Lý thuyết các hiện tượng tới hạn-Chương 2(tt) potx

2.3. M ộ t s ố mô h ì nh đơn gi ả n 2.3.1. Mô hình Ising Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • c: vector bán kính kẻ từ gốc tọa đến tâm của ô cơ sở  đặc trưng vị trí của ô; • kích thước dài của mạng tinh thể: L(Å)  thể tích mạng: L d ; • số ô cơ sở: L d (kích thước ô cơ sở: 1 Å ); • spin toàn phần (sau khi lấy trung bình) của các hạt trong ô cơ sở có vector bán kính c: σ c ; • 1 ô cơ sở 1 spin ô L d ô cơ sở L d spin ô • Ở đây ta không quan tâm đến spin của từng hạt trong ô cơ sở mà chỉ quan tâm đến spin toàn phần của các hạt trong ô sau khi lấy trung bình. • Mỗi biến spin chỉ có thể nhận một trong hai giá trị: +1 hoặc -1 (spin định hướng song song hoặc đối song với một trục nào đó của hệ).  Mô hình Ising thường được dùng để mô tả các hệ từ bất đẳng hướng mạnh. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. M ộ t s ố mô h ì nh đơn gi ả n 2.3.1. Mô hình Ising (tt) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Số biến spin ô:  Số cấu hình spin khác nhau của hệ: • Mỗi cấu hình spin  một năng lượng xác định (hàm của tất cả các biến spin). • Hamiltonian Ising 2 2 d N L  d N L    c c c 1 2 c,c c ˆ H (c c ) I h S S                (1) c   c  : lấy theo tất cả các ô lân cận của ô c cho trước; : lấy theo tất cả các ô. I: tích phân trao đổi; I > 0: hệ sắt từ, I < 0: hệ phản sắt từ. S1: tương tác giữa các spin thuộc các ô khác nhau trong hệ thông qua I. S2: thế năng tương tác của các spin với từ trường ngoài h. Lưu ý: (1) mô tả tương tác giữa các spin thuộc các ô cơ sở khác nhau, không xét đến tương tác spin của các hạt trong cùng một ô. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. M ộ t s ố mô h ì nh đơn gi ả n 2.3.2. Mô hình Heisenberg Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Các spin ô σ c có thể hướng theo các phương tùy ý σ c = (σ 1c ,σ 2c ,σ 3c ) = {σ ic }, i=1,2,3 (2) • Hamiltonian Heisenberg:   c c c c,c c ˆ H (c c )I              h     (3)  bất biến đối với mọi phép quay hệ (hay quay tất cả spin) một góc bất kỳ. Mô hình Heisenberg thích hợp để mô tả các hệ đẳng hướng. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. M ộ t s ố mô h ì nh đơn gi ả n 2.3.3. Mô hình XY Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Là mô hình trung gian giữa mô hình Ising và mô hình Heisenberg. • Mỗi biến spin σ c là một vector hai thành phần: σ c = (σ 1c , σ 2c ) • Hamiltonian có cùng dạng (3) với Hamiltonian Heisenberg. Mô hình XY dùng để mô tả các hệ từ có spin định hướng chủ yếu trên một mặt phẳng. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. M ộ t s ố mô h ì nh đơn gi ả n 2.3.4. Số chiều của không gian và số thành phần của spin Lý thuyết các hiện tượng tới hạn Hai tham số quan trọng trong lý thuyết các hiện tưởng tới hạn (quyết định giá trị các chỉ số tới hạn): 1) Số chiều không gian d: • d = 1: chuỗi spin, • d = 2: lớp spin, • d = 3: khối spin. 2) Số thành phần của vector spin n: • n = 1: Ising, • n = 2: XY, • n = 3: Heisenberg. Lưu ý: d và n có thể bằng nhau nhưng thông thường thì khác nhau. • Khối sắt từ đẳng hướng  mô hình Heisenberg  d=n=3; • Khối sắt từ có một trục bất đẳng hướng mạnh  mô hình Ising  d=3, n=1; Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. M ộ t s ố mô h ì nh đơn gi ả n 2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Giả sử vector spin ô σ C có n thành phần σ ic (i=1,2,…,n)  số biến spin: N = nL d • Biến spin σ ic : đại lượng ngẫu nhiên. • Hàm phân bố:  : hamiltonian ô  là tổng thống kê được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (tích phân bội lấy theo tất cả các thành phần của mỗi vector pin và theo tất cả các ô cơ sở của mạng tinh thể). • (4)  xác suất của một cấu hình spin.   ˆ 1 H[ ]/ P e T Z        (4) ˆ H[ ]  ˆ H[ ]/ c ,c e T i i Z d        (5) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. M ộ t s ố mô h ì nh đơn gi ả n 2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin (tt) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Giả sử A là một đại lượng nhiệt động đặc trưng cho hệ và là hàm của các biến spin. • Trị trung bình của A  : trung bình thống kê được tính theo hàm phân bố P[σ]. • Năng lượng tự do cho một đơn vị thể tích    ˆ 1 [ ]/ c , ,c e H T ic i P i c i A AP d Z A d               (6) P (7) d F F f V L   / / e e d F T fL T Z     Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. M ộ t s ố mô h ì nh đơn gi ả n 2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin (tt) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Một số đại lượng nhiệt động tính theo năng lượng tự do:  Entropy:  Nhiệt dung:  Độ từ hóa:  Độ cảm từ: • Nếu các đại lượng nhiệt động biến thiên theo T-T c , h, k theo các quy luật ở chương I  mô hình và tính toán lý thuyết cho kết quả phù hợp với thực nghiệm. giải tích >< phân kỳ ? , f S T     2 2 , S f C T T T T        , T f m h           2 2 . T T m f h h                      ,   ˆ H (8) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian c ụ m v à ph é p bi ế n đ ổ i Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Hamiltonian ô:  Không cho phép mô tả tương tác giữa các spin bên trong cùng một ô cơ sở;  Các tham số của Hamiltonian ô (tích phân trao đổi, …) đã tổng hợp và bao hàm những hiệu ứng về biến diễn của hệ trên những khoảng cách r nhỏ hơn kích thước của một ô cơ sở (r ≤ 1 );  Chỉ cho thông tin về biến diễn spin trên những khoảng cách lớn hơn kích thước ô cơ sở (r ≤ 1 );  Hamiltonian ô có độ phân giải 1 . • Thực nghiệm cho thấy những miền có kích thước lớn (ở đó hầu hết các spin định hướng song song) quyết định các tính chất tới hạn của hệ.  Nhu cầu: từ các ô cơ sở ban đầu lập các cụm lớn hơn (blocks, clusters). o A o A o A Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. • Chia hệ L d ô cơ sở ban đầu thành các cụm kích thước b chứa b d ô cơ sở ban đầu,  cụm. 2.4. Hamiltonian c ụ m v à ph é p bi ế n đ ổ i Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn o A d d L b Trường hợp d = 2: 8×8 ô cơ sở ban đầu 16 cụm mới, mỗi cụm chứa 4 ô cơ sở ban đầu (b = 2). Spin σ x : trung bình số học của tất cả spin ô trong cụm : lấy tổng theo các ô thuộc cụm x. b = 1: spin cụm ≡ spin ô. x x c c d b        (1) x  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. [...]... sb Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (14) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 2.5 Hamiltonian Ginzburg - Landau 2.5.1 Mô hình Ginzburg - Landau • Mô hình GL có vai trò rất quan trọng trong lý thuyết các hiện tượng tới hạn và đặc biệt trong lý thuyết siêu dẫn • Giả thuyết của mô hình: hamiltonian cụm có thể viết dưới dạng khai triển theo các. .. độ phân giải của hamiltonian ô o • Nếu không quan tâm đến các tương tác spin trên khoảng cách r < b A : hamiltonian cụm tương đương hamiltonian ô (hàm phân bố ứng với chúng cho cùng giá trị trung bình) • Trong các hiện tượng tới hạn, người ta thường quan tâm các dao động spin với bước sóng λ lớn (λ >> hằng số mạng) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com... (8)  U ( x )  a0  a2 x  a4 x  h x • Thay (8) vào phân bố ngẫu nhiên (5) cho tất cả các spin cụm:     H 0 [ ]/ T U [ x ]/ bd P[ ] ~ e  e x • (9) Nhận xét:  (8) là tổng của các số hạng độc lập với nhau  (10) là tích của các hàm phân bố thống kê cho các spin cụm σx Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (10) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For... spin cụm nhận cùng giá trị ( x bằng 0    xy ) : tương tác giữa các spin cụm  Các spin khác biệt càng lớn  H/T càng lớn  xác suất e-H/T càng nhỏ Lưu ý: trên thực tế, tương tác giữa các spin cụm không chỉ được mô tả bởi số hạng gradient mà còn các số hạng bậc cao hơn  Hamiltonian GL vẫn là mô hình đơn giản Lý thuyết các hiện tượng tới hạn ... trên khoảng cách r ≥ 1A )  Hamiltonian cụm o (mô tả tương tác spin cụm trên khoảng cách r ≥ b A) • Giả sử:  P(q1,q2): hàm phân bố của các biến ngẫu nhiên q1, q2;  q: trung bình số học (TBC) của q1, q2: q = ½ (q1 + q2); ? P(q1,q2)  P(q) • Quy tắc của xác suất thống kê: q q q q (q )   dq1dq2  q  1 2 P (q1 , q2 )    q  1 2  P     2  2    Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (2) P... Hamiltonian cụm (tt) Hamiltonian cụm trong không gian vector sóng k ?  thay thế các biến spin ô bởi các ảnh Fourier σk của chúng  KGTĐ:  d / 2 c  L   k eikc  k  KGXL:  d / 2 k  L   c e  ikc  c Khi đó:  ˆ   H[ ] là hàm của k  e -H / T : phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên σik (nLd biến) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (4) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com... các lũy thừa của σx (theo (9)) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 2.5 Hamiltonian Ginzburg - Landau 2.4.2 Hàm phân bố ngẫu nhiên cho tất cả các spin cụm (tt) •  Xét đến số hạng gradient ( x    x  y ) 2  các cụm không còn độc lập Trong Hamiltonian GL, tương tác giữa các spin cụm được mô tả qua số hạng... (tt) KGTĐ và KGXL nghịch đảo nhau o  nếu spin cụm σx mô tả các hiệu ứng trên những khoảng cách r ≥ b A thì ảnh Fourier của nó σk chỉ cho thông tin về biến diễn spin đối với k thỏa k < Λ (Λ = 2π/b) Khi lập hamiltonian cụm từ hamiltonian ô trong không gian vector sóng, ta chỉ quan tâm đến các biến σk có vector sóng k < Λ Lý thuyết các hiện tượng tới hạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com... -d  x c  c Định nghĩa một spin cụm khác tương đương với σx về mặt định tính  -d/2  (x)  L   k eikx  (7) k ( k  )  Mô tả cấu hình spin trên những khoảng cách r ≥ b ~ Λ-1 (thông tin về các σik với k < Λ) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.2 Phép biến... K s H[ ] / T e   H [ ]/ T   e   H[  ]/ T   ( i ,x ix s -d  (10) x y   iy ) d jy j ,y • H[ ] mô tả tương tác giữa các spin của các cụm mới có kích thước sb • Độ phân giải của H” là sb (giảm thêm s lần so với H) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (11) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 2.4 Hamiltonian cụm và phép biến . không gian và số thành phần của spin Lý thuyết các hiện tượng tới hạn Hai tham số quan trọng trong lý thuyết các hiện tưởng tới hạn (quyết định giá trị các chỉ số tới hạn): 1) Số chiều không gian. (tt) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn Hàm phân bố P [σ k ] cho các biến σ k  P’ [σ k ] cho các biến σ k với k < Λ. • Quy tắc xác suất thống kê: P (q 1 ,q 2 ): hàm phân bố thống kê của các. gi ả n 2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin (tt) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Giả sử A là một đại lượng nhiệt động đặc trưng cho hệ và là hàm của các biến spin. • Trị trung bình của