tích phân trên đa tạp và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA TOÁN - TIN  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC ĐỀ TÀI: TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S NGUYỄN DUY THANH SVTH : LÊ THỊ THÙY LINH Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 LỜI NÓI ĐẦU Tích phân đa tạp, định lý Stocke liên quan đến nhiều vấn đề quan trọng hình học vi phân Mục đích luận văn nhằm trình bày vấn đề nghiên cứu số ứng dụng Nội dung luận văn cấu tạo thành ba chương: Chương 1: Một số vấn đề đa tạp khả vi Đây chương xem phần sở Trong chương nêu số vấn đề cần thiết để sử dụng luận văn như: Đa tạp khả vi, không gian tiếp xúc, trường vectơ đa tạp,…Các định lý chương chủ yếu lấy ví dụ minh họa mà không chứng minh Chương 2: Dạng vi phân Chúng trình bày vấn đề cần thiết dạng vi phân Việc xây dựng định nghĩa tích phân dạng vi phân đa tạp, chứng minh định lý Stocke trình bày cách cẩn thận, chi tiết Chương 3: Một số ứng dụng tích phân đa tạp Chúng trình bày số kết ứng dụng tích phân đa tạp, định lý Stock để tính thể tích đa tạp  n số ứng dụng khác Đây chương quan trọng luận văn nên vấn đề chương cố gắng trình bày cụ thể chứng minh chặt chẽ Trong trình nghiên cứu, cố gắng luận văn khó tránh khỏi sai sót Em mong nhận xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp quý báu quý Thầy – Cô để luận văn hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn Thầy – Cô trường ĐHSP TPHCM tận tình giảng dạy chúng em suốt trình học Đại học Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Th.S Nguyễn Duy Thanh Thầy dành nhiều thời gian công sức nhiệt tình hướng dẫn để giúp em hoàn thành luận văn TP HCM, ngày 02 tháng 05 năm 2012 Lê Thị Thùy Linh MỤC LỤC Trang TRANG PHỤ BÌA LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI I Đa tạp khả vi .6 Đa tạp khả vi Ví dụ: Tích hai đa tạp khả vi Đa tạp .10 II Ánh xạ khả vi 11 Định nghĩa: .11 Ví dụ: 11 III Không gian tiếp xúc 12 Định nghĩa: .12 Vi phân hàm số khả vi 14 IV Trường vectơ 15 Định nghĩa: .15 Định nghĩa: .15 V Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc .16 Định nghĩa: .16 Nhận xét: 16 Ví dụ: 17 VI Phân hoạch đơn vị 18 Định nghĩa: .18 Đa tạp paracompact 18 Định lý phân hoạch đơn vị .18 Chương DẠNG VI PHÂN 20 I Dạng vi phân .20 Hàm đa tuyến tính 20 Dạng đa tuyến tính thay dấu 20 Dạng vi phân đa tạp .23 Ánh xạ đối tiếp xúc 28 II Tích phân đa tạp .31 Đa tạp định hướng 31 Đa tạp với bờ, định hướng bờ 35 Tích phân đa tạp 39 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP 47 n A THỂ TÍCH CỦA CÁC ĐA TẠP CON TRONG  47 I Dạng thể tích tắc đa tạp định hướng  n 47 Dạng thể tích tắc không gian vectơ Euclide định hướng .47 Định nghĩa: .48 Định lý: 48 Ví dụ: 49 Liên hệ dạng thể tích tắc với trường pháp vectơ đơn vị đa tạp n-1 chiều  n (siêu mặt  n ) 50 II Thể tích đa tạp định hướng  n 52 Định nghĩa: .52 Thể tích cầu mặt cầu 53 Định lý (thể tích đa tạp tích): 58 Diện tích mặt tròn xoay 59 Bất đẳng thức đẳng chu 61 Định lý: 64 Bài toán “Nghịch lý sơn”: 65 B MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ STOCKE 67 Định lý: 67 Hệ quả: 68 Định lý: 68 Hệ (định lý điểm bất động Brouwer): .69 Định lý: 70 Định lý: 70 BẢNG KÝ HIỆU VÀ THUẬT NGỮ TOÁN HỌC 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI I Đa tạp khả vi Đa tạp khả vi 1.1 Định nghĩa: Cho M không gian tôpô Hausdorff, n số nguyên không âm Một atlas A (lớp C k , k > ) n chiều M họ (Uα , α ) , Uα tập mở M, α đồng phôi từ Uα lên α (Uα ) - mở  n α : Uα → α (Uα ) p  α ( p ) = ( x1 ( p), x2 ( p), , xn ( p)) (cặp (Uα , α ) gọi đồ địa phương M ) cho: + M =  Uα α ∈I + Nếu (Uα , α ) ; (U β , β ) hai đồ địa phương thuộc atlas A mà Uα ∩ U β ≠ ∅ thì: βα −1 : α (Uα ∩ U β ) → β (Uα ∩ U β ) ( xi ( p ))  ( yi ( p )) vi phôi lớp C k tập mở α (Uα ∩ U β ) , β (Uα ∩ U β )  n • Atlas A gọi tối đại atlas B M (cùng lớp C k ) mà B ⊃ A B = A • Một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều M atlas (lớp C k ) n chiều tối đại M • Hai atlas khả vi A, B lớp C k M gọi tương đương (cùng xác định cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều M ) với (Uα , α ) ∈ A (Vβ , β ) ∈ B mà Uα ∩ U β ≠ ∅ βα −1 α  β −1 khả vi lớp C k Dĩ nhiên hợp tất atlas tương đương với atlas A atlas lớp C k , atlas tối đại mở rộng từ atlas A • Một atlas bất kỳ, lớp C k , mở rộng cách thành atlas tối đại Do đó, cấu trúc đa tạp khả vi ta cần cho atlas khả vi lớp C k đủ • Không gian tôpô Hausdorff M với cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều M gọi đa tạp khả vi lớp C k n chiều Ta ký hiệu đa tạp M Một đa tạp khả vi lớp C k , ∀k ∈  M gọi đa tạp nhẵn (lớp C ∞ ) Để cho đa tạp khả vi (lớp C k ), ta cần cho atlas khả vi lớp C k • Để cho tiện, từ sau nói chung giả thiết đa tạp xét đa tạp nhẵn 1.2 Phép đổi tọa độ địa phương: Với (Uα , α ) ; (U β , β ) hai đồ địa phương M mà Uα ∩ U β ≠ ∅ thì: βα −1 : α (Uα ∩ U β ) → β (Uα ∩ U β ) ( xi ( p ))  ( yi ( p )) gọi phép đổi tọa độ địa phương từ đồ (Uα , α ) sang đồ (U β , β ) Hiển nhiên ta có phép đổi tọa độ địa phương từ đồ (U β , β ) sang đồ (Uα , α ) Ví dụ: 2.1 Ví dụ 1: Mặt cầu n chiều S n xác định bởi:  S = ( x1 , x2 , , xn +1 ) ∈  n +1 x =  n n +1 ∑ (x ) i =1 i  = 1  Gọi N (0, ,1), S (0, , −1), U N = S n \ { N } , U S = S n \ {S } , ta có U N ,U S mở S n Xét ánh xạ: ϕ :U N → n  x1 xn  = , , x (= x1 , , xn +1 )  ϕ ( x)   − xn +1   − xn +1 ϕ ( x) giao điểm (khác với x) đướng thẳng Nx với  n ψ :U S → n  y1 yn  , , y (= y1 , , yn +1 )  ψ ( y )  =  + yn +1   + yn +1 ψ ( y ) giao điểm (khác với y) đường thẳng Sy với  n Ta có: ϕ (U N ∩ U S ) =  n \ {0} ψ (U N ∩ U S ) =  n \ {0} Xét: ψ ϕ −1 :  n \ {0} →  n \ {0}    x x  ( x1 , , xn )   n , , n n   x2 xi  ∑ ∑ i =  i =i  Suy ψ ϕ −1 khả vi Tương tự ϕψ −1 khả vi 2.2 Ví dụ 2: Trong  , mặt nón K : x12 + x22 − x32 = đa tạp chiều Thật vậy: Giả sử K đa tạp chiều có mở U chứa đỉnh I α :U → V đồng phôi từ U lên mở V  Chúng ta giả sử o V = B (O,1) hình tròn mở đơn vị gốc O  α ( I )= O ∈  Khi đó: o ϕ : U \ {đỉnh I } → B (O,1) \ {gốc O} đồng phôi Điều vô lý do: o U \ {đỉnh I } không liên thông B (O,1) tập liên thông Tích hai đa tạp khả vi M, N hai đa tạp nhẵn với số chiều theo thứ tự m n, với atlas chúng A = {(Uα , α )} B = {(Vβ , β )} C = {(Uα × Vβ ; α × β )}α , β atlas khả vi đa tạp nhẵn m + n chiều M × N M × N gọi đa tạp tích Trong α × β : Uα × Vβ → α (Uα ) × β (Vβ ) ⊂  m + n Đa tạp 4.1 Định nghĩa: Cho X đa tạp khả vi n chiều Y ⊂ X (Y ≠ ∅) Ta nói Y đa tạp m chiều X ∀y ∈ Y tồn đồ (U , ϕ ) X y ( y ∈ U ) cho: ϕ (U ∩ Y )= ϕ (U ) ∩  m × {0} , với ∈  n − m Định lý sau nói xác định atlas (một hệ đồ) cho đa tạp 4.2 Định lý: Cho X đa tạp lớp C k , Y đa tạp X Khi họ {(U ∩ Y ), ϕ U ∩ Y } , (U , ϕ ) đồ định nghĩa atlas lớp C k Y 4.3 Đa tạp n : Trong  n có nhiều cách để nhận biết đa tạp Định lý: Y đa tạp  n , điều kiện sau tương đương: i) Y đa tạp m chiều lớp C k  n ii) ∀y ∈ Y , tồn U mở  n chứa y có ánh xạ f : U →  n − m lớp C k cho f −1 (0) ma trận ánh xạ f ' ( y ) có hạng n − m U ∩ Y = iii) ∀y ∈ Y , tồn U mở chứa y, tồn Ω mở  n chứa có ánh xạ lớp C k cho g : Ω →  n thỏa g (0) = y , g đồng phôi từ Ω lên U ∩ Y , g '(0) đơn cấu Ví dụ: Xét ánh xạ: f :  n +1 → , f ( x1 , , xn +1 ) = x12 + + xn2+1 − f ánh xạ nhẵn, S n = f −1 (0) ∀x ∈ S n ma trận J = (2 x1 , , xn +1 ) có hạng Theo ii) (ứng với U =  n +1 ) ta có S n đa tạp nhẵn, n chiều  n+1 Áp dụng tính thể tích mặt xuyến • Coi mặt xuyến n chiều T n = S × × S (n lần) Áp dụng định lý ta có: n n Vol (T n ) = vol ( S )  long ( S )  (2π ) n = = • Vol ( S (O, r ) )  = (2π r ) n n Diện tích mặt tròn xoay • Trong  cho cung quy (C ) có tham số hóa: x =   y = y (u )  z = z (u )  với y (u ) > 0, u ∈ (a, b) (S ) mặt tròn xoay tạo nên cung (C ) quay xung quanh trục Oz Khi (S ) đa tạp chiều (định hướng được) có tham số hóa: = r (u , v) ta có: r 'u = ( y(u ) cos v, y(u ) sin v, z (u ) ) , ( y '(u ) cos v, y '(u ) sin v, z '(u ) ) , r 'v = (u, v) ∈ (a, b) × (0, 2π ) ( − y (u ) sin v, y(u ) cos v, ) E= y '2 (u ) + z '2 (u ), F = 0, G = y (u ) EG = − F y (u ) y '2 (u ) + z '2 (u ) diện tích mặt tròn xoay (S ) air ( S ) = b 2π a 2 ∫ du ∫ y(u ) y ' (u ) + z ' (u ) dv b hay = air ( S ) 2π ∫ y (u ) y '2 (u ) + z '2 (u ) du a • Gọi G ( xG , yG , zG ) trọng tâm cung (C ) ta có: b ∫a ρ '(u ) du xG yG = = 0,= b ∫ ρ '(u ) du a b ∫a y(u ) ρ '(u ) du , zG = b ∫ ρ '(u ) du b ∫ z (u ) ρ '(u ) du a a b ∫ ρ '(u ) du a ρ : (a, b) →  , ρ (u ) = (0, y (u ), z (u ) tham số hóa (C ) Chu vi đường tròn tạo nên G quay quanh trục Oz là: b = l 2= π yG 2π ∫ y (u ) y '2 (u ) + z '2 (u ) du a b ∫ y '2 (u ) + z '2 (u ) du a long (C ) độ dài cung (C ) = b ∫ a Vậy ta có: air ( S ) = long (C ).l Đây định lý Gudin thứ y '2 (u ) + z '2 (u ) du Bất đẳng thức đẳng chu Định lý: Cho C cung đóng đơn  C = ∂D với D đa tạp chiều compact (trong  ), ta có bất đẳng thức sau: ( long C ) ≥ 4π airD Và đẳng thức xảy C đường tròn Chứng minh: Trước hết ta có bổ đề sau: i) Bổ đề: Cho f hàm khả vi  có chu kỳ 2π 2π ∫ f (t )dt = 0 Khi ta có: 2π ∫ 2π f (t )dt ≥ '2 ∫ f (t )dt Đẳng thức xảy = f (t ) a cos t + b sin t Thật vậy:  Khai triển hàm f (t ) thành chuỗi Fourier ta có: a0 ∞ + ∑ (an cos nt + bn sin nt ) f (t ) = n =1 2π Do ∫ f (t )dt = nên a0 = ,= vậy: f (t ) ∞ ∑ (a n =1 Chuẩn hàm f xác định bởi: f = n cos nt + bn sin nt ) ∞ ∑ (a n =1 n 2π +b = ) n (Áp dụng bất đẳng thức Parceval)  Ta có: = f ' (t ) ∞ ∑ n(b n =1 2π ∫ f (t ) cos nt dt = ( f (t ) cos t ) 2π ' n cos nt − an sin nt ) 2π nbn + n ∫ f (t ) sin nt dt = ∫ f (t )dt = Đặt α n 2π f (t ) cos nt dt ∫= ' nbn Tương tự ta có: β n = 2π ∫ f ' (t ) sin nt dt = −nan Vậy f ' (t ) = ∞ ∑ (α n =1 n cos nt + β n sin nt ) 2π Ta suy f ' = ∫ f '2 (t )dt= ∞ ∑ (α n2 + β n2 =) ∞ ∑ n (a = n 1= n ∞ Do n + bn2 ) ∞ ∑ n2 (an2 + bn2 ) ≥ ∑ (an2 + bn2 ) = n 1= n 2π Nên ∫ 2π f (t )dt ≥ '2 ∫ f (t )dt  Dấu “=” xảy n = an2 + bn2 = ∀n Với n = ,= f (t ) a1 cos t + b1 sin t Trường hợp an2 + bn2 = ∀n ⇒ an = bn = ∀n ⇒ f =0 =0 cos t + 0sin t ii) Chứng minh định lý:  Trước hết ta giả sử đa tạp khả vi chiều C có độ dài 2π Chọn ρ :[0, 2π ] → C ⊂  , ρ (t ) = ( f (t ), g (t ) ) tham số hóa tự nhiên C (phù hợp với hướng C ), đó: 2π ∫(f '2 2π ) (t ) + g '2 (t ) dt == long (C ) ∫ 1dt 2π = = độ: xG  Trọng tâm G ( xG , yG ) C điểm có toa ∫ xω , yG = C ∫ω C ∫ yω C ∫ω C (trong ω dạng vi phân độ dài tắc C ) Ta chọn hệ trục Oxy mặt phẳng cho trọng tâm G C nằm trục Oy, đó: xG = ⇔ ∫ xω = C Do ω dạng vi phân độ dài tắc ρ tham số hóa tự nhiên phù hợp với hướng C nên ρ *ω = dt = ρ * xω (= x ρ ) ρ *ω f (t )dt 2π = ∫ xω ta có: 2π ρ ( xω ) ∫ ∫= * C 2π ∫ Nên xω ∫= f (t= )dt  airD = f (t )dt 0 C ∫ dx ∧ dy = ∫ xdy (do định lý Stocke) D C (trên C ta có y = g (t ) ) = airD xdy ∫= 2π ∫ f (t ) g '(t )dt C 2π ∫(f  Ta có: 2π − 2airD= '2 ∫( ) 2π = 2π (t ) + g ' (t ) dt − ∫ f (t ) g '(t )dt 2π ) f '2 − f dt + ∫ ( f − g ') dt 2π ∫ Do ta chứng minh được: f (t )dt = nên ta có (áp dụng bổ đề) 2π ∫ 2π f '2 dt ≥ ∫ f (t )dt 2(π − airD) ≥ ⇔ π − airD ≥ tức ⇔ 2π ≥ 2airD ⇔ long C ≥ 2airD (nhân hai vế với 2π = long C ) ⇔ (long C ) ≥ 2π 2airD = 4π airD 2π  Do ta có ∫ 2π f '2 dt ≥ ∫ 2π f (t )dt ∫ ( f − g ') dt ≥ 0 nên dấu “=” xảy ra, tức (long C ) = 4π airD 2π ∫(f 2π '2 −f ∫ ( f − g ') ) dt = dt = 0 Lúc f − g ' không hầu khắp nơi chúng hàm khả vi nên f (t ) a cos t + b sin t = f g ' ∀t Mặt khác, (theo bổ đề) = suy ra: = g '(t ) a cos t + b sin t , tức g (t ) = a sin t − b cos t + c ρ (t ) = (a cos t + b sin t , a sin t − b cos t + c) tham số hóa đường tròn tâm I (O, c)  Bây cho C1 đa tạp chiều C1 = ∂D1 với D1 đa tạp compact, chiều  Khi có phép vị tự tâm (nào đó) tỷ số 1/ k biến C1 thành C, D1 thành D mà C có độ dài 2π Ta có VA1/ k : C1 → C D1 → D  VAk : C → C1    D → D1   long C1 = k long C Nên airD1 = k airD (long C1 ) = k (long C ) ≥ k 4π airD= k 4π Vậy airD1 k2 (long C1 ) ≥ 4π airD1 Định lý gọi bất đẳng thức đẳng chu  Ý nghĩa định lý là: Trong cung đóng đơn có chu vi (tức vế trái bất đẳng thức đẳng chu giống nhau) miền D giới hạn cung có diện tích lớn D hình tròn (tức C đường tròn) Trong  n người ta chứng minh kết tổng quát sau đây: Định lý: Cho D đa tạp n chiều compact  n có bờ M = ∂D đa tạp n − chiều  n ( vol M ) ≥ ( vol S n−1 ) n −1 n −1 ( vol D ) ( vol B ) n n Khi đó, ta có: Dấu “=” xảy S mặt cầu { } S n −1 = x ∈ n , x = { } B= x ∈ n , x ≤ Chứng minh định lý phức tạp dài, tham khảo chứng minh định lý :  Federer: Geometric measure theory  Marcel Berger: Geometric Tom • Khi n = : M = C = ∂D , vol ( M ) = long C vol D = airD = vol S long = S 2π vol = B airB = π ta có (long C ) (2π ) ≥ ⇔ (long C ) ≥ 4π airD π airD Đó bất đẳng thức đẳng chu  Một kết thú vị liên quan thể tích diện tích toán “Nghịch lý sơn” sau đây: Bài toán “Nghịch lý sơn”: Trong  ta xét đa tạp chiều có bờ    D ( x, y, z ) ∈  , z > x + y ≤ z 2α , α ∈  −1, −   =    Như ∂D mặt (đa tạp chiều)    y z 2α , α ∈  −1, −   = ∂D ( x, y, z ) ∈  , z > x +=    Mặt x + y = z 2α , với −1 ≤ α < − Ta chứng minh thể tích D hữu hạn diện tích bề mặt D tức diện tích ∂D +∞  Để tính thể tích D ta đổi biến: =  x r cos ϕ  =  y r sin ϕ z z =  ϕ ∈ [0, 2π ] r ∈ (0, +∞] z ∈ (0, +∞] Do x + y ≤ z 2α ⇔ r ≤ z 2α ≤ r ≤ zα Thể tích D ∫∫∫ dxdydz , đổi biến nên D zα +∞ 2π zα +∞ = vol ( D) ∫= dz ∫ dr ∫ rdϕ 2π= dz ∫ r dr π ∫ 0 0 = +∞ π +∞ ∫z 2α dz π = z 2α +1 lim = z 2α +1 z →+∞ 2α + 2α + 1 (do ≤ α < − ⇒ −2 ≤ 2α < −1 ⇔ −1 ≤ 2α + < )  Để tính diện tích ∂D ta dùng tham số hóa r :[0, 2π ] ×  + → ∂D (ϕ , z )  ( zα cos ϕ , zα sin ϕ , z ) r 'ϕ = (− zα sin ϕ , zα cos ϕ , 0), r 'z = (α zα −1 cos ϕ , α zα −1 sin ϕ ,1) E (r = 'ϕ ) z 2α= , F r 'ϕ = r 'z 0,= G (r = 'z ) α z 2(α −1) + Vậy= ∫∫ = air (∂D) EG − F dϕ dr [0,2π ]× + +∞ 2π 0 = ta có ∫ dz ∫ 2α 2(α −1) z (α z = + 1) dϕ 2π +∞ ∫z α α z 2(α −1) + dz + α z 2(α −1) > +∞ ∫ zα α z 2(α −1) + dz > +∞ ∫ 1 Do −1 ≤ α < − ⇒ < −α ≤ , tức tích phân 2 +∞ dz ∫zα − +∞ dz zα dz = ∫0 z −α = +∞ hay air (∂D) = +∞ Như D tích hữu hạn sơn hết bề mặt B MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ STOCK Định lý Stocke có nhiều ứng dụng, ứng dụng tính thể tích đa tạp  n , ứng dụng việc tính toán số chiều không gian đối đồng điều DeRham đa tạp, nghiên cứu bậc ánh xạ Trong phần đề cập tới số ứng dụng trực tiếp định lý Stocke (các vấn đề lớn phải bổ sung nhiều lý thuyết nên không đặt đây) Định lý: Cho X đa tạp compact định hướng được, không bờ dim X = n Khi với dạng vi phân ω bậc n − X ta có: ∫ dω = X Chứng minh: Do định lý Stocke ta có: ∫ d= ω X ω ∫= ∂X ∅ ∂X = Hệ quả: Cho X đa tạp n chiều, compact không bờ, ω dạng thể tích X (ω ( x) ≠ ∀x ∈ X ) ω dạng xác (tức ω ≠ d µ , với µ dạng vi phân bậc n − X ) Chứng minh: Do ω dạng thể tích nên ∫ ω ≠ , ω = d µ ta có: X ω ∫ d= µ ∫= µ ∫= X (vô lý) ∂X X Định lý: Cho D đa tạp n chiều  n , f : D → ∂D ánh xạ khả vi (giả sử ∂D ≠ ∅ ) Khi f ∂D ánh xạ đồng ∂D Chứng minh: Xét f : D → ∂D x  f ( x) = ( f1 ( x), , f n ( x)) Xét tích phân: ∫ ∫ j * ( x1dx2 ∧ ∧ dxn ) j * ( f1dx2 ∧ ∧ dxn ) , j : ∂D → D ánh xạ nhúng ∂D ∂D Giả sử f ∂D = id ∂D fi ∂D = xi dxi ∂D ∂D = dfi ∂D , hai tích phân Áp dụng định lý Stocke cho hai tích phân ta có: ∫ dx ∧ dx D ∧ ∧ dxn= ∫ df ∧ df ∧ ∧ df n D Nhưng ∫ dx1 ∧ dx2 ∧ ∧ dxn thể tích D (do dương) Nhưng với x ∈ D D df= f * (dxi )( x) ∈ (T f ( x ) ∂D ) Do (T f ( x ) ∂D ) không gian vectơ n − chiều đối i ( x) * * ngẫu với T f ( x ) ∂D nên df1 ( x), df ( x), , df n ( x) phụ thuộc tuyến tính, df1 ( x) ∧ df ( x) ∧ ∧ df n ( x)= ∀x ∈ D tức ∫ df D ∧ df ∧ ∧ df n = (vô lý) Hệ (định lý điểm bất động Brouwer): Cho g : B(O,1) →  n khả vi ( B(O,1) cầu đóng tâm O, bán kính  n , coi g khả vi mở chứa B(O,1) ) cho g ( B(O,1)) ⊂ B(O,1) Khi tồn x ∈ B (O,1) cho g ( x) = x Chứng minh: Giả sử g ( x) ≠ x ∀x ∈ B(O,1) Ta xác định ánh xạ: f : B(O,1) → S n −1 x  f ( x)  với f(x) giao tia có gốc x, hướng theo (cùng hướng) g ( x) x với S n −1 f(x) g(x) x Sn-1 Trước hết ta chứng minh f khả vi, thật vậy:   x − g ( x) g ( x) x f ( x) = − x x f= ( x) t = t  x − g ( x) g ( x) x 2 x − g ( x) (ta có u = ) x − g ( x)    Khi f ( x)= x + tu (do f ( x) ∈ S n −1 nên f ( x) = ) = x + 2t ( x.u ) + t 2u  Đặt u = hay t + 2( x.u )t + x − =0 (*) Trong phương trình bậc (*) ta có:= ∆ ' ( x.u ) − x + ≥ (do x ≤ ) giao điểm f(x) phải ứng với tham số tức (*) ta có giao điểm tia  −( x.u ) + + ( x.u ) − x t phụ g ( x) x với S n −1 ứng với giá trị t thỏa t = thuộc hàm nhẵn x Như f ( x)= x + t x − g ( x) tức f(x) phụ thuộc x − g ( x) nhẵn vào x Do với x ∈ S n −1 f ( x) = x (lúc t = ) f S n−1 = id S n−1 vô lý (trái với định lý 3) Định lý: Cho ξ trường vectơ nhẵn  (ta coi ξ :  →  ) cho ∀x ∈ S , ξ ( x) = λ ( x) với λ < Khi tồn y ∈ B(O,1) cho ξ ( y ) = Chứng minh: Giả sử ξ ( x) ≠ x ∀x ∈ B(O,1) Ta xác định ánh xạ: η : B(O,1) → S x  η ( x) = ξ ( x) ξ ( x) Lấy σ dạng thể tích S , áp dụng định lý Stocke ta có * = ∫η σ S1 * = ∫ d (η σ ) * = ∫ η ( dσ ) B ( O ,1) (1) B ( O ,1) σ dạng bậc đa tạp chiều S nên dσ = Do ∀x ∈ S ξ ( x) ngược hướng với x ( ξ ( x) = λ x với λ < ) nên ∀x ∈ S hay η ξ ( x) = −x ξ ( x) : S1 → S1 S1 x  −x Ánh xạ η S1 : S → S , x  − x vi phôi η *σ = σ σ dạng thể σ ∫σ ≠ ∫ η= * tích nên S S (2) Từ (1) (2) ta suy điều vô lý Định lý: Cho hàm f :  →  nhẵn, D đa tạp chiều compact  f ∂D = Khi ∫∫ D  ∂2 f ∂2 f f ( x, y )  + ∂y  ∂x  ∂f   ∂f 2   − ∫∫   +    dx ∧ dy  dx ∧ dy = ∂x ∂y  D       Chứng minh:  ∂f ∂f  = ω f  dy − dx  , đó: Xét dạng vi phân ∂y   ∂x  ∂f ∂f  d ω = df ∧  dy − dx  + ∂y   ∂x  ∂2 f  ∂2 f f  dx ∧ dy − dx ∧ dy  ∂y  ∂x   ∂f   ∂f ∂f ∂f  =  dx + dy  ∧  dy − dx  + ∂y   ∂x ∂y   ∂x  ∂f 2  ∂f 2  =   +    dx ∧ dy + ∂x ∂y      Áp dụng định lý Stocke ta có: Khi đó: ∫∫ D  ∂2 f ∂2 f f + ∂y  ∂x ω ∫= ω ∫∫ d= D  ∂2 f ∂2 f f + ∂y  ∂x f   dx ∧ dy    dx ∧ dy  ∂D =0 ∂D  ∂f   ∂f 2   ∂2 f ∂2 f  − ∫∫   +    dx ∧ dy f  +  dx ∧ dy = ∂y  ∂x ∂y  ∂x D       Sau hệ hay định lý này: Hệ quả: Nếu f ∂D ∂2 f ∂2 f  ∂f   ∂f  = , giả thiết thêm + =   +   = ∂x ∂y  ∂x   ∂y  D tập liên thông  f = const D BẢNG KÝ HIỆU VÀ THUẬT NGỮ TOÁN HỌC Sau số ký hiệu dùng luận F (M) Tập hàm nhẵn M Tp M Tập vectơ tiếp xúc p đa tạp M Tp f Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc f Supp(f ) Giá f Thành phần thứ i ánh xạ f fi f A Thu hẹp ánh xạ f tập hợp A σ i , σ (i ) Giá trị phép σ i εσ Dấu phép σ Sq Nhóm phép bậc q Tq (V * ) Tập hợp hàm q tuyến tính V q Ω q (V * ) Tập ánh xạ đa tuyến tính thay dấu Λ q (M ) Tập dạng vi phân nhẵn M bậc q Λ qr ( M ) Tập dạng vi phân bậc q M thuộc lớp C r f* Ánh xạ đối tiếp xúc x Chuẩn Euclide vectơ x x = ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + xn2 det A Định thức ma trận A Vol ( M ) Thể tích M Long ( M ) Độ dài M Air ( M ) Diện tích M B (O, r ) Quả cầu mở tâm O, bán kính r B (O, r ) Quả cầu đóng tâm O, bán kính r TÀI LIỆU THAM KHẢO Herman – Élements de topologie algebrique – Paris, 1971 Đoàn Quỳnh – Hình học vi phân – NXB Giáo dục, 2001 M.Spivak – Giải tích toán học đa tạp – NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1985 Marcel Berger – Géométrie différentielle – Presses Universitaires de France, 1987 [...]... ))(e1 , , en ) II Tích phân trên đa tạp 1 Đa tạp định hướng Từ phần này trở đi, ta giả sử các đa tạp được xét là đa tạp nhẵn, với cơ sở đếm được 1.1 Định nghĩa đa tạp định hướng được: M là một đa tạp nhẵn n chiều, ta nói rằng M định hướng được nếu trên M tồn tại một dạng vi phân ω bậc n (nhẵn) sao cho ∀x ∈ M ta có ω ( x) ≠ 0 Dạng vi phân ω như thế còn được gọi là một dạng thể tích (nhẵn) trên M • Nếu ω,... , tích ngoài ω ∧ η là dạng vi phân lớp C r bậc q + s trên M xác định bởi: ∀x ∈ M : (ω ∧ η )(= x) ω ( x) ∧ η ( x) , trong đó ω ( x) ∧ η ( x) là tích ngoài các dạng đa tuyến tính thay dấu (phản đối xứng) Mệnh đề: Cho M là đa tạp nhẵn n chiều, với mọi ω ∈ Λ qr ( M ), η ∈ Λ rs ( M ) thì: ω ∧ η =(−1) qsη ∧ ω Tính chất: Tương tự như xét với các dạng đa tuyến tính thay dấu, tích ngoài các dạng vi phân trên. .. đương 1.2 Định nghĩa hướng trên đa tạp: M là một đa tạp định hướng được, khi đó một hướng cho trên đa tạp M là việc chọn một lớp tương đương các dạng thể tích Trường hợp M liên thông thì một hàm liên tục f : M →  mà f ( x) ≠ 0 thì f ( x) > 0 ∀x ∈ M hoặc f ( x) < 0 ∀x ∈ M Do đó, từ định nghĩa ta suy ra trên tập các dạng thể tích của M chỉ có đúng 2 lớp tương đương, tức là trên M có đúng 2 phép định... thích với hướng của đa tạp M nếu mỗi bản đồ (U i , ϕi ) là thuận 1.3 Định lý: Đa tạp M là định hướng được khi và chỉ khi tồn tại một atlas {(U i , ϕi )}i∈I của M sao cho det (ϕiϕ −j 1 )' (ϕ j ( x))  > 0, ∀i, j ∈ I mà U i ∩ U j ≠ ∅ và ∀x ∈ U i ∩ U j Chứng minh:  Chiều thuận (⇒) : Giả sử đa tạp X định hướng được, ta chỉ cần xét trường hợp X liên thông Cho ω là dạng thể tích của đa tạp Nếu (U , ϕ )... ≠ 0} Ký hiệu: supp( f ) 2 Đa tạp paracompact Không gian tôpô Hausdorff M gọi là paracompact nếu mọi phủ mở của M đều tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn Nếu M là đa tạp khả vi lớp C k và tôpô của M là paracompact thì M là đa tạp paracompact lớp C k Người ta chứng minh được rằng, một đa tạp C k với cơ sở mở đếm được thì bao giờ cũng là paracompact 3 Định lý về phân hoạch đơn vị Cho (U i... đa tạp ∅ thì ta nói M là đa tạp không bờ và đó là những đa tạp đã nói có bờ, còn nếu ∂M = trong định nghĩa trước đây Như vậy có thể khẳng định rằng nếu ∂M ≠ ∅ thì mọi bản đồ (U , ϕ ) của M mà U ∩ ∂M ≠ 0 ta có ϕ (U ∩ ∂= M ) ϕ (U ) ∩  n −1 (ta xem= như  n −1 {(0, x , x ) ∈  } ) n 2 n Tương tự như với đa tạp không bờ, ta cũng xây dựng các định nghĩa không gian tiếp xúc, trường vectơ, dạng vi phân trên. .. ) det(aij ) ω (v1 , v2 , , vn ) det( aij ) = λ= Suy ra điều phải chứng minh 3 Dạng vi phân trên đa tạp 3.1 Định nghĩa: M là đa tạp nhẵn n chiều, một dạng vi phân ω bậc q trên M là ánh xạ: ω:M → Ω x∈M q (Tx* M ) , sao cho tại x ∈ M thì ω x : Tx M × Tx M × × Tx M →  là ánh xạ  q q tuyến tính thay dấu Nhận xét:  ∂  ∂xi • Trên bản đồ (Uα , α ), α ( x) = ( x1 , x2 , , xn ) thì  {dxi ( x)}i... nói trên gọi là vectơ tiếp xúc của đa tạp M • Với (Uα , α ) là một bản đồ địa phương của M, p ∈ Uα , lớp tương đương ( p, u, α ) gọi là một vectơ tiếp xúc của đa tạp M tại p • Tập các vectơ tiếp xúc tại p của đa tạp M ký hiệu là Tp M Trên Tp M ta xác định hai phép toán cộng và nhân như sau: ( p , u , α ) + ( p , v, α ) = ( p , u + v, α ) = k ( p, u , α ) ( p, ku , α ) k ∈  \ {0} Các phép toán trên. .. phương của M Người ta chứng minh được không gian vectơ (ϕ '(0)( n )) không phụ thuộc vào tham số hóa ϕ và ϕ '(0)( n ) đặt tại p chính là không gian tiếp xúc Như thế Tp M là không gian vectơ con của Tp  k • Trường hợp M là đa tạp con (nhẵn) n chiều của  n+1 Nếu có Ω mở trong  n +1 , M ⊂ Ω và có trường vectơ X nhẵn trên Ω sao cho ∀p ∈ M , X ( p) ≠ 0 và X ( p ) ⊥ Tp M thì đa tạp M định hướng được... {ϕi }i∈I trên M thỏa mãn: i) ϕi ≥ 0, ∀i ∈ I ii) Supp ϕi ⊂ U i iii) Họ {Supp ϕi }i∈I hữu hạn địa phương, tức là với mọi x ∈ M có lân cận chỉ giao với một số hữu hạn tập Supp ϕi iv) ∑ ϕ ( x) = 1, ∀x ∈ M i∈I Họ { ϕi }i∈I i nói trên được gọi là phân hoạch đơn vị ứng với phủ (U i )i∈I của đa tạp M Chương 2 DẠNG VI PHÂN I Dạng vi phân 1 Hàm đa tuyến tính 1.1 Định nghĩa: Cho một không gian vectơ V và một ánh ... Đa tạp với bờ, định hướng bờ 35 Tích phân đa tạp 39 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP 47 n A THỂ TÍCH CỦA CÁC ĐA TẠP CON TRONG  47 I Dạng thể tích tắc đa. .. cẩn thận, chi tiết Chương 3: Một số ứng dụng tích phân đa tạp Chúng trình bày số kết ứng dụng tích phân đa tạp, định lý Stock để tính thể tích đa tạp  n số ứng dụng khác Đây chương quan trọng luận... Ostrogradski mà biết giải tích nhiều biến Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP A THỂ TÍCH CỦA CÁC ĐA TẠP CON TRONG n I Dạng thể tích tắc đa tạp định hướng  n Dạng thể tích tắc không gian