Các định lý cơ bản về cặp bài toán đối ngẫu

Mối quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu 2.. Mối quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu... Mối quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫuMối quan hệ giữa hai bài toán được thể hiện trong các định lý s

Trang 1

§2 Các định lý cơ bản về cặp bài toán đối ngẫu

1 Mối quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu

2 Ứng dụng của bài toán đối ngẫu:

2 1 Tìm PATƯ của bài toán đối ngẫu

2 2 Chứng tỏ tính tối ưu của một phương án

2 3 Giải bài toán có dạng đặc biệt

Trang 2

Mối quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu

Trang 3

Mối quan hệ giữa hai bài toán được thể hiện trong các định lý sau:

Định lý 1: Đối với cặp bài toán đối ngẫu bao giờ

cũng chỉ xẩy ra một trong 3 trường hợp sau:

- Cả hai bài toán đều không có phương án

- Cả hai bài toán đều có phương án, lúc đó cả hai bài toán đều có PATƯ và giá trị hàm mục tiêu của chúng bằng nhau

- Một trong 2 bài toán không có phương án, bài toán kia có phương án, khi ấy bài toán có phương án sẽ không có PATƯ

Trang 4

Hệ quả 1: Nếu một trong 2 bài toán đối ngẫu có

PATƯ thì bài toán kia cũng có PATƯ

Trang 5

Hệ quả 2: x0, y0 là hai phương án của bài toán (I), (I’), khi đó x0, y0 là PATƯ khi và chỉ khi f(x0)

Trang 6

Hay x0 là PATƯ

Mặt khác do f(x0) = g(y0) nên theo định lý trên

y0 cũng là PATƯ

Định lý 2: (Tiêu chuẩn tối ưu)

Hai phương án của cặp bài toán đối ngẫu là PATƯ khi và chỉ khi với mỗi cặp ràng buộc đối ngẫu nếu một ràng buộc thõa mãn với dấu bất đẳng thức thực sự thì ràng buộc kia thõa mãn với dấu bằng

Chứng minh:

Trang 7

Trang 8

Do x0, y0 là PATƯ khi và chỉ khi:

Điều kiện cần: x0, y0 là PATƯ nên:

Trang 9

Điều kiện đủ: Hiển nhiên được suy ra từ bất đẳng

Trang 10

Ứng dụng của bài toán đối ngẫu

2.1 Tìm PATƯ của bài toán đối ngẫu

PP 1: Nhờ tiêu chuẩn tối ưu nên khi ta biết

được PATƯ của một trong cặp bài toán đối ngẫu thì

ta dễ dàng tìm được PATƯ của bài toán còn lại

Ví dụ 1: Cho bài toán QHTT sau:

Trang 11

Tìm PATƯ của bài toán đối ngẫu

Giải:

Bài toán đối ngẫu là:

f(x) = 15y1 + 8y2 + 10y3  Max Các ràng buộc:

-3y1 + 2y2 + 4y3  3 2y1 - y2 + 2y3  4-4y1 - 5y2 + 2y3  1Trong đó: y1  0, y2  0, y3  0

Do bài toán đối ngẫu có phương án tối ưu là

x0 = (7, 0, -9) nên theo định lí độ lệch bù yếu ta có:

-3y1 + 2y2 + 4y3 = 3 (1) -4y -5y + 2y = 1 (2)

Trang 12

Mặt khác khi thay phương án x0 vào các ràng buộc của bài toán gốc ta thấy ràng buộc thứ ba thõa mãn không chặt nên:

y2 = 0 (3)

Từ hệ phương trình (1), (2), (3) ta dễ dàng suy ra nghiệm là y0 = (1/5, 0, 9/10) ta thấy nghiệm này thõa mãn hai ràng buộc còn lại của bài toán đối ngẫu nên nó là PATƯ của bài toán đối ngẫu

Vậy bài toán đối ngẫu có phương án tối ưu là:

y0 = (1/5, 0, 9/10) và g(y0) = 12

Trang 13

Lưu ý: Trong bảng đơn hình đối với bài toán (I) cần

phải đưa vào cột đơn hình ứng với ẩn giả

Trang 14

Ví dụ: Cho bài toán QHTT :

f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4  Max

Các ràng buộc:

2x1 + x2 + x3 + 2x4  20

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 18 2x1 + x2 + 2x3 + x4  16Trong đó:

x1  0, x2  0, x3  0, x4  0

a Hãy giải bài toán

b Hãy viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra PATƯ của bài toán đối ngẫu

Trang 15

Bài toán ở dạng chuẩn:

f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 – Mx7 – Mx8  Max Các ràng buộc:

2x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 20

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + x7 = 18 2x1 + x2 + 2x3 + x4 - x6 + x8 = 16Trong đó:

x5, x6 là biến phụ; x7, x8 là biến giả

x1  0, x2  0, x3  0, x4  0, x5  0, x6  0;

x7  0; x8  0

Trang 16

Trang 17

Trang 18

PATƯ của bài toán mở rộng là : (3,0,5,0,9,0,0,0)

Giá trị hàm mục tiêu đạt được là : f(x) = 18

PATƯ của bài toán xuất phát: (3,0,5,0)

fmax = 18

Trang 19

Chứng tỏ tính tối ưu của một phương án

Vấn đề: Không giải bài toán QHTT xem xét

phương án x0 có là PATƯ hay không?

Phương pháp: Lập bài toán đối ngẫu, giả sử x0 là PATƯ sau đó dùng tiêu chuẩn tối ưu để tìm phương

án tương ứng với x0, nếu tồn tại phương án tương ứng thì x0 là PATƯ còn không tồn tại phương án chứng tỏ x0 không là PATƯ

Trang 20

Chứng tỏ tính tối ưu của một phương án

Ví dụ: Cho bài toán QHTT

f(x) = - 8x1 + 6x2 + 4x3 + 5x4  minRàng buộc:

x1 – 2x3 + x4  7-2x1 + x2 – x3 + 3x4 = -4 3x1 – x2 + 2x3 – 6x4  5

Trang 21

Giải bài toán có dạng đặc biệt

Ví dụ: Giải bài toán QHTT

f(x) = 12x1 + 27x2 + 6x3  minRàng buộc:

2x1 + 3x2 + 2x3  12

x1 + 3x2 + x3  6 6x1 + 9x2 + 2x3  24

x1 0; x2  0; x3  0;

Trang 22

Giải: Bài toán đối ngẫu

f(y) = 12y1 + 6y2 + 24y3  MAX Các ràng buộc:

2y1 + y2 + 6y3  123y1 + 3y2 + 9y3  272y1 + y2 + 2y3  6Trong đó:

y1  0, y2  0, y3  0

Trang 23

Trang 24

Trang 25

PATƯ của bài toán đối ngẫu là: (3/2, 0, 3/2)

Giá trị hàm mục tiêu đạt được là: gmax = 54

Trang 26

Bài tập về bài toán đối ngẫu

Bài 1: Cho bài toán QHTT:

f(x) = 2x1 – x2 + x3 - 5x4 + 3x5  min

2x1 + 3x2 – x4 + 2x5  -12 -x1 – 3x3 + x4 – x5 = 1

4x1 + 2x2 + x3 + 3x5  20

x2  0; x3  0; x4  0Chứng tỏ rằng vectơ x0 = (4, 2, 0, 5, 0) không phải là một PATƯ của bài toán

Trang 27

f(x) = -5x1 + 2x2 + 2x3 - 4x4  min

x1 + 2x3+ x4 = 14 4x2 – 14x3 + x4  36 2x2 - 3x3+ x4  12 3x2 - 5x3+ 2x4  23

x1  0; x2  0; x3  0; x4  0Chứng tỏ rằng x0 = (9, 7/2, 0, 5) là một PATƯ Tìm tập tất cả các PATƯ?

Trang 28

f(x) = x1 + mx2 + 3x3  min

2x1 + x2 – x3 = 4 (m – 2)x1 + 2x2 + x3  5

2x1 - x2 + 3x3 = 8

x1  0; x2  0; x3  0

a Hãy giải bài toán khi m = 1

b Tìm các giá trị của m để x0 = (5/2, 0, 1) là PATƯ của bài toán đó

Trang 29

Bài toán ở dạng chuẩn:

f(x) = x1 + x2 + 3x3 + Mx5 + Mx6  min Các ràng buộc:

2x1 + x2 - x3 + x5= 4

- x1 + 2x2 + x3 + x4 = 5 2x1 - x2 + 3x3 + x6 = 8Trong đó: x4 là biến phụ x5, x6 là biến giả

xj  0, j = 1,2, 3, 4, 5, 6

Trang 30

Trang 31

Trang 32

Trang 33

f(x) = -2x1 + ax2 + x3 - 3x4 + bx5  min

x1 - 2x2 + 2x3 – 6x4 - x5 = -1

x2 – x3 + 3x4 – x5 = 1 -x1 - x2 + 2x3 - 5x4 + 2x5 = -2

xj  0 j= 1, 2, 3, 4, 5

a Chứng tỏ vectơ x0 = (1, 0, 2, 1, 0) là một phương án cơ bản không suy biến của bài toán

b Hãy xác định a, b để x0 là PATƯ của bài toán

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	349,5 KB