S GD & T BC NINH TRNG THPT Lí THI T THI TH THPT QUC GIA NM HC 2015-2016 Mụn: TON; Thi gian: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Ngy thi: 7/11/2015 Cõu (2.0 im) Cho hm s: y = x3 + 3x + cú th l (C) a Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s b Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im A ( 1; ) Gi B l giao im ca tip tuyn vi th (C) ( B A ) Tớnh din tớch tam giỏc OAB, vi O l gc ta Cõu (1.0 im) Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s f(x) = x 3x + trờn on 2; x Cõu (1.0 im) a) Gii phng trỡnh lng giỏc: cos 2x + cos 6x = cos 4x b) Cho cos = vi < < Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = ( + tan ) cos ữ Cõu (1 im) 2016 a)Tỡm h s ca s hng cha x 2010 khai trin ca nh thc: x + ữ x b) Gi X l hp cỏc s t nhiờn gm ch s ụi mt khỏc c to thnh t cỏc ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chn ngu nhiờn mt s t hp X Tớnh xỏc sut s c chn ch cha ch s l Cõu (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai im A(1; 2), B(3; 4) v ng thng d cú phng trỡnh: x 2y = Tỡm im M thuc ng thng d cho: MA + MB2 = 36 Cõu (1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B v AB = 2, AC = Hỡnh chiu vuụng gúc ca nh S trờn mt phng (ABC) l trung im H ca on thng AC Cnh bờn SA to vi mt ỏy mt gúc 60o Tớnh th tớch chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng AB v SC Cõu (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC vuụng ti A ni tip ng trũn (T) cú phng trỡnh: x + y 6x 2y + = Gi H l hỡnh chiu ca A trờn BC ng trũn ng kớnh AH ct AB, AC ln lt ti M, N Tỡm ta im A v vit phng trỡnh cnh BC, bit ng thng MN cú phng trỡnh: 20x 10y = v im H cú honh nh hn tung xy y + 2y x = y x Cõu (1,0 im) Gii h phng trỡnh: y + 2x + 3y = 2x + Cõu (1,0 im) Cho x, y, z l ba s thc dng tha món: x + y + z Tỡm giỏ tr nh nht ca x2 y2 z2 + + ì biu thc: P = yz + + x zx + + y xy + + z Ht -Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Cõu (2.0 im) ỏp ỏn im a (1.0 im) Kho sỏt v th Tp xỏc nh: D = Ă S bin thiờn: x = y = y ' = 3x + 6x; y ' = x = y = 0.25 y = ; lim = + Gii hn: xlim x + Bng bin thiờn: x y' + -2 0 + + + 0.25 y - H/s b trờn cỏc khong (; 2), (0; +) v nb trờn khong (2; 0) - Hm s t cc ti x = 2; y Cẹ = ; t cc tiu ti x = 0; y CT = 0.25 th: x 1 y 0.25 b (1.0 im) Vit phng trỡnh tip tuyntớnh din tớch tam giỏc + Ta cú: y '(1) = phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im A ( 1; ) l: y = 9(x 1) + y = 9x (d) + Ta im B l giao ca d v (C) cú honh l nghim pt: x = x + 3x + = 9x x3 + 3x 9x + = (x 1) (x + 5) = x = uuur Do B A nờn B(5; 49) Ta cú: AB = ( 6; 54 ) AB = 82 ; d ( O,d ) = 82 0.25 Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht Ta cú f(x) liờn tc trờn on 2; , f '(x) = x 2x (x 1)2 0.25 Vi x 2; , f '(x) = x = 0.25 10 0.25 Ta cú: f(2) = 4,f(3) = 3,f(4) = f ( x) = ti x = 3; Max f ( x) = ti x = Vy Min [ 2; ] [ 2; ] 0.25 0.25 1 82 = 12 (vdt) Suy ra: SOAB = d ( O,d ) AB = 2 82 (1 im) 0.25 a Gii phng trỡnh 0.25 (1.0 im) cos 4x = PT cos 4x cos 2x = cos 4x cos 4x(2 cos 2x 1) = cos 2x = x = + k 4x = + k x = + k x = + k 0.25 0.25 b.Tớnh giỏ tr biu thc < < nờn sin > 0,cos < Ta cú: + cos 1 cos2 = = cos = , 10 10 Do sin = cos = sin sin = , tan = = 10 cos 10 Khi ú: P = ( + tan ) (1.0 im) 0.25 + ữ= 10 10 ( cos + sin ) = ( 3) a.Tỡm h s ca s hng cha x 2010 khai trin 2016 Xột khai trin: x + ữ x = 2016 k C k =0 k 2016 x 2016 k 2016 k = x 2016 k 2k C2016 2ữ k =0 x S hng cha x 2010 ng vi 2016 3k = 2010 k = l 22 C22016 x 2010 cú h s l 22 C22016 = 4C22016 b.Tớnh xỏc sut Gi l khụng gian mu ca phộp th: Chn ngu nhiờn mt s t X Khi ú: = A = 60480 Gi A l bin c: S c chn ch cha ch s l Khi ú: + Chn ch s l ụi mt khỏc t cỏc ch s 1, 3, 5, 7, cú C35 cỏch +Chn ch s chn i mt khỏc t cỏc ch s 2, 4, 6, cú C34 cỏch + Sp xp cỏc ch s trờn c s tha bin c A cú 6! cỏch 3 Do ú A = C5 C4 6! = 28800 Vy xỏc sut cn tỡm l: P(A) = (1.0 im) A = 0.25 0.25 0.25 0.25 28800 10 = 60480 21 Tỡm ta im M uuuu r Gi s M(2t + 2; t) d MA = ( 2t 3; t) MA = 5t + 8t + 13 uuur MB = (1 2t; t) MB2 = 5t 12t + 17 Ta cú: MA + MB2 = 36 5t + 8t + 13 + 5t 12t + 17 = 36 10t 4t = t = M(4;1) 3 t= M ; ữ 5 0.25 16 Vy ta im M l: M(5;1), M ; ữ 5 Tớnh th tớch chúp S.ABC 0.25 0.25 0.25 0.25 S (1.0 im) SH vuụng gúc (ABC) gúc gia ã SA v (ABC) l: SAH = 60o ã SH = AH.tan SAH =2 K D E H A 0.25 C B ABC vuụng ti B BC = AC2 AB2 = SABC = AB.BC = 0.25 1 Vy VS.ABC = SH.SABC = 3.2 = 3 Dng hỡnh ch nht ABCD AB // CD AB // (SCD) d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD)) = 2d(H,(SCD)) (do AC = 2HC ) Trong (ABCD), gi E l trung im CD HE CD CD (SHE) Trong (SHE), k HK SE (K SE) HK (SCD) d(H,(SCD)) = HK Ta cú: HE = 0.25 AD = SHE vuụng ti E 1 1 15 = + = + = HK = 2 HK HS HE 12 12 0.25 15 ì Tỡm ta im A v vit phng trỡnh cnh BC Vy d(AB,SC) = 2HK = (1.0 im) (T) cú tõm I(3;1), bỏn kớnh R = ã ã Do IA = IC IAC (1) = ICA ng trũn ng kớnh AH ct BC ti M MH AB MH //AC (cựng vuụng gúc ã ã AC) MHB (2) = ICA ã ã Ta cú: ANM (chn cung AM) (3) = AHM A N E M B H I C 0.25 T (1), (2), (3) ta cú: ã ã ã ã IAC + ANM = ICA + AHM ã ã = MHB + AHM = 90o Suy ra: AI vuụng gúc MN phng trỡnh ng thng IA l: x + 2y = Gi s A(5 2a;a) IA a = 2 M A (T) (5 2a) + a 6(5 2a) 2a + = 5a 10a = a = Vi a = A(1; 2) (tha vỡ A, I khỏc phớa MN) Vi a = A(5; 0) (loi vỡ A, I cựng phớa MN) 0.25 (1.0 im) Gi E l tõm ng trũn ng kớnh AH E MN E t; 2t ữ 10 38 Do E l trung im AH H 2t 1; 4t ữ 10 uuur u u r 58 48 AH = 2t 2; 4t ữ, IH = 2t 4; 4t ữ 10 10 uuur uur r 272 896 Vỡ AH HI AH.IH = 20t t+ =0 25 11 13 H ; ữ (thoỷa maừn) t = 5 28 31 17 H ; ữ (loaùi) t = 25 25 25 11 13 Vi t = H ; ữ (tha món) 5 uuur r Ta cú: AH = ; ữ BC nhn n = (2;1) l VTPT 5 phng trỡnh BC l: 2x + y = Gii h phng trỡnh iu kin: x 0, y 6, 2x + 3y (*) x = Nhn thy khụng l nghim ca h phng trỡnh y + x y = Khi ú, PT (1) x(y 1) (y 1) = (y 1)(x y + 1) = 0.25 0.25 0.25 y x y + x y x y + x 0.25 ữ= (x y + 1) y + y + x ữ x y + = y = x + (do (*)) Thay vo PT (2) ta c: x + 5x = 2x + K: / x (**) x (7 x) + 3( 5x x) = + x x x + (7 x) + 3(4 + 5x x ) 5x + x =0 0.25 ( + 5x x ) + =0 ữ x + (7 x) ữ x + x x + 5x = (do (**) (1 im) x = y = (tha (*),(**)) x = y = Vy nghim ca h phng trỡnh l: (1; 2), (4; 5) Tỡm GTNN Ta cú BT: a2 b c2 (a + b + c)2 + + (*) vi a, b,c,x,y,z > v chng minh x y z x+y+z 0.25 0.25 (Hc sinh khụng chng minh (*) tr 0.25) p dng (*) ta cú: P (x + y + z)2 xy + yz + zx + + x3 + + y + + z3 + x + 2x + x x + x = 2 2 + y + 2y + y y + y2 + y3 = (2 + y)(4 2y + y ) = 2 2 + z + 2z + z z + z2 + z3 = (2 + z)(4 2z + z ) = 2 2(x + y + z) Suy ra: P 2xy + 2yz + 2zx + 18 (x + y + z) + x + y + z Ta cú: + x3 = (2 + x)(4 2x + x ) = 0.25 2(x + y + z)2 (x + y + z)2 (x + y + z) + 18 t t = x + y + z (t 3) Khi ú: P 2t t t + 18 2t vi t t t + 18 2(t + 36t) f '(t) = Ta cú: , f '(t) = t = 36 (t t + 18) BBT: x 36 y' + 144/71 y 3/4 Xột hm s: f(t) = t = Vy GTNN ca P l: 3/4 x = y = z = T BBT ta cú: GTNN ca P l: Chỳ ý: Cỏc cỏch gii ỳng khỏc ỏp ỏn cho im ti a 0.25 + 0.25 ... cha x 2010 khai trin 2016 Xột khai trin: x + ữ x = 2016 k C k =0 k 2016 x 2016 k 2016 k = x 2016 k 2k C2016 2ữ k =0 x S hng cha x 2010 ng vi 2016 3k = 2010 k = l 22 C 22016 x 2010 cú...Cõu (2.0 im) ỏp ỏn im a (1.0 im) Kho sỏt v th Tp xỏc nh: D = Ă S bin thi n: x = y = y ' = 3x + 6x; y ' = x = y = 0.25 y = ; lim = + Gii hn: xlim x + Bng bin thi n: x y' + -2... s t cc ti x = 2; y Cẹ = ; t cc tiu ti x = 0; y CT = 0.25 th: x 1 y 0.25 b (1.0 im) Vit phng trỡnh tip tuyntớnh din tớch tam giỏc + Ta cú: y '(1) = phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im A ( 1;