Bài giảng lý thuyết các hiện tượng tới hạn chương 3 (tt)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Chương Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa Renormalization group method Lý thuyết tượng tới hạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.4 Mối liên hệ nhóm RG số tới hạn Sơ đồ áp dụng phương pháp nhóm TCH: • Bước 1: chọn Hamiltonian cụm tương thích cho hệ cần khảo sát; suy thành phần μ  xác định không gian tham số • Bước 2: thực phép biến đổi nhóm TCH Rsμ = μ’ qua giai đoạn:   • • phép biến đổi Kadanoff Ks,, phép biến thang (ký hiệu lại biến spin) Bước 3: giải phương trình Rsμ* = μ*  tìm điểm bất động μ* Bước 4: xác định thành phần ma trận RsL R  L s                * giải phương trình trị riêng RsL  tìm trị riêng ρj(s) = syj  xác định thông số yj  tìm ν, η  tìm số tới hạn lại định luật scaling Lý thuyết tượng tới hạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss Mục đích: minh họa sơ đồ ứng dụng phương pháp nhóm TCH qua mô hình cụ thể  Làm rõ ý nghĩa số khái niệm đưa trước Lý thuyết tượng tới hạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.1 Bước 1: chọn Hamiltonian cụm, xác định không gian tham số • Xét hệ sắt từ:  mô tả Hamiltonian cụm GL  thông số trật tự: độ từ hóa m =  số chiều không gian: d   số thành phần spin cụm: n  x  { 1x ,  x , ,  nx } • Hamiltonian biểu diễn tọa độ từ trường h = :  1    2 H   d d x r0 ( x)  u ( x)  c (x)     • (1) Hamiltonian biểu diễn vector sóng: u H   ( r0  ck )  ik  L d i ,k   ta thay   (x)  L d /  k n   k ,k ,k  i , j 1 ( k,k ,k  Λ ) eikx k ( k  ) Lý thuyết tượng tới hạn ik  ik  jk j ,  k k k  (2) (3) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.1 Bước 1: chọn Hamiltonian cụm, xác định không gian tham số (tt) • So sánh  2 d 4   H[ ] / T   d x[a0  a2  a4  c( )  h ]  d  2 4 2 H   d x r0 (x)  u (x)  c (x)     • • (1) Hamiltonian (1) (2) không chứa số hạng ~ σ0 (với hệ số a0.) h = Ở đây, ta ký hiệu lại r0 u c a2  , a4  , c     ( r0 , u , c) • Điểm μ không gian tham số:    0 1  Lý thuyết tượng tới hạn (4) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.2 Bước 2: thực phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa • Tìm điểm μ’ = Rs μ qua bước:   • Phép biến đổi Kadanoff Phép biến thang Phép biến đổi Rs không gian vector sóng e H  với     H  d q  e    q  k s s d / 2 sk  (  sq ) (5) s  s a , a  (    d ) s s d /  s1/ ( 2  d )  d /  s1 /  bước (phép biến thang):  k  s 1 /   sk Lý thuyết tượng tới hạn (6) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.2 Bước 2: thực phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) • Đặt: d    d q (  sq ) • n q    d iq (7) i 1 q (  sq ) Viết lại biểu thức (5) định nghĩa phép biến đổi Rs: e  H   ALd    e  H d     k  s1 / 2 sk Số hạng ALd liên quan đến số hạng không chứa σk Lý thuyết tượng tới hạn (8) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.2 Bước 2: thực phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) Xét trường hợp đơn giản nhất: u = (bỏ qua số hạng chứa σ4) • Thay u = vào biểu thức Hamiltonian biểu diễn vector sóng H  2 ( r  c k )  ik       i ,k ( k  )    ( r0 ,0, c) • (9) Hàm phân bố cho tất biến ngẫu nhiên có dạng Gauss: P~e H  e  ( r0  ck ) /  ik i ,k ( k  ) • Tích phân (8) trở thành d e H  AL e  H   ALd          d iq exp  (r0  ck )  ik i ,k q i   (  s  q  ) (k )    e  H d    (8)  k  s1 / 2 sk Lý thuyết tượng tới hạn      1 /    k s  sk (10) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.2 Bước 2: thực phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) • Tách tổng: • Xét biểu thức   k   k  s    sk   s      2    2      d  exp ( r c q )  exp ( r c k )    0 iq  ik  i iq  i   , , i q k q     (k  s ) (  s q  ) (  s q  )        2     exp  ( r0  ck )  ik      d iq exp (r0  cq )  iq     ( ki,k s )  (  sq q  ) i     • Dùng công thức:  dx e  x   ,  where α  (r0  cq) 2  ta thu được: 2 2  d r c   exp ( q )    iq   iq  r0  cq  Lý thuyết tượng tới hạn (11) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.2 Bước 2: thực phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) • Dùng công thức: x  e ln x ta có: n2 n2   2    2        expln     q  r0  cq  q   r0  cq       x n2   2      exp ln   q  r0  cq     2   ALd 1 n ln e  exp  2 r0  cq   (  sqq  )   phần không chứa σk  viết thành e • (12)  ALd Sau phép biển đổi Kadanoff: d e H 0  e  AL   exp  (r0  ck )  ik  ( k i ,k s )  Lý thuyết tượng tới hạn  2    (13) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.2 Bước 2: thực phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) • Phép biến thang: 1 /     s  i ,sk  Thay (13) i,k      exp  (r0  ck )  i , sk s 2   ( k i ,k s )    e H 0    exp  (r0 s   c( sk ) s   i , sk  ( k i ,k s )    Đổi sk  k’ đặt H  2 ( r  c k )  ik  i ,k ( k  )    (r0 ,0, c ) r0 s 2         r0 , s H 0  c  c (14)    ( r  c k )  ik   i ,k  ( k   )     (r0,0, c)  2         (15) Lý thuyết tượng tới hạn số r’0, c’ “tái chuẩn hóa” Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.3 Bước 3: tìm điểm bất động μ* • Phương trình cho điểm bất động μ*:   R s*  *  • Chọn η = 2: r0* s   r0*  *  c s  c* (17a) r0*  r0* : satisfied with all r0*  * c  c *  c *   điểm bất động:  điểm thứ nhất: (17b)   *  (r0 ,0,0)  2  (r0 > chọn tùy ý) (17) thay (17) vào biểu thức Hamiltonian (15): H *  r0   ik   i ,k  ( k   ) r0 d 2 d x 2 (18) exp(H * )   exp[ r0 (b d 2) i2 ( x)] x ,i Lý thuyết tượng tới hạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.3 Bước 3: tìm điểm bất động μ* (tt)  điểm thứ hai:   *  (  | r0 |,0,0)  2  (r0 < chọn tùy ý) (19a) u = 0+: giá trị dương vô bé để hàm phân bố thỏa điều kiện chuẩn hóa Phân bố điểm bất động (19a): exp(H * )   exp[| r0 | (b d 2) i2 (x)  u i4 ( x)] x ,i Lý thuyết tượng tới hạn (19b) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.3 Bước 3: tìm điểm bất động μ* (tt) • Chọn η = 0: r0* s  r0*  r0*   * c  c * satisfied with all c*  điểm bất động:   0*  (0,0, c )  điểm bất động Gauss  0  (20) Hàm phân bố tương ứng exp(H 0* )   exp[ (c 2) k  ik ] i ,k  c H 0*   d d x( ) 2  số hạng c( ) mô tả tương tác spin cụm Lý thuyết tượng tới hạn (21) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.4 Bước 4: tuyến tính hóa Rs gần điểm bất động • Phần tử ma trận toán tử RsL: R  L s  •               * (22) Chọn điểm bất động Gauss (20); u = nên xét hai thành phần: (α, β = 1, 2) r0  r0 s -η  0.c  c  r0  c.s -η • Các phần tử ma trận toán tử RsL: R   r0    s  ,    r0  0* R   r0     0,  c  0* R   c    0,    r0  0* R   c     s  c  0* L s 11 L s 21 L s 12 L s 22 Lý thuyết tượng tới hạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.5 Điểm bất động Gauss 3.5.4 Bước 4: tuyến tính hóa Rs gần điểm bất động (tt) • Dạng ma trận toán tử RsL:  s 2 R    L s • 0   (24) Ma trận (24) ma trận chéo  trị riêng: • (23) Đối với điểm bất động Gauss (20): η =  s R sL   0 •     s  Do RsRs’ = Rss’ nên  1 ( s )  s    ( s)   j (s)  s yj  y1  (25)    y2  Lý thuyết tượng tới hạn (25) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.6 Tác dụng RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss Khi xét số hạng ~ σ4 Hamiltonian GL (u ≠ 0), việc tính tích phân bước Rs (phép biến đổi Kadanoff) phức tạp  Sử dụng phương pháp tương tự lý thuyết nhiễu loạn CHLT • Viết Hamiltonian dạng H  H  H1 (26) (H1 nhỏ so với H0) • Viết lại (8)  H   ALd   ln  e H d e  H   ALd    e  H d     k  s1 / 2 sk     k  s1 / 2 sk (8) Lý thuyết tượng tới hạn (27) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.6 Tác dụng RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss • Sử dụng khai triển  ( 1) m m ( 1) m m  H  H  e 1   H   m! m 0  m 1 m!   e H e H e H1 e H ta   (1) m H H m ln  e d  ln   d e   d  e H    m ! m    H m m   d  e H  ( )     ln   d e H   d e H  H m!  m 1  d e   H    ( 1) m H  H 1m  ln   d e 1    m 1 m!  (28)    H 1m  H m d  e H   H d  e   Lý thuyết tượng tới hạn (29) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.6 Tác dụng RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss • Vậy   (1) m H m  H   AL   ln  d e  ln  H1  m! m 1  k  s1 / 2 sk d • (30) m Định nghĩa đại lượng H H1 H 12 c  H1 c c  H 12  H  H  H  gọi cumulant bậc m • (30) viết dạng    ( 1) m H m H   AL   ln  d e   H1  c  m! m 1    k  s1 / 2 sk d Lý thuyết tượng tới hạn (31) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.6 Tác dụng RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss • • Biết H0  tìm RsL (với H1 nhỏ) Chọn H0=H0* (điểm bất động Gauss) (20) H  H 0*   c d d x (   )  H1   việc tính H1 quy tính d  2 4 d x r0  u      2   4 P  ~ e theo phân bố Gauss  H 0* Lý thuyết tượng tới hạn (32) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.6 Tác dụng RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss Kết quả: (xem tính toán chi tiết S Ma (p 169-178))   nc 2 n 2d  r s r s 1 s u       0 2  n  u   0.r  s  d u   đó:  (33) ≡B n nc  K d d  ( d  2) c d  K d   d 1   d /   2 (34) (33)  xác định tác dụng RsL lên điểm μ* = (r0,u,c) gần điểm bất động Gauss μ0* = (0,0,c) Viết lại (33) dạng ma trận  r0  L  r0     R s    u  u (35),  s whe re R sL   0 Lý thuyết tượng tới hạn s   s 4 d B   4d  s  (36) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.6 Tác dụng RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss trị riêng toán tử RsL :  s s  ( ) ,       ( s)  s 4 d ,   so sánh với  j ( s)  s  1 vector riêng e1    0  B  vector riêng e     (37) yj    1/  y1      y   d  d  (38) Lập luận phương pháp RG y2 < Theo (38), y2 < d > ta nói  μ0* ổn định d > 4,  μ0* bất ổn định d < Lý thuyết tượng tới hạn (39) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.6 Tác dụng RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss • • Khi d < 4: điểm bất động μ0* mặt tới hạn Khi d > 4:  Phương trình mặt tới hạn t1  r0  uB   (40) Gần mặt tới hạn μ0*:  *     t1 s y e1  t s y 2e  hs y eh h (41) Ở thêm vào số hạng ~ eh có từ trường h nhắc lại 3.4.: tác dụng RS lên h -> h’ h  hs1/ h yh  d  Lý thuyết tượng tới hạn (42) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3.6 Tác dụng RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss Các số tới hạn thu sau tuyến tính hóa Rs gần điểm bất động:   0,   / Các số tới hạn lại tìm nhờ định luật scaling Bảng so sánh giá trị số tới hạn thu từ thực nghiệm số lý thuyết Scaling laws Gauss LT trườngTB Thực nghiệm α = 2-νd α = 0.5 -0.12 β = ν(d-2+η)/2 β = 0.25 0.5 0.38 γ = ν(2-η) γ=1 1.34 δ = (d+2-η)/(d-2+η) δ=5 4.46 ν = 0.5 0.5 0.64 η=0 0.07 (điều kiện áp dụng kết gần Gauss: d > 4) Lý thuyết tượng tới hạn [...]... / 2   2 (34 ) (33 )  xác định tác dụng của RsL lên điểm μ* = (r0,u,c) gần điểm bất động Gauss μ0* = (0,0,c) Viết lại (33 ) dưới dạng ma trận  r0  L  r0     R s    u  u (35 ), 2  s whe re R sL   0 Lý thuyết các hiện tượng tới hạn s 2   s 4 d B   4d  s  (36 ) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 6 Tác dụng... Gauss • • Khi d < 4: điểm bất động μ0* không có mặt tới hạn Khi d > 4:  Phương trình mặt tới hạn t1  r0  uB  0  (40) Gần mặt tới hạn của μ0*:  *    0  t1 s y e1  t 2 s y 2e 2  hs y eh 1 h (41) Ở đây đã thêm vào số hạng ~ eh khi có từ trường h nhắc lại 3. 4.: tác dụng RS lên h -> h’ h  hs1/ h 1 yh  d  1 2 Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (42) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software... only 3. 6 Tác dụng của RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss Các chỉ số tới hạn thu được sau khi tuyến tính hóa Rs ở gần điểm bất động:   0,   1 / 2 Các chỉ số tới hạn còn lại có thể tìm nhờ định luật scaling Bảng so sánh giá trị các chỉ số tới hạn thu được từ thực nghiệm và một số lý thuyết Scaling laws Gauss LT trườngTB Thực nghiệm α = 2-νd α = 0.5 0 -0.12 β = ν(d-2+η)/2 β = 0.25 0.5 0 .38 γ... 2    ( r  c k )  ik   0 i ,k  ( k   )     (r0,0, c)  2    2      (15) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn các hằng số r’0, c’ được “tái chuẩn hóa” Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 5 Điểm bất động Gauss 3. 5 .3 Bước 3: tìm điểm bất động μ* • Phương trình cho điểm bất động μ*:   R s*  *  • Chọn η = 2: r0*...  vector riêng e 2    0  (37 ) yj    1/ 2  y1  2  1    y 2  4  d  0 khi d  4 (38 ) Lập luận của phương pháp RG chỉ đúng khi y2 < 0 Theo (38 ), y2 < 0 khi d > 4 ta nói  μ0* ổn định khi d > 4,  μ0* bất ổn định khi d < 4 Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (39 ) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 6 Tác dụng của RsL lên điểm μ*...  r0 2  2  ik   i ,k  ( k   ) r0 d 2 d x 2 (18) exp(H * )   exp[ r0 (b d 2) i2 ( x)] x ,i Lý thuyết các hiện tượng tới hạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 5 Điểm bất động Gauss 3. 5 .3 Bước 3: tìm điểm bất động μ* (tt)  điểm thứ hai:   *  (  | r0 |,0,0)  2  (r0 < 0 và được chọn tùy ý) (19a) u = 0+: giá trị... chuẩn hóa Phân bố của điểm bất động (19a): exp(H * )   exp[| r0 | (b d 2) i2 (x)  u i4 ( x)] x ,i Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (19b) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 5 Điểm bất động Gauss 3. 5 .3 Bước 3: tìm điểm bất động μ* (tt) • Chọn η = 0: r0* s 2  r0*  r0*  0  * c  c * satisfied with all c*  điểm bất động:   0*... phân bố tương ứng 2 exp(H 0* )   exp[ (c 2) k 2  ik ] i ,k  c H 0*   d d x( ) 2 2  số hạng c( ) 2 mô tả tương tác giữa các spin cụm Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (21) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 5 Điểm bất động Gauss 3. 5.4 Bước 4: tuyến tính hóa Rs gần điểm bất động • Phần tử ma trận của toán tử RsL: R  L s ... theo phân bố Gauss  H 0* Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (32 ) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 6 Tác dụng của RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss Kết quả: (xem tính toán chi tiết trong S Ma (p 169-178))   nc 2 2 n 2d  r s r s 1 1 s u       0 0 2  n  u   0.r  s 4  d u 0   trong đó:  (33 ) ≡B n nc  K d d  2...  Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (29) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 6 Tác dụng của RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss • Vậy   (1) m H 0 m  H   AL   ln  d e  ln  H1  m! m 1  k  s1 / 2 sk d • (30 ) m Định nghĩa đại lượng H 1 H1 H 12 c  H1 c c  H 12  H 1 2  H 1  H 1  2 gọi là cumulant bậc m • (30 ) ... x ,i Lý thuyết tượng tới hạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 5 Điểm bất động Gauss 3. 5 .3 Bước 3: tìm điểm bất động μ* (tt) ... ,i Lý thuyết tượng tới hạn (19b) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 5 Điểm bất động Gauss 3. 5 .3 Bước 3: tìm điểm bất động μ* (tt). .. (15) Lý thuyết tượng tới hạn số r’0, c’ “tái chuẩn hóa” Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 5 Điểm bất động Gauss 3. 5 .3 Bước 3: tìm