tập S ={0, 1]
Thật vậy, asb = a + b_— ab = a(1 — b) + b Với mọi a,b e 9S: 0 < a(1—b)+b <(1—b)+be=1 Vay aob c 5 với mợi a, b e 6Š §2 CÁC TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT CỦA PHÉP TỐN 1 Tính chất kết hợp Cho + là một, phép tốn trên tập X Phép tốn + gọi là cĩ tính chất hết hợp nếu mọi x, y, z e ÄX ta cĩ (x * y)+z = X*#(y x 2) Ví dụ 6 a) Phép +, trên N, Z, Q, R là kết hợp b) Phép — trên Z khơng kết hợp Chẳng bạn (1 - 2)-3 #1- (2-3) c) Phép ly thita trén N’ khéng kết hợp Chẳng hạn 2 2 fil (2`) z al d) Phép hợp thành các ánh xa trén X™ là kết hợp 2 Tính chất giao hốn -
Cho x là một phép tốn trên tập X Phép tốn x gợi là cĩ tính
chất giao hodn nếu mọi x, y e X ta cĩ
Trang 9Ví dụ 7 a) Pháp +, trên Đ, Z, Q,R là giao hốn
b) Phép - trên Z khơng giao hốn Chẳng hạn
1-2z#2—1
o) Phép lũy thừa trên NỈÏ khơng giao hốn Chẳng hạn 12 x21,
d) Nếu X cĩ nhiều hơn một phản tử thì phép tốn hợp thành
o trên XỀ khơng giao hốn Thật vậy, giả sử a, b e X, a #b Gọi f và g e Xà là các ánh xạ xác định bởi f(x) = a vii moi x œ ÄX g(x) = b với mọi x e X Khi đĩ gofa) = b, fog(a) = a Vậy gofˆz Íng §3 CÁC PHẦN TỬ ĐẶC BIỆT CỦA PHÉP TỐN 1 Phần tử trung hịa
Cho x là một phép tốn trên tập X Phần tử e' e X (e” e X) gọi là phần tỦ trung hịa bên trái (phải) của phép tốn * nếu với mọi x e X
Trang 10Phần tứ e gọi là phần tử trung hịa của phép tốn x nếu e vừa là phần tử trung hịa bên trái vừa là phần tử trung hịa bên phải,
tức là với mọi x e ÄX
Se*XE=X+©=X
Định lí 1 Cho x là một phép tốn trên X Khi đĩ nếu e' là phần từ trung hịa bên trái và e” là phần tử trung hịa bên phải của x thì e' a 8”,
CHUNG MINH Do e' là phần tứ trung hịa bên trái nên
e’ * e” = e’
Do e” là phần tứ trung hịa bên phải nên
e’*e” =e’
Từ hai đẳng thức trên suy ra e’ = e”
Hệ quả Phần tử trung hịa của một phép tốn +, nếu cĩ, là duy nhất
Ví dụ 8 a) 0 là phần tử trung hịa của phép cộng trên Đ, Z, Q,R
‘b) 11a phan ti trung hda cda phép nhan trén NN, Z, Q,R e) 0 là phần tử trung hịa bên phải của phép trừ trên Z, nhưng khơng là phần tử trung hịa bên trái
d) Ánh xạ đồng nhất I, 1a phần tử trung hịa của phép tốn o
trên Xề
2 Phần tử đối xứng
Cho + là một phép tốn trên X cĩ phần tử trung hịa là e Phần tử x' e X (x”? e X) gọi là phần tử đối túng bên trĩi (phải) của x nếu
Trang 11Phan tit »’ goi la phdn tw déi xing cha x néu x’ viva 1A phan tử đối xứng bên phải vừa là phần tử đối xứng bên trái của x, tức là
XxX=X#X =©,
Nếu x cĩ phần tử đối xứng thì x gọi là phần tử khả đối xứng
Định lí 2 Nếu phép tốn x trên X kết hợp, x' là phần tử đối xửng bên trái của x, x” là phần tử đối xửng bên phải cia x thi x’ = x"
CHỨNG MINH Theo giả thiết ta cĩ 3 XY =x xe = x’ * (x # x”) = (x? * x) * x” =e* x” = x” Vay x’ =x” Hệ quả Nếu phép lốn kết hợp thì phần tử đối xứng của một phần tử nếu cĩ là duy nhất Ví dụ 9 a) Trên Z, Q, R với phép cộng, mọi phần tử x cĩ phần tử đối xứng là —x b) Trên Q, R với phép nhân, mọi phần tứ x cĩ phần tử đối xứng là x
e) Trên XÃ với phép tốn o, phần tử f khả đối xứng khi và chỉ khi f là song ánh Phần tử đối xứng của f là ánh xạ ngược fT” của £
Trang 123 Vài quy ước về cách gọi
Nếu phép tốn trên X là phép cộng (+) thì phần tử trung hịa thường gọi là phần tử khơng, kí hiệu là 0, hoặc 0; phần tử đối xứng của x gọi là phần tử đối của x, kí hiệu là —x
Nếu phép tốn trên X là phép nhân (.) thì phần tử trung hịa thường gọi là phần ¿tử đơn uỷ, kí hiệu là 1y hoặc 1; phần tử khả đối xứng gọi là phần tử khá nghịch, phần tử đối xứng của x gọi là
phần tử nghịch đảo của x, kí hiệu là xo Cũng như với phép nhân
số thơng thường dấu (.) thường được bỏ đi
§4 PHÉP TỐN n-ngơi
Cho X là một tập hợp và số n ceN Ta gọi /đy thừa Descartes bậc n của X là tập X” các ánh xạ từ tập rỗng vào X nếu n = 0 và từ tập {1,2, ,n} vào X nếu n > 0
Nếu n =0 thì X cĩ duy nhất một phần tử Nếu n > 0 thì mỗi phần tử của X” cĩ thể mơ tả dưới dạng một bộ n phân tử
(x), Rover K ds Xp Xo KER,
Binh nghia Cho X là một tập hợp va sé n © N Ta goi met phép tốn n-ngơi trên X là một ánh xạ
T:X?"¬X,
Trang 13Khi n = 0, XỔchỉ cĩ một phần tử, nên phép tốn 0-ngơi trên X là một ánh xạ từ tập một phần tử vào X, tức là phép chọn một
phần tử của X
Khi n = 1, XÌ=X, do đĩ phép tốn 1-ngơi trên X là một ánh
xạ từ X vào X,
Ví dụ 10 T : ĐN->N, x L>¬x + 2 là phép tốn l1-ngơi trên X Đây là phép tốn cộng một số tự nhiên với 2
§5 NỬA NHĨM
1 Định nghĩa nửa nhĩm
Cho X là một tập và + là một phép tốn trên X Tập X cùng với phép tốn + được kí hiệu là Œ%X, +) hoặc X
Œ, *) gọi là một nửa nhĩm nếu phép tốn + cĩ tính chất kết hợp (X, #) gọi là một u¡ nhĩm nếu phép tốn x kết hợp và cĩ phần
tử trung hịa
Nứa nhĩm (vị nhĩm) (X, *) gọi là nửa nhĩm (uị nhĩm) giao
hoứn nếu phép tốn + là giao hốn
Ví dụ 11 a) ( N , +) là một nửa nhĩm giao hốn, nhưng khơng
là vị nhĩm; (Đ, +) là một vị nhĩm
b) (N’, ), (N, ), ŒZ, ) là các vị nhĩm giao hốn
e) (XỶ, o) là vị nhĩm Nếu X cĩ nhiều hơn một phản tử thì vị
Trang 14Ví dụ 12 Cho X là một tập hợp Trên X xét phép tốn x * Y= xX Với mọi x, y e X
e (X, x) là một nửa nhĩm Thật vậy, mọi x, y, z e X, ta cĩ :
(Xx*y)*#z=xXxw#7Z=X; Xx*x(Y*Z)=X*Vy=X nên (X *y) *Z=
= x # (y *Z) Vậy phép tốn x kết hợp
e Nếu X cĩ hơn một phần tử thì nửa nhĩm (ÄX, *) khơng giao
hốn, Thật vậy, giả sử x, y c X, X # y, ta cĩ X # ÿy =X, ÿ *xXx = y, tỨc là xwy z y *X
e Mọi y c X đều là phản tử trung hịa bên phải Thật vậy, mọi
xe X ta cĩ x * y = x nén y là phân tử trung hịa bên phải
e Nếu X cĩ hơn một phần tử thì trong X khơng cĩ phần tử
trung hịa bên trái Thật vậy, với mọi y e X, chọn x € X, x # y Khi
dé y *x =y # x nên y khơng là phần tử trung hịa bên trái 2 Tích các phần tử trong nửa nhĩm
Cho Œ, ) là một nửa nhĩm nhân Vì phép tốn kết hợp nên với các phần tử Xj Xue, X, € X ta dinh nghia
XỊ X; Xã =ƠKIXC)X:
XịX; XL qẤA = (KIXĩ X a n-l x, vớin > 3
Trang 15CHUNG MINH Hiển nhiên kết quả đúng với n < 3 Giả sử kết
quá đúng với n — 1 > 3, ta sẽ chứng minh kết quả đúng với n se Nếu kị =n thì b,, =4,,- Theo gia thiết quy nạp A) ay ) _, = b,b, -b, n1” Suy ra a bạbạ Dụ 1, - eNéu k, <n thitadat b) =a, ai Q18, pị 7 h Theo giả thiết quy nạp ai a2 a ¡ = (ị bạ Dy) by , suy ra @, A) a, , a, = (b, b,-.- by Xb) a.) = (b,b, b Lưu b By = b, by - by
Nhận xét f1 1) Ta viết ậ a a (n lần) là a” Theo định lí 3, với mọi phần tử a của nửa nhĩm nhân X và p, q N” ta cĩ
a4 = (g?)9
2) Nếu X là nửa nhĩm cộng thì ta viết a + a + + a (n lần) là
n a Các quy tắc trong 1) trở thành : Với mọi a e ÄX, p, q e N ta cĩ pa + qa = (p + q)a
Trang 16Định lí 4 Cho x;,x; x„ là các phần tử của một nửa nhĩm giao
hốn X Khi đĩ
XyX¿ Xn = Xz(1) Xz(2) - Xz(n)
trong đĩ ơ là một hốn vị bất Kì của các số 1, 2, , n
Trang 17CHUNG MINH 1) Vi ly ly = lv 2)Vì xx =x x = lự - -1 - -1 -‡ 3)Vì 'x Ì)œy)=y lyy=y y=ly, (xy) (y 1y) =x ly xt =xx = ly - Nhén xét 4, Néu (X, +) 1A mét vi nhém vdi phần tử khơng 0, thì các quy tắc trong định lí 5 trở thành 1) Oy = 0v, 2) -(_—x) = x nếu x cĩ phần tử đối
3) —(%x + y) = —y — x nếu x, y cĩ phần tử đối
Ở đây ta sử dụng kí hiệu x + (—y) = x — y, đọc là x trừ y, nếu y
cĩ phần tử đối
4 Luật giản tước
Phần tử a của nửa nhĩm nhân X gọi là thỏa mãn luật giản
ước nếu rnọi x, y e X, ta cĩ
ax = ay Suy ra X = Y, xa = ya suy ra X = y
Đình lí 6 Nếu a là phần tử khả nghịch của một vị nhĩm X thì a thỏa mãn luật giản ước
CHUNG MINH Với mọi x, y e X ta cĩ
ax =ay => a ‘(ax)=a '(ay)
Trang 18> lựX = lyy >x=y Tương tự ta cũng cĩ xa = ya 2 X= ÿ §6 NỬA NHĨM CON
Cho ŒX, >) là một nửa nhĩm và tập con A c X ổn định đối với phép tốn + Phép tốn + cảm sinh trên A hiến nhiên là kết hợp,
do dé (A, +) là một nửa nhĩm, gọi là nửa nhĩm con của (X, *)
Để chứng minh Á là một nửa nhĩm con của X ta chỉ cần kiểm tra phép tốn trên ÄX là ổn định trên A
Nếu X là vị nhĩm và nửa nhĩm con A của X chứa phần tử
trung hịa của X thì A là một vị nhĩm và được gọi là vị nhĩm con
của X
Trang 19Vì phép tốn o kết hợp nên (R, o) là một nửa nhĩm
Mọi a, b c R, ta cĩ aob = a + b — ab = b + a — ba = boa nén
phép tốn o giao hốn
Mọi a c R, ta cĩ aoƯ = a + 0 — a,0 = a, Ơoa = a
Do đĩ 0 là phần tử trung hịa của phép tốn o
Vay (R, o) là một vị nhĩm giao hốn Theo ví dụ 5ð, S là nửa nhĩm con của (IR, ø) Do 0 e § nên Š là vị nhĩm con của (R, o)
Ví dụ 15 Nếu X là nửa nhĩm thì X là một nửa nhĩm con của
X Nếu X là một vị nhĩm thì X và {1y} là vị nhĩm con của X
§7 ĐỒNG CẤU NỬA NHĨM
Cho hai nửa nhĩm (X, *) va (Y, o) Một ánh xạ
f#:X¬ŸY
gọi là một đồng cấu nửa nhĩm nếu
f(x * y) = f(x) o fly) véi moi x, y e X
Néu X va Y déu 1a vi nhém thì đồng cấu nửa nhĩm gọi là đồng cấu U‡ nhĩm
Khi ánh xạ f là đơn ánh, tồn ánh, song ánh thì đồng cấu f tương ứng được gọi là đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu
Vi dy 16 Chof:(N, +) > (N,.), fl) = 2”
mạn gm om = f(m).f(n) với mọi m,n ce N,
nên f là đồng cấu Dễ thấy f là đơn ánh nên f là đơn cấu từ (N, +) vào (N, ) Chú ý rằng f cũng là đơn cấu vị nhĩm
Trang 20Ví dụ 17 a) Cho X là một nửa nhĩm (vị nhĩm) Khi đĩ ánh xạ
đồng nhất,
ly :X > X,1, (x) =x với mọi x e X
là đẳng cấu nửa nhĩm (vị nhĩm)
b) Cho A là một nửa nhĩm con của X Khi đĩ ánh xạ JA: À >X, jA()=x với mọi x e Á
là đơn cấu nửa nhĩm, gọi là phép nhúng chính tắc À vào X
c) Cho X là một nửa nhĩm, Y là một vị nhĩm Khi đĩ ánh xạ f:X Y, fw) = ly với mọi x e X
là đồng cấu nửa nhĩm Đặc biệt, nếu X là vị nhĩm thì ánh xạ
f:X +X, flx) = 1, véi moi xe X là đồng cấu vị nhĩm
Binh I(7 Cho f: (X, *) > (Y, o) la m6t déng c&u nda nhém Khi dé
1) A là nủa nhĩm con của X thì f(A) là nửa nhĩm cơn của Y
2) B là nửa nhĩm con của Y thì f” (B) là nửa nhĩm con của X CHỨNG MINH 1) Lấy tùy ý y,,y, ef(A) Khi đĩ tổn tại
XỊ, X; € A sao cho f(x,) =ỳn, fŒœ„) =ÿa Từ đĩ
YịoŸa = f(x, )of(x,) = F(x, + Xe)
Vì x #Xy € A nén YịoY¿ cf(A) Vậy f(A) là nửa nhĩm con 1
cua Y,
2) Lay tay y x,,x, ef ”(B) Khi dé f(x,), f(x,) eB Do B la
nửa nhĩm nên f(x¡)of(x,) = f(x, #x,) ¢€B Suy ra x, *Xx, € £1 (B)
Trang 21Ví dụ 18 Theo ví dụ 16 ta cĩ f{(N) = (2”lneNl là nữa nhĩm
con của nhĩm (NĐ,.)
§8 NỬA NHĨM SẮP THỨ TỰ
1 Nửa nhĩm sắp thứ tự
Cho (X, +) là một nửa nhĩm giao hốn và < là một quan hệ
thứ tự tồn phần trên X Nếu mọi x, y, z e X XSY—x*#Z<y*7 (1) thì ŒX, *, <) gọi là một nửa nhĩm sắp thứ tự Nếu x < y và x # y thì ta viết x < y Nếu điều kiện (1) thay bởi điều kiện : X<ÿy—CX*+?2<y*#2
thì nửa nhĩm gọi là na nhĩm sắp thử tự nghiêm ngột Trên Đ hoặc Z ta cĩ quan hệ thứ tự thơng thường :
m <n nếu tên tại k e Đ sao cho m + k ~ n,
Trang 222 Đồng cấu đơn điệu
Cho (X, <) và (Y, <) là hai tập được sắp Một ánh xạ f: X — Y
gọi là đơn điệu nếu mọi x, y e X
x<y => f(x) < fly) (2)
Néu diéu kiện (2) được thay bởi
x<y = f(x) < fly)
thi f duoc gọi là đơn điệu nghiêm ngột
Một đồng cấu gọi là đồng cấu đơn điệu hay đơn điệu nghiêm
ngặt nếu ánh xạ f cĩ tính chất đĩ
Ví dụ 20 f: (N, +) (N, +), f(n) = 2n với mọi n e Đ là đồng cấu đơn điệu nghiêm ngặt
8 Nia nhém sap thy ty Archimedes
Cho nửa nhĩm sắp thứ tự nghiêm ngặt Œ%, +, <) Phần tứ a e X gọi là phân tử dương nếu x < a * x với mọi x e ÄXL
Trang 231.1 1.2 1.5 1.4 1.5 BÀI TẬP CHƯƠNG | Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của các phép tốn : a`ìmxn=m + 2n trên N; b)m xn= m.2” trên N c)mxn= m+n” trên Z2 Trên N đặt : a)a xb = ƯCLN (a, b), b) a © b = BCNN [a, bl * và @ cĩ là phép tốn trên Đ khơng ? Nếu là phép tốn hãy xét các tính chất và các phần tử đặc biệt
Trên NỈ với phép tốn m + n = m` Chứng minh rằng
a)(m x* n) * p =m +{n + p) © m = 1 hoặc p = 1 hoặc n = 2, p = 2 b) Nếu m # n thì m # n = n * m <©> m = 2,n = 4
Cho x là một phép tốn trên X Chứng minh rằng tập con
SŠ=(ÍxcXi(xxy)*2z=xx*(y +2) với mọi x, y e XỊ
ổn định với phép tốn trên X và (8, +) là một nửa nhĩm
Chứng mủinh rằng các tập và các phép tốn tương ứng sau đây
là những nửa nhĩm giao hốn
Trang 241.7 1.8 1.9 1.10 1.11
Trên R” xét phép tốn a x b = lalb Chứng tỏ (R`, +) là một
nửa nhĩm khơng giao hốn
Phép tốn x trên X gọi là lũy đẳng nếu x x x = x với mọi x
Cho ŒX, +) là một nửa nhĩm giao hốn lũy đẳng Trên X đặt x < y nếu X * ÿy = ÿ
Chứng minh < là một quan hệ thứ tự trên X
Kí biệu ÄX) là tập tất cả các tập con của X,
a) Chứng tỏ ( 2 Ã), (2) là một vị nhĩm giao hốn Tìm các
phản tứ khả đối xứng của vị nhĩm này
b) Chứng tỏ ( # ỞO, ¬) là một vị nhĩm giao hốn Tìm các
phần tử khả đối xứng của vị nhĩm này
Trên tập 5 = [0, 1] đặt a « b = min{a + b, 1} Chứng tổ (8, +)
là một vị nhĩm giao hốn Tìm các phần tử khả đối xứng của
vị nhĩm này
Cho X là một nửa nhĩm và a, b e X là hai phần tử thỏa mãn ab = ba Ching minh rằng (ab)” =a"b” với mọi n e N
Trong nửa nhĩm X các ánh xạ từ tập X vào tập X với phép
tốn hợp thành của ánh xạ, chứng minh rằng
Trang 25CHUONG I! NHOM §1 DINH NGHIA VA TINH CHAT 1 Dinh nghia nhém Một vị nhĩm được gọi là một nhĩm nếu mọi phần tử của nĩ đều khả đối xứng
Nếu phép tốn của nhĩm giao hốn thì nhĩm được gọi là
nhĩm giao hốn hay nhém Abel
Như vậy nhĩm cĩ thể được định nghĩa trực tiếp như sau :
e Tộp X cùng uớt một phép tốn nhân trên nĩ gọi là một nhĩm nếu thỏa mãn các điều biện sau (G,) Mọi x, y,z €X (xy)z = x(yz) (G,) Tén tai ly X (gọi là phân từ đơn uj) sao cho uới mọi xex# Iyx=xly =x
(G,) Moi x © X t6n tai ateX (gọt la phan ti nghich ddo
của +) sao cho
“lrixx =1
x x= = ly
Trang 26(G,) Moi x, y,z 6X (x+y) +z2=x+(y +2) (G,) Tơn tại 0y e X (gọi là phân tử khơng) sao cho vdi mot xex 0y +xz=x~+ƠỦy =# (G„) Mọi x eX tồn tại —x e X (goi la phần tử đối của x) sao cho (~#) + x =* + (-x) = Ủy
Nhận xét 1 Trong một nhĩm nhân cĩ phép chia (:) được định
nghĩa như sau : X:y= xy”
Trong một nhĩm cộng cĩ phép trừ (—-) được định nghĩa như
sau; x — y= x + (-y)
2) Thơng thường, phép cộng được sử dụng khi nhĩm là giao
hốn, cịn phép nhân được sử dụng cho cả nhĩm giao hốn và
khơng giao hốn Để đơn giản kí hiệu, các kết quả lí thuyết về sau ta thường chỉ xét với nhĩm nhân Tương tự như trong chương I, dễ
dàng chuyển các kết quả này cho nhĩm cộng hay nhĩm với phép tốn tùy ý
Trang 27c) Tap S, cde song ánh từ X lên chính nĩ với phép hợp thành
ánh xạ (tích ánh xạ) là một nhĩm Phần tử đơn vị của S, la I,, phân tử nghịch đảo của flà f”Ì, ánh xạ ngược của £ Nấu X cĩ nhiều hơn hai phần tử thì S5 khơng giao hốn Nếu X = {1, 2, ., n} thi
S„ được kí hiệu là S_ và gọi là nhĩm các phép thế bậc n
Ví dụ 2 Với mỗi ke NỈ cố định ta định nghĩa quan hệ S trên Z x8y nếu x- y : k
Dé dang kiém tra S là quan hệ tương đương trên Z., Kí hiệu
tập thương của Z theo quan hệ 5 là Ấy: Ta cĩ
Zy =0, 1 k-1},
trong đĩ j = {xZlx - j: k}, gọi là lớp đồng dư với j theo mơđun k
Trên Z,, ta định nghĩa phép cộng và nhân như sau
m+n =r, r là số dư trong phép chia m + n cho k
m.n = s, s là số đư trong phép chia m.n cho k
Dé dàng kiểm tra rằng : (Z¿ +) là một nhĩm Abel, phần tử
khơng là 0, phần tử đối của m là k-m; (Z, .) 14 mét vj nhém
giao hốn với phần tử đơn vị là 1
Ta ki higu Z, = Z, \{0)
Cĩ thể chứng minh rằng nếu k > 1 thi L8 ) là nhĩm khi và
chỉ khi k là số nguyên tế Chẳng hạn |Z¿, ] khơng là nhĩm vì
Trang 28Với moi m, npe.Z, ta cịn cĩ m(n +p) =m n+m p 2 Tính chất của các phần tử trong nhĩm Nếu a là phần tử của một nhĩm X thì ta định nghĩa g =Í a” =aa a (nldn) nếu n >0 a” = (a 1)" nếu n < 0 Theo nhận xét 1 và 2 chương Ï, suy ra:
1) Với mọi phần tử a của một nhĩm X và p, q e Z ta cĩ
Pq
a = (a?)
2) Với mọi phần tử a, b của một nhĩm X và m e Z ta cĩ (a.b)” =a b™
Theo định lí 5 chương Ì suy ra :
3) Với mọi phần tử a, b của một nhĩm X ta cĩ
(a) =a, (ab)"=b lạ",
Theo định lí 6 chương Ï suy ra:
4) Mọi phần tử của một nhĩm X đều thỏa mãn luật giản ước,
tức là mọi a, b, c e X
Trang 29§2 NHOM CON
1 Định nghĩa nhĩm con
Cho X là một nhĩm và tập con A của X ổn định với phép tốn
trên X Nấu A cùng với phép tốn cảm sinh là một nhĩm thì A gọi là nhĩm con của X
Một cách tương đương, nhĩm con cĩ thể định nghĩa như sau : - Tập con A của nhĩm X gọi lị một nhĩm con của X nếu thỏa mãn ba điều kiện sau đây :
1) Moi x, y € A déu cé xy € A;
2) ly eA;
3) Moi x eA đều cĩ x 6A
Thật vậy, nếu A thỏa mãn ba điều kiện trên thì với phép tốn cảm sinh Á là một nhĩm, do đĩ À là nhĩm con của X Ngược lại
nếu A là nhĩm con của X thì do A ổn định với phép tốn trên X nên cĩ 17 Gọi 1„ là phần tử đơn vị của nhĩm A thì
1/.ly =1,.1,, vì 1, thỏa mãn luật giản ước nên l„ = 1, € A, tức
là cĩ 27 Với moi x 6A ký hiệu x„ là nghịch đảo của x trong Á
Khi đĩ xx” =xk (= 1y), vì x thỏa mãn luật giản ước nên
x =x) € A, tic 1A cing cĩ 3Ÿ
Nhận xét 2 1) Nếu A là nhĩm con của nhĩm X thì đơn vị của A
Trang 302) Néu A là nhĩm con của một vị nhĩm X (tức là với phép
tốn cắm sinh A là một nhĩm) thì điều nĩi trên cĩ thể khơng đúng Chang han : (Z,.) là một vị nhĩm, A = {0} c Z hiển nhiên là một
nhĩm con của (Z,.) Đơn vị của A là 0 khác đơn vị của (Z.,.) là 1, nghịch đảo của 0 trong Á là 0 cịn 0 khơng khả nghịch trơng (2,.)
Vi du 3 a) Tập con các số nguyên chắn là nhĩm con của nhĩm
(Z ,+)
b) Q, là nhĩm con của nhĩm (Q ye
c) {-1,1} 14 nhém con của nhĩm (R’,.)
d) Với mọi nhĩm X, các tập tx} và X là nhĩm con của X Các
nhĩm con này gọi là các nhĩm con tâm thường của X 9 Các tiêu chuẩn của nhĩm con
Định lí 1 Tập con Ä của nhĩm X là một nhĩm con của X khi và chỉ khí
thỏa mãn các điều kiện sau 1)A zØ 2)x,Vy=<A—=XxyeA 3xeA => x 1A CHỨNG MINH Hiển nhiên 2% =1) nên từ 1°/, 2°/, 3°/ suy ra 1), 2), 3)
Ngược lại, nếu cĩ 1), 2), 3) thì đo 1) tồn tai x © A, do 2) tén tai
xe A, tit d6 do 3) 1, =xx “e A, tức là cĩ 2° Vay tir 1), 2), 3)
suy ra 1%, 2%, 3%, |
Trang 31l)A =Ø
2)x,V<A = xy Ì!eA
CHUNG MINH Hién nhién 2°/= 1) Với mọi x, y € A theo 3°/ X, y e A, theo 2°/ xy € A, do đĩ cĩ 2) Vậy từ 1°/,2°/,3°/ suy ra
1), 2)
Ngược lại, nếu cĩ 1), 2) thì theo 1) tén tai x e€ A, theo 2) ly = xx te A, tức là 2°/ Với mọi x © A theo 2) x} = 1x” e A,
tức là cĩ 3°/, Với mọi x, y e A ta cĩ x, y 'e A, từ đĩ theo 2) xy =X(y ') Ì& A, tức là cĩ 1°/ Vậy từ 1), 2) suy ra 1/, 2°/, 3°/
3 Nhĩm con sinh bởi một tập
Cho S là một tập con của nhĩm X Ta gọi nhĩm con của X sinh bởi tập S là nhĩm con nhỏ nhất chứa tập S, kí hiệu 1a [S] Như vậy nhĩm con [S] sinh bởi tập 8 cĩ hai tính chất đặc trưng :
1% [S] là nhĩm con của X;
2% Nếu A là nhĩm con cla X va A > S thi A > [S)
Trang 32ye B với mọi B e ZØ Do B là nhĩm nên xy 'e B với mọi B e # Vậy xy 1e A Theo định lí 2, A là nhĩm con của X
Nhận xét 3 [Ø] = ly
Cho A là một nhĩm con của X Tập con S cia X sao cho [S] = A gọi là tập sinh của nhĩm A
Hiển nhiên {A] = A nên tập sinh của một nhĩm luơn tên tại
Một nhĩm cĩ thể cĩ nhiều tập sinh khác nhau
Ví dụ 4 Nhĩm con k2 = {knlneZ2} (k e Z cố định) của
(Z.,+) sinh bởi tập một phần tứ \k
Thật vậy, kí hiệu [k] là nhĩm con của Z2 sinh bởi tập một phần
tử k Khi đĩ ta cĩ k e [k] và đo đĩ -k [k] Từ đĩ tổng một số tùy ý
của các phẩn tử + k cũng thuộc [k}, tức kn e [k] với mọi n e Z Suy
rakZ c[k) Vì k2? cũng là nhĩm con chứa k nên kZ = [k]
4 Nhĩm con cyclic
Cho X là một nhĩm Với mọi a € X ta gọi nhĩm con [a] sinh
bởi phần tử a là nhĩm con cyehc của X Nếu tốn tại a c X sao cho
X = [a) thì X gọi là nhém Cyclic
Định lí 4 Nhĩm con cyclic [a] của nhĩm X là tập lất cả các phần tử của X cĩ dạng a”,m e Z2
CHỮNG MINH Đặt B = la" Ime 2z) ta chứng minh [a] = B Vì
a, ae [al nén a™e [a] véi moi me Z, ttc 1A B c (a) Mặt khác
a e Bvà mọi a"”,a" eB ta cĩ
a" (a"y lam" m1 cn
Trang 33Hé qua Moi nhém con cyclic déu la nhém Abel
CHUNG MINH Theo định lí 4, mọi phần tử của nhĩm cyclic đều
I mi mn m+n n+m nm a
cĩ dang a Ta c6 aa =a =a =aa nên nhĩm là
nhĩm Abel
Định lí 5 Với mọi nhĩm con cyclic A = {a} cĩ mội và chỉ mội trong hai khả năng sau đây :
1) Tồn tại n > 0 sao cho A cĩ đúng n phần tử và
A={a,a’, ,a°}
2) A cĩ vơ hạn phần tử và
A = |a” Ime Z}, trong đĩ aP „ a1 với mọi p z q
CHÚỨNG MINH Nếu 2) khơng xảy ra Chì tổn tai p > q sao cho aP=a1, a3 ly vớip -q> 0 Gọi n là số nguyên dương nhở
nhất để a” = 1, Ta sé chiing minh A = la”, By an, Với mọi
ựụm 6 Z ta viết
m =nk+r, 0<r<n- 1
Khi đĩ a” - gnk+r = (a™)* at = lựa” =a
Vay A chi chứa các phẩn tử a°,a,.,a”', Với mọi
rị,r2,Ư <r¡ <r2 <n—1, 2 do n là số dương nhỏ nhất để a” =1, ta x?
r,—T,
cĩ a” Ì #1y, suy ra alga”, Vậy A là tập cĩ đúng n phần tử,
A= {a° a’, ,a"
Ta gọi cấp của một nhĩm X là số phần tử của X nếu X cĩ hữu hạn phân tử Trường hợp X cĩ vơ hạn phần tử thì ta nĩi X cĩ cấp
Trang 34Ta gọi Cấp của phén tv a cha nhom X là cấp của nhĩm con [a]
Vi du 5 a) (Z,+) 1a nhém cyclic cfép v6 han vi Z = [1] hoặc 2 = [-II b) (Z¿,+) là nhĩm cyclic cấp 6 (sinh bởi 1), phần tử 2 cĩ cấp 3, phần tử 3 cĩ cấp 2 §3 NHĨM CON CHUẨN TẮC NHĨM THƯƠNG
1 Lớp ghép của một nhĩm theo một nhĩm con Cho X là một nhĩm và Á là một nhĩm con của X
Trên X xét quan hệ xŠ§ y nếu xy eA
e S, là mét quan hé tuong duong trén X
Thật vậy, mọi x e X, x X= 1, ¢A nén xS_x vay 8, cĩ tính chất phản xạ Moi x, y e X nếu x8,y thì xửy e A, suy ra y x=(x ‘yy’ e Á nên y8,x vậy S, cĩ tính chất đối xứng Mọi x, y, z e X nếu xS§,y và y8,z thì x ly va y 2 e A, tir dé
x +2 = (xy) (y +2) <A nên x8,z, vậy 8, cĩ tinh chất bắc câu Lớp tương đương của X theo quan hệ tương đương 5, chứa x là
-1 ~1
lyeXIx yeAl=lyix y=a,ac A}
Trang 35Ta goi xA = {xalae A} là lớp ghép trái của x theo nhĩm con
A Khi đĩ lớp tương đương chứa x theo quan hệ tương đương 5,
chính là xA
Tương tự, quan hệ x8 y nếu yx e A ciing 1A quan hé tuong đương trên X Lớp tương đương chứa x theo quan hệ tương đương S, là
Ax = {axlae A}
gọi là lớp ghép phải của x theo nhĩm con À
Chú ý rằng nếu X là nhĩm cộng thì lớp ghép trái và phải theo
nhĩm con À sẽ là
x+A=xtalaeA} A+x= Ía+xlaeA)
Hiển nhiên rằng 1, A = Al, Néu nhĩm khơng giao hốn thì
néi chung xA ¥ Ax 2 Nhĩm con chuẩn tắc
Nhĩm con A của nhĩm X gọi là nhĩm con chuẩn tắc nếu xÀ = Àx
với mọi Xx e X
Nếu A là nhĩm con chuẩn tắc của X thì ta kí hiệu A<1X Ví dụ 6 a) E = {ly } va X là các nhĩm con chuẩn tắc của nhĩm X
b) Nếu ÄX là nhém Abel thì mọi nhĩm con của X đều là nhĩm
con chuẩn tắc
Định lí 6 Nhĩm con A của nhĩm X là nhĩm con chuẩn tắc khi và chỉ
Trang 36CHUNG MINH Néu A<IX thi moi x © X, xA = Ax Moia e A thì
xa € Ax, do dé tén tai b e A dé xa = bx > xax =be A
Ngược lại, với mọi x « X, a e A, wax) e A = xa © Ax với moi a € Ấ — xÁ c Ax Ta cũng cĩ x ax yl e As xtaxe A
=> ax 6€ XÀ Với mọi a c'À > Ax c xA Vay xA = Ax hay A<UX
Néu A<X thi xS.y o x yeA © xœx 'y)y 1 eAo yx €
Ao xS_y Ta ki hiéu chung hai quan hé S, va ` la x 2 y (mod
A) va goi 1A quan hé déng du theo médun A Vi du 7 V6i moim>0,mZ <1 (Z, +) Do dé x=y (mod m2) =Sx-ycmZ2 ox-yim <= x =y (mod m)
Như vậy quan hệ déng du theo médun mZ chinh 1a quan hé
déng du theo médun m quen biết
8 Nhĩm thương
Cho A là một nhĩm con chuẩn tắc của X Ta kí hiệu X/ =(xAlx X} = {Ax | x e X}
là ớp thương của X theo quan hệ đồng dư médun A Ta cing goi X là đập thương của X theo nhĩm con chuẩn tắc A
Trên X⁄⁄4 ta định nghĩa
XÁ.yA = (xy)A
Trang 37Từ đĩ (xy) (x'y')= yx x')y' -y lay’
= (y ‘ayy ‘y’=(y'ay)be A
Vay (xy)A = (x'y')A, nghia lA dinh nghia trén xdc dinh mét
phép tốn nhân trên x :
Định Ií 7 (Š⁄4 „.) là một nhĩm
CHUNG MINH Hién nhiên mọi xA, yA, zA e X4 ta cĩ (xA.yA).(z2A) = xA.(yA.zA) vì cùng bằng (xyz)A Vậy phép tốn là
kết hợp
Với mọi xA e %{, 1,A xA=xA ly À= xÀ nên lxA là phần tử đơn vị
Với mọi xÃA e X4, x ÌA.xA = xÃx ÈA = 1v Á nên x JA là
nghịch đảo của xA
Nhĩm Ä⁄4 gọi là nhĩm thương của nhĩm X theo nhĩm con
chuẩn tắc A
Ví dụ 8 Với mọi m > 1, mZ là nhĩm con chuẩn tắc của (Z ,+) Các phần tử của 4/ 7 cé dang x + mZ, la tap các số nguyên đồng dư
với x theo mơđun m, ký hiệu là x Phép tốn (x + mZ.) + (y + mZ)
=(x+y)+mZ trong Z⁄; cũng chính là phép tốn cộng của các lớp đồng dư theo mơđun mì :
xiy-xay
4 Định lí Lagrange
Trang 38CHUNG MINH Xét lớp ghép trái xA cha X Vi 4nh xa yg: A > xA,
o(a) = xa là một song ánh từ A lên xA nén moi lép ghép trái đều cĩ số phần tử bằng cấp của A Gọi x¡A, x,A, x,A là các lớp ghép
k
trái khác nhau của X Khi đĩ X = 1 X:À, XÀ ^ xIÀ =Ø với mọi
i=
ij Tu d6 cap cha nhém X bing k lần cấp của nhĩm con A
Nhận xét 4 Cho X là nhĩm cấp n, A là nhĩm con chuẩn tắc cấp m, Ä⁄4_ cĩ cấp k Theo định lí Lagrange ta cĩ
n:m=k
§4 ĐỒNG CẤU NHĨM
1 Định nghĩa và tính chất
Cho X và Y là hai nhĩm, để đơn giản kí hiệu ta đều xét phép tốn trên chúng là phép nhân, chú ý rằng phép tốn trên X và
nĩi chung là khác nhau
Một ánh xạ f : X — Y gọi là một đẳng cấu nhĩm nếu mọi
x, y e X đều cĩ f(x.y) = fx).ffy)
Định lí 9 Cho f : X — Y là một đồng cấu nhĩm Khi đĩ
1) f(lx) =W
2) Với mọi x e X, f(x"1) = [H(x)J]'†
CHUNG MINH a) Vi ly ly =lv nên fq1y).£qv) = f(1,)- Theo luật giản ước ta cĩ fly) = ly
Trang 39Do phần tử khả nghịch của x) là duy nhất nên
f(x") = [fooT
Khi 4nh xa f : X - Y là đơn ánh, tồn ánh, song ánh thì đồng cấu f được gọi tương ứng là đơn cếu, tồn cấu, đẳng cấu
Đồng cấu f từ nhĩm X vào chính nĩ được gọi là đẳng cấu Vi du 9 a) Z là nhĩm cộng các số nguyên, X là một nhĩm nhân bất kì và aeX là một phần tử cố định Ánh xạ f: Z -> X,
f(m) = a” là một đồng cấu nhĩm
b) Anh xa f: (R,+) > (R_,.), f(x) = 9” là một đẳng cấu nhĩm
c) Cho X va Y la hai nhém Anh xa x ++ 1y với mọi x e X là
một đồng cấu nhĩm từ X vào Y Đơng cấu này gọi là đồng cấu tam
thường từ X vao Y
d) Cho X là một nhĩm Ánh xạ đồng nhất 1, : XK > X là đẳng
cấu nhĩm
e) Cho A là một nhĩm con của nhĩm X Ánh xa JẠ: A >X, j, (x) = x là đơn cấu nhĩm, gọi là phép nhúng chính tắc À vào X
Ð Cho X là một nhĩm và A là một nhĩm con chuẩn tắc của X
Ánh xa p: X > Ä⁄4, p(x) = xA là một tồn cấu, gọi là foửn cấu
chính tắc X lên X⁄/
Định lí 10 Cho ƒ X + Y,g : V + Z là các đồng cấu nhĩm Khi đĩ h:X OZ, h = gof la déng cấu nhĩm
CHUNG MINH Véi moi x, y e X ta cĩ
h(x.y) = g(f{x.y)) = g(fxo)fly))
Trang 40Định lí 11 Nếu f : X —› Y là mội đẳng cấu thì Ánh xạ ngugc f |: ¥ > X cũng là đẳng cấu
CHUNG MINH Vi f la song ánh nên ánh xạ ngược f ” tơn tại và cũng là một song ánh Với moi x’, y' e Y tồn tại duy nhat x, y « X dé f(x) = x’, Ấy) = v Từ đĩ f T'y9 =£ˆ? Œœ) fy) =f (f(xy) I, (xy) xy f(x") f(y’) Vay f? la déng céu va do dé là đẳng cấu 2 Ảnh và hạt nhân của đồng cấu
Định lí 12 Cho h : X > Y là một đồng cấu nhĩm Khi đĩ 1) A là nhĩm con của X thì f(A) là nhĩm con của Y 2) B là nhĩm cơn cơa Y thì £ 1 (B) là nhĩm con của X
CHUNG MINH 1) Lấy tay ¥ yị, yạ„ e fA) Khi đĩ tổn tại vị, x, € Asao cho f(x,)=y,, f(x.) =y, Ti dé
¥y¥q = 0x) (Fx,)) > = £6r,) £[x5"] = #(x,x5'}
Do XX>" e Anén y, Y> e ĐA) Mặt khác ly = f(ly) e f(A)
nên f(A) là nhĩm con của Ÿ,