Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành

Hiểu rõ hơn các khái niệm được giới thiệu trong phần đại số đại cương idean nguyên tố idean tối đại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM NGƯỜI THỰC HIỆN: DIỆP HOÀNG ÂN MSSV:DTN020672 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: ThS. HOÀNG HUY SƠN An Giang, 2004 Diệp Hoàng Ân Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy Hoàng Huy Sơn, thầy Hồ Văn Các dã hướng dẫn tận tình và đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài này, cũng xin trân trọng cảm ơn Hội đồng khoa học Khoa Sư phạm đã hướng dẫn tôi làm các thủ tục nghiên cứu. Diệp Hoàng Ân Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 2 LỜI MỞ ĐẦU hương rình Đại số đại cương được dạy và học trong trường đại học cao đẳng có nhiều khái niệm đưa kèm phần bài tập mà phạm vi ứng dụng khá rộng. Nhưng do hạn chế về thời gian nên phần lớn này chỉ được giới thiệu lướt qua. Do đó, các bài tập liên quan cũng khó giải quyết thuạn lợi. Cho nên việc nghiên cứu các khái niệm này là rất cần thiết. Thứ nhất, nó giúp cho ng ười học hiểu cặn kẻ hơn những khái niệm trong Đại số đại cương. Thứ hai, nó có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán trong việc học tập nghiên cứu môn này. C Với lý do đó, cần nên phải nghiên cứu đối tượng này. Tuy nhiên, vì thời gian có hạn và hạn chế về trình độ nên người nghiên cứu chỉ nhắm đến các khái niệm trong vành giao hoán có đơn vị. Để hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình yêu cầu người nghiên c ứu phải làm việc nghiêm túc, trình bày kết quả nghiên cứu một cách có hệ thống, chặt chẽ, rõ ràng mạch lạc và dễ hiểu. Để đảm bảo yêu cầu đó, phần nội dung của đề tài sẽ trình bày bố phần. Mỗi phần gồm ba đề mục:Định nghĩa, tính chất và bài tập có lời giải.Sau bốn phần sẽ là các bài tập d5ề nghị. Với cách trình bày như vậy , tôi mong nó sẽ là t ư liệu tham khảo thuận lợi đối với sinh viên bước đầu học Đại số đại cương. Tuy nhiên, do mới bước đầu nghiên cứu và trình bày nên đề tài chắc có nhiều khiếm khuyết. Em rất mong được sự chỉ dẫn của các thầy cô trong Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm, cũng như các bạn đọc khác để hoàn thiện đề tài. Xin chân thành cảm ơn. Người viết đề tài Diệ p Hoàng Ân Diệp Hoàng Ân Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 3 MỤC LỤC Phần Thứ Nhất Trang IDÊAN NGUYÊN TỐ VÀ IDÊAN TỐI ĐẠI TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 4 Phần Thứ Hai PHẦN TỬ LUỸ LINH VÀ NIL-CĂN TRONG VÀNH 14 Phần Thứ Ba IĐÊAN CĂN CỦA MỘT IĐÊAN CỦA VÀNH 18 Phần Thứ Tư TẬP CON NHÂN CỦA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ VÀ IĐÊAN CỦA VÀNH CÁC THƯƠNG 21 MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 29 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 Diệp Hồng Ân Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 4 Phần Thứ Nhất IDÊAN NGUN TỐ VÀ IDÊAN TỐI ĐẠI TRONG VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ I. ĐỊnh Nghĩa: Cho X là vành giao hốn có đơn vị, iđêan ngun tố và tối đại của X được định nghĩa như sau: Iđêan P của X, là iđêan ngun tố nếu và chỉ nếu P ≠ X và với x, y ∈ X sao cho xy ∈ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P. (hoặc nếu và chỉ nếu XP ≠ và với sao cho Xyx ∈, PxyPyx ∈⇒∉, ) Iđêan A của X là iđêan tối đại nếu và chỉ nếu A ≠ X và mọi iđêan của X chứa A là chính A hoặc X II. Mội số tính chất liên quan: 1. Cho X là vành giao hốn có đơn vị, chứng minh các khẳng định sau: a) P là iđêan ngun tố của X khi và chỉ khi X/P là miền ngun. b) A là iđêan tối đại của X khi và chỉ khi X/A là trường. Giải a) P là iđêan ngun tố thì X/P là miền ngun: Diệp Hoàng Ân Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 5 Thật vậy, vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X/P cũng là vành giao hoán có đơn vị. Vì P ≠ X nên X/P có nhiều hơn một phần tử. Mặt khác, với x + P, y + P ∈ X/P. Sao cho (x + P) (y + P) = xy + P = 0 + P. Ta có xy ∈ P ⇒ x ∈ P hoặc y ∈ P Nếu x ∈ P thì x + P = P Nếu y ∈ P thì y + P = P Do đó X/P không có ước của không. Vậy X/P là miền nguyên. Ngược lại, nếu X/P là miền nguyên thì P là iđêan nguyên tố. Thật vậy, vì X/P là miền nguyên nên X/P có từ hai phần tử trở lên nghĩa là X ≠ P. Vì X/P không có ước của không nên ∀ x, y ∈ X sao cho xy ∈ P tức là xy+ P = P thì x + P = P hoặc y + P = P tức là x ∈ P hoặc y ∈ P. Vậy P là iđêan nguyên tố. b) Cách 1: A là iđêan tối đại thì X/A là trường. Thậy vậy, vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X/A là vành giao hoán có đơn vị. Hơn nữa do X ≠ A nên X/A có nhiều hơn một phần tử. Mặt khác, ∀ x ∈ X sao cho x + A ≠ A tức là Ax ∉ . Gọi I = A + xX, thế thì I là iđêan của X chứa A thực sự. Vì A là iđêan tối đại nên I = X. Suy ra 1 ∈ I. Do I = A + xX nên tồn tại a ∈ A, x / ∈ X sao cho 1 = a + xx / . Suy ra: 1 + A = a + xx / + A = xx / + A . = (x + A) (x / + A ). x⇒ / + A là phần tử nghịch đảo của x + A. Vậy X/A là trường Ngược lại, X/A là trường thì A là iđêan tối đại. Thật vậy, vì X/A là trường nên X/A có từ hai phần tử trở lên nên A ≠ X. Ta gọi I là một iđêan bất kỳ của X chứa A thực sự. Khi đó tồn tại x ∈ I nhưng x∉A tức là x+A ≠A, do X/A là trường nên tồn tại x / +A≠A sao cho (x+A)(x / +A) = xx / +A=1+A. Do I là iđêan của X nên xx / ∈ I, suy ra xx / =1+a ∈ I 1= xx⇒ / -a I⇒ I=X. Vậy A là iđêan tối đại. ∈ Cách 2: A là iđêan tối đại của X thì X/A là trường cũng như cách 1 ta luôn có X/A là vành giao hoán, có đơn vị và có nhiều hơn một phần tử. Gọi B là iđêan của X/A thế thì q -1 (B) là iđêan của X. (Trong đó q: X → X/A là một toàn cầu chính tắc). Khi đó ∀ x ∈ A ⇒ x+A = q(x) = A ∈ B q⇒ -1 (x+A) ∈ q -1 (B) A q⇒ ⊂ -1 (B). Do A là iđêan tối đại của X nên suy ra q -1 (B)=A hoặc q -1 (B)=X. . Nếu q -1 (B)=A, ∀ x+A ∈ B⇒ x ∈ q -1 (B)=A x+A = A B={0+A} (iđêan 0 của vành X/A). ⇒ ⇒ . Nếu q -1 (B)=X, 1⇒ ∈ q -1 (B)=1+A ∈ B B = X/A. Rõ ràng với mọi iđêan B của X/A thì B là iđêan 0 hoặc chính là X/A nên X/A là trường. ⇒ Diệp Hoàng Ân Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 6 Chiều ngược lại, nếu X/A là trường ta cũng có X≠A. Gọi B là iđêan của X sao cho A B X B/A là iđêan của X/A. Thật vậy, x+A ⊂ ⊂ ⇒ ∀ ∈ X/A, b+A ∈ B/A. Ta có (x+A)(b+A)=(b+A)(x+A)=xb+A ∀ ∈ B/A. Vì X/A là trường nên B/A ={0+A} hoặc B/A = X/A. . Nếu B/A ={0+A} ⇒ B=A. .Nếu B/A = X/A ⇒ B=X. Vậy A là iđêan tối đại của X. 2. X là vành giao hoán có đơn vị thế thì mọi iđêan tối đại của X cũng là iđêan nguyên tố của X. Giải A là iđêan tối đại ⇔ X/A là trường⇒ X/A là miền nguyên A là iđêan nguyên tố. ⇔ 3. Nếu f : X → Y là đồng cấu vành P là iđêan nguyên tố của Y thì f –1 (P) là iđêan nguyên tố của X. Chứng minh: Từ f : X Y ta định nghĩa ánh xạ → f : X Y/P → x → f(x) + P rõ ràng f là một đồng cấu vành. Thật vậy, ∀ x,y ∈ X ta có : f (xy) = f(xy) + P = f(x)f(y) + P = (f(x) + P)(f(y) + P) = f (x) f (y) f (x+y) = f(x+y) + P = (f(x) + P)+(f(y) + P) = f (x)+ f (y) Ker f = { x ∈ X : f (x) = f(x)+P = P } = { x ∈ X : f(x) = f(x) ∈ P } = f –1 (P) Theo tính chất của đồng cấu vành ta có X / Ker f ≅ Im f = f (X) ⊂ Y/P mà Y/P là miền nguyên (do P là iđêan nguyên tố) X / Ker → f = X / f –1 (P) là miền nguyên, nên f –1 (P) là iđêan nguyên tố của X. 4. Nếu f : X → Y là đồng cấu vành và A là iđêan tối đại của Y thì f –1 (A) là iđêan tối đại của X. Chứng minh tương tự tính chất 3. III. Một số bài tập liên quan: 1. Giả sử X là vành có đơn vị sao cho x 2 =x với x ∈ X, chứng minh. a) X là vành giao hoán và mọi iđêan nguyên tố đều tối đại. b) Nếu X là miền nguyên thì X là trường gồm hai phần tử {0,1} Giải a) ∀ x ∈ X ta có x = x 2 = (-x) 2 = -x Diệp Hoàng Ân Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 7 Suy ra a,b ∈ X ta có (a+b) ∀ 2 = a 2 + ab + ba + b 2 = a + ab +ba + b = a + b ⇔ ab + ba = 0 ⇔ ab = -ba = ba Vậy X là vành giao hoán. Gọi A là iđêan nguyên tố của X và B là iđêan của X chứa A thật sự. Khi đó tồn tại x ∈ B nhưng x∉A, ta có x 2 – x = 0 ∈ A (do x 2 =x). ⇒ x(x-1) ∈ A x-1⇒ ∈ A⇒ x-1 ∈ B⇒ 1= x-(x-1) ∈ B⇒ B=X vậy A là iđêan tối đại. b) Nếu X là miền nguyên thì ∀ x ∈ X ta có x 2 -x = 0 ⇒ x(x-1) = 0 x=0 hoặc x=1. Vậy X={0,1} là một trường. Vành có tính chất trên là vành Boole. ⇒ 2. Cho X là vành giao hoán có đơn vị ∀ x ∈ X tồn tại n ∈ N * sao cho x n =x chứng minh mọi iđêan nguyên tố của X đều tối đại (chứng minh tương tự bài tập 1a). 3. Giả sử X là tập hợp khác rỗng ℘ (X) là tập các tập con của X. Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau. A+B = (A\B) (B\A) ∪ AB = A ∩ B Chứng minh ℘ (x) là vành giao hoán và mọi iđêan nguyên tố đều tối đại. Giải Dễ dàng kiểm tra được ℘ (X) là một vành với đơn vị là X. Mặt khác ∀ A ∈ ℘ (X), ta có A 2 = A.A = A ∩ A = A. Vậy ℘ (X) là vành Boole. Áp dụng bài 1a) ta có điều phải chứng minh. *4. Iđêan tối đại không chứa phần tử khả nghịch. Thật vậy, giả sử I là iđêan tối đại của X, khi đó I ≠ X nên 1∉I. Gỉa sử tồn tại x ∈ X khả nghịch thoả x ∈ I. Khi đó xx / = 1 ∈ I vô lý. Vậy I không chứa phần tử khả nghịch của X. Từ kết quả trên ta có (bài tập 5) 5. Cho I là iđêan tối đại của X, khi đó tồn tại phần tử không khả nghịch thuộc I. Thật vậy, giả sử ∀ x không khả nghịch thoả x∉I khi đó ∀ y khả nghịch thì y∉I. Suy ra I rỗng vô lý. Vậy ∃ x ∈ I. 6. Xét nhóm G = K P k U 1 1 ∞ = với phép nhân thông thường. Trên G ta xây dựng phép cộng là phép nhân thông thường x ⊕ y =xy, và phép nhân (*) là phép nhân không x*y=0 chứng minh vành G không có đơn vị và không có iđêan tối đại. Giải Vì phép nhân (*) là phép nhân không nên hiển nhiên G không có đơn vị. Giả sử A là Iđêan tối đại của G khi đó G/A là trường. Do G là vành không có Diệp Hoàng Ân Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 8 đơn vị nên G/A không có đơn vị nên G/A không phải là trường, mâu thuẩn với đều giả thiết A là iđêan tối đại. Vậy G không có iđêan tối đại. Từ chứng minh trên ta cũng thấy G không có iđêan nguyên tố. 7. Cho A 1 , A 2 là các vành giao hoán có đơn vị và X = A 1 x A 2 Chứng minh. a) P là iđêan nguyên tố của X khi và chỉ khi P có dạng P = P 1 x A 2 hoặc P = A 1 x P 2 với P 1 , P 2 là iđêan nguyên tố của A 1 , A 2 . b) M là iđêan tối đại của X khi và chỉ khi M có dạng M = M 1 x A 2 hoặc M = A 1 x M 2 với M 1 , M 2 là iđêan tối đại của A 1 , A 2 . Giải a) Gọi P 1 là iđêan nguyên tố của A 1 . Thế thì P 1 x A 2 là iđêan nguyên tố của X = A 1 x A 2 . Thật vậy, a ∀ 1 , b 1 ∈ A 1 sao cho a 1 b 1 ∈ P 1 . Tức là ∀ (a 1 ,a 2 )(b 1 ,b 2 ) ∈ X sao cho (a 1 ,a 2 )(b 1 ,b 2 ) ∈ P = P 1 x A 2 Do P 1 là iđêan nguyên tố nên hoặc a 1 ∈ P 1 hoặc b 1 ∈ P 1 điều này có nghĩa là (a 1 ,a 2 ) ∈ P hoặc (b 1 ,b 2 ) ∈ P. Vậy P là iđêan nguyên tố của X. Tương tự, nếu P 2 là iđêan nguyên tố của A 2 thì P = A 1 x P 2 là iđêan nguyên tố của X = A 1 x A 2 . Ngược lại, giả sử P là iđêan nguyên tố của X = A 1 x A 2 . Ta chứng minh P = P 1 x A 2 hoặc P = A 1 x P 2 với P 1 là iđêan nguyên tố của A 1 , P 2 là iđêan nguyên tố của A 2 . Ta có (1,0)(0,1) = (0,0) ∈ P Suy ra : (1,0) ∈ P hoặc (0,1) ∈ P Nếu (1,0) ∈ P, ∀ a 1 ∈ A 1 ta có (a 1 , 0)(1,0) = (a 1 , 0) ∈ P Gọi P 2 = {a 2 ∈ A 2 / (0,a 2 ) ∈ P } Ta chứng minh P 2 là iđêan nguyên tố của A 2 . Thật vậy, ∀ a 2 ,b 2 ∈ P 2 ta có : (0 , a 2 ) – (0 , b 2 ) = (0, a 2 - b 2 ) ∈ P ⇒ a 2 - b 2 ∈ P 2 ∀ α 2 ∈ A 2 ta có : (0 , α 2 ) . (0 , a 2 ) = (0, α 2 a 2 ) ∈ P ⇒ α 2 a 2 ∈ P ∀ α 2 , β 2 ∈ A 2 sao cho α 2 β 2 ∈ P 2 (0,⇒ α 2 β 2 ) ∈ P⇒ (0, α 2 ) ∈ P hoặc (0, β 2 ) ∈ P ⇒ α 2 ∈ P 2 hoặc β 2 ∈ P 2 . Vậy P 2 là iđêan nguyên tố của A 2 . Ta cần chứng minh thêm P = A 1 x P 2. ∀ (a 1 ,a 2 ) ∈ A 1 x P 2 ⇒ (a 1 ,a 2 ) = (a 1 ,0) + (0,a 2 ) ∈ P (do (a 1 ,0) ∈ P , (0,a 2 ) ∈ P ). ∀ (a 1 ,a 2 ) ∈ P do (a 1 ,0) ∈ P ⇒ (0,a ) = (a 1 ,a 2 ) - (a 1 ,0) ∈ P 2 ⇒a 2 ∈ P 2 ⇒ (a 1 ,a 2 ) ∈ A 1 x P 2 Vậy nếu (1,0) ∈ P thì P = A 1 x P 2 với P 2 là iđêan nguyên tố của A 2 . Tương tự nếu (0,1) ∈ P ta sẽ chứng minh được P có dạng P = P 1 x A 2 với P 1 là iđêan nguyên tố của A 1 . Kết luận P là iđêan nguyên tố của X = A 1 x A 2 khi và chỉ khi P có dạng P = A 1 x P 2 hoặc P = P 1 x A 2 với P 1 là iđêan nguyên tố của A 1 , P 2 là iđêan nguyên tố của A 2 . Diệp Hoàng Ân Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 9 b) Nếu M 1 là iđêan tối đại của A 1 thì M 1 x A 2 là iđêan tối đại của X = A 1 x A 2 . Thật vậy, nếu M 1 x A 2 = M không phải là iđêan tối đại của X thì tồn tại iđêan B của X, B = B 1 x A 2 sao cho M B X ≠ ⊂ ≠ ⊂ ⇒ M 1 x A 2 B ≠ ⊂ 1 x A 2 ≠ ⊂ A 1 x A 2 ⇒ M 1 ≠ ⊂ B 1 ≠ ⊂ A 1 Mặt khác vì B = B 1 x A 2 là iđêan của X thì B 1 là iđêan của A 1 . Vậy M 1 không phải là iđêan tối đại của A 1 vô lý. Tương tự nếu M 2 là iđêan tối đại của A 2 thì A 1 x M 2 là iđêan tối đại của X. Ngược lại, nếu M là là iđêan tối đại của X thì M là iđêan nguyên tố của X do đó theo a) M có dạng M = M 1 x A 2 hoặc M = A 1 x M 2 . Trong đó M 1 , M 2 là iđêan nguyên tố lần lượt của A1, A2. Gỉa sử M 1 không phải là iđêan tối đại của A 1 thì tồn tại iđêan B 1 sao cho M 1 ≠ ⊂ B 1 ≠ ⊂ A 1 . ⇒ M 1 x A 2 ≠ ⊂ B 1 x A 2 ≠ ⊂ X. Vô lý, do M 1 x A 2 là iđêan tối đại nên M 1 phải là iđêan tối đại của A 1 . Tương tự, ta chứng minh được M 2 là iđêan tối đại của A 2 . Bài toán được chứng ming xong. 8. Chứng minh trong vành chính X mọi iđêan nguyên tố khác không đều tối đại. Chứng minh Cho X là vành chính, P là iđêan nguyên tố khác không của X. Khi đó tồn tại phần tử p ∈ X, p ≠ 0, p không khả nghịch sao cho <p> = P. ∀ x,y ∈ X sao cho xy ∈ P = <p>, thì x ∈ <p>, hoặc y ∈ <p>. Tức là p/ xy thì p/ x hoặc p/ y p là phần tử nguyên tố nên nó cũng là phần tử bất khả quy nên <p> =P là iđêan tối đại . ⇒ 9. Giả sử X là vành chính và A là iđêan của vành X. Chứng minh. a) Mọi iđêan của vành X/A đều là iđêan chính. b) Vành thương X/A là vành chính khi và chỉ khi A là iđêan nguyên tố. Giải a) Giả sử B là iđêan của vành X/A thế thì 1− P (B) là iđêan của X (p:X X/A là toàn cấu chính tắc). Vì X là vành chính nên → 1− P (B) = <b>. Suy ra B = < b > b)Theo a) mọi iđêan của X/A đều là iđêan chính. Do đó X/A là vành chính X/A là miền nguyên ⇔ A là iđêan nguyên tố ⇔ [...]... GD-1998 2 My Vinh Quang - Đại Số Đại Cương- NXB GD -1998 3 My Vinh Quang - Bài tập Đại Số Đại Cương -NXB GD- 1998 4 Hoàng Xuân Sinh- Đại Số Đại Cương –NXB GD -2000 31 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân 32 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân 33 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành ... đại nên là iđêan nguyên tố 28 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1 Trong vành Z − 5 chứng minh < 3 ,1 + 2 5 >là iđêan tối đại 2 Tìm iđêan tối đại của Z8 , Z6 , Z12 3 Tìm R(Z8) từ đó suy ra R(Z8) = < 2 > 4 Cho A, B là hai iđêan tối đại khác nhau của X Chứng minh A, B nguyên tố cùng nhau 5 Tìm Ann( 2 ) trong Z6 6 Chứng minh căn của một iđêan nguyên tố là iđêan... Ann(a) hoặc x ∈ Ann(a) (đpcm) 13 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành sao cho Diệp Hoàng Ân Phần Thứ Hai PHẦN TỬ LUỸ LINH VÀ NIL-CĂN TRONG VÀNH I ĐỊNH NGHĨA : 1 Phần tử luỹ linh Trong vành giao hoán có đơn vị X, phần tử x gọi là luỹ linh nếu tồn tại số tự nhiên n>0 sao cho xn = 0 2 Nil-căn trong vành Tập hợp R(X) gồm tất cả các phần tử luỹ linh của X là nil-căn của vành X II TÍNH CHẤT : 1 Tính chất... một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân Phần Thứ Tư TẬP CON NHÂN CỦA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ VÀ IĐÊAN CỦA VÀNH CÁC THƯƠNG I CÁC ĐỊNH NGHĨA : Trong phần này ta cần tìm hiểu các khái niệm tập con nhân của vành và các vành thương 1 Tập nhân con : Cho X là vành giao hoán có đơn vị, tập con S của X gọi là tập con nhân của X nếu 1 ∈ S và S ổn định đối với phép nhân 2 Vành các thương : Giả sử X là vành. .. Vậy S X chính là vành các thương của X đối với S và định lý đã được chứng minh 2 Định lý : (tính duy nhất của các vành thương) 23 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân Giả sử X là vành S là tập con nhân của X, khi đó mọi vành các thương của vành X đối với S đều đẳng cấu Cụ thể : Nếu có cặp (Y,g) thoả các điều kiện của định nghĩa vành các thương thì tồn tại duy nhất một đẳng cấu ϕ :... và các bài tập đề nghị 30 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân Thông qua các kết quả đó đã làm rõ thêm về vành giao hoán có đơn vị làm cơ sở cho việc đi sâu nghiên cứu vành giao hoán có đơn vị Đề tài có thể làm tài liệu cho sinh khi nghiên cứu Đại số đại cương TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Bùi Huy Hiền -Bài tập Đại Số Đại Cương - NXB GD-1998 2 My Vinh Quang - Đại Số Đại Cương- NXB GD -1998... Phần Thứ Ba IĐÊAN CĂN CỦA MỘT IĐÊAN CỦA VÀNH I ĐỊNH NGHĨA: Cho A là iđêan của vành giao hoán có đơn vị X Tập hợp r ( A) = x ∈ X / x n ∈ A được gọi là căn của iđêan A của X II TÍNH CHẤT: { } 18 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân 1 Căn của iđêan A của X là một iđêan của X Thật vậy, gọi r (A) là căn của iđêan A với x, y ∈ r ( A) → x n , y n ∈ A vơí m,n là các số tự nhiên khi đó ( x +... đồng cấu vành ta có: A[x]/ ≅ A Suy ra là iđêan nguyên tố ⇔ A là miền nguyên là iđêan tối đại ⇔ A là trường 13 Cho A là vành giao hoán có đơn vị chứng minh các khẳng định sao tương đương: a)A là trường b) A[x] là vành Ơclit c) A[x] là vành chính Giải Hiển nhiên ta có a) ⇒ b) ⇒ c) TA cần chứng minh: c) ⇒ a) Ta có thể chứng minh theo hai cách: 10 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp... và S thì vành các thương S −1 X luôn xác định Khi đó ta xây dựng được S −1 X bằng ánh xạ f : X → S −1 X 24 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân x 1 Ví dụ 1: Cho miền nguyên X và S = X \ {0} khi đó S −1 X là trường và đồng cấu f : X → S −1 X là một đơn cấu Bởi vậy trong trường hợp này, S −1 X chính là trường các thương của miền nguyên X Ví dụ 2 : Cho P là iđêan nguyên tố của vành X... a) Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị Chứng minh rằng nếu với mọi iđêan nguyên tố P vành X P ( X P = S −1 P với S = X \ P) không có phần tử luỹ linh khác không thì X cũng không có phần tử luỹ linh khác không b) Nếu với mọi iđêan nguyên tố P, vành XP là miền nguyên thì X có là miền nguyên không 27 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân c) Nếu mọi iđêan nguyên tố P, vành XP là trường . Hoàng Ân Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 2 LỜI MỞ ĐẦU hương rình Đại số đại cương được dạy và học trong trường. Diệp Hoàng Ân Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 5 Thật vậy, vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X/P cũng là vành giao hoán có đơn