Câu 1: Tính giới hạn bội: x3 + y a ) lim x →0 x + y y →0 x3 y3 x3 + y x3 y3 Có : ≤ ≤ + ≤ + ≤ x + y 2 x3 + y x +y x +y x +y x y ⇒ lim =0 x→0 x + y y →0 Mà : lim( x + y ) = x →0 y →0 x3 + y ⇒ lim =0 x →0 x + y y →0 b) lim x →0 y →0 ( xSin y x x2 + y2 ) ( ) ( ) Sin y x xSin y x y3x2 y3x2 Có : lim = lim = lim x→0 x →0 x + y2 x2 + y2 y3x x + y2 xy→ y →0 y →0 →0 Mà : ≤ y3x2 x2 + y2 x →0 y →0 x2 lim y = Mặt khác: ⇒lim ≤ y3x2 ( x →0 y →0 ) = y3 y3x2 y3 x2 ⇒ lim = ⇒ lim =0 x →0 x + y x →0 x + y y →0 y →0 xSin y x =0 x2 + y2 Câu 2: Xét hội tụ, phân kì tích phân suy rộng loại 1: +∞ a ) ∫ xα e −βx dx ( α , β > 0) xα (1 + x ) = (Vì nhân lên hàm lũy thừa chậm hàm mũ) x →+∞ e βx xα (1 + x ) ⇒ ∃ A > cho v ∀x > A ta có : cho v ∀x > A ta có : βx < e + x2 lim Mặt khác +∞ Mà tích phân dx ∫1 + x hội tụ vì: +∞ a dx dx π = lim = lim arctan x = ∫1 + x a→+∞ ∫1 + x a→+∞ 1 ⇒ a +∞ ∫x α e − βx dx ( α , β > 0) hội tụ +∞ −2 x b) ∫ e Cosx dx = (1 + x ) +∞ e −2 x Cosx ∫1 (1 + x ) (1 + x ) dx + ∞ dx hội tụ ∫ (1 + x ) Có : −2 x Cosx e Cosx = ≤1 2x (1 + x ) ( + x ) e +∞ −2 x Theo tiêu chuẩn dirichlet tích phân ∫ e Cosx dx hội (1 + x ) tụ Câu 3: Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng loại 2: dx K = a) ∫0 xα Với t ∈ (0;1) ta có: 1 (1 − t 1−α ) α ≠ dx − α I(t) = ∫ α = x t − ln t α = I (t ) = lim+ (1 − t 1−α ) = ; Với α < : K = tlim →0+ t →0 1−α 1−α I (t ) = lim+ (1 − t 1−α ) = +∞ ; Với α > : K = tlim →0+ t →0 1−α lim I ( t ) = lim ( − ln t ) = + ∞ ; Với α = : K = t →0+ t →0 + Kết luận: Tích phân suy rộng K = ∫ b) I = dx ∫ − x3 Xét : − x3 Ta có: dx : + hội tụ α < xα + phân kỳ α ≥ ∫ = ( − x)(4 + x + x ) tương đương với 12 ( − x ) 2 dx = dx ... x ) tương đương với 12 ( − x ) 2 dx = dx