0 Sau đây tôi sẽ trình bày 1 số phương pháp tính giới hạn thường dùng : I, Phương pháp liên hợp Như chúng ta đã biết , các giới hạn cấp 3 chỉ dùng phương pháp liên hợp, nhưng lên đạ
Trang 1Các phương Pháp tính giới hạn hàm số biên soạn Đặng Nhật
Sơ đồ tư duy: Nhìn giới hạnthay điểm dần tới vào const lim const
Dang Vo Dinh
Thường là bài toán sẽ rơi vào trường hợp số 2 là các dạng vô định : 0 0
; ; 0 ,1 ; 0 ; ; 0
Sau đây tôi sẽ trình bày 1 số phương pháp tính giới hạn thường dùng :
I, Phương pháp liên hợp
Như chúng ta đã biết , các giới hạn cấp 3 chỉ dùng phương pháp liên hợp, nhưng lên đại học đây lại là các bài toán khá tầm thường và phương pháp của chúng là sử dụng các hằng đẳng thức để tạo ra các nhân tử sau đó là khử dạng vô định
VD1: Tính giới hạn :
2
2
4 sin
4 lim
2
x
x
Như hướng phân tích ta sẽ thay 2 vào biểu thức trong dấu lim , sau khi thay ta được một kết quả
là 2
0 2
0
0 là 1 dạng vô định, với phương pháp liên hợp ta sẽ khử được dạng vô định này
Để ý rằng trên tử có 2
4
x là 1 hằng đẳng thức ta sẽ phân tích thành x 2x 2 và sẽ thu gọn được cho mẫu ,
Từ đó ta sẽ có giới hạn
x
VD2: Tính giới hạn : 2
4
2 lim
x
x
Tương tự ví dụ trên khi thay 4 vào ta cũng nhận được dạng vô định 0
0 nhưng khác cái là ta không nhìn thấy hằng đẳng thức đâu, câu hỏi đặt ra là hằng đẳng thức nó ở đâu??? Thế thì nhìn xuống mẫu thức là 1 ta thức bậc 2 ta có thể phân tích thành các nhân tử
2
và để ý rằng x - 4 lại là 1 hằng đẳng thức
Trang 2Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145
Từ đó ta có giới hạn :
2
Đó là 2 giới hạn với bậc 2 thế thì câu hỏi đặt ra là bậc 3 4 5,… bậc n thì sao hay là bậc 2 xen lẫn
3 thì sao, câu trả lời vẫn thế đó là tạo ra các nhân tử bằng phương pháp nhóm Sau đây tôi sẽ đưa ra một số ví dụ về nhóm :
VD1:
3 2
0
lim
2
x
x x x
vẫn với bước đầu là thay 0 vào , ta lại nhận được dạng vô định
Ta thấy trên tử các bậc của căn không giống nhau và đương nhiên ta sẽ không tạo ra hằng đẳng thức được, vậy thì theo hướng phân tích ta sẽ tạo ra các nhân tử bằng cách them bớt, và giới hạn sẽ được tính 1 cách dễ dàng như sau :
3 2
3 2
2
2
x
Đó là 1 ví dụ điển hình về khác căn, tuy nhiên những giới hạn này quá tầm thường và không nằm trong chương trình thi học kì, vậy cho nên tôi sẽ không đề cập đến bài tập của nó, nhưng chúng ta vẫn phải đọc vì nó là tiền đề của những cái về sau
II, Phương pháp thay thế tương đương :
Trong chương trình học đại học, các thầy cô sẽ đề cập đến các đại lượng tương đương, thế thì đặt ra câu hỏi nó làm cái gì, tương đương làm gì, sao không sử dụng liên hợp như cấp 3 đi, câu trả lời là chúng ta nên chọn con đường ngắn nhất, dễ nhất mà đi Vậy thì để lí giải cho con đường siêu ngắn đó là các đại lượng tương đương Sau đây tôi xin rình bày phương pháp này một cách ngắn gọn nhất
Các bạn có biết rằng x sinx khi nào không, khi x=0 nhỉ, vậy tại sao ta không thay sinx=x luôn, điều này khoàn toàn hợp lí khi thay sinx=x ứng dụng điều đó ta sẽ tính được giới hạn
sin
Và mỗi phép hay như thế ta gọi là thay thế vô cùng bé gọi tắng là (VCB)
Trang 3Vậy thì tôi xin đưa ra một số các vô cùng bé như sau :
0;
khi x
Thế đặt ra 1 câu hỏi khi khi x 2; các đại lượng kia có bằng nhua hay không, câu trả lời là không vì giá trị thay thế vào nó không bằng nhau Mà phải là :
2;
khi x
Đối với hàm hợp thì cũng như thế các bạn ạ
tan
0;
khi x
Và từ đó ta có thể liệt kê ra rấ nhiều các đại lượng vô cùng bé tương đương nhau
Đó chỉ là 1 mớ lí thuyết thế còn bài tập thì sao ? nó có gì đặc sắc không, câu trả lời là có
VD1: 1
1
lim
ln
x x
e x
đương nhiên là chẳng ông thầy nào dại mà cho thay số vào ra kết quả Vậy thì ta thay thử 0 vào xem thế nao, thật là kì diệu nó ra 0/0 luôn,
Thay 1 vào ta thấy khi
1;
x
từ đó ta có giới hạn
1
x
VCB
thật là hay khi 1 dòng là xong hehe!
3 0
lim
x
x
x
vẫn thay 0 vào ta ra dạng vô định từ đó ta có thể thay thế các VCB
2
1 ~
0;
x
x
Từ đó ta có giới hạn :
2
.
2
x
VCB
x x
lại 1 dòng xong =))))
Trang 4Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145
Đến đây mình lại nghĩ ra 1 câu hỏi là khi nào được thay, thay thế có được điểm tối đa không? Trả lời là có được điểm tối đa, chúng ta nên thay VCB vào những phân thức có dạng tích , ít nên thay dạng tổng vì nhiều người thay dễ sai
Phần này có thì không, câu trả lời là có nhưng là sẽ không hay, chỉ áp dụng cho phần sau
Bài tập về phần này mình sẽ đề cập sau hehe!
III, Quy tắc lôpitan (Del ‘Lhopsital) và ứng dụng
Đặt câu hỏi phân thức là gì, phân thức là những hàm có dạng A/B , ở đây tôi quan niện phân thức là hế , C+A/B không gọi là phân thức
Vậy thì khi thay điểm dần tới vào phân thức có các dạng vô định ta được quyền sử dụng quy tắc (L)
Các dạng vô định: 0 0
; ; 0 ,1 ; 0 ; ; 0
Cách sử dụng: khi biết thức có 1 trong số các dạng trên ta lần lượt đạo hàm cả tử và mẫu
'
'
L
Ta tiếp tục thay điểm dần tới vào, ở đây không nhất thiết là điểm x0 mà nó có thể là vô cùng Nếu thay vào vẫn có dạng vô định ta tiếp tục đạo hàm tiếp và cứ thế đạo hàm đến khi nào hết dạng vô định ta sẽ được kết quả:
n
n
Tuy nhiên đạo hàm các hàm có thể gặp rắc rối vì thế ta nên sử dụng các đại lương VCB để thay thế và sau đó đạo hàm rất dễ dàng =))
VD1; 2
1
ln lim
2
x
x
x x
thay 1 vào 0/0 thật thế thì L thôi
1
L
x
Trang 5VD2:
2
2
2
1 1
1
L
x
C
C
2
cos
x
x
VD3
2
VCB
x
VD4:
2
2
4 0
cos lim
x
x
x
nhìn phát dự đoán là loopitan 4 lần đúng ko, thật vậy kiểu gì chả ra
2
3
0
0
lim
12
1 lim
L
x
L
x
x
Tuy nhiên câu này làm thế dài, về sau ta sử dụng khai triển maclaurin để làm thì 2 dòng là ok Tuy nhiên chúng ta sẽ gặp rắc rối ở phần mũ, khi gặp hàm mũ ta phải sử dụng 1 số giới hạn đặc biệt và tính chất của loga:
Loại toán mũ này sẽ có hai cách làm và sẽ có nhiều dạng khác nhau, tuy nhiên mình sẽ đề cập 2 dạng hay thi thôi
Dạng 0
0 va 1
Sau đây là cách làm và 3 ví dụ điển hình :
Trang 6Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145
0
lim ln lim ln
lim
x
x
Và bài toán lại quay về tính giới hạn :
0
lim ln
rồi e mũ lên là ra kết quả
Cộng với ta phải nhớ giới hạn : 1 1
x
x
x
VD1: 2
1 sin 2 0
dạng 1 mũ vô cùng
Ta sẽ đặt A= 2
1 sin 2
Tính
0
lim ln
rồi e mũ lên là dc kết quả vì
0
lim ln lim ln
lim
x
x x A x x x A x
2
2
2
2
1
sin 2
0
1
sin 2
1 sin 2
2
1 1
2 sin 2 0
lim cos
cos
ln cos
sin
lim cos
x x
x
x
x x
x
x
x
vi
VD2
4
4
4
3
4
2 5
2 2 4
3 4
4
2 4
lim 1
lim
x x x x
x
x x
x
x
x
Trang 7VD3 :
1
1
1 2 0
lim cos lim cos
cos
sin
2
lim cos
x
L
VCB
x x
x
A
x
Phần IV: Một số câu giới hạn được sưu tầm trong cac đề thi và sáng tác
Trang 8Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145
2
2 0
1 cos 1 lim
sin ln 2 1
x x
2 2
1 tan 2 0
lim cos x
3 2 tan
0
lim 1 x x
4 1
0
lim 1 2 x
5
0
lim cot 5
6
2
2
4 lim
arctan 2
x
x x
7
0
tan
lim
sin
x
x x
x x
2
0
ln cos
lim
ln 1
x
x x
2 0
1 cos arcsin
lim
tan 2
x
10
2 2
0
arcsin 3 sin
lim
tan ln 1
x
11
2 0
lim
x
x x
0
arcsin
lim
2
x
x
x x
0
sin lim
x
x
x
14
2
lim
x
x
15
0
sin 1 lim
tan
x
x
x x
16 tan
4 2
lim 5 2
x
17 2 4
0
cos 2 1
lim
2
x
x
x x
18
2
1
1 lim
ln
x
x
x x
19
0
lim
arcsin
x
e e
x
20
0
ln lim
1 2 ln sin
x
x x
21
0
lim sin x
22
2
2 2
4 lim
4
x x
x x
2
24
1 sin cos lim
sin 2
x
x
0
tan sin lim
x
x
0
cos 1 lim
x
x x
0
1 tan 1 sin lim
arctan
x
x
28
1
1 lim 1
x x e x
29
2
1
0
cos lim cos 2
x x
x x
30
3
0
lim
sin
x
x
31
3 2 0
cos cos lim
tan
x
x
32 cot 0
lim 1 2 x
33 tan 2
lim sin x
x
x
34
0
ln 1 sin lim
sin
x
x x
35
2
2 0
arcsin lim
tan
x
x x
tdt x
36
0
2 lim
1 cos 2
x
e e
x
37
3 2 0
lim
2
x
x x
38
5
cot cot 5 lim
5
x
x x
39 lim sin 2 sin
40 2 0
1 lim sin
x x
x
41 2
1
4 sin 2 0
42 2 1
ln lim
2
x
x
x x
43
sin sin 0
sin lim
x
x x x
x x
44 limsin
x a
x a
x a
45
2 4
2 cos 1 lim
x
x x
lim 2 arctan
47
2
2 0
cos 2 lim
x x
x
48 2
1
2 ln 1 5 0
lim 1 3 tan x
0
sin 3 cos 4 1 lim
ln 1 arcsin
x
50
0
lim sin 3 3
51 cot 0
lim cos x
0
cos 1 lim
x x
x
53
2
2 0
arctan lim
sin
x
x x
tdt x
2
1
sin 4 lim
ln cos 4
x x x
55
5
2
1 lim 1
x
x x
56 1
2 0
0
lim sin cos x
58 2
1
lim 1 sin
1
x
59
0
1 3 cos lim
sin
x
x x
Trang 9Phần V lời giải
Câu 1:
2
x
Câu 2:
2
2
2
1
tan 2
0
1 tan 2
1 1
2 tan 2 0
lim cos
lim cos
x x
x
x x
x
Câu 3 :
2 tan
0
lim 1 x x
tan
2
0
2
2 tan
2
tan 2
0
lim 1
2
1
x x
x
x
x x
x x x
e
e
e
Câu 4:
0
lim 1 2 x
1
0
1
1 2 0
lim 1 2
lim 1 2
x
x
VCB x
x x
x
Câu 5:
1 lim cot 5 lim lim
VCB
Câu 6:
Trang 10Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145
VCB
x
Câu 7:
2
1 cos 1 cos 1
1
VCB
Câu 8:
ln 1
x
Câu 9:
Câu 10:
2
2
3
sin 2
2 tan 1 tan ln 1
VCB
x
x
x x
22 4 3 3
2
4 1 2
3 1
x x
Câu 12
Cau 13
2
Cau 13
Trang 11
2
1
L
x
cau15
2
Cau 16
tan
4 2
tan
4
tan 4
2
8 tan 4 2
lim 5 2
5 2
2
1
4 lim 5 2
x x
x
x x
x
x
x
x
Cau 17
cos 2 1 2sin 2 4 cos 2
Cau 18
2
L
VCB
cach
cach
Cau 19
Cau 20
1
L
Trang 12Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145
Cau 21
0
2
0 0
lim sin
sin
x
x
x
x
x x
x
Cau 57
cau
2
2
0
2 2
2 0
0
arcsin
lim
tan
1
1
lim
4
1 4 lim
x
x
x
x x
x
x
tdt
x
v t
du
t
x x
2 0
arcsin
2 1
1 1
lim
x
x
x
Cau 22:
2
2
4 8 2
x
x
x
e