Thông tin tài liệu
Các phương Pháp tính giới hạn hàm số biên soạn Đặng Nhật const lim const DangVo Dinh Sơ đồ tư duy: Nhìn giới hạn thay điểm dần tới vào Thường toán rơi vào trường hợp số dạng vô định : ; ;0.,1 ;00 ; ; . 0 Sau tơi trình bày số phương pháp tính giới hạn thường dùng : I, Phương pháp liên hợp Như biết , giới hạn cấp dùng phương pháp liên hợp, lên đại học lại toán tầm thường phương pháp chúng sử dụng đẳng thức để tạo nhân tử sau khử dạng vơ định x VD1: Tính giới hạn : lim x2 sin x 4 x2 Như hướng phân tích ta thay vào biểu thức dấu lim , sau thay ta kết 2 sin 22 dạng vô định, với phương pháp liên hợp ta khử dạng vô 0 định Để ý tử có x2 đẳng thức ta phân tích thành x 2 x 2 thu gọn cho mẫu , Từ ta có giới hạn lim x 2 VD2: Tính giới hạn : lim x 4 x sin 4 x2 x x sin lim 3 x2 x 2 x 5x Tương tự ví dụ thay vào ta nhận dạng vô định khác ta khơng nhìn thấy đẳng thức đâu, câu hỏi đặt đẳng thức đâu??? Thế nhìn xuống mẫu thức ta thức bậc ta phân tích thành nhân tử lim x 4 x 2 x 2 lim để ý x - lại đẳng thức x x x4 x 1 x Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 Từ ta có giới hạn : lim x 4 x 2 x 2 lim lim x x 5x x 1 x 4 x4 x 1 x 2 x 2 x 2 lim x 4 x 1 x 2 12 Đó giới hạn với bậc câu hỏi đặt bậc 5,… bậc n bậc xen lẫn sao, câu trả lời tạo nhân tử phương pháp nhóm Sau tơi đưa số ví dụ nhóm : VD1: lim x 0 2x x2 với bước đầu thay vào , ta lại nhận dạng vô định 2x Ta thấy tử bậc không giống đương nhiên ta không tạo đẳng thức được, theo hướng phân tích ta tạo nhân tử cách them bớt, giới hạn tính cách dễ dàng sau : x 1 x2 1 x x2 lim lim x 0 x 0 2x 2x 2x x x lim lim x 0 x x x x x 1 x 0 x x x 1 Đó ví dụ điển hình khác căn, nhiên giới hạn tầm thường khơng nằm chương trình thi học kì, không đề cập đến tập nó, phải đọc tiền đề sau II, Phương pháp thay tương đương : Trong chương trình học đại học, thầy cô đề cập đến đại lượng tương đương, đặt câu hỏi làm gì, tương đương làm gì, khơng sử dụng liên hợp cấp đi, câu trả lời nên chọn đường ngắn nhất, dễ mà Vậy để lí giải cho đường siêu ngắn đại lượng tương đương Sau tơi xin rình bày phương pháp cách ngắn gọn Các bạn có biết x sin x không, x=0 nhỉ, ta khơng thay sinx=x ln, điều khồn tồn hợp lí thay sinx=x ứng dụng điều ta tính giới hạn lim x 0 sin x x lim x x x Và phép hay ta gọi thay vô bé gọi tắng (VCB) Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 Vậy tơi xin đưa số vô bé sau : x 0; x sin x arcsin x tan x arctan x ln x 1 e x Thế đặt câu hỏi khi x 2; đại lượng có nhua hay khơng, câu trả lời khơng giá trị thay vào khơng Mà phải : x 2; x sin x arcsin x tan x arctan x ln x 1 e x 2 Đối với hàm hợp bạn x 0; x tan x etan x ln tan x 1 ln sin x 1 Và từ ta liệt kê rấ nhiều đại lượng vơ bé tương đương Đó mớ lí thuyết cịn tập ? có đặc sắc khơng, câu trả lời có VD1: lim x 1 sin e x 1 1 ln x đương nhiên chẳng ông thầy dại mà cho thay số vào kết Vậy ta thay thử vào xem nao, thật kì diệu 0/0 ln, sin e x 1 1 ~ e x 1 ~ x Thay vào ta thấy x 1; ln x ln x 1 ~ x từ ta có giới hạn sin e x1 1 VCB x 1 lim lim thật hay dòng xong hehe! x 1 x 1 x ln x VD2: lim x 0 e x 1 cos x 1 x3 thay vào ta dạng vơ định từ ta thay VCB e x 1 ~ x x 0; x2 x 2 x cos x 2sin ~ 2 2 2 Từ ta có giới hạn : lim x 0 e x 1 cos x 1 VCB lim x 1 x3 Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 x x2 1 lại dòng xong =)))) x Đến lại nghĩ câu hỏi thay, thay có điểm tối đa khơng? Trả lời có điểm tối đa, nên thay VCB vào phân thức có dạng tích , nên thay dạng tổng nhiều người thay dễ sai Phần có khơng, câu trả lời có khơng hay, áp dụng cho phần sau Bài tập phần đề cập sau hehe! III, Quy tắc lôpitan (Del ‘Lhopsital) ứng dụng Đặt câu hỏi phân thức gì, phân thức hàm có dạng A/B , quan niện phân thức hế , C+A/B không gọi phân thức Vậy thay điểm dần tới vào phân thức có dạng vơ định ta quyền sử dụng quy tắc (L) Các dạng vô định: ; ;0.,1 ;00 ; ; . 0 Cách sử dụng: biết thức có số dạng ta đạo hàm tử mẫu lim x xo f x L f ' x lim g x x xo g ' x Ta tiếp tục thay điểm dần tới vào, không thiết điểm x0 mà vơ Nếu thay vào có dạng vơ định ta tiếp tục đạo hàm tiếp đạo hàm đến hết dạng vô định ta kết quả: f x L f ' x L f '' x L f ''' x L f n x lim lim lim lim lim n x xo g x x xo g ' x x xo g '' x x xo g ''' x x xo g x Tuy nhiên đạo hàm hàm gặp rắc rối ta nên sử dụng đại lương VCB để thay sau đạo hàm dễ dàng =)) VD1; lim x 1 ln x thay vào 0/0 thật L thơi x x2 ln x ' lim x ln x lim lim x 1 x x x 1 x x ' x1 x L Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 VD2: 1 tan x x cos x lim lim x sin x x x cos x 1 cos x 2 1 cos x 1 cos x lim 1 cos x C1 : lim cos x lim cos x lim x cos x x cos x x 0 x 0 cos x cos x 1 cos x L sin x 2x 1 L VCB 4 C2 lim cos x lim cos x lim cos x lim 2 x cos x x sin x x 0 x x cos x VD3 x 3sin x VCB x 3sin x x 3sin x lim lim lim lim x sin x x 0 x 0 x x 0 x sin x x.3 x x2 L 3cos x L 3sin x lim lim 0 x 0 x 18 x 18 VD4: lim x 0 lim e x2 x 0 L lim xe e lim x 0 cos x nhìn phát dự đốn loopitan lần ko, kiểu chả x4 x2 cos x xe sin x e lim lim x 0 x 0 x 4x L x2 x 0 L e x2 x2 xe x2 x2 x2 x e cos x 12 x 2 x2 x e sin x 12 x 2 x x2 x 2 2 x e 2e x e 12 L x x 3x e x e cos x 2 Tuy nhiên câu làm dài, sau ta sử dụng khai triển maclaurin để làm dịng ok Tuy nhiên gặp rắc rối phần mũ, gặp hàm mũ ta phải sử dụng số giới hạn đặc biệt tính chất loga: Loại tốn mũ có hai cách làm có nhiều dạng khác nhau, nhiên đề cập dạng hay thi Dạng 00 va 1 Sau cách làm ví dụ điển hình : Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 lim ln Ax lim Ax e xx0 x x0 lim ln x A e xx0 Và tốn lại quay tính giới hạn : xlim ln x A e mũ lên kết x x 1 Cộng với ta phải nhớ giới hạn : lim 1 lim 1 x x e x x x VD1: lim cos x sin x 0 dạng mũ vô 2x Ta đặt A= cos x sin 2x Tính limln A e mũ lên dc kết lim Ax e x x x 0 lim cos x sin 2 x x 0 Dat cos x sin 2 x A ln cos x lim ln A lim ln cos x sin 2 x lim tinh chat log a x 0 x 0 x sin x ln cos x VCB ln cos x L tan x 1 tan x lim lim lim vi lim 1 2 x sin x x 0 x 0 x 0 x 2x x Vay lim cos x sin x 0 2x e 1 VD2 x3 x4 4x 2x lim lim 1 x x x x x 2x 2x Ta Co lim 1 x x 2x 2x lim x x x x x4 x 5 x2 e x3 x4 4x vay lim e x x x Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 x4 x 5 x 2 x3 x x4 x 5 lim ln Ax x x0 lim ln x A e xx0 lim cos x lim cos x x x 0 x 0 Dat cos x VD3 : x x A sin x ln cos x sin x lim ln A lim lim x cos x lim x 0 x 0 x 0 x 0 x cos x x L VCB x 1 1 lim x 0 x cos x x 0 cos x lim 1 Vay lim x cos x e x 0 Phần IV: Một số câu giới hạn sưu tầm cac đề thi sáng tác Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 e lim 2x 1 cos x 1 sin x.ln x 1 x 0 2 lim cos x tan x 0 lim 1 e x 0 2x x tan x lim 1 x x x 0 lim x cot 5x x 0 x2 arctan x tan x x lim x 0 sin x x ln cos x lim x 0 ln x lim x 2 lim x 0 x2 41 lim 1 x4 sin x 0 x sin x cos x 24 lim x 0 x sin 2 tan x sin x 25 lim x 0 x3 cos x 26 lim x 0 x2 tan x sin x 27 lim x 0 arctan x sin x x sin x 43 lim x 0 x sin x a 44 lim x a xa cos x 45 lim ln x 1 x x2 x 11 lim x 0 x x2 arcsin x 12 lim x 0 x x e x sin x x 13 lim x 0 x2 x 1 14 lim x 2 x ln x 1 e x sin x 15 lim x 0 x tan x 16 lim x tan x x 2 cos x x2 x4 x2 18 lim x 1 x ln x e x e x 19 lim x arcsin x ln x 20 lim x 0 2ln sin x x 21 lim sin x 17 lim x 0 x 0 Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 42 lim x 1 x 2 28 lim x 1 cos x arcsin x x tan 2 x arcsin 3x sin x 10 lim x 0 tan x ln 1 x x2 22 lim x x 23 lim x cot x x e 1 x sin x x arctan x 46 lim x e x cos x 47 lim x 0 x2 2 49 lim x 0 33 lim sin x sin 3x cos x 1 ln 1 x3 arcsin x 50 lim x 0 1 sin x x 51 lim cos x x 0 52 lim x 0 x 0 cot x e x cos x x x3 2x tan x 53 lim ln 1 x sin x 34 lim x 0 x sin x 54 lim x 1 arcsin tdt x 0 x sin x sin x ln cos x 55 lim 1 x x 35 lim x tan x e x e x 36 lim x cos x 3x x 37 lim x 0 x2 x cot x cot 38 lim x 5 x 5 39 lim sin x sin x arctan tdt x x 0 2x 40 lim x sin x 0 ln x x x2 1 x 2x 48 lim 1 3tan x ln15 x x 0 cos x x2 29 lim x 0 cos x x 30 lim x x sin x cos x cos x 31 lim x 0 tan x cot x 32 lim 1 x x 5x 56 lim x ex 2x x 0 57 lim sin x cos x x x 0 58 lim x2 1 sin x 1 59 lim x 0 x 1 x cos x x sin x Phần V lời giải e 1 cos x 1 VCB x cos x 1 cos x 1 L lim sin x 1 lim lim x 0 x 0 x 0 sin x.ln x 1 x x x2 2x Câu 1: lim x 0 2x Câu 2: lim cos x tan 2 x x 0 ln cos x VCB ln cos x L tan x 1 lim lim 2 x 0 x 0 x 0 tan x x 2x Dat cos x tan 2 x A lim ln A lim x 0 vay lim cos x tan 2 x e 1 x 0 Câu : lim 1 e2 x tan x x 0 lim 1 e2 x tan x x 0 Dat 1 e2 x 2e2 x ln 1 e VCB ln 1 e L 2x A lim ln A lim lim lim e x 0 x 0 x 0 x 0 tan x x 2x tan x vay lim 1 e2 x tan x x 0 0 Câu 4: lim 1 x x x 0 lim 1 x x x 0 ln 1 x VCB 2 x lim 2 x 0 x x x Dat 1 x x A lim ln A lim x 0 vay lim 1 x x e2 x 0 Câu 5: x VCB x lim x 0 tan x x 0 x lim x cot x lim x 0 Câu 6: Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 2x VCB x 2 x 2 lim x 4 x2 x2 lim lim lim x 2 arctan x x 2 x x 2 x2 x2 Câu 7: 1 cos x 1 cos x 1 tan x x VCB cos x cos x lim lim cos x lim lim 2 x 0 sin x x x 0 cos x x 0 x 0 cos x cos x Câu 8: ln cos x VCB ln cos x L tan x 1 lim lim x 0 ln x x 0 x x 2x lim Câu 9: 1 cos x arcsin x VCB 1 cos x x lim 1 cos x L lim sin x lim x 0 x 0 x 0 x 0 x x tan 2 x 4x2 x 2x lim Câu 10: sin x arcsin 3x sin x VCB x lim lim 3 x 0 tan x ln 1 x x 0 tan x cos x x 4 1 x L 3 1 x x2 x L lim lim x 0 x 0 x x2 1 2x 12 3 Câu 12 L arcsin x VCB x lim lim 1 2 x 0 x x x 0 x x x 0 x lim Cau 13 e x sin x x L e x sin x e x cos x L e x sin x e x cos x e x cos x e x sin x lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x2 2x lim Cau 13 Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 L x 1 x 1 ln x 1 x lim ln x 1 lim 1 x 1 lim cau15 lim x 2 x2 x x x 1 ln x 1 x ln x 1 ln x 1 x x 1 x x 1 e x sin x VCB e x sin x L e x cos x L e x sin x lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x tan x x2 2x 2 lim Cau 16 lim x tan x x2 Dat x tan x A x tan lim ln x x2 Vay lim x tan x 2 2 L ln x lim x lim x2 x x cot x 4 sin x e Cau 17 cos x L 2sin x L 4cos x lim lim 1 x 0 x x x 0 x x x 0 12 x lim Cau 18 x2 1 L 2x lim 2 x 1 x ln x x 1 ln x x VCB x2 1 x 1 cach lim lim lim 2 x 1 x ln x x 1 x x 1 x 1 x cach lim Cau 19 e x e x VCB e x e x L e x e x lim lim 2 x 0 arcsin x x 0 x 0 x lim Cau 20 ln x tan x lim lim x lim x 0 2ln sin x x 0 2cot x x 0 2x L Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 Cau 21 lim sin x x x 0 Dat sin x A x ln sin x L cot x x VCB x2 lim lim lim 0 x 0 x 0 1 x 0 tan x x 0 x x x2 lim ln sin x lim x ln sin x lim x x 0 x 0 Vay lim sin x e0 x x 0 Cau 57 e x cos x x L e x cos x e x sin x L e x cos x e x sin x e x sin x e x cos x 2e x sin x VCB 2e x x lim lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x3 3x 6x 6x 6x lim cau 2x arcsin tdt lim x 0 x tan x v t 2x 2 x dt dv 2tdt 2x dat 2 xarc sin x x arcsin x x arcsin tdt t arcsin t x du arcsin t u x 1 t x 1 t2 xarc sin x x arcsin x x x x 0 x2 4x x 8 x 2 x 2arc sin x x arcsin x 2 1 4x 1 x x2 1 x lim x 0 2x 2arc sin x arcsin x x2 lim x 0 2 lim Cau 22: x2 x2 lim lim 1 x x x x 4 x2 x2 x2 Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 e8 Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145 ... lim ? ?1 x 0 x x x 0 x x x 0 12 x lim Cau 18 x2 ? ?1 L 2x lim 2 x ? ?1 x ln x x ? ?1 ln x x VCB x2 ? ?1 x ? ?1 cach lim lim lim 2 x ? ?1 x ln x x ? ?1 x x 1? ?? x ? ?1 x cach lim Cau 19 e... sin e x ? ?1 1? ?? ~ e x ? ?1 ~ x Thay vào ta thấy x 1; ln x ln x 1? ?? ~ x từ ta có giới hạn sin e x? ?1 1? ?? VCB x ? ?1 lim lim thật hay dòng xong hehe! x ? ?1 x ? ?1 x ln x... ln x 1? ?? x x2 x 11 lim x 0 x x2 arcsin x 12 lim x 0 x x e x sin x x 13 lim x 0 x2 x ? ?1 14 lim x 2 x ln x 1? ?? e x sin x 15 lim x 0 x tan x 16 lim
Ngày đăng: 07/12/2015, 09:27
Xem thêm: Câu hỏi trắc nghiệm môn công nghệ chế tạo máy 1 có lời giải, Câu hỏi trắc nghiệm môn công nghệ chế tạo máy 1 có lời giải