một số cấu trúc đại số được chứa trong vành ma trận vuông cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -  - NGÔ THỊ MỸ PHƯỢNG MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ ĐƯỢC CHỨA TRONG VÀNH MA TRẬN VUÔNG CẤP HAI CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần Huyên; người thầy dẫn dắt bước vào đường nghiên cứu khoa học Sự tận tình hướng dẫn lời động viên, bảo Thầy giúp hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn: Ban lãnh đạo chuyên viên phòng Sau đại học; ban chủ nhiệm khoa giảng viên khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí minh; giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại số Lý thuyết số khóa 20 tạo điều kiện học tập thuận lợi cho suốt khóa học Thầy Bùi Quang Thịnh (trường Đại học Tiền Giang) nhiệt tình giúp đỡ việc soạn thảo luận văn Các bạn lớp Cao học Đại số Lý thuyết số khóa 20 chia khó khăn trình học tập Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Cha, Mẹ người thân yêu gia đình lời động viên, hỗ trợ, giúp đỡ mặt để hoàn thành tốt khóa học NGÔ THỊ MỸ PHƯỢNG MỤC LỤC Trang phụ bìa .i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm nhị diện 1.2 Nhóm Quaternion 1.3 Mô tả cấu trúc nhóm hữu hạn có cấp ≤ Chương MỘT SỐ NHÓM CON HỮU HẠN VỚI CÁC PHẦN TỬ SINH CẤP HAI CỦA NHÓM M * (  ) , ⋅ ( ) ( ) 2.1 Các phần tử cấp hai nhóm M 2* (  ) ,⋅ 2.2 Một số dạng nhóm hữu hạn với hai phần tử sinh cấp hai nhóm M * (  ) , ⋅ 11 ( ) ( ) 2.3 Vấn đề nhúng  n vào nhóm M 2* (  ) ,⋅ 16 ( ) 2.4 Vấn đề nhúng nhóm Quarternion Q8 vào nhóm M 2* (  ) ,⋅ 22 Chương VẤN ĐỀ NHÚNG TRƯỜNG  ( z ) VÀ TRƯỜNG  VÀO VÀNH M (  ) 27 3.1 Đồng cấu nhúng trường số hữu tỉ  vào vành M (  ) 27 3.2 Đồng cấu nhúng trường  ( z ) vào vành M (  ) 30 3.3 Đồng cấu nhúng trường  vào vành M (  ) 43 Kết luận kiến nghị 50 Tài liệu tham khảo 52 MỞ ĐẦU Theo Nguyễn Hữu Việt Hưng [3], nhóm G hữu hạn hay vô hạn đẳng cấu với nhóm phép phần tử G ; tức là, tồn đơn cấu nhúng ϕ : G →  ( G ) nhúng G vào nhóm đối xứng tập hợp G Nói cách khác, nhóm đối xứng tập hợp G chứa nhóm G Ngoài ra, vành V nhúng vào vành ma trận vuông cấp hai V thông qua đơn cấu a  nhúng φ : V → M (V ) xác định φ ( a ) =   với a ∈ V 0 a  Nội dung luận văn tập trung nghiên cứu ``Một số cấu trúc đại số chứa vành ma trận vuông cấp hai trường số thực'' với nội dung gồm chương: Chương – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày kiến thức cần thiết nhóm nhị diện  n , nhóm quaternion Q8 việc mô tả cấu trúc nhóm có cấp ≤ Chương – MỘT SỐ NHÓM CON HỮU HẠN VỚI CÁC PHẦN TỬ SINH ( ) CẤP HAI CỦA NHÓM M 2* (  ) ,⋅ Thông qua việc mô tả nhóm ( M (  ) ,⋅) * với hai phần tử sinh cấp 2, nội dung chương chứng minh nhóm giao hoán Z × Z , nhóm phép 3 nhóm nhị diện  n nhúng vào nhóm ( M 2* (  ) ,⋅) ; nhóm phép  n với n ≥ nhóm quaternion Q8 không Chương – VẤN ĐỀ NHÚNG TRƯỜNG  ( z ) VÀ TRƯỜNG  VÀO VÀNH M (  ) Nội dung chương luận văn trình bày cụ thể dạng đơn cấu nhúng trường  ,  ,   z ∈  z ∉ ( z ) vào vành M (  ) , Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương chủ yếu đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu chương sau Nhiều định lý chương nêu lược bỏ chứng minh Độc giả quan tâm chứng minh chi tiết tham khảo Mỵ Vinh Quang [6] Nguyễn Hữu Việt Hưng [3] 1.1 Nhóm nhị diện Định nghĩa 1.1 Với n > , xét đa giác n cạnh Pn mặt phẳng Gọi a phép quay mặt phẳng xung quanh tâm Pn góc 2π ; b phép đối xứng qua n đường thẳng qua tâm đỉnh Pn Khi đó, tất phép đối xứng Pn (tức là, phép biến đổi đẳng cự mặt phẳng biến Pn thành nó) liệt kê sau: e , a , a , …, a n−1 , b , ab , a 2b , …, a n −1b , phép toán phép hợp thành Các phép đối xứng lập thành nhóm, ký hiệu  n gọi nhóm nhị diện cấp 2n Có thể thấy  n biểu diễn dạng n = a, b := a n e= , b e, ( ab = ) e Nếu n ≥ ab ≠ ba Do đó,  n nhóm không giao hoán;  n không nhóm cyclic Ngoài ra,  n biểu thị theo cách khác = n 2 c, d : c= d= ( cd )= n e , c = ab , d = b Ví dụ 1.1  = {e, a, b, ab} với phần tử a , b , ab có cấp Ví dụ 1.2 Nhóm 3 phép đối xứng tam giác P3 đồng với nhóm đối xứng 3 đỉnh P3 Tức là, có 3 ≅  thông qua đẳng cấu ϕ : 3 →  a → ϕ (a) = α = (1 3) , β = ( 3) , b → ϕ (b) = { } { } 3 = e, a, a , b, ab, a 2b 3 = e, α , α , β , aβ , α β Nhận xét Nếu n ≠  n không đẳng cấu với  n chúng có số phần tử khác 1.2 Nhóm Quaternion Định nghĩa 1.2 Nhóm Quaternion nhóm đuợc cho hai phần tử sinh ba Q8 quan hệ xác định sau:= a, b = : a e= , a b , aba = b Các quan hệ phần tử Q8 tám phần tử có dạng a s bt , ≤ s ≤ , ≤ t ≤ Do đó, Q8 ≤ Để chứng minh tám phần tử nói đôi khác Q8 , i   1 = B xét nhóm M 2* (  ) ,⋅ sinh hai ma trận A =    −1    0 −i  ( ) Rõ ràng, A4 = I , A2 = B , ABA = B Vì vậy, ánh xạ ϕ : Q8 → A, B tương ứng biến a , b thành A , B toàn cấu nhóm Ngoài ra,  1   i     i   A, B = ±   ; ± 0 −i  ; ±  −1  ; ±  i            có phần tử nên Q8 ≅ A, B có cấp Một cách khác, nói nhóm Quaternion có phần tử ±1 , ±i , ± j , i = j = k = ijk = −1  − ji = k ij = ±k thỏa  = − = jk kj i  ki = −ik =j Dễ dàng chứng minh Q8 nhóm không giao hoán 1.3 Mô tả cấu trúc nhóm hữu hạn có cấp ≤ Gọi X nhóm hữu hạn có cấp n ≤  n = X = {e}  n = Chúng ta có nhóm cấp nhóm cyclic Z Do đó, X ≅ Z= {a, a= e}  n = Chúng ta có nhóm cấp nhóm cyclic Z Vì thế, X ≅= Z3 , a e} , a a {a , a = có cấp  n = Chúng ta có hai nhóm có cấp 4: X ≅ Z4 • Nhóm cyclic Z Do đó, = , a , a e} , b {a , a = có cấp b , b3 có cấp • Nhóm cấp - Klein định nghĩa sau: X = {I , J , K ,1: K= 2 IJ , I= J= K= ( IJ )= } Nhóm cấp - Klein nhóm giao hoán đẳng cấu với nhóm tích trực tiếp hai nhóm cyclic cấp Z × Z Cụ thể: e) = ( −1,1) × ( b, b = {1:=(1, b2 ) ; I :=(1, b ) ; J :=( −1, b ) ; K :=( −1, b2 )} Ví dụ 1.3 Nhóm cấp - Klein X = { I , J , K ,1} ; I phép quay góc π xung quanh trục Ox , J phép quay góc π xung quanh trục Oy K = IJ phép quay góc π xung quanh trục Oz  n = Chúng ta có nhóm cấp nhóm cyclic Z Vì thế, , a , a , a e} {a , a = = X ≅ Z5  n = Chúng ta có hai nhóm có cấp 6: a, a , a , a , a , a e} {= • = Nhóm cyclic Z • Nhóm nhị diện = 3 {a, a , a , b, ab, a =b 3 ba : a= b= } ( ba )= e Đây nhóm không giao hoán Ngoài ra, biết 3 ≅   n = Chúng ta có nhóm cấp nhóm cyclic Z Do đó, = X ≅ Z7 , a , a , a , a , a e} {a , a =  n = Chúng ta có năm nhóm có cấp 8: = • Nhóm cyclic Z8 a, a , a , a , a , a , a , a e} {= i = j = k = ijk = −1  − ji = k ij = • Nhóm Quaternion Q8 = {±1, ±i, ± j , ± k} với  = − = jk kj i  ki = −ik =j • Nhóm  2×2×2 nhóm tích trực tiếp nhóm cấp - Klein với nhóm Z Cụ thể sau: (1, I , J , K ) × (1, −1) = ( ±1, ± I , ± J , ± K ) ; ≡ (1,1) , −1 ≡ (1, −1) , ± I ≡ ( I , ±1) , ± J ≡ ( J , ±1) , ± K ≡ ( K , ±1) Đây nhóm giao hoán • Nhóm  4×2 nhóm tích trực tiếp nhóm cyclic Z nhóm cyclic Z Cụ thể sau: ( a, a , a , a ≡ (1,1) , = e ) × (1, −1 ) = ( ±1, ± a, ± a , a ) ; −1 = (1, −1) , ± a ≡ ( a, ±1) , ± a ≡ ( a , ±1) , ± a ≡ ( a , ±1) Đây nhóm giao hoán • Nhóm = 4 a, b : a= b= ( ab )= nhóm không giao hoán e= {e, b, b , b , a, ab, ba, ab } Nhóm Như vậy, có Mệnh đề 1.1 Có hai nhóm không Abel cấp không đẳng cấu nhóm nhị diện  nhóm Quaternion Q8 Chương MỘT SỐ NHÓM CON HỮU HẠN VỚI CÁC PHẦN TỬ SINH CẤP HAI CỦA NHÓM  M 2*   ,⋅    Theo kết Chương 1, nhóm nhị diện  n nhóm Quarternion Q8 sinh hai phần tử Bên cạnh đó, nhóm phép  n , phép bậc n phân tích thành tích chuyển trí có cấp Do đó, để tìm mối liên ( ) hệ nhóm  n , nhóm Q8 hay nhóm  n với nhóm M 2* (  ) ,⋅ ; cần tìm ( ) hiểu nhóm M 2* (  ) ,⋅ với hai phần tử sinh cấp 2.1 Các phần tử cấp hai nhóm ( M 2* (  ) ,⋅) ( ) Xét nhóm nhân ma trận vuông cấp không suy biến M 2* (  ) ,⋅ a b  = A  ∈ M 2* (  ) với a, b, c, d ∈  ; ad − bc ≠ ; A ≠ I Khi đó, A Gọi  c d  ( ) phần tử cấp hai M 2* (  ) ,⋅ A2 = I  a + bc b ( a + d )  1  = A I=   ⇔   c ( a + d ) d + bc  0  a = d a= d=   b = c ⇔ b= c ∨ 2  a + 3b − z = b = ± z a= b ± z  = b c= b c = = a d    ⇔ ∨ a =d =b + z ∨ a =d =b − z b = c = ± z   4b + zb= 4b − zb=   b c= b c =  a= d=  ⇔ ∨ a =d =b + z ∨ a =d =b − z b = c = ± z   b = ∨ b = − z b = ∨ b = z   a= d= b= c= ∨ ⇔ z b = c = ± z a= d=   z z b c b= c= = = −   b c = =    ∨ ∨ ∨ a = d = − z  z z a= d= a d = = −   2 Suy  z = B = ,B  z   z  = B = ,B z      − z − z    z z −   2  ,B = B =  z z  −     − z ,   , − z   z −   z   z    z −   b Trường hợp thứ hai a + d + = a + d + = ad + bc − z ad + bc − z   ⇔ a + 2abc + bcd − = za za a + 2abc + bcd − = a 2b + b 2c + abd + bd − zb =  2 0  b ( a + d + ad + bc − z ) = a + bc − z + d ( a + d ) = a + d + ad + bc − z = ⇔ ⇔ 0 a + 2abc + bcd − za = a ( a + bc − z ) + bc ( a + d ) = a + bc − z =−d ( a + d ) a + bc − z =−d ( a + d ) ⇔ ⇔ d) ad ) = −ad ( a + d ) + bc ( a + ( a + d )( bc −=  d = −a  a + bc − z =−d ( a + d )    + = a d  bc= z − a  ⇔ ⇔ bc ad =      a + bc − z =−d ( a + d )  ( a + d )2 =  bc − ad = z  d = −a  Xét  bc= z − a • Nếu b=0  z B=  c d = z −a − z d = d = Suy ⇔ ∨   a z a z = = − a = z   − z  B =   − z   c   z   a d = −a   • Nếu b ≠  z − a Suy B =  z − a c = b  b  b  −a   d =z − a d = − z −a bc = ad   ⇔ ∨  Xét    a + d = z bc = a z − a bc = − a z + a ( )    ( ) ( )  a 0=  a =    d = z  d = • Nếu b =  ∨  = a z   a =   d 0=  d =   − z − z d =z − a d = − z −a   • Nếu b ≠  a z −a ∨ −a z + a Suy c = c = b b   ( ) ( )  0  0  z 0 = B = ,B  = ,B  , z c c − z   c 0 a b   − z 0   = B = ,B a z − a , c z − a    b   a b     B =  −a z + a  − − z a   b   ( ( ) ) Tổng hợp tất dạng ma trận B tìm trên, có 11 dạng ma  trận B Bước Với dạng có ma trận lũy đẳng A , đối chiếu với dạng ma trận B Bổ đề 3.1 cho B = zA Từ đó, tìm cặp ma trận A , B tương ứng phù hợp với đồng cấu nhúng ϕ Đó nội dung mệnh đề: Mệnh đề 3.3 Trường  ( z) với z ∈ + z ∉  nhúng vào vành M (  ) thông qua dạng đơn cấu nhúng ϕ :  ( z)→ M () ( ) xA + yB với x, y ∈  , A, B ∈ M (  ) xác định ϕ x + y z = 11 dạng sau: 1  A = = ,B 0   z   0  ; z  1  A = = ,B 0  − z   0  ; − z  1  A = = ,B 0   z   c   , c ∈  ; − z  − z 1  A = = B ,   0   c   , c ∈  ; z   a 1   = A = ,B  z − a    b b  , a, b ∈  , b ≠ ; −a    0  = B A = ,   c 1 c z   , c ∈  ; z  0  = A = ,B   c 1  −c z   , c ∈  ; − z  z 1  A = = B ,   c 0 c z − z 1  A = = B ,   c   −c z 0  , c ∈  ;  0  , c ∈  ;  b   a ,B = 10 A =  a (1 − a ) − a   b   a z   a z (1 − a )  b    , a, b ∈  , z (1 − a )    −a z   a z ( a − 1)  b −b z    , a, b ∈  ; z ( a − 1)   b z b ≠ 0; b   a ,B = 11 A =  a (1 − a ) − a   b  b ≠ 0; Nhận xét Nếu ta xem 11 cặp ma trận A , B Mệnh đề 3.3 tương ứng với 11 phép nhúng từ  ( z ) vào M () thấy phép nhúng thứ 1, 6, 10 ma trận B = z A Điều chứng tỏ phép nhúng nằm dạng thu hẹp phép nhúng từ  vào M (  ) Thật vậy, dễ dàng thấy ( ) ( ) ϕ2 x + y z = xA + yB = xA + y z A = x + y z A Như vậy, số 11 phép nhúng từ trường  ( z ) vào vành M () Mệnh đề 3.3 có phép nhúng (khác phép nhúng 1, 6, 10) nằm dạng thu hẹp phép nhúng trường  vào vành M (  ) Bây giờ, xét vài ví dụ: Ví dụ 3.1 Xét ánh xạ φ1 :  x, y ∈  ( 3) → M ()  x y xác định φ1 x + y = 3 y x  với   ( ) 0  1  Theo Mệnh đề 3.3, φ1 đơn cấu nhúng với A =  , B=  Hơn nữa,  3 0 0  theo Đại số đại cương trường  Ví dụ 3.2 Xét ánh xạ φ2 :  = trường M ( ) đẳng cấu với ( 3) → M  x   3 y (  ) xác định φ2 ( x + y  y : x, y ∈    x   x y 3 =   x   y ) với x, y ∈  0 1  , Theo Mệnh đề 3.3, φ2 đơn cấu nhúng với A =  = B   0   theo Đại số   x = N    y đại cương trường  ( 3) đẳng cấu 3  Hơn nữa,  với trường  y 3  : x, y ∈   x   Do đó, từ hai ví dụ suy M ≅ N 3.3 Đồng cấu nhúng trường  vào vành M (  ) { } x + yi : x, y ∈ , i = −1 Tương tự trên, giả sử đồng cấu Xét  = ϕ3 :  → M (  ) xác định ϕ3 ( x + yi ) = xA + yB với a, b ∈  Chúng ta có ϕ3 (1)= A ∈ M (  ) ϕ3 ( i )= B ∈ M (  ) Khi đó, = A ϕ= ϕ= ϕ3 (= 1.1) ϕ3 (1) ϕ= A2 , suy A = A2 ; (1) (1) (1) BA ϕ3 ( i ) ϕ= ϕ3 = B ϕ= ϕ3 = AB , suy = ( i.1) ϕ= (1.i ) ϕ3 (1)ϕ= (1) ( i )= (i ) (i ) AB= B= BA ; ( )  − A = ϕ3 ( −1) = ϕ3 i = ϕ3 ( i ) ϕ3 ( i ) = B , suy B = − A Từ đây, đến kết luận: Mệnh đề 3.4 Trường số phức  nhúng vào vành ma trận vuông cấp M (  ) thông qua đơn cấu nhúng ϕ3 :  → M (  ) xác định ϕ3 ( x + yi ) = xA + yB với B AB = BA x, y ∈  , A, B ∈ M (  ) thỏa A2 = A , B = − A = Chứng minh ϕ3 đơn cấu nhúng Thật vậy, ϕ3 đồng cấu: Lấy x1 + y1i, x2 + y2i ∈  ,  ϕ3 ( x1 + y1i ) + ( x2 + y2i )  = ϕ3 ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) i  = ( x1 + x2 ) A + ( y1 + y2 ) B = x1 A + y1B + x2 A + y2 B = ϕ3 ( x1 + y1i ) + ϕ3 ( x2 + y2i )  ϕ3 ( ( x1 + y1i ) ( x2 + y2i )= ) ϕ3 ( ( x1 x2 − y1 y2 ) + ( x1 y2 + x2 y1 ) i ) = ( x1 x2 − y1 y2 ) A + ( x1 y2 + x2 y1 ) B Mặt khác, ϕ3 ( x1 + y1i ) ϕ3 ( x2 + y2i ) = ( x1 A + y1B )( x2 A + y2 B ) = x1 x2 A2 + y1 y2 B + x1 y2 AB + x2 y1BA = x1 x2 A − y1 y2 A + x1 y2 B + x2 y1B = ( x1 x2 − y1 y2 ) A + ( x1 y2 + x2 y1 ) B Suy ϕ3 ( ( x1 + y1i )( x2 + y2i ) ) = ϕ3 ( x1 + y1i ) ϕ3 ( x2 + y2i ) ϕ3 đơn ánh Để chứng minh ϕ3 đơn ánh, trước tiên cần tìm dạng ma trận B Sau kết hợp với dạng ma trận lũy đẳng A để tìm ta cặp ma trận A , B tương ứng phù hợp cho đồng cấu ϕ3 thông qua bước:  A2 A=  A2 A =   Nhận xét  B ==⇔ −B AB BA B = 2   −A −A B = B = a Bước Tìm dạng ma trận lũy đẳng A Theo Mệnh đề 3.1, có    0  1  ma trận lũy đẳng A dạng   ,  c  , c  ,        a  a − a  b b   với a, b, c ∈  , b ≠ − a  b Bước Tìm dạng ma trận B thỏa B = − B Chúng ta có bổ đề: Bổ đề 3.2 Nếu B phần tử khác không vành M (  ) thỏa B = − B  a B có dạng B =  −1 − a   b b  với a, b ∈  , b ≠ −a   a b  Chứng minh Nếu = gọi B   ∈ M (  ) c d    a + bc B2 =   ac + cd ab + bd  , d + bc   a + 2abc + bcd B3 =  2  a c + bc + acd + cd a 2b + b 2c + abd + bd   d + 2bcd + abc  a + 2abc + bcd = −a  −d d + 2bcd + abc = Khi đó, B =− B ⇔  2 −b a b + b c + abd + bd = 2 a c + bc + acd + cd = −c ( a − d ) ( a + ad + d ) + bc ( a − d ) = −(a − d )  a b − c ) + bc ( b − c ) + d ( b − c ) + ad ( b − c ) = − (b − c ) ⇔ ( −a a + 2abc + bcd = a 2b + b 2c + abd + bd = −b  ( a − d ) ( a + d + ad + bc + 1) =   b − c ) ( a + d + ad + bc + 1) = ⇔ ( a + 2abc + bcd + a =  2 a b + b c + abd + bd + b = Có trường hợp xảy ra: i Trường hợp thứ = a − d = a d   = b − c = b c ⇔  + bcd + a + 3ab + a a + 2abc= a = a 2b + b 2c + abd + bd= b3 + 3a 2= +b b+b a = d b = c  ⇔ a + 3ab + a =  ( a − b ) ( a + ab + b ) + 3ab ( b − a ) + ( a − b ) =  a = d b = c  ⇔ a ( a + 3b + 1) =  ( a − b ) a − 2ab + b + = ( )  a = d b = c  ⇔ a a + 3b + = ( )  ( a − b ) ( a − b )2 + 1 =    a = d b = c  ⇔ 2 a ( a + 3b + 1) = a − b =  a= b= c= d ⇔ a ( 4a + 1) = ⇔ a = b = c = d = 0  Suy B =   (loại) 0  ii Trường hợp thứ hai a + d + = a + d + = ad + bc + ad + bc +   +a ⇔ a + 2abc + bcd = +a a + 2abc + bcd = 2   2 0 a b + b c + abd + bd + b = b ( a + d + ad + bc + 1) = a + bc + + d ( a + d ) =0 a + d + ad + bc + = ⇔ ⇔ 0 a + 2abc + bcd + a = a ( a + bc + 1) + bc ( a + d ) = a + bc + =− d ( a + d ) a + bc + =− d ( a + d ) ⇔ ⇔ = d) ad ) − ad ( a + d ) + bc ( a + ( a + d )( bc −=  d = −a  a + bc + =− d ( a + d )    bc =−1 − a  a + d = ⇔ ⇔  a bc d a d + + = − + ( )  bc = ad    −1(!)  bc − ad =  ( a + d ) = d = −a  ⇔ −1 − a với b ≠ c =  b   a Suy B =  −1 − a   b b  với a, b ∈  , b ≠ −a   Vậy tìm dạng ma trận B thỏa Bổ đề 3.2  c Bước Với dạng có ma trận lũy đẳng A , đối chiếu với dạng ma trận B Bổ đề 3.2 cho B = − A để tìm cặp ma trận A , B tương ứng phù hợp với đồng cấu nhúng ϕ3 Với a, b ∈  , b ≠ ,  a B  −1 − a =   b b  ⇒ B  −1  =  −1 −a     Bên cạnh trận lũy đẳng A có dạng: 1   −1  = ⇒ = −A  A   , 0   −1 0  0 0 = ⇒ = − A  A   −c −1 , c 1   1   −1  = ⇒ = −A  A   , c − c     b   a  −a   = A = ⇒ − A  a2 − a  a − a − a   b   b −b  , a − 1  a, b, c ∈  , b ≠ 1  Vậy tìm ma trận A =   tương ứng với ma   trận B xác định Bổ đề 3.2 thỏa B = − A Chúng ta có Kerϕ3 = { x + yi ∈ C : x, y ∈ R, xA + yB = 0} Khi đó, ya yb    x 0   0 0 xA + yB =0 ⇔  + − y + a ) − ya  =0 0   ( 0 x   b   x + ya =  yb =  ⇔ ⇔ x = y = − + = y a ( )   x − ya =  Suy Kerϕ3 = {0} ϕ3 đơn cấu nhúng  Chúng ta phát biểu lại Mệnh đề 3.4 cụ thể hơn: Mệnh đề 3.5 Trường số phức  nhúng vào vành ma trận vuông cấp M (  ) thông qua đơn cấu nhúng ϕ3 :  → M (  ) xác định ϕ3 ( x + yi ) = xA + yB với  a 1   x, y ∈  , A =   B =  −1 − a    b b  với a, b ∈  , b ≠ −a   Xét ví dụ minh họa: Ví dụ 3.3 Xét ánh xạ φ :  → M (  ) từ trường  vào vành M (  ) xác định  x − y ϕ2 ( x + yi ) =  y với x, y ∈  x   1 1  B =  Theo Mệnh đề 3.5, φ đơn cấu nhúng với A =   Hơn nữa,  0   −1  theo Đại số đại cương chứng minh trường số phức  đẳng cấu với  x = trường ma trận G   − y  y : x, y ∈    x  KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những vấn đề liên quan đến nhóm tuyến tính đề tài hấp dẫn nhà nghiên cứu toán học có thành tựu định Luận văn giới hạn việc nghiên cứu số cấu trúc đại số chứa vành M (  ) đạt số kết sau: ( ) Luận văn mô tả cụ thể dạng nhóm nhóm M 2* (  ) ,⋅ với hai phần tử A, B ≅  n , sinh cấp Qua đó, luận văn đến khẳng định A = B= AB = n ; tức là, nhóm  n chứa nhóm ( M 2* (  ) ,⋅) Ngoài ra, luận văn chứng minh nhóm Quaternion Q8 nhóm phép ( )  n với n ≥ không chứa nhóm M 2* (  ) ,⋅ Luận văn trình bày đầy đủ tất dạng phép nhúng trường  ,  ,   ( z ) vào vành M (  ) , z ∈  z ∉ Với kết nghiên cứu đạt trên, luận văn mở cho nhiều hướng nghiên cứu khác nhằm phát triển luận văn Chẳng hạn, với Chương phát triển hệ sinh cách xét tới phần tử sinh cấp xét hệ sinh với phần tử sinh cấp … Hay với chương 3, xét đơn cấu nhúng ϕ1 :  → M ( R ) xác định ϕ1 ( r ) = rA với r ∈  , A ma trận lũy đẳng; chứng minh dạng đơn cấu nhúng Vì trình chứng minh đơn cấu ϕ1 phức tạp, cần phải vận dụng mảng kiến thức liên quan đến lĩnh vực Giải tích nên không trình bày luận văn Từ đây, vấn đề đặt cách tự nhiên: ``Có thể chứng minh tính đơn cấu ϕ1 công cụ Đại số hay không?'' - Đây vấn đề đáng quan tâm Trong trình soạn thảo, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý quý độc giả Những ý kiến đóng góp cho luận văn quý độc giả ý kiến chân thành; xin trân trọng cảm ơn ghi nhận Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011 NGÔ THỊ MỸ PHƯỢNG TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Xuân Hải (chủ biên) - Trịnh Thanh Đèo (2002), Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [2] Bùi Huy Hiền (1997), Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [4] Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số (Giáo trình sau đại học), Nhà xuất Giáo dục [5] Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [6] Mỵ Vinh Quang (1999), Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [7] Hoàng Xuân Sính (1997), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [8] M F Atyah, I G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Adition - Wesley Series in Mathematics [9] S Lang (1965), Algebra, Adition - Wesley Series in Mathematics [10] I Reiner (1957), A new type of automorphism of the general linear group over the ring, Ann of Math 66, pp 461-466 [11] A Sychowicz (1985), On the embedding of finite rings into matrices, Acta Math Hung 46 (Numbers 3-4), pp 269-273 [...]... TRƯỜNG  VÀO VÀNH M 2    Theo Đại số đại cương, các trường  ,  ( 3 ) ,  và  đều nhúng được vào trong vành M 2 (  ) thông qua một đơn cấu nhúng cụ thể Câu hỏi được đặt ra: “Có bao nhiêu đơn cấu nhúng như vậy?” Trong Chương 3 của luận văn này, chúng ta sẽ tìm ra các dạng đồng cấu nhúng có thể nhúng được các trường  ,  ( 3 ) ,  và  vào trong vành M 2 (  ) 3.1 Đồng cấu nhúng trường số hữu tỉ... có thể đưa ra một số chú ý liên quan đến cấp của từng tích trên ( ) Ví dụ 2.7 Xét A = − I 2 và B , C là hai phần tử cấp 2 bất kì của nhóm M 2* (  ) ,⋅ Khi đó, cấp của AB bằng 2, cấp của AC bằng 2 Giả sử cấp của BC là n ≥ 3 , trong đó với n là số nguyên dương hữu hạn (nếu n = 1 hoặc n = 2 thì ta có nhóm A, B, C tương tự như trong trường hợp 1 và trường hợp 2 đã xét) Vậy nhóm A, B, C có cấp là 4n Cụ... kiểm tra ánh xạ ϕ là một song ánh và bảo toàn các phép toán nên ϕ là một đẳng cấu Suy ra A, B ≅ Z 2 × Z 2 3 Trường hợp thứ ba Với n = 3 thì = A, B AB, BA {= AB ) , e ( AB ) (= 2 3 , A,= ABA, B ( AB ) 2 } A Chúng ta thấy A, B chính là nhóm không giao hoán cấp 6 Bên cạnh đó, một nhóm hữu hạn cấp 6 luôn đẳng cấu với một trong hai nhóm: Z 6 - nhóm cyclic cấp 6 và 3 - nhóm các phép thế cấp 3 Suy ra A, B... ( x ) = xA 1 0   0 0  với mọi x ∈  , trong đó A ∈ M 2 (  ) là một trong 4 dạng ma trận  ,  , 0 1   c 1   a 1 0   2 c 0  ,  a − a     b b   với a, b, c ∈  , b ≠ 0 1 − a  Lưu ý Với dạng đồng cấu ϕ1 như trên thì trường số thực  cũng nhúng được vào trong vành M 2 (  ) Tuy nhiên, trong trường hợp này chúng ta chưa thể khẳng định được ϕ1 xác định duy nhất Việc chứng minh... xây dựng được đồng cấu ϕ1 :  → M 2 (  ) xác định bởi x  ϕ1 ( x ) = xA , trong đó ϕ1 (1)= A ∈ M 2 (  ) Với cách xây dựng như trên, không khó để thấy đồng cấu ϕ1 là xác định duy nhất Ngoài ra, với ϕ1 là đồng cấu chúng ta còn suy ra được điều kiện cần của ma trận A để có ϕ1 (1) = A thông qua nhận xét: ϕ1= (1) ϕ1 (1.1 A A2 , do = ) ϕ1 (1)ϕ1 = (1) A= ϕ1 (1) = A nên A = A2 Vậy với A là một ma trận lũy... xét A và B là hai phần tử cấp 2 của nhóm M 2* (  ) ,⋅ nhưng tích AB lại ( ) là phần tử cấp n của nhóm M 2* (  ) ,⋅ Từ đây chúng ta đi đến kết quả sau: ( ) Mệnh đề 2.2 Cấp của tích hai phần tử cấp hai của nhóm M 2* (  ) ,⋅ có thể hữu hạn bất kỳ hoặc vô hạn ( Từ Mệnh đề 2.2, việc nghiên cứu về nhóm con hữu hạn của nhóm M 2* (  ) ,⋅ ) với các phần tử sinh cấp hai sẽ dễ dàng hơn 2.2 Một số dạng nhóm... tích Vậy tồn tại một đơn cấu ϕ1 :  → M 2 (  ) được xác định bởi ϕ1 ( x ) = xA với mọi x ∈  , trong đó A ∈ M 2 (  ) là một trong 4 dạng  a  1 0   0 0  1 0   ma trận  ,  ,  , a − a2    0 1   c 1  c 0    b 3.2 Đồng cấu nhúng trường  Thay vì xét trường  xét trường  b   với a, b, c ∈  , b ≠ 0 1 − a  ( z ) vào vành M 2 () ( 2 ) ,  ( 3 ) ,  ( 5 ) , …, một cách tổng quát... k =− ∈  chúng ta được B = kA Vì B= zA = zA2 nên y k 2 A2 = zA2 ⇒ ( z − k 2 ) A2 = 0 ⇒ z − k 2 = 0 ⇒ k = ± z ∉  Điều này mâu thuẩn với k ∈  , do đó y = 0 và x = 0 Vậy Kerϕ 2 = {0} Nhận xét Với 3 điều kiện ràng buộc của ma trận A , B ; chúng ta sẽ tìm ra được cụ thể dạng của từng cặp ma trận A , B tương ứng phù hợp cho đồng cấu nhúng ϕ 2 (ở đây các ma trận đang xét đều khác ma trận không) thông... được rằng nếu AB là phần tử cấp 2 thì AB chỉ có duy nhất một dạng là  −1 0  AB =   , tức là A = − B 0 − 1    Mệnh đề 2.5 Nhóm các phép thế  n với n ≥ 4 không nhúng được vào trong nhóm ( ) nhân các ma trận vuông cấp hai không suy biến M 2* (  ) ,⋅ ( ) Chứng minh Giả sử tồn tại phép nhúng ϕ :  n → M 2* (  ) , ⋅ Vì  4 nhúng được ( ) vào trong  n nên chúng ta giả sử tồn tại phép nhúng f : ... có cấp 2n Chúng ta có: ( ) Mệnh đề 2.3 Nhóm nhị diện chứa được trong nhóm M 2* (  ) ,⋅ ( ) Bây giờ, chúng ta xét sang nhóm con hữu hạn của nhóm M 2* (  ) ,⋅ với ba phần tử sinh cấp 2 Khi muốn xem xét nhóm A, B, C (với A , B , C là các phần tử cấp 2 đôi một khác nhau và khác đơn vị), chúng ta cần xét đến cấp của từng tích AB , AC và BC Đây là một bài toán khá phức tạp, chúng ta vẫn chưa tìm ra được ... vành ma trận vuông cấp hai V thông qua đơn cấu a  nhúng φ : V → M (V ) xác định φ ( a ) =   với a ∈ V 0 a  Nội dung luận văn tập trung nghiên cứu ` `Một số cấu trúc đại số chứa vành ma trận. .. dạng ma trận B tìm trên, có 11 dạng ma  trận B Bước Với dạng có ma trận lũy đẳng A , đối chiếu với dạng ma trận B Bổ đề 3.1 cho B = zA Từ đó, tìm cặp ma trận A , B tương ứng phù hợp với đồng cấu. .. M 2* (  ) ,⋅ ) với phần tử sinh cấp hai dễ dàng 2.2 Một số dạng nhóm hữu hạn với hai phần tử sinh cấp hai nhóm ( M 2* (  ) ,⋅) ( ) Gọi A B hai phần tử cấp hai khác đơn vị nhóm M 2* (  ) ,⋅