THIẾT KẾ CÓ SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH

Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 THIẾT KẾ CÓ SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH Đề số: 35 Bài 1: Sử dụng ma trận phép biến đổi chứng minh phép đối xứng qua gốc toạ độ phân rã thành hai phép biến đổi liên tiếp : đối xứng qua trục ox đối xứng qua trục 0y ( đối xứng qua trục oy đối xứng qua trục 0x ) BÀI GIẢI: Ta có ma trận phép đối xứng qua gốc toạ độ A  x, y   A'   x,  y   1 0    T = 1    0 1   ' Ma trận đối xứng qua trục ox: A  x, y   A  x,  y  1 0   T1 = 1   0 1   ' Ma trận đối xứng qua trục oy: A  x, y   A   x, y   1 0    T2 =    0 1   Vậy ta có:  0   1 0   1 0        T = T1*T2 = 1 * = 1       0 1  0 1  0 1       Suy điều phải chứng minh Bài 2: Cho vòng tròn bán kính R tâm gốc toạ độ a Tìm phương trình dạng đường cong sau thực phép biến đổi với ma trận là:  0   0 0 2 1   b Dùng AutoCAD vẽ đồ thị đường cong trước sau biến đổi hệ tọa độ BÀI GIẢI: x2  y  R2  0   T=   2 1   Gọi A(x, y) thuộc vòng tròn tâm O bán kính R: A  x, y   A'  x' , y '  Bài tập lớn CAD-Phần I (1) Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35  0  x , y ,1 =  x , y,1 *   2 1   ' x  2* x  ' ' y'  y  Rút x, y vào (1) có:  x'  '   1  y  2      R2 a Vậy đường tròn sau biến đổi đường cong có phương trình:  x  2   y  2 '  2R  ' R2 1 Đây đường elíp tâm ( 2, 2) bán trục lớn 2*R, bán trục nhỏ R b Hình vẽ: Bài 3: Cho vòng tròn bán kính R=2cm tâm gốc toạ độ a Tìm phương trình dạng đường cong sau thực phép biến đổi với ma trận là:    2    0  0  1  b Dùng AutoCAD vẽ đồ thị đường cong trước sau biến đổi hệ tọa độ BÀI GIẢI: a Gọi A(x, y) thuộc vòng tròn tâm O bán kính R=2: Bài tập lớn CAD-Phần I x2  y  (2) Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 A  x, y   A'  x' , y '    T =  2       x' , y' ,1 =  x , y,1 *  2    ' x  x2 3* y3 0  0  1  0  0  1  y'  * x  * y  Rút x,y : 3( y ' 3)  ( x ' 3) ( y ' 3)  3( x ' 3) y x vào (2) có:   y ' 3   x ' 3    y ' 3   x ' 3      2          x1  x ' Ta đặt phép đổi biến:  thu :  y1  y ' 2 2  y1  x1   y1  3x1        4      x1  y1 x   Ta đổi biến lần 2:  ta phương trình: x  y y  1  2 x22 y22  1 82 Đây phương trình đường elíp tâm (0, 0), bán kính trục nhỏ a = 4, bán kính trục lớn b = (Khi xét với biến là: x2, y2) Theo lần đặt biến xét với biến (x’, y’) biểu diễn đường elíp tâm (3, 3), bán kính trục nhỏ a = 4, bán kính trục lớn b = , nghiêng với trục ox góc 300 b.Hình vẽ: Từ cách phân tích ta thấy thực chất tổng hợp phép biến đổi đơn giản : phép biến dạng (Sx=2, Sy=4), phép quay (  =600) phép tịnh tiến (tx=3, ty=3) Và từ ta phân tích ma trận cho thành sau: Bài tập lớn CAD-Phần I Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35   T=  2      0  0       0 =   *      0        0  1 0    0*0 0  3 1  1    2 Vậy đường cong elíp bị quay nghiêng có trục dài nghiêng góc   30 so víi trôc hoµnh Bài 4: Sử dụng ma trận phép biến đổi chứng minh phép quay quanh gốc toạ độ với góc quay toàn tương đương với phép đối xứng qua gốc toạ độ BÀI GIẢI: Ta có ma trận phép quay quanh gốc toạ độ góc       1800   độ:   A  x, y   A'  x' , y '   cos 1800 sin 1800  1 0       0   cos 180   1  T1   sin 180      0 1  0 1   ' Ma trận đối xứng qua gốc toạ độ: A  x, y   A   x,  y   1 0    T2 = 1    0 1   Rõ ràng T1=T2 suy điều phải chứng minh Bài tập lớn CAD-Phần I  1800 hoàn Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 Bài 5: Cho tam giác ABC với toạ độ đỉnh: A(4 , 5) B(2 , 3) C(4 , 0) đường thẳng y = -x+1 a) Tính ma trận phép đối xứng tam giác qua đường thẳng y = -x+1 b) Tính tọa độ đỉnh tam giác sau biến đổi (A’ ; B’ ; C’) c) Dùng AutoCAD vẽ tam giác ABC A’B’C’ hệ tọa độ oxy, đơn vị dài lấy 1cm, chuyển sangi File ảnh JPG chèn vào File Word, tô màu khác cho rõ d) Dùng lệnh ID phần mềm AutoCAD kiểm tra lại tọa độ đỉnh A’B’C’ tính toán BÀI GIẢI: a Đường thẳng cắt trục oy P(0, 1) nghiêng góc   45 so với trục ox Do đường thẳng y = -x+1 không trùng với trục toạ độ nên ta thực bước sau:  Gắn cứng tam giác ABC đường thẳng y =-x+1 Di chuyển P  O với tx = 0, ty= -1; ta có ma trận chuyển đổi 1 0   T1 =    1     Quay đường thẳng quanh gốc toạ độ với góc cos  =   450 trùng với ox Ta có sin  = 2 Ma trận chuyển đổi:   0      2 0 T2=      0 1     ' ' '  Thực phép đối xứng qua trục ox ta A B C Ta có ma trận chuyển đổi: 1 0   T3 = 1   0 1    Quay đường thẳng trở lại quanh gốc toạ độ với góc   450 Ta có sin  =  Ta có ma trận chuyển đổi:     T4 =      2 2  2 2  0   0  1    Tịnh tiến vị trí ban đầu, với tx= , ty= 1; Ta có ma trận chuyển đổi: Bài tập lớn CAD-Phần I 2 cos  = 2 Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 1 0   T5 =   0 1   Vậy ta có ma trận biến đổi chung : T = T1*T2*T3*T4*T5   0       = *    1        = 2 2   0   1 0       *  1  *   0 1    1       2 2  0  1 0    0 *0 0  0 1  1     1     1 0   1 1   b Tính toạ độ tam giác A' B'C '  x A'  '  xB  xC'  y A' 1  1  1   4 -3 1        yB' 1   1 *  1 0    -2 1 1 yC' 1  1  1   -3 1 c Chọn 1đv = 10 mm ta vẽ sau: Bài tập lớn CAD-Phần I Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 d Dùng phần mềm CAD để kiểm tra: Sau cho ABC đối xứng qua đường thẳng có phương trình y=-x+1 ta đỉnh biểu diễn ma trận sau:  x A'  '  xB  xC'  A' B' C ' với toạ độ y A' 1  4 3 1    yB' 1   2 1 1 yC' 1  3 1 Như kết xác Bài 6: Cho tam giác ABC với toạ độ đỉnh: A(5, 5) B(1 , 4) C(3 , 1) điểm E(-1 , 1) a) Tính ma trận phép quay tam giác quanh điểm E góc =-900 b) Tính tọa độ đỉnh tam giác sau biến đổi (A’ ; B’ ; C’) c) Dùng AutoCAD vẽ tam giác ABC A’B’C’ hệ tọa độ oxy, đơn vị dài lấy 1cm, sau chuyển hình vẽ sang File Word d) Dùng lệnh ID phần mềm AutoCAD kiểm tra lại tọa độ đỉnh A’B’C’ tính toán BÀI GIẢI a Điểm E(-1,1) không trùng với gốc toạ độ nên ta thực bước sau:  Gắn cứng tam giác ABC điểm E Di chuyển E  O với tx= 1, ty= -1; Ta có ma trận chuyển đổi: 1 0   T1 =    1    Bài tập lớn CAD-Phần I Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35  Quay tam giác ABC quanh gốc toạ độ với góc sin  = cos  = Ta có ma trận chuyển đổi:   900 ta có tam giác A’B’C’ Ta có  0   T2 = 1 0    0 1    Tịnh tiến trở lại vị trí ban đầu, với tx= -1 , ty= 1; Ta có ma trận chuyển đổi:  0   T3 =    1 1    Vậy ta có ma trận biên đổi chung: 1 0  0  0       T = T1*T2*T3 = * 1 0 *        1   0   1 1         0   = 1 0    1   b Tính toạ độ tam giác A' B'C '  x A'  '  xB  xC'  y A' 1  5 1    5 1        yB' 1   1 *  1 0    4 1 yC' 1  1    1 1 c Chọn tỷ lệ 1đv =10 mm ta vẽ sau: Bài tập lớn CAD-Phần I Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 d Dùng phần mềm CAD để kiểm tra Sau quay ABC ma trận sau:  x A'  '  xB  xC'  ta A' B' C ' với toạ độ đỉnh biểu diễn y A' 1  5 1    yB' 1   4 1 yC' 1  1 Bài 7: Cho toạ độ đỉnh tam giác ABC không gian A(-1,1,0); B(0,1,0);C(0,0,1): a.Tìm ma trận phép quay tam giác ABC quanh cạnh AB góc 𝜃=−300 b.Tính toạ độ tam giác sau quay.Dùng lệnh ID AutoCAD kiểm tra lại toạ độ tính toán BÀI GIẢI a Các phép biến đổi ma trận tương ứng:      Quay quanh OZ góc 450 , T1 =      2 2 0 Bài tập lớn CAD-Phần I 2 0 2 0   0 0   Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35       Quay quanh OY góc -450, T2 =     1  0 Quay quanh OX góc 300, T3 =  0 0  2 0 2 0  0  0  2 0 0  0  0  2  1  Tịnh tiến A( -1; 1; 0) trùng với O, T4 =  0   1 0 0  0 0  1 (Coi điểm A làm tâm Scale điểm A có giá trị ban đầu)  2  0 Tỉ lệ tam giác ABC lên lần , T =   0   1  Tịnh tiến hệ điểm A(-1;0;0), T6 =  0   1 0 0  0 0   0 0 1 0  0 0  1 0 Ma trận biến đổi: T = T1*T2*T3*T4*T5*T6  2 0    2     2 0 * =  2   0 0        0   0 0  1   0  0 2 * * 0  0 0  2  0 0   1    1 2 0  2     1 2 1 0  = 2      0  2      1   0 0 2 2 0 2   0 0 * 0 0     Bài tập lớn CAD-Phần I  0 *  0  0 0 0    0  * 0      1 1 0 0  0 0  1 Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 b Tọa độ đỉnh tam giác sau biến đổi tính theo công thức; ( x’ y’ z’ 1) = ( x y z 1) T (với T ma trận biến đổi)  x A'  '  xB  x'  C y A' y B' y C' z 'A 1  x A   z B' 1 =  xB z C' 1  xC =     1 1     1  1 *   0 1        =   1  1     1   1   yA yB yC 1 1  2 1 zA zB zC    1   1 1  1      2 2 6 1 1  2 1 2 2  0   0   0    0   0   0    1 1, 732 1   1 2    0, 725 0,159 1 1 =    0, 414 1, 701 1, 225 1  1   Vậy toạ độ đỉnh tam giác ABC sau biến đổi là: A’(-1; 0; -1,732); B’(0; 0,725; -0,159); C’( -0,414; 1,701; 1,225)  Dùng AutoCAD kiểm tra lại kết tính toán:  Trong CAD vẽ hệ trục toạ độ Oxyz lệnh 3P.( dựa vào khối hình hộp lập phương để vẽ dược nhanh chóng)  Đưa hệ toạ độ trùng với hệ toạ độ vừa tạo  Dùng lệnh 3P vẽ tam giác ABC, nhập toạ độ tuyệt đối đánh dấu đỉnh tam giác  Sử dụng lệnh 3D Rotate quay tam giác ABC quanh trục oz,oy, ox góc 45 0, -450, 300  Dùng lệnh Scale biến đổi tỷ lệ tam giác ABC lên lần, tâm biến đổi (-1; ; 0) - điểm nhập toạ độ tuyệt đối  Dùng lệnh ID kiểm tra lại đỉnh tam giác sau biến đổi ta được: A’(-1; 0; -1,732); B’(0; 0,725; 0,159); C’( -0,414; 1,701; 1,225) So sánh với kết tính toán ta kết luân phép tính xác Bài Trong AutoCAD có lệnh ALIGN (2D 3D) a)Hãy cho biết công dụng cách dùng lệnh này.Cho ví dụ (kèm theo hình minh họa) b)Giải thích sở lệnh thông qua phép biến đổi học BÀI GIẢI: a) - Công dụng lệnh ALIGN: dùng để quay đối tượng theo đối tượng khác - Cách dùng lệnh ALIGN: Command : al  Select objects : chọn đối tựợng Bài tập lớn CAD-Phần I Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 Specify 1st source point : chọn điểm nguồn thứ Specify 1st destination point : chọn điểm đích thứ Specify 2nd source point : chọn điểm nguồn thứ hai Specify 2nd destination point : chọn điểm đich thứ hai Specify 3rd source point or : chọn điểm nguồn thứ ba Specify 3rd destination point or : chọn điểm đích thứ ba Scale objects based on alignment points? [Yes/No] : có muốn thay đổi khoảng cách hai đối tượng để đưa điểm nguồn chọn hay không?Mặc định không muốn có chọn Y  - Ví dụ(2D): Quay tam giác ABC theo đường EF Điểm nguồn A A , B B, điểm đích A A’ , B B ‘ Ở ta chọn N với 2D Hình vẽ minh họa 2D Ví dụ 3D : Quay khối nêm cho mặt MNPQ trùng vào mặt ABCD điểm nguồn N đích A,điểm nguồn M đích D ,điểm nguồn P đích B ta có hình vẽ ban đầu hình vẽ sau biến đổi Bài tập lớn CAD-Phần I Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 Hình vẽ minh hoạ 3D b)Cơ sở lệnh ALIGN là: Phép quay đối tượng B theo đối tượng A phân rã thành phép biến biến đổi sau: Bước 1: Gắn cứng đối tượng A B.Thực phép tịnh tiến A0 đến A0’ ta có ma trận biến đổi T1 Bước 2: Quay đối tượng B xung quanh đối tượng A với góc quay  cho đưa B nằm đường thẳng A’0B’0.Nếu A’0 không trùng với gốc toạ độ phép quay tách thành phép biến đổi: Tịnh tiến A’0 gốc toạ độ,ta có ma trận biến đổi T 21; thực phép B quay xung quanh gốc toạ độ với góc quay α, ta có ma trận biến đổi T 22; tịnh tiến A0’ vị trí cũ,ta có ma trận biến đổi T 23 Ma trận biến đổi chung phép quay là: T2 = T12.T22.T23 Bước 3:Nếu ta chọn Y thực phép tịnh tịnh tiến B B ’0,giữ nguyên vị trí A.Ma trận biến đổi T3 Ma trận phép biến đổi chung T = T 1.T2.T3.Nếu chọn N T=T1.T2 Bài 9: Cho mặt phẳng ABC với: A(a,0,0) B(0,b,0) C(0,0,c) điểm P bên mặt phẳng ABC Tìm ma trận phép đối xứng điểm P qua mặt phẳng ABC BÀI GIẢI: a, Gắn điểm P mặt phẳng (ABC) thành khỗi cứng Ta tiến hành bước sau : Bước1: Tính góc hợp mặt phẳng (ABC) mặt phẳng oxy cos  sin   ab a 2b  b c  c a c a  b a 2b  b c  c a e  f Bước2: Tịnh tiến A gốc tọa độ với T x= - a; Ty=0; Tz=0 Khi ta điểm A1, B1; C1, P1 Ma trận phép biến đổi :   M1      a 0 0 0  0 0  1 Bước3: Quay A1B1 xung quanh trục Oz trùng với trục Ox với góc quay β >0 Bài tập lớn CAD-Phần I Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 Trong : cos  a a  b2  g ;sin   b a  b2 h Qua phép biến đổi ta điểm A2, B2; C2, P2 Ma trận phép biến đổi :   M2      cos sin   sin  cos 0 0 0 0    0   0    1  g h 0 h g 0 0  0 0  1 0 Bước4: Quay khối quanh trục Ox góc α >0 để trùng với mặt phẳng Oxy Ma trận phép biến đổi : 1  M3   0  0 0 0    cos sin      sin  cos     0 1  0 e f 0 f e 0  0 0  1 e f 0 f e 0  0 0  1 Bước5: Lấy đỗi xứng điểm P qua mặt phẳng Oxy Ma trận phép biến đổi : 1  M4   0  0 0 0 1 0  0 0  1 Bước6: Quay mặt phẳng vị trí A2B2C2 góc -α Ma trận phép biến đổi : 1  M5   0  0 0 cos(- ) sin (- )  sin (- ) cos(- ) 0 0 1   0   0    1  Bước7: Quay mặt phẳng từ vị trí A2,B2C2 vị trí A1B1C1 với góc quay – β Ma trận phép biến đổi :  cos  sin  M6       sin  cos 0 0 0    0   0    1  g h 0 h g 0 0 0  0 0  1 Bước8: Tịnh tiến mặt phẳng vị trí ban đầu với T x=a; Ty=0; Tz=0 Ma trận phép biến đổi :   M7      0 a 0 0 0  0 0  1 Như ma trận phép lấy đối xứng điểm P qua mặt phẳng (ABC) : Bài tập lớn CAD-Phần I Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35  g  h2 f  2  gh  hg (e  f ) M  M 1.M M M M M M     a  a2 g  gh( f  1)  hef g (e  f )  h 0  e2 0 b, Tìm tọa độ điểm P qua phép biến đổi Tọa độ điểm P xác định qua ma trận  g  h2 f  2  gh  hg (e  f ) ( x ' y ' z '1)  ( x y z 1)     a  a2 g  gh( f  1) g (e  f )  h  hef 0  e2 0 Bài tập lớn CAD-Phần I 0  0 0   0  0 0   [...]... -1,732); B’(0; 0,725; 0,159); C’( -0,414; 1,701; 1,225) So sánh với kết quả tính toán ta kết luân phép tính chính xác Bài 8 Trong AutoCAD có lệnh ALIGN (2D và 3D) a)Hãy cho biết công dụng và cách dùng lệnh này.Cho một ví dụ (kèm theo hình minh họa) b)Giải thích cơ sở của lệnh này thông qua các phép biến đổi đã học BÀI GIẢI: a) - Công dụng của lệnh ALIGN: dùng để quay một đối tượng theo một đối tượng khác... : chọn điểm đích thứ ba Scale objects based on alignment points? [Yes/No] : có muốn thay đổi khoảng cách giữa hai đối tượng để đưa về đúng điểm nguồn đã chọn hay không?Mặc định là không nếu muốn có thì chọn Y  - Ví dụ(2D): Quay tam giác ABC theo đường EF Điểm nguồn của A là A , của B là B, điểm đích của A là A’ , của B là B ‘ Ở đây ta chọn N với 2D Hình vẽ minh họa 2D Ví dụ 3D : Quay khối nêm... trùng với gốc toạ độ thì phép quay này được tách thành 3 phép biến đổi: Tịnh tiến A’0 về gốc toạ độ,ta có ma trận biến đổi là T 21; thực hiện phép B quay xung quanh gốc toạ độ với góc quay α, ta có ma trận biến đổi là T 22; tịnh tiến A0’ về vị trí cũ,ta có ma trận biến đổi là T 23 Ma trận biến đổi chung của phép quay này là: T2 = T12.T22.T23 Bước 3:Nếu ta chọn Y thì thực hiện phép tịnh tịnh tiến B về B... đích là D ,điểm nguồn 3 là P đích là B ta có hình vẽ ban đầu và hình vẽ sau khi biến đổi Bài tập lớn CAD-Phần I Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 Hình vẽ minh hoạ 3D b)Cơ sở của lệnh ALIGN là: Phép quay đối tượng B theo đối tượng A được phân rã thành các phép biến biến đổi sau: Bước 1: Gắn cứng 2 đối tượng A và B.Thực hiện phép tịnh tiến A0 đến A0’ ta có ma trận biến đổi T1 Bước 2: Quay đối tượng... 1 6  1 2   3 Vậy toạ độ các đỉnh tam giác ABC sau khi biến đổi là: A’(-1; 0; -1,732); B’(0; 0,725; -0,159); C’( -0,414; 1,701; 1,225)  Dùng AutoCAD kiểm tra lại kết quả tính toán:  Trong CAD vẽ hệ trục toạ độ Oxyz bằng lệnh 3P.( có thể dựa vào khối hình hộp lập phương để vẽ dược nhanh chóng)  Đưa hệ toạ độ về trùng với hệ toạ độ vừa tạo  Dùng lệnh 3P vẽ tam giác ABC, nhập toạ độ tuyệt đối đánh... ma trận của phép đối xứng điểm P qua mặt phẳng ABC BÀI GIẢI: a, Gắn điểm P và mặt phẳng (ABC) thành một khỗi cứng Ta tiến hành các bước sau : Bước1: Tính góc hợp bởi mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng oxy cos  sin   ab a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 c a 2  b 2 a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 e  f Bước2: Tịnh tiến A về gốc tọa độ với T x= - a; Ty=0; Tz=0 Khi đó ta được các điểm A1, B1; C1, P1 Ma trận của phép... qua mặt phẳng Oxy Ma trận của phép biến đổi là : 1  0 M4   0  0 0 1 0 0 0 0 1 0 0  0 0  1 Bước6: Quay mặt phẳng về vị trí A2B2C2 một góc -α Ma trận của phép biến đổi là : 1  0 M5   0  0 0 0 cos(- ) sin (- )  sin (- ) cos(- ) 0 0 0 1   0  0  0  0   1  0 Bước7: Quay mặt phẳng từ vị trí A2,B2C2 về vị trí A1B1C1 với góc quay – β Ma trận của phép biến đổi là :  cos... ;sin   b a 2  b2 h Qua phép biến đổi ta được các điểm A2, B2; C2, P2 Ma trận của phép biến đổi là :   M2      cos sin   sin  cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0    0   0    1  g h 0 0 h g 0 0 0  0 0  1 0 0 1 0 Bước4: Quay cả khối quanh trục Ox một góc α >0 như ở trên để về trùng với mặt phẳng Oxy Ma trận của phép biến đổi là : 1  0 M3   0  0 0 0 0  1   cos sin  0  ... 0 1 0 0    0   0    1  g h 0 0 h g 0 0 0 0 1 0 0  0 0  1 Bước8: Tịnh tiến mặt phẳng về vị trí ban đầu với T x=a; Ty=0; Tz=0 Ma trận của phép biến đổi là :   M7      1 0 0 a 0 1 0 0 0 0 1 0 0  0 0  1 Như vậy ma trận của phép lấy đối xứng điểm P qua mặt phẳng (ABC) là : Bài tập lớn CAD-Phần I Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35  g 2  h2 f 2  2 2  gh  hg (e ...Trần Quang Nhất_Lớp xe tăng k42-Đề số 35 b Tọa độ các đỉnh tam giác sau khi biến đổi được tính theo công thức; ( x’ y’ z’ 1) = ( x y z 1) T (với T là ma trận biến đổi)  x A'  '  xB  x'  C y A' y B' y C' z 'A 1  x A   z B' 1 =  xB z C' 1  xC =   1   1 1 0 1     1 