Các phương pháp duyệt cây

Các phương pháp duyệt cây

BỘ CÔNG THƯƠNGTRƯỜNG ĐHCN TP.HỒ CHÍ MINHKHOA SAU ĐẠI HỌCĐỒ ÁNTÌM HIỂU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DUYỆT CÂYGV híng dÉn : Đỗ Thị HoµSinh viªn thùc hiÖn : Ng« V¨n AnhLíp : Đại học Tin Học 5 Liên Thông Thái Bình Th¸i B×nh, th¸ng 11 n¨m 2010MỤC LỤC2 Lời mở đầuCùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, công nghệ thông tin nói chung và bộ môn cấu trúc dữ liệu và giải thuật nói riêng ngày càng được ứng dụng rộng trong nhiều lĩnh vực. Với một cơ sở dữ liệu khổng lồ, việc đưa ra một phương pháp nhằm giải quyết vấn đề tìm kiếm dữ liệu có hiệu quả và nhanh nhất luôn được sự quan tâm của các nhà phát triển phần mềm. Thông thường dữ liệu được biểu diễn dưới dạng các danh sách liên kết. Việc truy xuất dữ liệu chưa đạt hiệu quả cao. Sử dụng cấu trúc dữ liệu dạng cây là một giải pháp nhằm tăng hiệu xuất trong các thao tác xử lý. Vấn đề đặt ra: Với việc sử dụng cấu trúc dạng cây, chúng ta cần dùng giải thuật nào với từng dạng dữ liệu để đạt hiệu quả cao nhất. Để giải quyết vấn đề trên ta cùng tìm hiểu một số phương pháp duyệt cây.3 Phần I Tổng quanI. Cấu trúc cây.1. Định nghĩa:Cây là một tập hợp T các phần tử (nút trên cây) trong đó có 1 nút đặc biệt T0 được gọi là gốc, các nút còn khác được chia thành những tập rời nhau T1, T2 , . , Tn theo quan hệ phân cấp trong đó Ti cũng là một cây. Nút ở cấp i sẽ quản lý một số nút ở cấp i+1. Quan hệ này người ta còn gọi là quan hệ cha-con. Cây không có phần tử nào gọi là cây rỗng.Ví dụ:2. Một số khái niệm.2.1. Bậc của một nút:Bậc của một nút là số cây con của nút đó.Ví dụ: nút T2 trong cây trên có bậc bằng 22.2. Bậc của một cây:Bậc của một cây là bậc lớn nhất của các nút trong cây. Cây có bậc n thì gọi là cây n-phânVí dụ: Cây trên có bậc bằng 3(bằng bậc của nút gốc) và cây trên được gọi là cây 3-phân2.3. Nút gốc:Nút gốc là nút không có nút chaVí dụ: nút gốc của cây trên là nút T22.4. Nút lá:Nút là là nút có bậc bằng 0. Nút lá không là cha của một nút khác.Ví dụ: cây trên có các nút lá: T5 , T6 , T11, T12, T13, T14, T15, T16, T104 2.5. Nút trung gian:Nút trung gian hay còn gọi là nút giữa là nút có bậc khác 0 và không phải là nút gốc.Ví dụ: Cây trên có các nút trung gian : T2 , T3 , T4, T7, T8, T9.2.6. Nút cha, nút conNút B được gọ là nút cha của nút C nếu nút B là nút trước của nút C và mức của nút C lớn hơn mức của nút B là 1. Khi đó nút C được gọi là nút con của nút B.Ví dụ: Trong cây trên Nút T3 là nút cha của các nút T7, T8, ngược lại các nút T7, T8 là nút con của nút T3.2.7. Mức của một nút:Mức Nút gốc (T0) =1Gọi T1, T2 , T3, … , Tn là các cây con của T0Mức (T1) = Mức (T2) = Mức (T3) = … = Mức (T0) +1Ví dụ: Mức của các nút trong cây trênMức của các nút: T5, T6, T7 , T8, T9 , T10 bằng 3Mức của các nút: T11, T12, T13 , T14, T15 , T16 bằng 42.8. Chiều cao của cây:Chiều cao của một cây hay còn gọi là chiều sâu của cây là mức cao nhất của các nút lá trong cây.Ví dụ: Cây trên nút chiều cao là 4, bằng mức lớn nhất của các nút lá.2.9. Nút trước và nút sau của một mức:Nút T được gọi là nút trước của nút S nếu cây con có gốc là T chứa cây con có gốc là S. Khi đó nút S được gọi là nút sau của nút T.Ví dụ: nút T3 là nút trước của các nút T11, T12, T13, T14. Ngược lại các nút T11, T12, T13, T14 là nút sau của nút T3.2.10. Chiều dài đường đi.Chiều dài đường đi của một nút là số nhánh cần đi qua tính từ nút gốc để đi đến nút đó. Chiều dài đường đi của nút gốc luôn bằng 1, chiều dài đường đi tới một nút bằng chiều dài đường đi tới nút cha cộng thêm 1.Ví dụ: Chiều dài đường đi tới nút T3 là 2.Chiều dài đường đi của một cây là tổng tất cả các chiều dài đường đi của tất cả các nút trên cây.5 Ví dụ: Chiều dài các nút trong cây trên:Nút gốc có chiều dài bằng 1.Các nút: T1, T2 , T3 bằng 2 -> tổng bằng 6.Các nút: T5, T6, T7 , T8, T9 , T10 bằng 3 -> tổng bằng: 18Các nút: T11, T12, T13 , T14, T15 , T16 bằng 4 -> tổng bằng 24Tổng đường đi của cây trên là : 1 + 6 + 18 + 24 = 49.2.11. Rừng:Rừng là tập hợp các cây.Một cây khác rỗng khi mất gốc sẽ trở thành một rừng.3.Biểu diễn cây.Có nhiều phương pháp biểu diễn cây. Cách thường dùng nhất là biểu diễn mỗi nút như một dữ liệu kiểu bản ghi, mỗi nút chứa các con trỏ tới các con hoặc cha của nó, hoặc cả hai. Cây cũng có thể biểu diễn bằng các mảng cùng với quan hệ giữa các vị trí trong mảng.3.1 Biểu diễn bằng các nút với các con trỏMỗi nút là một dữ liệu kiểu bản ghi với ban trường: Một trường thường gọi là INFOR chứa thông tin lưu trữ tại nút đó. Thông tin này có thể chỉ là một số, một ký tự, cũng có thể là một tập hợp dữ liệu rất phức tạp. Hai trường Llink và Rlink chứa các liên kết trái và phải. Nếu cây là cây nhị phân Llink trỏ tới con trái của nút, Rlink trỏ tới con phải của nút. Nếu cây là cây tổng quá, Llink trỏ tới con cực trái và Rlink trỏ tới em kế cận phải của nút đó. Do đó danh sách các nút biểu diễn một cây tổng quát, khi được xem là biểu diễn của cây nhị phân sẽ cho một cây nhị phân. Cây nhị phân này được gọi là cây nhị phân tương đương với cây tổng quát ban đầu.3.2 Biểu diễn cây nhị phân bằng mảngCây nhị phân đầy đủ là cây nhị phân, trong đó mỗi nút trong chỉ có hai con. Cây nhị phân hoàn chỉnh là cây nhị phân đầy đủ trong đó tất cả các lá đề ở mức cao nhất. Một cây nhị phân hoàn chỉnh chiều cao h chỉ có 2h +1 – 1 nút.Người ta có thể dùng một mảng gồm 2h +1 -1 phần tử để biểu diễn cây hoàn chỉnh, bằng cách lần lượt lưu trữ thông tin của mỗi nút vào mảng theo thứ tự từ trên xuống dưới, từ trái sang phải. Khi đó Con trái của nút thứ i là phần tử thứ 2*i6 Con phải là phần tử thứ 2*i +1Cha của phần tử thứ i là phần tử thứ int(i/2).Nếu cây là không hoàn chỉnh, ta gán giá trị Null cho các vị trí còn thiếu so với cây nhị phân hoàn chỉnh.Một cách khác, dùng mảng hai chiều trong dòng thứ nhất ghi các thông tin của nút, dòng thứ hai ghi chỉ số của nút cha của nút đó với dấu (+)nếu nút hiện tại là con trai, với dấu (–) nếu nút hiện tại là con phải cua nút cha.II. Các dạng cây thường gặp1. Cây nhị phân1.1 Định nghĩaCây nhị phân là cây mà mỗi nút có tối đa 2 cây con Cây nhị phân có thể ứng dụng trong nhiều bài toán thông dụng, Ví dụ 1.2. Một số tính chất của cây nhị phân: - Số nút ở mức I ≤ 2I-1. - Số nút ở mức lá ≤ 2h-1, với h là chiều cao của cây. - Chiều cao của cây h ≥ log2N (N - số nút trên trong cây). 1.3. Biểu diễn cây nhị phân T Cây nhị phân là một cấu trúc bao gồm các phần tử (nút) được kết nối với nhau theo quan hệ “cha-con” với mỗi cha có tối đa 2 con. Để biểu diễn cây nhị phân ta chọn phương pháp cấp phát liên kết. Ứng với một nút, ta dùng một biến động lưu trữ các thông tin: 7 + Thông tin lưu trữ tại nút. + Địa chỉ nút gốc của cây con trái trong bộ nhớ. + Địa chỉ nút gốc của cây con phải trong bộ nhớ. Khai báo như sau: typedef struct tagTNODE { Data Key;//Data là kiểu dữ liệu ứng với thông tin lưu tại nút struct tagNODE *pLeft, *pRight; 5}TNODE; typedef TNODE *TREE; 1.4. Các thao tác trên cây nhị phân Thăm các nút trên cây theo thứ tự trước (Node-Left-Right) Thăm các nút trên cây theo thứ tự giữa (Left- Node-Right) Thăm các nút trên cây theo thứ tự sau (Left-Right-Node)2. Cây nhị phân tìm kiếmCây nhị phân tìm kiếm là cây nhị phân trong đó tại mỗi nút, khóa của nút đang xét lớn hơn khóa của tất cả các nút thuộc cây con trái và nhỏ hơn khóa của tất cả các nút thuộc cây con phải.Ví dụ:Nhờ ràng buộc về khóa trên CNPTK, việc tìm kiếm trở nên có định hướng. Hơn nữa, do cấu trúc cây việc tìm kiếm trở nên nhanh đáng kể. Chi phí tìm kiếm trung bình chỉ khoảng log2N.Trong thực tế, khi xét đến CNP chủ yếu người ta xét CNPTK2.1 Các thao tác trên cây2.1.1 Thăm các nút trên cây2.1.2 Tìm một phần tử X trong cây8 Dễ dàng thấy rằng số lần so sánh tối đa phải thực hiện để tìm phần tử X là bằng h, với h là chiều cao của câyVí dụ: tìm phần tử 55So sánh X=55 với gốc là 44 vì 55>44 nên sẽ tìm kiếm nhánh bên phải của câyTiếp theo lại so sánh X với gốc của cây con nhỏ 88 vì 55 <88 nên tìm ở nhánh trái của cây có gốc 88Tiếp tục so sánh với cây con gốc 59: 55<59 tìm nhánh bên trái -> kết quả2.1.3 Thêm một phần tử X vào câyViệc thêm một phần tử X vào cây phải bảo đảm điều kiện ràng buộc của CNPTK. Ta có thể thêm vào nhiều vị trí khác nhanh trên cây, nhưng nếu thêm vào một nút là thì sẽ dễ nhất do ta có thể thực hiện quá trình tương tực thao tác tìm kiếm. Khi chấm dứt quá trình tìm kiếm ta sẽ tìm đượ vị trí cần thêm.Hàm insert trả về giá trị –1, 0, 1 khi không đủ bộ nhớ, gặp nút cũ hay thành công: int insertNode(TREE &T, Data X) { if(T) { if(T->Key == X) return 0; //đã có if(T->Key > X) return insertNode(T->pLeft, X); else return insertNode(T->pRight, X); } T = new TNode; if(T == NULL) return -1; //thiếu bộ nhớ T->Key = X; T->pLeft =T->pRight = NULL; return 1; //thêm vào thành công }2.1.4. Hủy một phần tử có khóa x 9 Việc hủy một phần tử X ra khỏi cây phải bảo đảm điều kiện ràng buộc của CNPTK. Có 3 trường hợp khi hủy nút X có thể xảy ra: X - nút lá. X - chỉ có 1 cây con (trái hoặc phải). X có đủ cả 2 cây con Trường hợp thứ nhất: chỉ đơn giản hủy X vì nó không móc nối đến phần tử nào khác. Trường hợp hai: Trước khi hủy X ta móc nối cha của X với con duy nhất của nó.Trường hợp cuối cùng: ta không thể hủy trực tiếp do X có đủ 2 con => ta sẽ hủy gián tiếp. Thay vì hủy X, ta sẽ tìm một phần tử thế mạng Y, Phần tử này có tối đa một con. Thông tin lưu tại Y sẽ được chuyển lên lưu tại X. Sau đó, nút bị hủy thật sự sẽ là Y giống như 2 trường hợp đầu.Vấn đề là phải chọn Y sao cho khi lưu Y vào vị trí của X, cây vẫn là CNPTK.Sẽ có 2 phần tử thỏa mãn yêu cầu:Phần tử nhỏ nhất (trái nhất ) trên cây con phải.Phần tử lớn nhất(Phải nhất)trên cây con trái/Việc chọn lựa phần tử nào là phần tử thế mạng hoàn toàn phụ thuộc vào ý thích của người lập trình. Ở đây, chúng ta sẽ chọn phần tử(phải nhất) trên cây con trái làm phần tử thế mạng.10 [...]... đề trên ta cùng tìm hiểu một số phương pháp duyệt cây. 3 2.5-Left Node Right Cách duyệt: Trước tiên thăm các nốt của cây con trái sau đó thăm nốt gốc rồi đến cây con phải. Giải thuật: Algorithm recursive_LNR Input: subroot là con trỏ node gốc và hàm visit Output: kết quả phép duyệt 1. if (cây con không rỗng) 1.1. Call recursive_LNR với nhánh trái của subroot 1.2. Duyệt node subroot bằng hàm visit ... rỗng khi mất gốc sẽ trở thành một rừng. 3.Biểu diễn cây. Có nhiều phương pháp biểu diễn cây. Cách thường dùng nhất là biểu diễn mỗi nút như một dữ liệu kiểu bản ghi, mỗi nút chứa các con trỏ tới các con hoặc cha của nó, hoặc cả hai. Cây cũng có thể biểu diễn bằng các mảng cùng với quan hệ giữa các vị trí trong mảng. 3.1 Biểu diễn bằng các nút với các con trỏ Mỗi nút là một dữ liệu kiểu bản ghi với... chứa các liên kết trái và phải. Nếu cây là cây nhị phân Llink trỏ tới con trái của nút, Rlink trỏ tới con phải của nút. Nếu cây là cây tổng quá, Llink trỏ tới con cực trái và Rlink trỏ tới em kế cận phải của nút đó. Do đó danh sách các nút biểu diễn một cây tổng quát, khi được xem là biểu diễn của cây nhị phân sẽ cho một cây nhị phân. Cây nhị phân này được gọi là cây nhị phân tương đương với cây. .. mạng. 10 III Các phương pháp duyệt cây 1. Định nghĩa Duyệt một cây là một trình tự làm việc với các nút trong cây, trình tự này giống như một chuyến đi qua các nút trên cây theo các liên kết cha-con. Các giải thuật duyệt khác nhau về thứ tự “viếng thăm” giữa một nút cha và các nút con. 2. Một số phương pháp duyệt cây: Back tracking Breadth first search Depth first search. Node Left Right Left Node Right ... của X, cây vẫn là CNPTK. Sẽ có 2 phần tử thỏa mãn yêu cầu: Phần tử nhỏ nhất (trái nhất ) trên cây con phải. Phần tử lớn nhất(Phải nhất)trên cây con trái/ Việc chọn lựa phần tử nào là phần tử thế mạng hoàn toàn phụ thuộc vào ý thích của người lập trình. Ở đây, chúng ta sẽ chọn phần tử(phải nhất) trên cây con trái làm phần tử thế mạng. 10 III Các phương pháp duyệt cây 1. Định nghĩa Duyệt một cây là... nghĩa Cây nhị phân là cây mà mỗi nút có tối đa 2 cây con Cây nhị phân có thể ứng dụng trong nhiều bài tốn thơng dụng, Ví dụ 1.2. Một số tính chất của cây nhị phân: - Số nút ở mức I ≤ 2 I-1 . - Số nút ở mức lá ≤ 2 h-1 , với h là chiều cao của cây. - Chiều cao của cây h ≥ log 2 N (N - số nút trên trong cây) . 1.3. Biểu diễn cây nhị phân T Cây nhị phân là một cấu trúc bao gồm các phần tử (nút) được... } } 18 Ví dụ: Chiều dài các nút trong cây trên: Nút gốc có chiều dài bằng 1. Các nút: T 1 , T 2 , T 3 bằng 2 -> tổng bằng 6. Các nút: T 5 , T 6 , T 7 , T 8 , T 9 , T 10 bằng 3 -> tổng bằng: 18 Các nút: T 11 , T 12 , T 13 , T 14 , T 15 , T 16 bằng 4 -> tổng bằng 24 Tổng đường đi của cây trên là : 1 + 6 + 18 + 24 = 49. 2.11. Rừng: Rừng là tập hợp các cây. Một cây khác rỗng khi mất... tổng quát ban đầu. 3.2 Biểu diễn cây nhị phân bằng mảng Cây nhị phân đầy đủ là cây nhị phân, trong đó mỗi nút trong chỉ có hai con. Cây nhị phân hoàn chỉnh là cây nhị phân đầy đủ trong đó tất cả các lá đề ở mức cao nhất. Một cây nhị phân hoàn chỉnh chiều cao h chỉ có 2h +1 – 1 nút. Người ta có thể dùng một mảng gồm 2h +1 -1 phần tử để biểu diễn cây hoàn chỉnh, bằng cách lần lượt lưu trữ thông tin... int(i/2). Nếu cây là khơng hồn chỉnh, ta gán giá trị Null cho các vị trí cịn thiếu so với cây nhị phân hồn chỉnh. Một cách khác, dùng mảng hai chiều trong dòng thứ nhất ghi các thơng tin của nút, dịng thứ hai ghi chỉ số của nút cha của nút đó với dấu (+)nếu nút hiện tại là con trai, với dấu (–) nếu nút hiện tại là con phải cua nút cha. II. Các dạng cây thường gặp 1. Cây nhị phân 1.1 Định nghĩa Cây nhị... một phương pháp nhằm giải quyết vấn đề tìm kiếm dữ liệu có hiệu quả và nhanh nhất ln được sự quan tâm của các nhà phát triển phần mềm. Thông thường dữ liệu được biểu diễn dưới dạng các danh sách liên kết. Việc truy xuất dữ liệu chưa đạt hiệu quả cao. Sử dụng cấu trúc dữ liệu dạng cây là một giải pháp nhằm tăng hiệu xuất trong các thao tác xử lý. Vấn đề đặt ra: Với việc sử dụng cấu trúc dạng cây, . log2(n).11 III Các phương pháp duyệt cây1 . Định nghĩaDuyệt một cây là một trình tự làm việc với các nút trong cây, trình tự này giống như một chuyến đi qua các nút. trên cây theo các liên kết cha-con. Các giải thuật duyệt khác nhau về thứ tự “viếng thăm” giữa một nút cha và các nút con.2. Một số phương pháp duyệt cây: Back