Phương pháp lặp năng lượng xác định tần số và dạng dao dộng riêng của dầm liên tục

Đề tài:Phương pháp lặp năng lượng xác định tần số và dạng dao dộng riêng của dầm liên tục

Mục lục

Trang

Mở đầu

1 Tên đề tài4

2 Lý do chọn đề tài4

3 Mục tiêu đề tài4

Chơng 1 Tổng quan

1.1 Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trình6

1.2 Các đặc trng cơ bản của bài toán động lực học công

1.3 Các dạng tải trọng động tác dụng lên công trình8

1.4 Phân loại dao động9

1.4.1 Phân theo số bậc tự do của hệ9

1.4.2 Phân theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao

1.4.6 Phân theo dạng và biểu đồ dao động10

1.5 Bậc tự do của hệ dao động10

1.7.1 Phơng pháp chính xác12

1.7.2.1 Phơng pháp Rayleigh14

1.7.2.2 Phơng pháp Bupnop – Galoockin16

1.7.2.3 Phơng pháp Lagơrăng – Ritz17

1.7.2.4 Phơng pháp thay thế khối lợng19

1.7.2.5 Phơng pháp khối lợng tơng đơng để xác định tần số cơ bản của dao động riêng

1.7.2.6 Phơng pháp sai phân22

1.7.3 Phơng pháp đúng dần24

Chơng 2

Dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do

2.1 Xây dựng phơng trình vi phân dao động tổng quát hệ hữu hạn bậc tự do 27

2.1.1 Khái niệm về ma trận cứng và ma trận mềm27

2.1.2 Phơng trình vi phân dao động của hệ hữu hạn bậc tự

2.2 Bài toán dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do31

2.3 Xác định tần số dao động riêng31

2.4 Xác định dạng dao động riêng32

2.5 Tính chất trực giao của các dạng dao động riêng34

2.6 Chuẩn hoá dạng các dao động riêng36

3.5 Thuật toán tính tần số và dạng dao động riêng thứ nhất theo phơng pháp Rayleigh, sử dụng quá trình lặp.

Chơng 4

4.1 Mở đầu59

4.2 Phân tích dạng dao động thứ nhất59

4.3 Chứng minh sự hội tụ của quá trình lặp66

4.4 Phân tích dạng dao động cao hơn69

4.4.1 Phân tích dạng dao động thứ hai69

4.4.2 Phân tích các dạng dao động cao hơn74

4.4.3 Phân tích các dạng dao động cao nhất theo cách lặp

Phần kết luận kiến nghị – hớng nghiên cứu tiếp của luận văn 140

Tài liệu tham khảo

142

Phần mở đầu1 Tên đề tài.

“Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số và dạngdao động riêng của dầm liên tục”.

2 Lý do chọn đề tài.

Với mục tiêu đảm bảo nội dung theo yêu cầu của một luậnán thạc sĩ khoa học kỹ thuật do Phòng sau đại học đề ra, nênviệc chọn nội dung nghiên cứu cần phù hợp với phần đã học vàyêu cầu thực tế ngoài sản xuất Tính tần số và dạng dao độngriêng của kết cấu là một lĩnh vực hiện đang đợc chú trọngtrong nghiên cứu nhằm nâng cao chất lợng và giảm giá thànhxây dựng công trình, bớc đầu đã có một số thành tựu đángkể Tuy nhiên cha phải đã giải quyết đợc hết các vấn đề đangtồn tại Nhằm tìm hiểu và đóng góp một phần vào lĩnh vựcnày thì việc chọn hớng nghiên cứu cách tính tần số và dạng daođộng riêng của kết cấu dạng dầm liên tục là một điều cầnthiết Mục đích của đề tài là nhằm cụ thể hoá một phơngpháp tính dao động của kết cấu, giúp cho ngời dùng cũng nhcác nhà nghiên cứu có đợc một công cụ dễ hiểu, trực quan khicần phân tích dao động của kết cấu

dạng dầm, trên cơ sở đó có thể phát triển để giải quyết mộtsố các bài toán phức tạp hơn trong xây dựng.

3 Mục tiêu đề tài.

Nghiên cứu cách tính tần số và dạng dao động riêng củahệ kết cấu dầm liên tục dựa trên phơng pháp lặp năng lợng.

4 Giới hạn nghiên cứu.

- Nắm chắc lý thuyết tính toán với công trình chịu tảitrọng động.

- Đi sâu nghiên cứu tần số và dạng dao động riêng đối vớikết cấu dầm với bài toán hữu hạn bậc tự do.

- Làm cơ sở để nghiên cứu bài toán phức tạp hơn.

ơng 1Tổng quan

1.1 Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học côngtrình.

Khái niệm về động lực học gắn liền với khái niệm lực thayđổi theo thời gian; nghiên cứu động lực học công trình lànghiên cứu công trình chịu tác dụng của tải trọng thay đổitheo thời gian.

Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trìnhbao gồm:

a/ Kiểm tra hiện tợng cộng hởng của các công trình chịutải trọng động, tránh hiện tợng cộng hởng làm h hỏng công

hành thì chu kỳ dao động thẳng đứng không đợc nằm trongkhoảng 0.3s đến 0.7s, còn chu kỳ dao động theo phơng nằmngang không đợc trùng hoặc bằng bội số của chu kỳ dao độngthẳng đứng”

b/ Kiểm tra độ bền: Xác định nội lực do tải trọng độnggây ra để căn cứ vào đó mà kiểm tra khả năng chịu lực củacông trình.

c/ Kiểm tra độ cứng: Xác định chuyển vị động để kiểmtra công trình theo điều kiện cứng, đảm bảo công trìnhkhông có chuyển vị lớn Mặt khác tìm các biện pháp xử lý vớicác công trình chịu rung động lớn, nghiên cứu cách giảm rungđộng.

Dới tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian hệ kếtcấu sẽ dao động và dao động đó đợc biểu thị dới dạng chuyểnvị của kết cấu Do đó khi phân tích và giải quyết bài toánđộng lực học công trình sẽ cho phép xác định đợc sự thayđổi của chuyển vị theo thời gian ứng với quá trình thay đổicủa tải trọng động Các tham số khác nh nội lực, ứng suất, biếndạng …nói chung đều đợc xác định sau khi có sự phân bốchuyển vị của kết cấu Tất cả các tham số đó đều là các hàmthay đổi theo thời gian phù hợp với tác dụng động bên ngoài.

Tuy nhiên, đôi khi việc giải bài toán động lực học côngtrình còn đợc tiến hành bằng việc sử dụng hệ số động lực Khiđó, nội lực chuyển vị và mọi tham số của hệ đều đợc tínhtoán thông qua hệ số động với các kết quả tính toán tĩnh Tất

cả các đại lợng đó đều là các giá trị cực đại ứng với một thờiđiểm xác định, không phải là hàm theo biến thời gian.

1.2 Các đặc trng cơ bản của bài toán động lực học côngtrình.

Việc tính toán động lực học công trình khác với việc tínhtoán tĩnh học công trình ở những đặc trng cơ bản sau:

Trớc hết, dới tác dụng của tải trọng động thay đổi theothời gian, trạng thái ứng suất biến dạng của hệ cũng sẽ biến đổitheo thời gian Nh vậy, bài toán động sẽ không có nghiệm duynhất nh bài toán tĩnh Do đó, cần phải tìm sự liên tục củanghiệm tơng ứng với mọi thời điểm thời gian biểu thị trạng tháithực của hệ Chính vì thế mà việc tính toán động rất phứctạp và khó khăn hơn nhiều so với việc tính toán tĩnh.

Mặt khác, đặc trng cơ bản của bài toán động đợc phânbiệt rõ so với bài toán tĩnh ở chỗ: ở bài toán tĩnh, dới tác dụngcủa tải trọng tĩnh là tải trọng tác dụng rất chậm lên công trình,sự chuyển động của hệ là chậm và lực quán tính rất nhỏ, cóthể bỏ qua đợc ở bài toán động, tác dụng của tải trọng độnglên công trình gây ra sự chuyển động của hệ với gia tốc lớn, vàlực quán tính phụ thuộc vào gia tốc chuyển động (đạo hàmbậc hai của chuyển vị theo thời gian) là không thể bỏ qua đợc.

Sự cần thiết phải kể đến lực quán tính là sự khác biệt cơ bảnnhất của bài toán động lực học so với bài toán tĩnh.

chất của lực cản chuyển động (lực tắt dần) rất phức tạp và đadạng Vì vậy, việc tính lực cản làm cho bài toán động phức tạphơn so với bài toán tĩnh Trong tính toán đôi khi không xét tớiảnh hởng của lực cản, đôi khi lực cản đợc tính một cách gầnđúng với giả thiết phù hợp Nhng phải luôn thấy rằng lực cảnluôn có mặt và tham gia vào quá trình chuyển động của hệ.

1.3 Các dạng tải trọng động tác dụng lên công trình.

Hầu nh các kết cấu xây dựng trong quá trình sử dụngđều phải chịu tác dụng của tải trọng động ở dạng này haydạng khác Tải trọng động là tải trọng bất kỳ có độ lớn, phơng,vị trí thay đổi theo thời gian Tải trọng động tác dụng lêncông trình rất đa dạng và phức tạp Theo các đặc trng của nó,tải trọng động với một quy luật bất kỳ nào đó đợc phân ra làtải trọng có chu kỳ và tải trọng không có chu kỳ.

Các tải trọng có chu kỳ

Tải trọng có chu kỳ là tải trọng lặp đi lặp lại theo thờigian qua các chu kỳ Chu kỳ của tải trọng có thể là liên tục màcũng có thể là gián đoạn Nếu tải trọng tác dụng có quy luậthình sin hoặc cos với chu kỳ liên tục thì gọi là tải trọng điềuhoà đơn giản.

Các dạng khác của tải trọng có chu kỳ thờng phức tạp hơn.Sự phức tạp biểu hiện ở quy luật của tải trọng trong mỗi chu kỳ.

Tải trọng không có chu kỳ

Có thể là các loại tải trọng ngắn hạn và các tải trọng dàihạn tổng quát:

- Tải trọng ngắn hạn: Nguồn kích động đặc trng củacác tải trọng ngắn hạn có thể lấy ví dụ là các vụ nổ.

- Tải trọng động dài hạn là dạng tải trọng động thờnggặp, ví dụ nh tác dụng của động đất đối với các công trìnhđều là tải trọng dài hạn.

Trong thực tế thờng gặp một số loại tải trọng động nhsau:

+ Tải trọng có vị trí không đổi, còn trị số biến thiêntheo thời gian P(t) ví dụ nh là tải trọng do môtơ cóphần quay không cân bằng gây ra.

+ Tải trọng di động có trị số không đổi P(z) ví dụ nhđoàn xe chạy trên cầu.

+ Tải trọng di động có trị số thay đổi P(z,t) ví dụ nhtải trọng động gây ra bởi đầu máy xe lửa chạy, chu kỳphụ thuộc vào tốc độ đầu máy.

+ Lực địa chấn tác dụng lên công trình.

+ Lực khí động do gió tác dụng lên công trình.

+ Tải trọng do va chạm: Nh có vật rơi hoặc va đập lêncông trình.

+ Tải trọng động phức tạp: Là tổ hợp các dạng tải trọngtrên và một số trờng hợp khác.

1.4 Phân loại dao động.

Tuỳ theo sự phân bố khối lợng trên hệ, cấu tạo và kích thớc

động khác nhau Để thuận lợi cho việc phân tích dao động củacác hệ, có thể phân ra nh sau:

- Dao động cỡng bức: Là dao động sinh ra do chịu tácdụng của tải trọng động, không phụ thuộc vào chuyểnđộng và tồn tại trong suốt quá trình dao động Dao độngcỡng bức bao gồm rất nhiều loại: dao động của hệ chịu tảitrọng có chu kỳ, dao động của hệ chịu tải trọng di động,dao động của các công trình chịu tải gió, động đất…

1.4.3 Phân theo sự tồn tại của lực cản.

- Dao động tắt dần: là dao động có xét tới lực cản.

- Dao động không tắt dần: là dao động bỏ qua ảnh ởng của lực cản.

h-1.4.4 Phân theo kích thớc và cấu tạo của hệ.

Theo cách phân loại này dao động của hệ sẽ bao gồm:- Dao động của hệ thanh.

- Dao động của tấm.- Dao động của vỏ.

- Dao động của các khối móng.- Dao động của hệ treo

- Dao động của các kết cấu công trình đặc biệt…

1.4.5 Phân theo dạng phơng trình vi phân mô tả daođộng.

- Dao động tuyến tính: là dao động mà phơng trìnhvi phân mô tả dao động là phơng trình vi phân tuyếntính.

- Dao động phi tuyến: là dao động mà phơng trình viphân mô tả dao động là phơng trình vi phân vituyến…

1.4.6 Phân theo dạng và biểu đồ dao động.

- Dao động hình sin

- Dao động phức tạp có chu kỳ.- Dao động tăng dần.

- Dao động rối loạn.

1.5 Bậc tự do của hệ dao động.

Bậc tự do của hệ dao động là số tham số độc lập cần

Trớc hết ta xét hệ với các khối lợng tập trung Trong các hệnày có thể bỏ qua các lực quán tính của thanh và chỉ tínhđến các lực quán tính phát sinh do các khối lợng tập trung Đểtính bậc tự do, ta dùng các giả thiết sau:

- Coi các khối lợng tập trung của hệ là các chất điểm.- Bỏ qua chiều dài co giãn do biến dạng uốn.

Ta có thể xác định số bậc tự do của hệ bằng cách đặtvào các khối lợng của hệ các liên kết loại một vừa đủ để saocho tất cả các khối lợng của hệ trở thành bất động.

Số bậc tự do của hệ dao động có thể bằng, nhỏ hơn hoặclớn hơn khối lợng của hệ.

Xét hệ thanh với khối lợng phân bố, ở hệ này không đợcphép bỏ qua lực quán tính của thanh và nh vậy hệ sẽ có bậc tựdo là vô cùng Để tính toán các hệ có bậc tự do là vô cùng ta cầnphải thiết lập và giải hệ phơng trình vi phân với các đạo hàmriêng, bởi vì trong trờng hợp này lực quán tính phụ thuộc cả vàotoạ độ và thời gian.

1.6 Phơng pháp cơ bản xây dựng phơng trình vi phânchuyển động.

Trong dao động công trình có hai phơng pháp cơ bảnxây dựng phơng trình chuyển động là phơng pháp tĩnh vàphơng pháp năng lợng.

1.6.1 Phơng pháp dựa trên nguyên lý Đalămbe.

Dựa trên cơ sở những nguyên tắc cân bằng của lực tĩnhhọc trong đó chỉ cần bổ sung các lực quán tính viết theo

nguyên lý Đalămbe Nh vậy các phơng trình cân bằng tĩnh trởthành các phơng trình cân bằng động.

1.6.2 Phơng pháp sử dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ.

Phù hợp với nguyên lý này, phơng trình chuyển động củahệ đợc xác định từ biểu thức công của tất cả các lực trên cácchuyển vị khả dĩ bằng không Để nhận đợc phơng trìnhchuyển động của hệ, ta tiến hành các bớc sau:

- Xác định tất cả các lực đặt vào các khối lợng của hệ,trong đó kể cả lực quán tính đợc xác định phù hợp với nguyên lýĐalămbe.

- Đa vào các chuyển vị khả dĩ tơng ứng với các bậc tự docủa hệ.

- Tính biểu thức công của tất cả các lực trên các chuyển vịkhả dĩ và cho bằng không.

1.6.3 Phơng pháp ứng dụng nguyên lý Hamintơn.

Phơng pháp này đa ra phơng trình chuyển động từ biểuthức biến phân các hàm năng lợng của hệ.

1.7 Các phơng pháp xác định tần số dao động riêng.

Chia làm 3 nhóm phơng pháp:

A Nhóm phơng pháp chính xác.B Nhóm phơng pháp gần đúng.C Nhóm phơng pháp đúng dần.

Xây dựng phơng trình vi phân tổng quát của dao độngngang của thanh thẳng.

Xét hệ thanh thẳng có khối lợng phân bố Hệ này có vôsố bậc tự do Dao động ngang của hệ tại thời điểm bất kỳ đợcbiểu diễn bằng đờng đàn hồi của nó Phơng trình đờng đànhồi này là hàm của hai biến số: toạ độ x và thời gian t.

-m(x)

Lực cản có chiều ngợc với chiều của chuyển động và có cờngđộ r(x,t).

Vậy ta có:

p(x,t) = -q(x,t) - hay:

p(x,t) = -q(x,t) +m(x)

Thay biểu thức trên vào (1-1) thu đợc:

Vậy phơng trình vi phân tổng quát của dao động ngang củadầm có dạng:

q(x,t) > 0x

r(x,t) -m(x)

Phơng trình vi phân dao động riêng tơng ứng sẽ là:(1-2a)

Nếu dầm có độ cứng EJ không đổi thì phơng trình (1-2) và(1-2a) có dạng:

(1-2b)(1-2c)Nếu dầm có khối lợng phân bố đều, trong các phơng trìnhtrên ta có m(x) = m.

Dùng các phơng pháp giải phơng trình vi phân chính xáccủa toán học, ta sẽ giải ra đợc các nghiệm riêng ứng với các dạngdao động riêng với tần số riêng i.

1.7.2 Phơng pháp gần đúng.1.7.2.1 Phơng pháp Rayleigh.

Phơng pháp Rayleigh dựa trên cơ sở định luật bảo toànnăng lợng Theo định luật này, ở bất kỳ thời điểm nào ta cũngcó biểu thức:

T + U = hằng số.Trong đó:

T: Động năng của hệ.U: Thế năng của hệ.

Giả sử dao động của hệ có dạng:

(1-3)

Xét hệ với các trạng thái đạt giá trị năng lợng lớn nhất, áp dụngcơ sở định luật bảo toàn năng lợng ta có:

Phơng trình (1-4) là phơng trình cơ bản của phơng phápnăng lợng.

Ta xét một hệ bất kỳ vừa có khối lợng phân bố m(x), vừacó khối lợng tập trung mi.

Thành lập biểu thức động năng, với trờng hợp động năng lớnnhất:

chính xác Điều này xảy ra là do việc giả định đờng đàn hồithờng khó chính xác, do vậy sẽ dẫn đến hiện tợng đa thêm vàohệ các liên kết, các liên kết này sẽ làm tăng độ cứng của hệ,nên tần số dao động tìm đợc sẽ lớn hơn tần số dao động thựctế của hệ.

1.7.2.2 Phơng pháp Bupnop – Galoockin.

Dựa theo phơng trình vi phân của dạng dao động chính thứ jta có:

[EJ (x) yj’’(x)]’’ - j2 m (x) yj (x) = 0 8)

(1-Giả thiết rằng nghiệm của phơng trình (1-8) đã biết và có thểbiểu diễn nh sau:

(1-Biểu thức (1-10) đúng với bất kỳ giá trị nào của x và cũngđúng với trờng hợp khi ta nhân cả 2 vế của nó với một hàm k(x)bất kỳ (k chỉ số dạng dao động riêng), có nghĩa là:

(1-Lấy tích phân biểu thức (1-11) trên toàn chiều dài của dầm,khai triển, viết ở dạng chính tắc ta có:

Ck1a1 + Ck2a2 + Ck3a3 +………….+ Cknan = 0 12)

(1-(k = 1,2,…… ,n)với

trong (1-13) có thể xem nh công khả dĩ của tải trọng qi trênchuyển vị k(x) Do đó khi các tham số i(x) và k(x) chọn saocho thoả mãn điều kiện biên thì biểu thức (1-13) có thể coi làcông của tải trọng qk trên chuyển vị dời i(x) Từ lý luận đóchúng ta thấy rằng hàm i(x) thoả mãn điểu kiện biên thì Cki =Cik.

Trong công thức (1-12) các hệ số ai là cha xác định.Chúng phải có giá trị để sao cho phơng trình (1-12) luôn thoảmãn với mọi giá trị của k (k = 1,2,…,n) Các hàm i(x) phải chọnsao cho thoả mãn toàn bộ (hoặc một phần các điều kiện biên)

tốt Ví dụ có thể chọn hàm dạng i(x) theo đờng đàn hồi docác tải trọng khác nhau trên hệ tạo nên nh tải trọng phân bố,tập trung… có thể chọn là hàm lợng giác v.v…

Trong công thức (1-12), các hệ số ai là cha xác định Hệphơng trình đó là thuần nhất, do vậy muốn có các nghiệm ai

khác không thì định thức của các hệ số trong phơng trìnhchính tắc phải bằng không:

Thế năng toàn phần đợc biểu diễn dới dạng công của ngoạilực và nội lực của hệ khi chuyển từ trạng thái biến dạng về trạngthái không biến dạng nh sau:

U = (1-15)Trong đó: q(x) là lực quán tính do khối lợng phân bố gây rakhi hệ dao động.

Lực quán tính đợc xác định nh sau:qj(x) = m (x)j2yj (x)

Ck1a1 + Ck2a2 + Ck3a3 +………….+ Cknan = 0 (k = 1,2,…… ,n)

với

Cki = 19)

(1-Qua (1-19) ta luôn có Cik = Cki.

Từ (1-18) ta thiết lập đợc n phơng trình với các ẩn là a1, a2,… ,an Hệ phơng trình đó là thuần nhất, do vậy muốn có cácnghiệm an khác không thì định thức của các hệ số trong ph-ơng trình chính tắc phải bằng không:

Theo phơng pháp này chúng ta thay thế các khối lợngphân bố và tập trung trên kết cấu thành các khối lợng tập trungvới khối lợng ít hơn đặt tại một số điểm đặc biệt Có thể thaythế khối lợng phân bố theo một trong hai cách sau:

- Chia các khối lợng phân bố thành nhiều khoảng, tậptrung các khối lợng phân bố trên mỗi khoảng về trọng tâm củanó.

- Phân bố các khối lợng phân bố theo nguyên tắc đònbẩy Theo cách này khối lợng phân bố trên mỗi đoạn đợc thaythế bằng khối lợng phân bố trên mỗi đoạn đợc thay thế bằngkhối lợng đặt ở hai đầu đoạn đó.

Thay thế khối lợng theo cách thứ hai thờng cho ta một hệmới đơn giản hơn cách thứ nhất, vì số lợng các khối lợng tậptrung ít hơn Tần số dao động của hệ mới này chính là tần sốgần đúng của hệ thực Mức độ chính xác của lời giải phụ thuộcsố lợng và vị trí đặt các khối lợng trong sơ đồ mới Số khối lợngcàng nhiều thì kết quả càng chính xác Thông thờng, nếu chỉquan tâm đến tần số của vài dạng dao động đầu tiên, ta cóthể biến đổi hệ về hệ có hai, ba bậc tự do cũng đủ thoả mãnđợc yêu câu về độ chính xác cần thiết.

Sau khi đã chọn đợc sơ đồ khối lợng, ta tiến hành nh đốivới bài toán hệ hữu hạn bậc tự do với việc giải các phơng trìnhtần số, thu đợc các tần số cần thiết.

1.7.2.5 Phơng pháp khối lợng tơng đơng để xác địnhtần số cơ bản của dao động riêng.

Vấn đề là, đối với có nhiều hoặc vô cùng bậc tự do, nếuchỉ cần xác định tần số thứ nhất thì ta có thể tính gần đúng

Lúc này tần số dao động riêng của hệ thay thế đợc xácđịnh bằng công thức :

Phơng pháp khối lợng tơng đơng đợc xây dựng dựa trêncơ sở giả thiết gần đúng sau: “ Hai hệ tơng đơng về độngnăng thì cũng tơng đơng về tần số”.

Nh vậy điều kiện để tần số của hệ thay thế bằng tần sốcủa hệ thực là: động năng lớn nhất T(b) của hệ thay thế tơngđơng phải bằng động năng lớn nhất T(a) của hệ thực khi daođộng.

T(a) = T(b) (1-21)

Giả thiết đờng đàn hồi của hệ khi dao động có dạng: y(x,t) = y(x).Z(t)

Suy ra vận tốc dao động tại thời điểm bất kỳ có hoành độ xlà :

Do đó, tổng động năng của hệ thực là:

vì chuyển vị của hệ thay thế tơng đơng cũng đợc bằngchuyển vị của hệ thực tại điểm có hoành độ “a”, nên ta cóthể viết biểu thức động năng của hệ thay thế nh sau:

- Khi dùng phơng pháp này ta cũng phải giả thiết trớcđờng đàn hồi y(x) của hệ, và chỉ tính đợc tần số

- Vị trí (a) của khối lợng tơng đơng Mtb nên chọn ởđiểm có chuyển vị lớn nhất do trọng lợng bản thân của dầm

- Nguyên nhân gây ra sai số của là do phơngtrình y(x) chọn không chính xác, hoặc chọn vị trí đặt khối l-ợng không hợp lý và giả thiết “ Hai hệ tơng đơng về động lợngthì cũng tơng đơng về tần số ” là gần đúng.

1.7.2.6 Phơng pháp sai phân.

Nh ta đã biết, khi đi tìm dạng dao động riêng chính xáccủa hệ ứng với tần số khác nhau thì điều khó khăn chủ yếu làphải giải các phơng trình vi phân dao động rất phức tạp

Trong các trờng hợp khi dạng tải trọng phức tạp hay dầmcó tiết diện thay đổi thì khó khăn càng lớn Do đó có thể tìmnghiệm gần đúng của phơng trình vi phân bằng các phơngtrình sai phân.

Trong các phơng pháp giải gần đúng bài toán dao độngcủa hệ thanh phơng pháp sai phân tơng đối đơn giản hơn vàcó thể áp dụng dễ dàng cho các trờng hợp các thông số của hệthay đổi (ví dụ nh khối lợng thay đổi, tiết diện thay đổi) Nội dung của phơng pháp sai phân là thay thế các đạohàm trong các phơng trình vi phân bằng các tỷ số hiệu số.Sau khi thay thế ta đợc một hệ phơng trình đại số tuyến tính.Nh vậy ta đã thay thế việc giải phơng trình vi phân bằngviệc giải một hệ phơng trình đại số tuyến tính.

Xét hệ dầm dài l có khối lợng phân bố đều Ta có phơngtrình vi phân dao động riêng của dầm mang khối lợng phânbố đều :

Nếu đặt : y(x,t) = y(x)sin( )

thì sau khi biến đổi ta đợc phơng trình sau : với

nếu đặt x= ,thì phơng trình trên có thể diễn tả ở dạngsau :

với (1-23)

Chia dầm thành n đoạn bằng nhau có chiều dài , ta có : l=n ; ;

Lấy sai phân tại điểm i, theo hình vẽ:

Thay các kết quả trên vào (1-23) ta thu đợc phơng trìnhsai phân viết cho điểm bất kỳ i nh sau:

với i=1,2,3,…,(n-1) (1-24)Kết hợp các điểm ở bờ biên ta thiết lập đợc (n-1) phơngtrình thuần nhất có dạng (1-24) Từ điều kiện định thức cáchệ số của hệ bằng không ta thiết lập đợc phơng trình tần sốbậc (n-1) Sau khi giải phơng trình tần số ta đợc (n-1) tần sốdao động riêng.

1.7.3 Phơng pháp đúng dần

ở các phơng pháp gần đúng, có chung một nhợc điểm lànếu nh cha biết đợc tần số chính xác thì không đoán đợc saisố của nó.

Phơng pháp đúng dần cho phép tìm đợc giá trị đúngdần của tần số, càng sát với trị số chính xác của tần số nếucàng thực hiện nhiều lần tính toán Nh vậy có thể ớc tính đợcphạm vi sai số của tần số bằng cách so sánh kết quả trong hailần tính kế tiếp nhau Đồng thời cũng có thể dựa vào độ chínhxác yêu cầu mà thực hiện số lần tính cần thiết.

Ngoài ra trong quá trình tính tần số ta cũng có thể tìmđợc dạng dao động riêng tơng ứng Tuy nhiên, phơng pháp nàycó nhợc điểm là nếu không có sự trợ giúp của các chơng trình(máy tính) thì nó thực hiện sẽ dài, vì phải có quá trình lặptìm các phơng trình đờng đàn hồi.

Xét dầm có các khối lợng tập trung mk và khối lợng phânbố m(x) Giả sử biết biên độ của các dạng dao động chính làyi (x) thì các lực quán tính tác dụng lên hệ có dạng:

q(x)=m(x)pk= mk

Bây giờ nếu giảm các tải trọng đi i2 lần ta có lực quántính là:

thì đờng đàn hồi do những tải trọng này gây ra cũngsẽ giảm đi i2 lần so với đờng yi(x), do vậy ta có:

Đẳng thức này nghiệm đúng với bất kì giá trị nào của x.Vì hàm yi(x) cha biết nên trong lần gần đúng thứ nhất ta giảthiết hàm dạng theo hàm i(x) nào đó và xác định đợc giá trịgần đúng thứ nhất theo công thức sau:

trong đó i(1) là đờng đàn hồi do các tải trọng phân bố và tải trọng tập trung gây ra.Do hàm i(x) chọn ban đầu thờng không đúng với dạng daođộng thực nên đại lợng xác định theo (1- 25) ứng với cácđiểm khác nhau trên hệ sẽ có giá trị khác nhau Nếu giá trịnày không khác nhau nhiều lắm thì có thể lấy giá trịtrung bình của chúng làm kết quả cần tìm Nếu các giá trịkhác nhau nhiều thì cần phải tiếp tục tính toán, tức là cầnthực hiện lần tính tiếp theo.

Trong lần tính tiếp theo, ta lại giả thiết phơng trình daođộng có dạng ; lúc này các tải trọng có giá trị:

Gọi phơng trình đờng đàn hồi do các tải trọng này gâyra là ; ta sẽ tính đợc tần số gần đúng lần thứ hai theocông thức sau:

Ngoài ra còn có thể kể đến các phơng pháp tính tần sốdao động riêng nh phơng pháp Holzer, phơng pháp ma trậnchuyển tiếp, phơng pháp chuyển vị khả dĩ, phơng pháp lặpkhông gian con…

Ch ơng 2

dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do

Trong thực tế tính toán kỹ thuật, chúng ta thờng gặp bàitoán tính dao động của hệ hữu hạn bậc tự do Để thuận tiện,việc trình bày đợc thể hiện ở dạng ma trận.

2.1 Xây dựng phơng trình vi phân dao động hệ hữu

P =11

  k1 n1

r21 rk1 rn1

Ngợc lại ta cũng có thể biểu diễn phơng trình chính tắcở dạng:

trong đó là ma trận độ cứng

Ma trận mềm và ma trận cứng là ma trận có tính chấtđối xứng và chúng là nghịch đảo của nhau:

Trớc hết ta xét trờng hợp bỏ qua ảnh hởng của lực cản Tasẽ viết phơng trình cân bằng lực với việc sử dụng nguyên lýĐalămbe Trong đó các lực đặt vào khối lợng bao gồm: Tảitrọng động tác dụng, lực quán tính và lực đàn hồi.

mk

Phơng trình cân bằng lực đối với khối lợng thứ k:

v (t)1 v (t)2 P (t)1 P (t)2

v (t)k v (t)nP (t)k P (t)n

Hình 2.2

k,qP P k,đ

-P(t)k,q + P(t)k,d = P(t)k (2-1a)

(2-2)Trong đó:

: là ma trận khối lợng

: là ma trận cản

Các phần tử của ma trận tắt dần Ckm gọi là các hệ số ảnh ởng tắt dần, là lực tơng ứng với toạ độ k do tốc độ chuyểndịch đơn vị tại toạ độ m gây ra.

h-2.2 Bài toán dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do.

Khi xét dao động riêng của hệ, từ (2-2) ta có phơngtrình sau:

(2-3)

Tơng tự dao động tự do của hệ một bậc tự do, dao độngtự do của hệ hữu hạn bậc tự do cũng có dạng là hàm điều hoàđơn giản.

{v(t)} = {A}sin( )(2-4)

Lấy đạo hàm bậc 2 biểu thức (2-4), và thay vào (2-3) tathu đợc:

trị bình phơng các tần số n dạng dao động riêng Véc tơ baogồm tất cả các tần số dao động riêng xếp theo thứ tự tăng dần

đợc gọi là vectơ tần số dao động riêng

Tần số dao động riêng thấp nhất i gọi là tần số cơ bản.

Tất cả các ma trận khối lợng và ma trận cứng của hệ kếtcấu bất kì đều là các ma trận đối xứng và xác định dơng.Vì vậy, tất cả các nghiệm của phơng trình tần số đều làthực và dơng