Các định lý cơ bản về cặp bài toán đối ngẫu

§2 Các định lý cặp toán đối ngẫu Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu Ứng dụng toán đối ngẫu: Tìm PATƯ toán đối ngẫu 2 Chứng tỏ tính tối ưu phương án Giải toán có dạng đặc biệt Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu f (x) = c1x1 + c x + + c n x n → Min (Max) a11x1 + a12 x + + a1n x n = b1   a x + a x + + a x = b m2 mn n m  m1 x j ≥ ∀j = 1, n  Bài toán đối ngẫu: g(y) = b1y1 + b y + + b m y m → Max (Min) a11 y1 + a 21 y + + a m1 y m ≤ c1   a y + a y + + a y ≤ c 2n mn m n  1n (≥ c1 ) (≥ c n ) Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu Mối quan hệ hai toán thể định lý sau: Định lý 1: Đối với cặp toán đối ngẫu xẩy trường hợp sau: - Cả hai toán phương án - Cả hai toán có phương án, lúc hai toán có PATƯ giá trị hàm mục tiêu chúng - Một toán phương án, toán có phương án, toán có phương án PATƯ Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu Hệ 1: Nếu toán đối ngẫu có PATƯ toán có PATƯ Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu Hệ 2: x0, y0 hai phương án toán (I), (I’), x0, y0 PATƯ f(x0) = g(y0) Chứng minh: Điều kiện cần: Được suy từ định lý Điều kiện đủ: Gọi x’ phương án toán (I), ta có: m   , , f (x ') = ∑ c j x j ≥ ∑  ∑ a ij yi ÷x j = j =1 j =  i =1  n n =  n  ,  ∑ a ijx j ÷yi ∑ i =  j =1  m m ∑b y i =1 i i = g(y ) = g(x ) 0 Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu Hay x0 PATƯ Mặt khác f(x0) = g(y0) nên theo định lý y0 PATƯ Định lý 2: (Tiêu chuẩn tối ưu) Hai phương án cặp toán đối ngẫu PATƯ với cặp ràng buộc đối ngẫu ràng buộc thõa mãn với dấu bất đẳng thức thực ràng buộc thõa mãn với dấu Chứng minh: Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu x0 = (x01, x02 , , x0n) y0 = (y01, y02, , y0m) PATƯ cua toán (I) (I’) Xét đẳng thức: m n i =1 j =1 g(y0 ) − f (x ) = ∑ bi yi0 − ∑ c j x 0j n  n  0 = ∑  ∑ a ij x j ÷.yi − ∑ c j x j i =1  j =1 j =1  n  m n  = ∑  ∑ a ij yi0 ÷.x 0j − ∑ c j x 0j j =1  i =1 j =1  n  m  0 = ∑  ∑ a ij yi − c j ÷.x j j =1  i =1  m Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu Do x0, y0 PATƯ khi: n  m  0 0 g(y ) − f (x ) = ∑  ∑ a ij.yi − c j ÷.x j = j =1  i =1  Điều kiện cần: x0, y0 PATƯ nên: m   0 0 g(y ) − f (x ) = ∑  ∑ a ij.y i − c j ÷.x j = j =1  i =1  m n Mặt khác ta có: ∑ a y i =1 Vì vậy: ij i ≤ c j x ≥ m - Nếu x > thì: j m - Nếu j ∑ a y i =1 ∑ a ij.y < c j i =1 i ij i = cj x0j = ∀j = 1, n Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu Điều kiện đủ: Hiển nhiên suy từ bất đẳng thức Định lý 3: (Tiêu chuẩn tối ưu phát biểu cho cặp toán đối ngẫu tổng quát) Điều kiện cần đủ để phương án x0, y0 cặp toán đối ngẫu tối ưu cặp ràng buộc đối ngẫu ràng buộc thõa mãn với dấu bất đẳng thức thực ràng buộc thõa mãn với dấu Ứng dụng toán đối ngẫu 2.1 Tìm PATƯ toán đối ngẫu PP 1: Nhờ tiêu chuẩn tối ưu nên ta biết PATƯ cặp toán đối ngẫu ta dễ dàng tìm PATƯ toán lại Ví dụ 1: Cho toán QHTT sau: f (x) = 3x1 + 4x + x → −3x1 + 2x − 4x ≥ 15  2x − x − 5x ≥    4x1 + 2x + 2x ≥ 10  x1 ≥ 0; x ≥ 0; x ≤ Cho biết toán có PATƯ x = (7, 0, -9) Hãy lập giải toán đối ngẫu toán Chứng tỏ tính tối ưu phương án Vấn đề: Không giải toán QHTT xem xét phương án x0 có PATƯ hay không? Phương pháp: Lập toán đối ngẫu, giả sử x0 PATƯ sau dùng tiêu chuẩn tối ưu để tìm phương án tương ứng với x0, tồn phương án tương ứng x0 PATƯ không tồn phương án chứng tỏ x0 không PATƯ Chứng tỏ tính tối ưu phương án Ví dụ: Cho toán QHTT f(x) = - 8x1 + 6x2 + 4x3 + 5x4 → Ràng buộc: x1 – 2x3 + x4 ≤ -2x1 + x2 – x3 + 3x4 = -4 3x1 – x2 + 2x3 – 6x4 ≥ x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x4 ≥ a Viết toán đối ngẫu toán b Chứng tỏ x* = (3, 0, -2, 0) phương án x * có PATƯ hay không? Tìm tập PATƯ toán đối ngẫu? c Tìm tập PATƯ toán xuất phát? Giải toán có dạng đặc biệt Ví dụ: Giải toán QHTT f(x) = 12x1 + 27x2 + 6x3 → Ràng buộc: 2x1 + 3x2 + 2x3 ≥ 12 x1 + 3x2 + x3 ≥ 6x1 + 9x2 + 2x3 ≥ 24 x1≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; Giải toán có dạng đặc biệt Giải: Bài toán đối ngẫu f(y) = 12y1 + 6y2 + 24y3 → MAX Các ràng buộc: 2y1 + y2 + 6y3 ≤ 12 3y1 + 3y2 + 9y3 ≤ 27 2y1 + y2 + 2y3 ≤ Trong đó: y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ Giải toán có dạng đặc biệt ci yi bi y1 y2 y3 y4 y5 y6 y4 12 0 y5 27 3 0 y6 2 0 g(y) -12 -6 -24 0 Giải toán có dạng đặc biệt ci yi bi y1 y2 y3 y4 y5 y6 24 y3 1/3 1/6 1/6 0 y5 3/2 -3/2 0 y6 4/3 2/3 -1/3 g(y) 48 -4 -2 0 Giải toán có dạng đặc biệt ci yi bi y1 y2 y3 y4 y5 y6 24 y3 3/2 0 1/4 -1/4 y5 3/2 -3/2 12 y1 3/2 1/2 -1/4 3/4 g(y) 54 0 PATƯ toán đối ngẫu là: (3/2, 0, 3/2) Giá trị hàm mục tiêu đạt là: gmax = 54 Bài tập toán đối ngẫu Bài 1: Cho toán QHTT: f(x) = 2x1 – x2 + x3 - 5x4 + 3x5 → 2x1 + 3x2 – x4 + 2x5 ≥ -12 -x1 – 3x3 + x4 – x5 = 4x1 + 2x2 + x3 + 3x5 ≤ 20 x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ Chứng tỏ vectơ x0 = (4, 2, 0, 5, 0) PATƯ toán Bài tập toán đối ngẫu Bài 2: Cho toán QHTT: f(x) = -5x1 + 2x2 + 2x3 - 4x4 → x1 + 2x3+ x4 = 14 4x2 – 14x3 + x4 ≤ 36 2x2 - 3x3+ x4 ≥ 12 3x2 - 5x3+ 2x4 ≤ 23 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ Chứng tỏ x0 = (9, 7/2, 0, 5) PATƯ Tìm tập tất PATƯ? Bài tập toán đối ngẫu Bài 3: Cho toán QHTT: f(x) = x1 + mx2 + 3x3 → 2x1 + x2 – x3 = (m – 2)x1 + 2x2 + x3 ≤ 2x1 - x2 + 3x3 = x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ a Hãy giải toán m = b Tìm giá trị m để x0 = (5/2, 0, 1) PATƯ toán Bài tập toán đối ngẫu Bài toán dạng chuẩn: f(x) = x1 + x2 + 3x3 + Mx5 + Mx6 → Các ràng buộc: 2x1 + x2 - x3 + x5= - x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2x1 - x2 + 3x3 + x6 = Trong đó: x4 biến phụ x5, x6 biến giả xj ≥ 0, j = 1,2, 3, 4, 5, Bài tập toán đối ngẫu ci xi bi x1 x2 x3 x4 M x5 -1 0 x4 -1 1 M x6 -1 f(x) 12 -1 -1 -3 0 Bài tập toán đối ngẫu ci xi bi x1 x2 x3 x4 x1 1/2 -1/2 0 x4 5/2 1/2 M x6 -2 f(x) 0 -1/2 -2 -7/2 0 Bài tập toán đối ngẫu ci xi bi x1 x2 x3 x4 x1 5/2 1/4 0 x4 13/2 11/4 x3 -1/2 f(x) 11/2 -9/4 0 Bài tập toán đối ngẫu Bài 4: Cho toán QHTT: f(x) = -2x1 + ax2 + x3 - 3x4 + bx5 → x1 - 2x2 + 2x3 – 6x4 - x5 = -1 x2 – x3 + 3x4 – x5 = -x1 - x2 + 2x3 - 5x4 + 2x5 = -2 xj ≥ j= 1, 2, 3, 4, a Chứng tỏ vectơ x0 = (1, 0, 2, 1, 0) phương án không suy biến toán b Hãy xác định a, b để x0 PATƯ toán [...]... 2, 0, 5, 0) không phải là một PATƯ của bài toán Bài tập về bài toán đối ngẫu Bài 2: Cho bài toán QHTT: f(x) = -5x1 + 2x2 + 2x3 - 4x4 → min x1 + 2x3+ x4 = 14 4x2 – 14x3 + x4 ≤ 36 2x2 - 3x3+ x4 ≥ 12 3x2 - 5x3+ 2x4 ≤ 23 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ 0 Chứng tỏ rằng x0 = (9, 7/2, 0, 5) là một PATƯ Tìm tập tất cả các PATƯ? Bài tập về bài toán đối ngẫu Bài 3: Cho bài toán QHTT: f(x) = x1 + mx2 + 3x3 → min... M x6 8 2 -1 3 0 f(x) 0 12 -1 4 -1 0 -3 2 0 0 Bài tập về bài toán đối ngẫu ci xi bi x1 x2 x3 x4 1 x1 2 1 1/2 -1/2 0 0 x4 7 0 5/2 1/2 1 M x6 4 0 -2 4 0 f(x) 2 4 0 0 -1/2 -2 -7/2 4 0 0 Bài tập về bài toán đối ngẫu ci xi bi x1 x2 x3 x4 1 x1 5/2 1 1/4 0 0 0 x4 13/2 0 11/4 0 1 3 x3 1 0 -1/2 1 0 f(x) 11/2 0 -9/4 0 0 Bài tập về bài toán đối ngẫu Bài 4: Cho bài toán QHTT: f(x) = -2x1 + ax2 + x3 - 3x4 + bx5... 0; x3 ≥ 0 a Hãy giải bài toán khi m = 1 b Tìm các giá trị của m để x0 = (5/2, 0, 1) là PATƯ của bài toán đó Bài tập về bài toán đối ngẫu Bài toán ở dạng chuẩn: f(x) = x1 + x2 + 3x3 + Mx5 + Mx6 → min Các ràng buộc: 2x1 + x2 - x3 + x5= 4 - x1 + 2x2 + x3 + x4 = 5 2x1 - x2 + 3x3 + x6 = 8 Trong đó: x4 là biến phụ x5, x6 là biến giả xj ≥ 0, j = 1,2, 3, 4, 5, 6 Bài tập về bài toán đối ngẫu ci xi bi x1 x2... bài toán đối ngẫu Giải: Bài toán đối ngẫu là: f(x) = 15y1 + 8y2 + 10y3 → Max Các ràng buộc: -3y1 + 2y2 + 4y3 ≤ 3 2y1 - y2 + 2y3 ≤ 4 -4y1 - 5y2 + 2y3 ≤ 1 Trong đó: y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0 Do bài toán đối ngẫu có phương án tối ưu là x0 = (7, 0, -9) nên theo định lí độ lệch bù yếu ta có: -3y1 + 2y2 + 4y3 = 3 (1) -4y1 -5y2 + 2y3 = 1 (2) Tìm PATƯ của bài toán đối ngẫu Mặt khác khi thay phương án x0 vào các. .. bài toán gốc ta thấy ràng buộc thứ ba thõa mãn không chặt nên: y2 = 0 (3) Từ hệ phương trình (1), (2), (3) ta dễ dàng suy ra nghiệm là y0 = (1/5, 0, 9/10) ta thấy nghiệm này thõa mãn hai ràng buộc còn lại của bài toán đối ngẫu nên nó là PATƯ của bài toán đối ngẫu Vậy bài toán đối ngẫu có phương án tối ưu là: y0 = (1/5, 0, 9/10) và g(y0) = 12 Tìm PATƯ của bài toán đối ngẫu Phương pháp 2: (Sử dụng bảng... Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên b Chứng tỏ x* = (3, 0, -2, 0) là phương án x * có là PATƯ hay không? Tìm tập PATƯ của bài toán đối ngẫu? c Tìm tập PATƯ của bài toán xuất phát? Giải bài toán có dạng đặc biệt Ví dụ: Giải bài toán QHTT f(x) = 12x1 + 27x2 + 6x3 → min Ràng buộc: 2x1 + 3x2 + 2x3 ≥ 12 x1 + 3x2 + x3 ≥ 6 6x1 + 9x2 + 2x3 ≥ 24 x1≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; Giải bài toán có dạng đặc biệt Giải: Bài. .. QHTT : f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 → Max Các ràng buộc: 2x1 + x2 + x3 + 2x4 ≤ 20 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 18 2x1 + x2 + 2x3 + x4 ≥ 16 Trong đó: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0 a Hãy giải bài toán b Hãy viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra PATƯ của bài toán đối ngẫu Tìm PATƯ của bài toán đối ngẫu Bài toán ở dạng chuẩn: f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 – Mx7 – Mx8 → Max Các ràng buộc: 2x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 =... dùng thuật toán đơn hình để giải (I), khi đó PATƯ của bài toán (I’) sẽ là: yi = cj + ∆j i = 1, 2, … , m cj, ∆j là hệ số tương ứng với ẩn cơ sở xj của phương trình thứ i trong bảng đơn hình đầu tiên ∆j là hệ số trong bảng đơn hình cuối cùng ứng với PATƯ Lưu ý: Trong bảng đơn hình đối với bài toán (I) cần phải đưa vào cột đơn hình ứng với ẩn giả Tìm PATƯ của bài toán đối ngẫu Ví dụ: Cho bài toán QHTT... 1 0 0 y6 2 4/3 2/3 0 -1/3 0 1 g(y) 48 -4 -2 0 4 0 0 Giải bài toán có dạng đặc biệt ci yi bi y1 y2 y3 y4 y5 y6 24 y3 3/2 0 0 1 1/4 0 -1/4 0 y5 9 0 3/2 0 -3/2 1 0 12 y1 3/2 1 1/2 0 -1/4 0 3/4 g(y) 54 0 0 0 3 0 PATƯ của bài toán đối ngẫu là: (3/2, 0, 3/2) Giá trị hàm mục tiêu đạt được là: gmax = 54 3 Bài tập về bài toán đối ngẫu Bài 1: Cho bài toán QHTT: f(x) = 2x1 – x2 + x3 - 5x4 + 3x5 → min 2x1 + 3x2... PATƯ của bài toán đối ngẫu bi x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 x5 9 0 3/4 0 11/4 1 5/4 1/2 -5/4 3 x3 5 0 3/4 1 1/2 -1/4 1 x1 3 1 -1/4 0 -5/4 0 -3/4 -1/2 3/4 7/4 0 1/4 x8 f(x) 18 0 0 0 1 0 0 1+M M PATƯ của bài toán mở rộng là : (3,0,5,0,9,0,0,0) Giá trị hàm mục tiêu đạt được là : f(x) = 18 PATƯ của bài toán xuất phát: (3,0,5,0) fmax = 18 Chứng tỏ tính tối ưu của một phương án Vấn đề: Không giải bài toán QHTT ... Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu Mối quan hệ hai toán thể định lý sau: Định lý 1: Đối với cặp toán đối ngẫu xẩy trường hợp sau: - Cả hai toán phương án - Cả hai toán có phương án, lúc hai toán có PATƯ... tiêu chúng - Một toán phương án, toán có phương án, toán có phương án PATƯ Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu Hệ 1: Nếu toán đối ngẫu có PATƯ toán có PATƯ Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu Hệ 2: x0, y0... Mối quan hệ cặp toán đối ngẫu Hay x0 PATƯ Mặt khác f(x0) = g(y0) nên theo định lý y0 PATƯ Định lý 2: (Tiêu chuẩn tối ưu) Hai phương án cặp toán đối ngẫu PATƯ với cặp ràng buộc đối ngẫu ràng buộc