Bài giảng lớp ghép và định lý lagrange PGS TS trần đan thư

Lớp ghép và định lý Lagrange PGS TS Trần Đan Thư tdthu@fit.hcmus.edu.vn... Tóm tắt nội dung• Cấp của một phần tử • Khái niệm về lớp ghép và tính chất • Định lý Lagrange • Định lý Fermat

Lớp ghép và định lý

Lagrange

PGS TS Trần Đan Thư tdthu@fit.hcmus.edu.vn

Tóm tắt nội dung

• Cấp của một phần tử

• Khái niệm về lớp ghép và tính chất

• Định lý Lagrange

• Định lý Fermat nhỏ

• Định lý Euler

• Bài tập

• Thuật ngữ

Định nghĩa (cấp của phần tử)

• Cho nhóm (G, o) và a∈G Xét nhóm con sinh bởi a là

H = < {a} > = { a r / r∈ℤ}.

– Trường hợp H hữu hạn: cấp của a là |H|, tức là số phần tử của

nhóm con sinh bởi a.

– Trường hợp H vô hạn: ta nói a có cấp vô hạn.

• Nhận xét:

– Nếu G hữu hạn thì hiển nhiên cấp a hữu hạn.

– Nếu H hữu hạn tồn tại i và k (với i ≠ k) sao cho a i = ak, ta suy ra

a |i-k| = e Vậy tồn tại số nguyên dương m = |i-k| sao cho a m = e.

– Nếu H vô hạn, không thể tìm được số nguyên dương m sao cho

a m = e, vì nếu ngược lại thì:

H = { a r / r∈ℤ} = {e, a, a2 , …, a m-1 } hữu hạn.

Tính chất (về cấp của phần tử)

Giả sử a∈G, a có cấp hữu hạn Gọi n là số

nguyên dương nhỏ nhất sao cho an = e

(a) H = { ar / r∈ℤ} = {e, a, a2, …, an-1} có đúng n

phần tử.

(b) Cấp a bằng n.

(c) Nếu am = e thì n là ước số của m.

Chứng minh: Xem trình bày trên bảng.

Ghi chú: Đối với nhóm ký hiệu + cũng tương tự.

Ví dụ - Cấp phần tử

• Phần tử -1 có cấp 2 trong nhóm nhân các số

thực khác không, vì: (-1) 2 = 1

• Phần tử i có cấp 4 trong nhóm nhân các số

phức khác không, vì:

i 2 = -1 ≠ 1 ; i 3 = -i ≠ 1; i 4 = 1

• Phần tử⎯2 có cấp 4 trong (ℤ8 , +) vì:

2⎯2 = ⎯4 ≠ ⎯0

3⎯2 = ⎯6 ≠ ⎯0

4⎯2 = ⎯8 = ⎯0

Lớp ghép (coset)

Cho nhóm (G, o) và nhóm con H≤G và a∈G.

• Tập hợp aH = { a o h / h∈ H} được gọi là một

lớp ghép (coset, lớp ghép trái) của H trong G.

• Nhận xét (với mọi a, b∈G):

– Ta luôn có: aH = bH ⇔ a -1 o b ∈ H.

• Nếu aH = bH thì b = b o e ∈ bH = aH ⇒ b = a o h với h ∈ H

Do đó a -1 o b = h ∈ H.

• Nếu a -1 o b ∈ H, ta đặt h = a -1 o b ∈ H, lúc đó với mọi x ∈ H

ta có: b o x = (a o h) o x = a o (h o x) ∈ aH, do đó bH ⊂ aH Tương tự: aH ⊂ bH Vậy: aH = bH.

– Suy ra: nếu aH ∩ bH ≠ ∅ thì aH = bH.

• Nếu aH ∩ bH ≠ ∅, ta lấy c∈ aH ∩ bH ⇒ c = a o h1 = b o h 2 ,

với h 1 , h 2 ∈ H Do đó: a -1 o b = h 1 o h 2 -1 ∈ H ⇒ aH = bH.

Tính chất của lớp ghép

• Với mỗi a∈G, ánh xạ f a: H → aH với f a (h) = a o h là một song ánh, tức là

|H| = | aH | , đặc biệt khi H hữu hạn thì H và aH có cùng số phần tử.

• Trên G, ta định nghĩa quan hệ ~ như sau: a ~ b ⇔ aH = bH, ∀a, b∈G

Quan hệ này có các tính chất:

– Phản xạ

– Đối xứng

– Bắc cầu

Nên là một quan hệ tương đương.

• Lớp tương đương của a chính là tập aH : ⎯a = aH Trường hợp đặc biệt

nếu a ∈ H thì aH=H.

• Nếu số lượng lớp tương đương là hữu hạn (điều này cũng xảy ra khi G

hữu hạn) thì con số này ký hiệu là (G : H) và được gọi là chỉ số của H

trong G (“ the index of H in G”).

Định lý Lagrange

Cho G là nhóm hữu hạn và nhóm con H≤G

|G| = (G : H).|H|, Tức là cấp |H| luôn là ước số của |G|

Hệ quả 1 Nhóm G cấp n, ta có x n = e, ∀x∈G.

Hệ quả 2 Nếu nhóm G cấp p nguyên tố thì:

(a) G chỉ có 2 nhóm con là {e} và chính bản thân G.

(b) G sinh bởi một phần tử, tức là có a∈G sao cho a có

cấp p và G = < {a} >.

Chứng minh: Xem trình bày trên bảng.

Định lý Fermat nhỏ

(a) xp-1 = ⎯ 1 với mọi x ∈ ℤp ; x ≠ ⎯ 0

(b) xp = x với mọi x ∈ ℤp .

Ghi chú: Phát biểu dưới dạng cổ điển

– Nếu p không ước của x thì x p-1 ≡ 1 [mod p] ;

– Ta luôn có: x p ≡ x [mod p].

Ngoài ra, từ (a) ta dễ dàng suy ra (b)

Chứng minh định lý Fermat nhỏ

Đặt Zp* = ℤp \ { ⎯ 0 }.

Bước 1 Chứng minh (Zp*, ) là nhóm

Chỉ cần chứng minh mọi x∈Zp* đều khả nghịch

Xét x =⎯m ≠ ⎯0 thì (m, p)=1 do p nguyên tố

Tồn tại a, b nguyên: am + bp = 1 ⇒ ⎯a ⎯m = ⎯1

Bước 2 Như Zp* là nhóm cấp p-1, theo hệ quả

của định lý Lagrange ta có:

xp-1 = ⎯ 1 với mọi x ∈ Zp*

Định lý Euler

Giả sử n nguyên ≥ 2.

Đặt ϕ(n) là số các số k sao cho: 1 ≤ k ≤ n, (k, n)=1.

Ta có: xϕ(n) =⎯ 1 với mọi x =⎯ m ∈ ℤn ; (m, n)=1

Ghi chú: Phát biểu dưới dạng cổ điển

– Nếu (x, n) = 1 thì xϕ(n) ≡ 1 [mod n]

– Hàm ϕ(n) (gọi là hàm phi-ơ-le) được tính như trong

số học cổ điển.

Chứng minh định lý Euler

Đặt U(Zn) = { ⎯ m ∈ ℤn / (m, n)=1 }.

• Bước 1: Chứng minh (U(Zn) , ) là nhóm.

• Bước 2: Áp dụng hệ quả của định lý

Lagrange (tương tự như trong chứng minh định lý Fermat nhỏ).

(Xem trình bày chi tiết trên bảng.)

Bài tập

Xem danh sách bài tập:

Tập tin Lec3_Probs.pdf

Các thuật ngữ chính

• Order of an element: cấp của một phần tử

• Coset, left coset: lớp ghép (trái)

• Index of H in G: chỉ số của nhóm con H trong

nhóm G

• A devides B: A chia hết B (A ước số B)

(tương đương với: B is divisible by A)

• divisor: số chia, ước số

• Prime: số nguyên tố

(p is a prime number ; p is a prime…)

• x relatively prime to y; x and y are relatively

prime numbers: x và y nguyên tố cùng nhau