Thiết kế hệ thống PID

Thiết kế hệ thống PID

Equation Chapter 1 Section 1 LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay tự động hoá đã trở thành một vấn đề thiết yếu trong ngành công nghiệp Đểthiết kế được các mô hình tự động hoá trong nhà máy công nghiệp thì người thiết kế cầnnắm được các kiến thức về Lý thuyết điều khiển tự động - bộ môn cơ bản của ngành tựđộng hoá Một trong các kỹ năng mà người học cần phải có sau khi học xong bộ môn này

là nhận dạng và ổn định các mô hình

Trong đồ án này em sẽ nêu ra cách nhận dạng đối tượng, xác định hàm truyền đạt củađối tượng từ đáp ứng đầu ra cho trước và từ đó xác định đối tượng có ổn định hay khôngrồi từ đó thiết kế các bộ điều khiển P, PI, PID để nâng cao chất lượng đầu ra của hệ thống.Trong quá trình thực hiện đồ án này em đã nhận được rất nhiều sự khuyến khích và góp

ý từ các bạn cũng như các thầy cô, đặc biệt là cô Phạm Thị Hương Sen - Giáo viên khoaCông nghệ tự động trường Đại học Điện lực Do trình độ nhận thức và thời gian có hạn nêntrong bài viết không thể tránh khỏi có các lỗi sai sót Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm vềcác lỗi đó và hy vọng các bạn và thầy cô góp ý sửa chữa để đồ án được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn

ĐỒ ÁN LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

6 Ứng dụng

1 Các quy luật điều chỉnh chuẩn và bộ điều khiển PID 20

1.3 Quy luật điều chỉnh tỉ lệ vi tích phân PID 20

Đề bài:

Cho 1 đối tượng chưa biết mô hình toán học Bằng thực nghiệm người ta dùng tác động

ở đầu vào là hàm 5.1(t) và đo tín hiệu đầu ra thu được đường đặc tính y(t) như sau:

Yêu cầu:

1 Xác định hàm truyền đạt của đối tượng trên từ đường đặc tính thu được?

2 Từ hàm truyền xác định được dùng Matlab vẽ lại đường quá độ và so sánh Nhậnxét về tính ổn định của đối tượng Tìm các điểm cực và điểm không?

3 Tổng hợp bộ điều khiển P, PI, PID để hệ có chất lượng điều khiển tốt nhất

G(s) gọi là hàm truyền đạt của hệ thống

Định nghĩa : Hàm truyền đạt của hệ thống là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra

và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0

Cho f(t) là hàm xác định với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t) là :

Trong đó : s là biến phức ( biến Laplace ), s = +σ jω

L là toán tử biến đổi Laplace

F(s) là ảnh của f(t) qua phép biến đổi Laplace

Như vậy đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tínhiệu vào hình sin

Đặc tính tần số =

( )( )

Wd(p) = Kd.W1(p).e-τp

Trong đó: K- hệ số truyền của đối tượng

τ- thời gian trễ

W1(p)- hàm truyền đạt của thành phần tĩnh

Đối tượng gồm 2 khâu mắc nối tiếp nhau là: khâu có trễ có hàm truyền đạt e-τp và khâu tĩnh

có hàm truyền đạt Kd.W1(p) giá trị τ được gọi là trễ vận chuyển

Khâu tĩnh ta có thể lấy gần đúng là khâu quán tính bậc hai

Tín hiệu tác động đầu vào là hàm 5.1(t)

Tín hiệu đầu ra có đường đặc tính như sau:

Hình 2: đường đặc tính đầu ra của hàm W 1 (p)

Ta sử dụng phương pháp đồ thị giải tích để xác định các tham số T1và T2 từ hàm quá độ Kẻđường tiếp tuyến với đường quá độ y1(t) tại điểm uấn ta xác định được điểm tu, 2tu; xác

định được các khoảng cách a, b, c như hình vẽ ta sẽ xác định được T1và T2 theo a, b, c

Với đầu vào là hàm 5.1(t)

Hình 3: đặc tính đầu ra của đối tượng xác định được

* So sánh:

Sau khi áp dụng phương pháp đồ thị giải tích trên ta xác định được hàm truyền đạt

Wd(p) có đặc tính đầu ra rất giống với đề bài đã cho Do vây ta hoàn toàn có thể sử dụngphương pháp này để tìm các hàm truyền đạt khi biết được đường đặc tính đầu ra y(t) của hệthống

II KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

1 Khái niệm tính ổn định của hệ thống

Đối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác độngkích thích Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tínhiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tổn tại một trạng thái cân bằng

c(t) = co(t) + cqđ(t)Trong đó : co(t) là nghiệm riêng của phương trình có vế phải, đặc trưng cho quá trìnhxác lập, là trị số của đại lượng cần điều khiển và luôn ổn định

cqđ(t) là nghiệm tổng quát của phương trình không có vế phải, đặc trưng choquá trình quá độ

Do đó, tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc vào cqđ(t), và dạng tổng quát của nó là :

cqđ(t) = 1

i

n

p t i ie

i

00

0

lim

00

i

i t

i t

i

i

Me cα t

α β

Giải phương trình đặc tính ta thu được 2 nghiệm là : {p1=−0,07

- Tiêu chuẩn ổn định đại số

2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm

bên trái mặt phẳng phức là tất cả các phần tử nàm ở cột 1 của bảng Routh đều dương Sốlần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải của mặtphẳng phức

Tiêu chuẩn Routh được áp dụng xét tính ổn định cho cả hệ hở và hệ kín với phươngtrình đặc tính bậc bất kỳ

Để xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh thì ta cần thành lập bảng Rọuththeo các quy tắc sau :

- Bảng Routh có n+1 hàng ( với n là bậc cao nhất của phương trình đặc trưng )

i

c c

−

=

2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa

đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương

Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz được áp dụng cho cả hệ hở và hệ kín

Để xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz ta cần thành lập ma trậnHurwitz theo các quy tắc :

- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu

ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo

( ) ( )( ) ( n) 0

A s =a s p s p− − s p− =Với pi là các nghiệm của phương trình đặc tính

Thay s= jωvào A(s) ta được :

A jω =a jω− p jω− p jω− p =

* Nguyên lý góc quay : Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và ( n - m ) nghiệm trái có

vectơ đa thức đặc tính tần số A j ( ω ) sẽ quay một góc là (n-2m)/2 vòng kín theo chiềungược chiều kim đồng hồ khi tần số ω biến thiên từ −∞ đến +∞.

3.2 Tiêu chuẩn ổn định Mikhailov

Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ vectơ đa thức đặc

tính A j ( ω ) xuất phát từ nửa trục thực dương tại ω bằng không, phải quay n góc phần tưtheo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi ω biến thiên từ 0 đến +∞, với n là bậc của

phương trình đặc tính của hệ thống

Tiêu chuẩn này được áp dụng cho cả hệ hở và kín với phương trình đặc tính bất kỳ.Cách xây dựng biểu đồ Mikhailov :

- Thay s = j ω vào phương trình đặc tính sau đó tách phần thực và phần ảo

A j ω = P ω + j ω

- Cho ω biến thiên từ 0 đến +∞, ta vẽ được vectơ đặc tính A j ( ω ).

3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Tiêu chuẩn này áp dụng để xét cho hệ thống kín với phản hồi (-1) dựa vào đặc điểmcủa đặc tính tần số hệ thống hở

vòng theo chiều dương ( ngược chiều kim đồng hồ ) khi ω biến thiên từ 0 đến +∞,

trong đó l là số cực của hệ hở G(s) nằm ở bên phải mặt phẳng phức

Biểu đồ Nyquist ( đường cong Nyquist ) : là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số G j( ω)

trong hệ toạ độ cực khi ω thay đổi từ 0 đến +∞

Để áp dụng tiêu chuẩn này ta làm theo các bước sau :

- Xét tính ổn định của hệ hở

Nếu hệ hở không ổn định ta phải xem xét phương trình đặc tính có bao nhiêu nghiệm cóphần thực dương l Có thể dùng tiêu chuẩn Routh hoặc giải trực tiếp phương trình đặc tính.

- Vẽ đặc tính G j( ω), xác định số vòng bao của nó với (-1, j0)

- Kết luận hệ kín có ổn định hay không

3.4 Tiêu chuẩn ổn định Bode

Tương tự tiêu chuẩn ổn định Nyquist thì tiêu chuẩn này cũng dùng để xét tính ổn địnhcủa hệ kín có phản hồi (-1) Tuy nhiên, tiêu chuẩn Nyquist thì sử dụng biểu đồ Nyquist đểxét tính ổn định còn tiêu chuẩn Bode lại sử dụng biểu đồ Bode để xét tính ổn định

Biểu đồ Bode là hình vẽ gồm hai thành phần :

- Biểu đồ Bode biên độ : đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa logarith của đáp ứng biên độ( )

( ) 20lg ( )

Trong đó : ( )L ω là đáp ứng biên độ tính theo đơn vị dB ( decibel ).

- Biểu đồ Bode pha : đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha ϕ ω( ) theo tần số

nghiệm số riêng Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính tạo thành đường quỹđạo nghiệm số

Định nghĩa : Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tínhcủa hệ thống khi có một thông số nào đó của hệ thay đổi từ 0 đến +∞.

Bằng cách quan sát quỹ đạo nghiệm số thì ta có thể nhận thấy quỹ đạo nghiệm số nào ởbên trái trục ảo thì hệ thống sẽ ổn định, còn những quỹ đạo nghiệm số nằm ở bên phải trục

ảo thì hệ thống không ổn định Từ đó ta có thể xác định được khoảng của thông số thay đổi

để hệ thống ổn định

Phương pháp này thường dùng cho hệ số biến đổi là hệ số khuyếch đại của hệ thống

* Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Để vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặctính về dạng :

( )

( )

N s K

D s

Trong đó : K là thông số thay đổi

Đặt 0

( )( )

Ta có điều kiện biên độ và điều kiện pha :

 Điều kiện biên độ

Điều kiện phaCác quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số :

- Quy tắc 1 : Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số bằng với số bậc của phương trình đặctính và bằng số cực của G s0 ( ), tức là có n nhánh

- Quy tắc 2 : Khi K =0 các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của

0 ( )

G s Khi K tiến đến +∞ thì m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của G s0 ( ),

n m− nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi quy tắc 5 và 6.

- Quy tắc 3 : Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực

- Quy tắc 4 : Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực vàzero của G s0 ( ) bên phải nó là một số lẻ

- Quy tắc 5 : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xácđịnh bởi

Trong đó : p i và z i là các cực và zero của G s0 ( )

- Quy tắc 7 : Điểm tách nhập ( nếu có ) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và lànghiệm cảu phương trình :

+ Thay s= jω vào phương trình đặc tính, cân bằng phàn thực và phần ảo sẽ tìm

được giao điểm với trục ảo và giá trị K

- Quy tắc 9 : Góc xuất phát của các quỹ đạo nghiệm số tại cực phức p i được xác địnhbởi

1 1

1

180o m arg ( ) n arg( )

i i

- Quy tắc 10 : Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 đến +∞.

- Quy tắc 11 : Hệ số khuyếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có thể xác định từ điềukiện biên độ

( )1( )

N s K

D s =

Từ quỹ đạo nghiệm số ta thấy quỹ đạo nghiệm số của hệ thống nằm ở bên trái trục ảo,

do đó hệ thống ổn định

5 Điểm cực (Pole) và điểm không (Zero)

Cho hệ thống điều khiển tự động có hàm truyền đạt được mô tả như sau :

Nghiệm cực ( Pole ) là nghiệm của phương trình A s( ) 0= Phương trình này có n

nghiệm, do đó hệ thống có n nghiệm cực p i ( Pole ) với i=1, 2, ,n.

Zero là các nghiệm của phương trình B s( ) 0= Phương trình có m nghiệm ( m n< ) nên

hệ thống có m nghiệm zero z j với j=1, 2, ,m.

* Ứng dụng

Tìm nghiệm cực và nghiệm zero của hàm truyền đạt của đối tượng đã xác định được ởtrên

Ta có hàm truyền đạt của đối tượng : Wd (p)= e−70 p * (15p+1)(5p+1)60

Giải các phương trình ta thu được kết quả sau :

Xét tính ổn định của hệ thống mà ta đã xác định được ở trên.

Hệ thống có phương trình đặc trưng là :

A(p) = 75 p2 +20p+1= 0Bảng Routh

* Áp dụng tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

Xét tính ổn định của hệ thống mà ta đã xác định được ở trên

III THIẾT KẾ HỆ THỐNG PID

I CÁC QUY LUẬT ĐIỀU CHỈNH CHUẨN VÀ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID

Trong đó : K m : hệ số khuyếch đại của quy luật

Theo tính chất của khâu khuyếch đại ta thấy tín hiệu ra của khâu luôn luôn trùng pha với tínhiệu vào Điều này nói lên ưu điểm của máy tỉ lệ là tốc độ tác động nhanh, vì vậy trong côngnghiệp quy luật tỉ lệ làm việc ổn định với tất cả các đối tượng Tuy nhiên quy luật tỉ lệ có mộtnhược điểm là khi sử dụng với các đối tượng tĩnh hệ thống điều chỉnh luôn luôn tồn tại sai lệchtĩnh và không thể sử dụng trong hệ thống điều chỉnh chương trình Để giảm sai lệch tĩnh phải tăng

hệ số khuyếch đại, nhưng khi tăng hệ số khuyếch đại tính dao động của hệ thống sẽ tăng lên và cóthể đưa hệ thống tới mất ổn định

2 Quy luật tỉ lệ tích phân PI

Để vừa tác động nhanh, vừa triệt tiêu được sai lệch dư người ta kết hợp quy luật tỉ lệ với quyluật tích phân để tạo nên quy luật tỉ lệ tích phân

Tín hiệu điều khiển được xác định bởi công thức :

i

K T K

=

: hằng số thời gian tích phânTín hiệu ra chậm pha hơn tín hiệu vào một góc nằm trong khoảng −π 2 đến 0 phụ thuộc vàocác tham số K m, T i và tần số của tín hiệu vào Như vậy tốc độ tác động của quy luật tỉ lệ tích phân

PI chậm hơn quy luật tỉ lệ P và nhanh hơn quy luật tích phân I ( tín hiệu ra chậm pha hơn tín hiệuvào một góc −π 2 )

Trong thực tế quy luật tỉ lệ tích phân PI được sử dụng khá rộng rãi và đáp ứng được chất lượnghầu hết các quy trình công nghệ Tuy nhiên do có thành phân tích phân nên tôc độ tác động cuả quyluật tỉ lệ tích phân PI bị chậm đi, vì vậy nếu đối tượng có nhiễu tác động liên tục mà đòi hỏi độchính xác điều chỉnh cao thì quy luật tỉ lệ tích phân PI không đáp ứng được

3 Quy luật điều chỉnh tỉ lệ vi tích phân PID

Để tăng tốc tác động của quy luật tỉ lệ tích phân PI người ta ghép thêm thành phần vi phân vànhận được quy luật tỉ lệ vi tích phân PID

Tác động điều chỉnh được tính toán theo công thức :

1 2

i

K T K

=

: hằng số thời gian vi phânTín hiệu ra lệch pha so với tín hiệu vào một góc nằm trong khoảng −π 2 đến π 2 phụ thuộcvào các tham số K m, T i, T d và tần số của tín hiệu vào Nghĩa là về tốc độ tác động thì quy luật tỉ lệ

vi tích phân PID có thể nhanh hơn cả quy luật tỉ lệ P Do đó có thể nói quy luật tỉ lệ vi tích phânPID là hoàn hảo nhất Nó đáp ứng được yêu cầu về chất lượng của hầu hết các quy trình côngnghệ Tuy nhiên việc hiệu chỉnh tham số của nó rất phức tạp đòi hỏi người sử dụng phải có mộttrình độ nhất định Vì vậy trong công nghiệp quy luật tỉ lệ vi tích phân PID chỉ sử dụng ở nhữngnơi cần thiết do quy luật tỉ lệ tích phân PI không đáp ứng được yêu cầu về chất lượng điều chỉnh

4 Bộ điều khiển PID

Hình 8 Bộ điều khiển PID

Bộ điều khiển PID ( bộ điều khiển tỉ lệ vi tích phân ) là một cơ chế phản hồi vòng điều khiển( bộ điều khiển ) tổng quát được sử dụng rộng rãi trong các hệ thống điều khiển công nghiệp - bộđiều khiển PID được sử dụng phổ biến nhất trong số các bộ điều khiển phản hồi Một bộ điềukhiển PID tính toán một giá trị " sai số " là hiệu số giữa giá trị đo thông số biến đổi và giá trị đặtmong muốn Bộ điều khiển sẽ thực hiện giảm tối đa sai số bằng cách điều chính giá trị điều khiểnvào

Biểu thức của giải thuật PID :

0

( )( ) ( ) ( ) ( )

Bằng cách điều chỉnh ba hằng số trong giải thuật của bộ điều khiển PID thì đáp ứng của bộđiều khiển có thể được mô tả dưới dạng độ nhạy sai số của bộ điều khiển, giá trị mà bộ điều khiểnvọt lố điểm đặt và giá trị dao động của hệ thống

Ảnh hưởng của các tham số K P, K I,K D đối với các chỉ tiêu chất lượng được thể hiện quabảng sau :

Chỉ tiêu chất lượng Thay đổi tham số

Tăng K P Tăng K I Tăng K D

Bền vững với nhiễu đo Giảm Thay đổi ít Giảm

Bảng 1 Ảnh hưởng của thay đổi các tham số PID

II THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID

1 Phương pháp giải tích

Đây là phương pháp tương đối đơn giản, dựa vào các yêu cầu chất lượng của đầu ra như hệ sốvận tốc, các cặp nghiệm phức, độ vọt lố hay thời gian quá độ để xác định các thông số của bộđiều khiển PID Tuy nhiên phương pháp này ít được sử dụng do gặp khó khăn trong việc xây dựnghàm truyền của đối tượng

2 Phương pháp Zeigler-Nichols

Đây là phương pháp phổ biến nhất để chọn thông số cho bộ điều khiển PID thương mại hiệnnay Phương pháp này dựa vào thực nghiệm để thiết kế bộ điều khiển P, PI, PID bằng cách dựa vàođáp ứng quá độ của đối tượng điều khiển

Zeigler và Nichols đã đưa ra hai cách chọn thông số bộ điều khiển PID tuỳ theo đặc điểm củađối tượng

hình 9

Hình 5 Đáp ứng nấc của hệ hở có dạng S