20 đề luyện giải tích 2 TS đặng văn vinh

www.tanbachkhoa.edu.vn Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh Thời gian làm bài: 90phút Đề luyện tập số Câu Tìm khai triển Taylor f ( x, y ) = 2x + y điểm (2,1) đến cấp x+ y Câu Tìm cực trị hàm z = x + y + xy − 12 x − y 2 n ∞ u   2  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ n với un=  +  vn= 1 +  n    n n =1 v n n2 (−1)n −1 x n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ n n =1 (3n − 1) Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ dxdy , D miền phẳng giới 2 D x + y ∞ hạn x ≤ x + y ≤ x, y ≥ x , 2 ( Câu Tính tích phân I = ∫ e C x2 ) + xy dx + ( y cos y + x )dy với C chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ Câu Tính I = ∫ ydx + ( z + x)dy + xdz , với C giao x + y = z = y + , chiều kim đồng C hồ theo hướng dương trục 0z ( Câu Tính tích phân mặt loại I = ∫∫ x + y nằm hai mặt phẳng z = 0, z = S 2 ) dS , S phần mặt nón z = x + y2 , Đề luyện tập số Câu Cho hàm f ( x, y ) = xe xy 2 Tính d f (2,1) Câu Tìm gtln, gtnn f ( x, y ) = ( y − x )e1− x + y2 miền D = {( x, y ) | x + y ≤ 4}  n −1  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số: a/ ∑   n=2  n +  ∞ n ( n+ 2) 1.3.5 (2n − 1) n +1 n =1 2.4.6 ( n) ∞ b/ ∑ (−1)n ( x − 3)n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa ∑ n =1 2n + ln n ∞ Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ e − x2 − y2 dxdy , D miền phẳng giới hạn D ≤ x + y ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x , 2 Câu Tính tích phân I = ∫ ( x + y ) dx + ( x − y )dy , với C phần đường cong y = x + sin x , từ A(0,0) đến B(π , π ) C Câu Tìm diện tích phần mặt cầu z = R − x − y nằm hình trụ x + y = Rx Câu Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy , với S biên vật thể giới hạn S x + y + z ≤ 4, z ≥ x + y , phía 2 2 Đề luyện tập số x Câu Cho hàm f ( x, y ) = (2 x + y )ln Tính d f (1,1) y + với x > 0, y > x y Câu Tìm cực trị hàm số z = xy + ⋅ ⋅ 7⋯ (3n − 2) (2n − 1)!! n =1 ∞ Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ n!( x − 4) n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa ∑ nn n =1 Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x + 2) dxdy , D miền phẳng giới hạn ∞ D 2 x y + ≤ 1, y ≥ Câu Tính tích phân I = ∫ ( x + y ) dx + ( x + y ) dy , C biên miền phẳng giới bở i C hạn y = − x , y = − x , chiều kim đồng hồ Câu Tìm diện tích phần mặt z = x + y nằm hình cầu x + y + z = z Câu Tính I = ∫∫ xdS , với S phần mặt trụ x + y = nằm hai mặt phẳng z = 1, z = S Đề luyện tập số Câu Cho hàm f ( x, y ) = y + sin ( x − y ) Tính d f (0,0) 2 Câu Tìm cực trị hàm z = x y + 12 x − y 2 ⋅ ⋅ 8⋯ (3n − 1) n =1 ⋅ ⋅ 9⋯ (4 n − 3) ∞ Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ (−1)n ( x + 1) n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa ∑ 3n n =1 (n + 1)ln( n + 1) ∞ Câu Tính tích phân ∫∫ x + y ln( x + y 2) dxdy với D miền ≤ x2+y2 ≤ e2 D Câu Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với h(y) vừa tìm, tính tích phân ∫ [h( y ) P( x, y )dx + h( y )Q( x, y )dy ] L đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều L ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2) Câu Tìm diện tích phần mặt z + x + y = nằm hình paraboloid z = x + y Câu Tính I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy , với S nửa mặt cầu x + y + z = z , phía S Đề luyện tập số  f = f (u ) = u + sin u; ∂2 f , với  x ∂x∂y u = xy + e Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = x + 12 xy + y ; x + y = 25 Câu Tính ∞  2n  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ n +   n =1  n −1 Câu Tính tích phân ∫∫ arctg ( ∞ (−1) n+1 n +1 ( x − 5) n n =1 (n + 1) ln(n + 1) ∑ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi: 3n ) x + y dxdy với D hình tròn: x2+y2 ≤ D Câu Chứng tỏ tích phân I = ∫ e x− y C [(1 + x + y )dx + (1 − x − y )dy ] không phụ thuộc đường x2 y2 Tính tích phân I với C phần ellipse + = từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ Câu Tìm thể tích vật thể giới hạn y = − x , y = 1, z = 0, z = x , lấy phần z ≥ Câu Tính I = ∫∫ xdydz + ( y + z ) dxdz + z dxdy , với S phần mặt phẳng x + y + z = nằm S hình trụ x + y = y , phía 2 Đề luyện tập số ∂2z (1,1) ∂x∂y Câu Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1 Câu Cho hàm biến z = z(x, y) = 3e x y Tính dz(1,1) ⋅ ⋅ 9⋯ n Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ n =1 (4n − 3)!! ∞ ∞ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa (−1) n n +1 ∑4 n =0 n+2 n +1 ( x − 1) n Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ − x − y dxdy , D miền phẳng giới hạn 2 D x + y = 1, y ≤ x 2 Câu Tính tích phân I = ∫ ( x y + x − y ) dx + ( y − x − xy ) dy , với C nửa bên phải đường 2 C tròn x + y = y , chiều kim đồng hồ 2 Câu Tính tích phân đường loại I = ∫∫ x + y dl , với C nửa đường tròn x + y = y C Câu Dùng công thức Stokes, tính I = ∫ ( x + y)dx + (2 x − z )dy + ydz , với C giao C x + y + z = x + y + z = , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z Đề luyện tập số Câu Cho hàm biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2) Tính dz( 2,1) ∂2z ( ,1) ∂x Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = − x − y; x − y = ∞ 2n n! Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ n n =1 n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Câu Tính tích phân ∫∫ dxdy 3+ x + y ∞ (n + 2)(x + 1)n n =0 n + n + ∑ với D miền phẳng hữu hạn giới hạn đường x2+y2= 1(x, y ≥ 0), x2+y2=33 (x, y ≥ ), y=x, y = x Câu Cho hàm P(x,y)= 2yexy + e αx cosy, Q(x,y)= 2xexy- e αx siny α số Tìm α để biểu thức Pdx + Qdy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với α vừa tìm được, tính tích phân đường ∫ [( x, y ) − y ]dx + [Q( x, y ) + x ]dy ( γ ) đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương γ (ngược chiều kim đồng hồ) Câu Tính tích phân mặt loại I = ∫∫ x dS , với S nửa mặt x + y + z = S Câu Dùng công thức Stokes, tính I = ∫ (3x − y )dx + (3 y − z )dy + (3 z − x )dz , với C giao C z = x + y z = − y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z 2 Đề luyện tập số Câu Tìm zx' , zy' hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình x + y + yz = ln z Câu Tìm gtln, gtnn f ( x, y ) = x + y + x y + miền D = {( x, y ) | | x |≤ 1,| y |≤ 1} ∞  2n  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số a/ ∑   n =  2n +  ∞ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ n =1 Câu Tính tích phân kép ∫∫ n ( n −1) ∞ b/ 1.4.9 n n + ∑ n =1 1.3.5 ( n − 1) n! (−1) n ( x − 2) n 3n +1 n4 + n2 + − x − y dxdy với D miền phẳng hữu hạn giới hạn đường D tròn x + y = 9, y ≥ đường thẳng y = x, y = -x 2 −y Câu Cho hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q ( x, y ) = (1 − x − y )e Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với h(x) vừa tìm, tính tích phân ∫ [h( x) P( x, y )dx + h( x)Q( x, y )dy ] L đường tròn x2 + y2 = nằm bên phải trục L tung, chiều từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3) Câu Tính I = ∫∫∫ zdxdydz , với V giới hạn x + y + z ≤ z z + x + y = V Câu Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + y )dydz + ( y + z ) dxdz + ( z + x ) dxdy , với S phần mặt S paraboloid z = x + y , bị cắt z = − x , phía 2 Đề luyện tập số  2−1  x + y , if ( x, y ) ≠ (0, 0) Câu Tìm miền xác định miền giá trị f ( x, y ) = e  −3, if ( x, y ) = (0, 0) 2 Câu Tìm cực trị hàm f(x, y)= x - 2xy+ 2y - 2x+ 2y +4 ∞ Câu Khảo sát hội tụ ∑ (u n + v n ) với u n n =1 ∞ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ n =0  4n −  =   4n +  ( x + 3) n n ( n +1) , = 2.4.6 (2n).n n 4.7.10 (3n + 1).n! n + 2.4 n + ∫∫ dxdy với D miền phẳng giới hạn đường tròn x +y Câu Tính J= = 2x, x2+y2 = 6x D đường thẳng y = x, y = Câu Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = để tích phân đường sau không phụ thuộc đường I= ∫ h( x − y ) x( x + y )dy − y ( x + y )dx với AB cung không cắt đường x2 = y2 [ ] AB Câu Tính I = ∫∫∫ ( x + yz )dxdydz , với V giới hạn z = x + y z + x + y = V Câu Tính tích phân mặt I = ∫∫ xdydz + ( y + z ) dxdz + ( z + y ) dxdy , với S phần mặt S paraboloid x + y + z = x , phần z ≤ , phía 2 Đề luyện tập số 10  xy , if ( x, y ) ≠ (0, 0)  Câu Tính f xy (0, 0) f ( x, y ) =  x + y  0, if ( x, y ) = (0, 0)  // Câu Tìm cực trị hàm z = x + y − x − y − xy , x ≠ 4 2 2n  n +1  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑   n =1  2n +  ∞ ( x − 4) n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa ∑ n =1 n n + Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x + | y |) dxdy , D miền phẳng giới ∞ D hạn x + y ≤ 4, x ≥ 2   x y y 1 − dx + + ∫(1,1)  x + y x   x + y x dy , theo đường cong C     (2,3) Câu Tính tích phân I = không qua gốc O không cắt trục tung Câu I = ∫∫∫ dxdydz , với V giới hạn x + y + z ≤ z ≥ x + y 2 x + y + z V Câu Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + z )dydz + ( y + x ) dxdz + ( z + y ) dxdy , với S phần mặt S paraboloid z = x + y nằm mặt x + z = , phía 2 ... phía 2 Đề luyện tập số  2 1  x + y , if ( x, y ) ≠ (0, 0) Câu Tìm miền xác định miền giá trị f ( x, y ) = e  −3, if ( x, y ) = (0, 0) 2 Câu Tìm cực trị hàm f(x, y)= x - 2xy+ 2y - 2x+ 2y +4... , = 2. 4.6 (2n).n n 4.7.10 (3n + 1).n! n + 2. 4 n + ∫∫ dxdy với D miền phẳng giới hạn đường tròn x +y Câu Tính J= = 2x, x2+y2 = 6x D đường thẳng y = x, y = Câu Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = để tích. .. theo hướng dương trục 0z Đề luyện tập số Câu Cho hàm biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2) Tính dz( 2, 1) ∂2z ( ,1) ∂x Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = − x − y; x − y = ∞ 2n n! Câu Khảo sát hội