Bài giảng lớp ghép và định lý lagrange PGS TS trần đan thư

Lớp ghép định lý Lagrange PGS TS Trần Đan Thư tdthu@fit.hcmus.edu.vn Tóm tắt nội dung • • • • • • • Cấp phần tử Khái niệm lớp ghép tính chất Định lý Lagrange Định lý Fermat nhỏ Định lý Euler Bài tập Thuật ngữ Định nghĩa (cấp phần tử) • Cho nhóm (G, o) a∈G Xét nhóm sinh a H = < {a} > = { ar / r∈ℤ} – Trường hợp H hữu hạn: cấp a |H|, tức số phần tử nhóm sinh a – Trường hợp H vô hạn: ta nói a có cấp vô hạn • Nhận xét: – Nếu G hữu hạn hiển nhiên cấp a hữu hạn – Nếu H hữu hạn tồn i k (với i ≠ k) cho = ak, ta suy a|i-k| = e Vậy tồn số nguyên dương m = |i-k| cho am = e – Nếu H vô hạn, tìm số nguyên dương m cho am = e, ngược lại thì: H = { ar / r∈ℤ} = {e, a, a2, …, am-1} hữu hạn Tính chất (về cấp phần tử) Giả sử a∈G, a có cấp hữu hạn Gọi n số nguyên dương nhỏ cho an = e (a) H = { ar / r∈ℤ} = {e, a, a2, …, an-1} có n phần tử (b) Cấp a n (c) Nếu am = e n ước số m Chứng minh: Xem trình bày bảng Ghi chú: Đối với nhóm ký hiệu + tương tự Ví dụ - Cấp phần tử • Phần tử -1 có cấp nhóm nhân số thực khác không, vì: (-1)2 = • Phần tử i có cấp nhóm nhân số phức khác không, vì: i2 = -1 ≠ ; i3 = -i ≠ 1; i4 = • Phần tử⎯2 có cấp (ℤ8 , +) vì: 2⎯2 = ⎯4 ≠ ⎯0 3⎯2 = ⎯6 ≠ ⎯0 4⎯2 = ⎯8 = ⎯0 Lớp ghép (coset) Cho nhóm (G, o) nhóm H≤G a∈G • Tập hợp aH = { a o h / h∈ H} gọi lớp ghép (coset, lớp ghép trái) H G • Nhận xét (với a, b∈G): – Ta có: aH = bH ⇔ a -1 o b ∈ H • • – Nếu aH = bH b = b o e ∈ bH = aH ⇒ b = a o h với h ∈ H Do a -1 o b = h ∈ H Nếu a -1 o b ∈ H, ta đặt h = a -1 o b ∈ H, lúc với x ∈ H ta có: b o x = (a o h) o x = a o (h o x) ∈ aH, bH ⊂ aH Tương tự: aH ⊂ bH Vậy: aH = bH Suy ra: aH ∩ bH ≠ ∅ aH = bH • Nếu aH ∩ bH ≠ ∅, ta lấy c∈ aH ∩ bH ⇒ c = a o h1 = b o h2 , với h1, h2 ∈ H Do đó: a -1 o b = h1 o h2 -1 ∈ H ⇒ aH = bH Tính chất lớp ghép • Với a∈G, ánh xạ fa: H → aH với fa(h) = a o h song ánh, tức |H| = | aH |, đặc biệt H hữu hạn H aH có số phần tử • Trên G, ta định nghĩa quan hệ ~ sau: a ~ b ⇔ aH = bH, ∀a, b∈G Quan hệ có tính chất: – Phản xạ – Đối xứng – Bắc cầu Nên quan hệ tương đương • Lớp tương đương a tập aH : ⎯a = aH Trường hợp đặc biệt a ∈ H aH=H • Nếu số lượng lớp tương đương hữu hạn (điều xảy G hữu hạn) số ký hiệu (G : H) gọi số H G (“the index of H in G”) Định lý Lagrange Định lý Lagrange Cho G nhóm hữu hạn nhóm H≤G |G| = (G : H).|H|, Tức cấp |H| ước số |G| Hệ Nhóm G cấp n, ta có xn = e, ∀x∈G Hệ Nếu nhóm G cấp p nguyên tố thì: (a) G có nhóm {e} thân G (b) G sinh phần tử, tức có a∈G cho a có cấp p G = < {a} > Chứng minh: Xem trình bày bảng Định lý Fermat nhỏ Giả sử p nguyên tố ≥ Ta có (a) xp-1 =⎯ với x ∈ ℤp ; x ≠⎯ (b) xp = x với x ∈ ℤp Ghi chú: Phát biểu dạng cổ điển – – Nếu p không ước x xp-1 ≡ [mod p] ; Ta có: xp ≡ x [mod p] Ngoài ra, từ (a) ta dễ dàng suy (b) Chứng minh định lý Fermat nhỏ Đặt Zp* = ℤp \ {⎯ } Bước Chứng minh (Zp*, ) nhóm Chỉ cần chứng minh x∈Zp* khả nghịch Xét x =⎯m ≠ ⎯0 (m, p)=1 p nguyên tố Tồn a, b nguyên: am + bp = ⇒ ⎯a ⎯m = ⎯1 Bước Như Zp* nhóm cấp p-1, theo hệ định lý Lagrange ta có: xp-1 =⎯ với x ∈ Zp* 10 Định lý Euler Giả sử n nguyên ≥ Đặt ϕ(n) số số k cho: ≤ k ≤ n, (k, n)=1 Ta có: xϕ(n) =⎯ với x =⎯ m ∈ ℤn ; (m, n)=1 Ghi chú: Phát biểu dạng cổ điển – – Nếu (x, n) = xϕ(n) ≡ [mod n] Hàm ϕ(n) (gọi hàm phi-ơ-le) tính số học cổ điển 11 Chứng minh định lý Euler Đặt U(Zn) = {⎯ m ∈ ℤn / (m, n)=1 } • Bước 1: Chứng minh (U(Zn) , ) nhóm • Bước 2: Áp dụng hệ định lý Lagrange (tương tự chứng minh định lý Fermat nhỏ) (Xem trình bày chi tiết bảng.) 12 Bài tập Xem danh sách tập: Tập tin Lec3_Probs.pdf 13 Các thuật ngữ • Order of an element: cấp phần tử • Coset, left coset: lớp ghép (trái) • Index of H in G: số nhóm H nhóm G • A devides B: A chia hết B (A ước số B) (tương đương với: B is divisible by A) • divisor: số chia, ước số • Prime: số nguyên tố (p is a prime number ; p is a prime…) • x relatively prime to y; x and y are relatively prime numbers: x y nguyên tố 14 [...]... n)=1 } • Bước 1: Chứng minh (U(Zn) , ) là nhóm • Bước 2: Áp dụng hệ quả của định lý Lagrange (tương tự như trong chứng minh định lý Fermat nhỏ) (Xem trình bày chi tiết trên bảng.) 12 Bài tập Xem danh sách bài tập: Tập tin Lec3_Probs.pdf 13 Các thuật ngữ chính • Order of an element: cấp của một phần tử • Coset, left coset: lớp ghép (trái) • Index of H in G: chỉ số của nhóm con H trong nhóm G • A devides.. .Định lý Euler Giả sử n nguyên ≥ 2 Đặt ϕ(n) là số các số k sao cho: 1 ≤ k ≤ n, (k, n)=1 Ta có: xϕ(n) =⎯ 1 với mọi x =⎯ m ∈ ℤn ; (m, n)=1 Ghi chú: Phát biểu dưới dạng cổ điển – – Nếu (x, n) = 1 thì xϕ(n) ≡ 1 [mod n] Hàm ϕ(n) (gọi là hàm phi-ơ-le) được tính như trong số học cổ điển 11 Chứng minh định lý Euler Đặt U(Zn) = {⎯ m ∈ ℤn / (m, n)=1 } • Bước... ước số B) (tương đương với: B is divisible by A) • divisor: số chia, ước số • Prime: số nguyên tố (p is a prime number ; p is a prime…) • x relatively prime to y; x and y are relatively prime numbers: x và y nguyên tố cùng nhau 14 ...Tóm tắt nội dung • • • • • • • Cấp phần tử Khái niệm lớp ghép tính chất Định lý Lagrange Định lý Fermat nhỏ Định lý Euler Bài tập Thuật ngữ Định nghĩa (cấp phần tử) • Cho nhóm (G, o) a∈G Xét nhóm... cổ điển 11 Chứng minh định lý Euler Đặt U(Zn) = {⎯ m ∈ ℤn / (m, n)=1 } • Bước 1: Chứng minh (U(Zn) , ) nhóm • Bước 2: Áp dụng hệ định lý Lagrange (tương tự chứng minh định lý Fermat nhỏ) (Xem trình... vì: 2⎯2 = ⎯4 ≠ ⎯0 3⎯2 = ⎯6 ≠ ⎯0 4⎯2 = ⎯8 = ⎯0 Lớp ghép (coset) Cho nhóm (G, o) nhóm H≤G a∈G • Tập hợp aH = { a o h / h∈ H} gọi lớp ghép (coset, lớp ghép trái) H G • Nhận xét (với a, b∈G): – Ta