thành phần liên thông đường trong c x y ( , )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Thị Thu Hà THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRONG C ( X ,Y ) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Thị Thu Hà THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRONG C ( X ,Y ) Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn làm hướng dẫn TS.Nguyễn Hà Thanh, không chép khác LỜI CẢM ƠN Với lòng biết ơn sâu sắc xin gửi đến TS Nguyễn Hà Thanh, người thầy trực tiếp truyền đạt tri thức khoa học, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình qua buổi học, thảo luận bổ ích để học hỏi thêm nhiều kiến thức cho việc học tập, nghiên cứu khoa học cho công tác giảng dạy sau Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tổ môn Hình học Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh trực tiếp giảng dạy trang bị cho đầy đủ kiến thức cần thiết làm tảng trình viết luận văn Con xin cảm ơn bố mẹ ủng hộ giúp đỡ con, đồng thời xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu LỜI MỞ ĐẦU Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ 1.1 Không gian mêtric 1.2 Không gian tôpô 1.3 Ánh xạ liên tục 1.4 Không gian compact 10 1.5 Không gian liên thông 13 Chương TÔPÔ TRÊN C ( X ,Y ) 15 2.1 Không gian C ( X ,Y ) 15 2.2 Không gian 20 2.3 Tôpô C ( X ,Y ) 28 Chương LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRÊN C ( X ,Y ) 37 3.1 Mở đầu 37 3.2 Tính liên thông đường C ( X ,Y ) với tôpô 40 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 Danh mục ký hiệu (X ,d) : Không gian mêtric d : Mêtric || || : Chuẩn B(a,  ) : Hình cầu mở tâm a , bán kính  (X , ) : Không gian tôpô : Tôpô x : hệ lân cận điểm x X : Compact hóa không gian X ~ : Quan hệ tương đương C ( X ,Y ) : Không gian ánh xạ liên tục từ X đến Y C ( X ,Y ) : Không gian tôpô C ( X ,Y ) với tôpô mở C p ( X ,Y ) : Không gian tôpô C ( X ,Y ) với tôpô hội tụ theo điểm Ck ( X ,Y ) : Không gian tôpô C ( X , Y ) với tôpô mở compact : Họ tập X  X (X , ) : Không gian với cấu trúc C ,  ( X ,Y ) : Không gian tôpô C ( X ,Y ) với tôpô   d : Mêtric Supermum C* ( X ,Y ) : Không gian C ( X ,Y ) gồm phần tử bị chặn C ( X ,Y ) E( g ) : Lớp tương đương g  C ( X ,Y ) : Kết thúc chứng minh LỜI MỞ ĐẦU Nghiên cứu tôpô không gian ánh xạ liên tục toán quan tâm nhiều nhà toán học Từ năm 1883, Ascoli, Arzelà Hadamard bắt đầu ý tưởng manh nha nghiên cứu tôpô không gian ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y , kí hiệu C ( X ,Y ) Năm 1906, Fréchet nghiên cứu tôpô mêtric supremum Năm 1953, Tychonoff cho thấy tích Tychonoff tập Y X tôpô hội tụ Năm 1945, tôpô mở compact nghiên cứu không gian ánh xạ liên tục Fox Không lâu sau đó, năm 1946 Arens tiếp tục nghiên cứu tôpô mở compact Arens gọi tôpô k -tôpô Năm 1952, tôpô mở tìm hiểu Arens Dugundji Năm 1952, Jackson năm 1968, Dugundji nghiên cứu tính compact tôpô không gian C ( X ,Y ) Gần nhất, năm 2014, Jindal, McCoy Kundu nối tiếp nghiên cứu không gian C ( X ,Y ) , nhà toán học nghiên cứu thành phần liên thông đường không gian gồm ánh xạ liên tục từ không gian Tychonoff vào không gian định chuẩn Vì toán mà quan tâm nghiên cứu tính chất C ( X ,Y ) với hai tôpô khác với mối quan hệ tính chất có không gian Vấn đề xem xét cụ thể luận văn là: Trong trường hợp X không gian Tychonoff Y không gian định chuẩn, không gian C ( X ,Y ) với hai tôpô khác có đồng phôi với hay không Do luận văn này, quan tâm đến hai tôpô   C ( X ,Y ) , với tính liên thông hai không gian tôpô Tôpô  tôpô cảm sinh mêtric tự nhiên có từ chuẩn Y , tôpô  tôpô cảm sinh mêtric bị chặn sử dụng hàm arctan Chúng tìm hiểu tính liên thông đường không gian C ( X ,Y ) nhận thấy với X không giả compact, C ( X ,Y ) không liên thông đường Mặt khác đề cập đến tính liên thông không gian C ( X ,Y ) biết C ( X ,Y ) liên thông đường Do đưa kết không gian C ( X , Y ) C ( X ,Y ) không đồng phôi Nội dung luận văn dựa tài liệu [7] Luận văn chia làm chương sau: Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ Chương trình bày khái niệm tính chất tôpô dùng luận văn Chương TÔPÔ TRÊN C ( X ,Y ) Chương trình bày khái niệm liên quan đến C ( X ,Y ) tôpô C ( X ,Y ) Chương LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRÊN C ( X ,Y ) Chương trình bày tính liên thông C ( X ,Y ) với hai tôpô khác chứng minh hai không gian tôpô với hai tôpô tương ứng không đồng phôi Dù cố gắng luận văn khó tránh khỏi sai sót Kính mong quý thầy cô bạn đọc đóng góp để luận văn hoàn chỉnh Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ 1.1 Không gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp, mêtric hay khoảng cách X hàm d:XX  thoả mãn điều kiện sau: Với x, y, z  X d ( x, y)  , d ( x, y)  x  y d ( x, y)  d ( y, x) d ( x, y)  d ( x, z)  d ( z, y) Không gian mêtric cặp ( X , d ) , X tập hợp d mêtric d X 1.1.2 Định nghĩa Giả sử A tập hợp không gian mêtric ( X , d ) Dễ dàng thấy hàm d A  d | A mêtric tập hợp A Không gian mêtric ( A, d A ) gọi không gian không gian mêtric ( X , d ) , ta gọi d A mêtric cảm sinh mêtric d A 1.1.3 Định nghĩa Cho ( X , d ) không gian mêtric Với a  X số   , ta gọi B(a,  )  {x  X : d ( x, a)  } hình cầu mở tâm a , bán kính  Tập M  X gọi mở với a  M , tồn  cho B(a,  )  M 1.1.4 Định nghĩa Cho không gian mêtric ( X , d ) Dãy phần tử {xn}  X hội tụ theo mêtric d phần tử x  X lim d ( xn , x)  n Như vậy, lim xn  x ( X , d ) có nghĩa là: n   0, n0 : n  * , n  n0  d ( xn , x)   Tính chất Giới hạn dãy hội tụ Nếu dãy phần tử {xn}  X hội tụ theo mêtric d phần tử x  X dãy hội tụ x Nếu lim xn  x, lim yn  y lim d ( xn , yn )  d ( x, y) n n n 1.1.5 Định nghĩa Cho X không gian mêtric Tập A  X gọi tập đóng X \ A tập mở 1.1.6 Định lý Giả sử A  ( X , d ) x  X Điểm x  A tồn dãy {xn } phần tử A hội tụ x lim xn  x n 1.1.7 Định nghĩa Tập A gọi trù mật X A  X Khi đó, tập A trù mật X với x  X tồn dãy {xn } A cho lim xn  x n 1.1.8 Định nghĩa Không gian mêtric X gọi không gian khả ly tồn tập A đếm trù mật X 1.2 Không gian tôpô 1.2.1 Định nghĩa tập X gọi tôpô Cho X tập hợp Một họ X họ  thỏa mãn tính chất sau: , X Nếu Ui  Nếu U ,V  iI Ui  U  V  36 Nếu  cấu trúc tương thích Y ,  cấu trúc tương thích R g nhúng (cả g g 1 liên tục đều) g* : C ( X ,Y )  C ( X , R) phép nhúng Chứng minh: Do chứng minh Định lý 2.3.8 nên điều kiên đủ chứng minh g* ánh xạ mở ảnh Xét sở mở [A,V] C ( X ,Y ) , g nhúng, tồn tập mở W R mà W  g (Y )  g (V ) Do chứng minh Định lý 2.3.8.1, g*1([ A,W ])  [ A, g 1(W )]  [ A,V ] Ta suy g* ([ A,V ])  [ A,W ]  g*(C ( X ,Y )) mở ảnh g* 2.3.12 Định lý Nếu f  C ( X , Y )  cấu trúc tương thích R f * : C (Y , R)  C ( X , R) liên tục Hơn nữa, f toàn ánh f * nhúng Chứng minh: Cho g  C (Y , R) M   Ta kiểm tra f * (Mˆ [ g ])  Mˆ [ f * ( g )] , f * liên tục Chứng minh f * mở lên ảnh ta chứng minh tồn N   thỏa Nˆ [ f * ( g )]  f * (C (Y ))  f * (Mˆ [ g ]) N phần tử đối xứng  cho N N N  M Để kiểm tra điều này, ta cho h  C (Y , R) cho f * (h)  Nˆ [ f * ( g )] cho y  Y , tồn lân cận V W y Y cho V  g 1( N [ g ( y)]) W  h1( N[h( y)]) Do f toàn ánh, tồn x  X cho f ( x) V  W Khi ( f * ( g )( x), f *(h)( x))  N  ( g ( f ( x)), h( f ( x)))  N Mặt khác ( g ( y), g ( f ( x)))  N ( g ( y), h( y))  N N N  M , h  Mˆ [ g ] (h( y), h( f ( x)))  N Suy 37 Chương LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRÊN C ( X ,Y ) 3.1 Mở đầu Cho X không gian Tychonoff Y không gian mêtric với mêtric d bị chặn Xác định mêtric d C ( X ,Y ) sau: d ( f , g )  sup{d ( f ( x), g ( x)) : x  X } với f , g  C ( X , Y ) Không gian C ( X ,Y ) với tôpô cảm sinh từ d kí hiệu Cd ( X ,Y ) tôpô C ( X ,Y ) gọi tôpô d Khi tính chất tôpô Cd ( X ,Y ) phụ thuộc vào việc lựa chọn mêtric d bị chặn tương thích Y Tùy vào điều kiện không gian X Y , không gian Cd ( X ,Y ) không gian thỏa mãn điều kiện đếm thứ hai, tách hay Lindel o f Định lý sau mô tả tính tách Cd ( X ,Y ) thông qua tính chất X Y Với Y không gian định chuẩn, kí hiệu C* ( X , Y ) tập C ( X ,Y ) bao gồm phần tử có ảnh bị chặn Y 3.1.1 Định lý Cho Y không gian mêtric với mêtric bị chặn tương thích Y chứa đường không tầm thường Khi Cd ( X ,Y ) tách Y tách được, X compact mêtric hóa Hơn nữa, Y không gian định chuẩn không gian Cd* ( X ,Y ) tách không gian Cd ( X ,Y ) tách Chứng minh: Cho Y tách được, X compact mêtric hóa Khi Cd ( X ,Y ) với không gian Ck ( X ,Y ) với tôpô mở compact Ta giả sử {U n : n } 38 {Vn : n } sở đếm tương ứng X Y Xét họ đếm tập mở {[U n ,Vm ]: n, m } Ck ( X ,Y ) , với [U n ,Vm ]  { f  C ( X ,Y ) : f (U n )  Vm} Khi {[U n ,Vm ]: n, m } sở Ck ( X ,Y )  Cd ( X ,Y ) Cd ( X ,Y ) tách Cho Cd ( X ,Y ) tách với y  Y , xác định hàm i y : X  Y cho i y ( x)  y với x  X Rõ ràng, i y  C ( X ,Y ) Do Định lý 2.3.7, hàm f : Y  Cd ( X ,Y ) xác định f ( y)  i y phép nhúng đóng Vì vậy, Y tách Ta có  X mở rộng compact Stone- C ech X cho e : X   X nhúng X vào X cho e( X )   X Khi hàm e* : Cd (  X ,Y )  Cd ( X ,Y ) xác định e* ( f )  f e nhúng (do Định lý 2.3.10), ta suy Cd ( X ,Y )  Ck ( X ,Y ) tách Vì Y chứa đường không tầm thường nên tồn phép nhúng q :  Y Suy hàm q* : C ( X , )  Ck (  X ,Y ) xác định q* ( f )  q f nhúng (xem Định lý 2.3.9) Do Ck ( X , ) tách mêtric hóa nên Ck ( X , ) có tập trù mật đếm D Khi hàm  :  X  D xác định  ( x)( f )  f ( x) với x   X f  D đơn ánh liên tục Vì  X compact nên  ánh xạ đóng,  phép nhúng Vậy  X mêtric hóa Mặt khác  X mêtric hóa X compact mêtric hóa được, suy điều phải chứng minh Đối với phần thứ hai định lý ta cần ý chứng minh i y  Cd* ( X ,Y ) e* từ Ck (  X ,Y ) vào Cd* ( X ,Y ) Mục tiêu tìm hai tôpô khác không gian C ( X ,Y ) mà hai tôpô sinh hai mêtric bị chặn tương thích khác 39 không gian định chuẩn Y Mêtric thứ dễ dàng tìm được, dựa vào mêtric thông thường Chúng ta xét không gian Cd ( X ,Y ) Y không gian định chuẩn với chuẩn ||·|| Từ chuẩn Y ta tìm mêtric tương thích Y xác định d ( x, y) || x  y || , với x, y  Y Nhưng mêtric d cảm sinh chuẩn Y mêtric bị chặn d giá trị hữu hạn nên d không xác định mêtric ta cần C ( X ,Y ) Kí hiệu C* ( X , Y ) tập C ( X ,Y ) gồm tất phần tử bị chặn C ( X ,Y ) Trong trường hợp này, C* ( X ,Y ) có chuẩn ||·|| xác định || f ||  sup{|| f ( x) ||: x  X } Ta kí * hiệu không gian tuyến tính chuẩn tắc C* ( X ,Y ) với chuẩn ||·|| C ( X ,Y ) Xác định mêtric  bị chặn tương thích Y sau:  ( x, y)  min{1,|| x  y ||} , với x, y  Y Kí hiệu C ( X , Y ) không gian C ( X ,Y ) với tôpô sinh  Kí hiệu C* ( X ,Y ) không gian C* ( X ,Y ) với tôpô sinh  hạn chế lên * * C* ( X ,Y ) Ta suy C* ( X ,Y )  C ( X ,Y ) Khi C ( X ,Y ) không gian C ( X ,Y ) , chí tập vừa mở vừa đóng C ( X ,Y ) , ta chứng minh điều mục sau Để xác định mêtric bị chặn tương thích khác Y , ta xét  ánh xạ liên tục T :[0, )  [1, ) A :[0, )  (0,1] xác định sau:  tan x  T ( x)   x     arctan x  A( x)   x  x0  0 x Xét ánh xạ  : Y  B(0,1) ,  ( y)   0 x x0 A(|| y ||) y , với B(0,1)  {y Y :|| y || 1} hình cầu đơn vị Y có tâm phần tử không Y 40 3.1.2 Mệnh đề Ánh xạ  : Y  B(0,1) đồng phôi Chứng minh: Tính liên tục  suy trực tiếp từ tính liên tục ánh xạ A , chuẩn hợp thành hai ánh xạ liên tục lại ánh xạ liên tục Để chứng minh  song ánh, ta cần chứng minh  1( y)    T ( || y ||) y nghịch đảo 2  y Vì  Cho y  suy  1( y)  tan( || y ||) || y ||  ( 1( y ))  arctan ||  1( y ) ||  1 ||  ( y ) ||  1( y )  arctan tan( || y ||)  y  tan( || y ||)   || y || tan( || y ||) y Tương tự  1 ( y)  y với y  Y Điều chứng minh  1 nghịch đảo  Tính liên tục  1 có từ lập luận  Ta tìm mêtric tương thích bị chặn  Y cách sử dụng đồng phôi  sau: Đặt  ( x, y) ||  ( x)   ( y) || , với x, y Y Vì  đồng phôi nên  tương thích với tôpô Y Khi kí hiệu C ( X ,Y ) không gian C ( X ,Y ) với tôpô mêtric sinh   3.2 Tính liên thông đường C ( X ,Y ) với tôpô Trên C ( X , Y ) định nghĩa quan hệ tương đương ~ sau: f ~ g || f  g ||  sup{|| f ( x)  g ( x) ||: x  X }   Kí hiệu E ( g ) lớp tương đương phần tử tương đương với g thuộc * C ( X ,Y ) Chú ý E ( f0 )  C ( X , Y ) , với f0 ( x)  0, x  X 41 3.2.1 Mệnh đề Hai phần tử rời họ {E ( g ) : g  C ( X ,Y )} đồng phôi với Chứng minh: Ta chứng minh lớp tương đương E ( f ) đồng phôi với * * E ( f0 )  C ( X ,Y ) Xét ánh xạ  : E ( f )  C ( X ,Y ) xác định sau *  (h)  h  f Rõ ràng h  f  C ( X ,Y ) Nghịch đảo  xác định *  1(h)  h  f với h  C ( X ,Y ) Ta chứng minh  liên tục Cho * ( X ,Y ) , xét lân cận B (h;  ) B (h  f ;  ) lân cận  (h) C h cho g  B (h;  ) Không tính tổng quát ta giả sử    1, suy  ( g ( x), h( x)) || g ( x)  h( x) ||  với x  X Do đó:  ((h  f )( x),( g  f )( x))   với x  X Điều chứng minh  ( B (h; ))  B ( f  h; )  liên tục Chứng minh tương tự ta có  1 liên tục Vậy  đồng phôi Từ mệnh đề trên, ta suy lớp tương đương tập C ( X ,Y ) , đồng thời tập có tính chất đặc biệt không gian C ( X ,Y ) 3.2.2 Mệnh đề Mỗi lớp tương đương vừa mở vừa đóng C ( X ,Y ) Chứng minh: * Ta cần chứng minh C ( X ,Y ) vừa mở vừa đóng C ( X ,Y ) Cho * f  C ( X ,Y )    Xét sở lân cận B ( f ; ) f g  B ( f ;  ) , 42 ta suy  ( f ( x), g ( x))   với x  X , nên min{1,|| f ( x)  g ( x) ||}   với * x  X Vì   nên || f ( x)  g ( x) ||  với x  X Do f  C ( X ,Y ) , ta có || f ( x) || M với x X || g( x) |||| f ( x)  g( x) || || f ( x) ||    M với M  Vì với x X Do * * * ( X ,Y ) mở C ( X ,Y ) g  C ( X ,Y )  B (h;  )  C ( X ,Y ) , suy C * Bây ta chứng minh C ( X ,Y ) đóng C ( X ,Y ) , cho ánh xạ * f  C ( X ,Y ) \ C ( X ,Y ) , không tồn M  cho || f ( x) || M với x  X Cho    1, g  B ( f ;  ) , suy  ( f ( x), g ( x))   với x thuộc X Điều suy min{1,|| f ( x)  g ( x) ||}   với x  X ;   , ta có || f ( x)  g ( x) ||  * với x  X Nếu g  C ( X ,Y ) || g ( x) || M với x  X , M  Suy || f ( x) |||| f ( x)  g ( x) ||  || g ( x) ||   M Vậy * * ( X ,Y ) , f  C ( X ,Y ) , trái điều kiện Ta suy B ( f ;  )  C ( X ,Y ) \ C * C ( X ,Y ) đóng C ( X ,Y ) Từ mệnh đề Mệnh đề ([4], phần I), ta suy hệ sau: 3.2.3 Hệ Không gian C ( X ,Y ) tổng lớp tương đương {E (h) : h  C ( X ,Y )} rời Ngoài tính chất nêu phần tử thuộc {E (h) : h  C ( X ,Y )} liên quan đến tính liên thông không gian C ( X ,Y ) 3.2.4 Mệnh đề Thành phần liên thông đường không gian C ( X ,Y ) phần tử họ {E (h) : h  C ( X ,Y )} Chứng minh: 43 Do Mệnh đề 3.2.1 3.2.2 nên cần chứng minh E ( f0 ) liên thông đường Cho f  f0  E ( f0 ) Xét ánh xạ p :[0,1]  E ( f0 ) xác định p(t )  tf , với p(t )( x)  tf ( x) Rõ ràng p(0)  f0 p(1)  f Ta chứng minh p đường từ f đến f Xét sở lân cận B( p(t ),  ) p(t ) , với    1, chọn    || f || , với t  (t   , t   )  [0,1] , ta có || p(t )( x)  p(t)( x) ||| t  t  ||| f ||   , p liên tục Vậy E ( f0 ) liên thông đường Định lý sau suy từ Hệ 3.2.3 3.2.5 Định lý Nếu X không giả compact C ( X ,Y ) tổng không đếm không gian con, không gian tổng đồng phôi với không gian không tách C* ( X , Y ) Chứng minh: Chỉ cần chứng minh X không giả compact C ( X ,Y ) có không đếm lớp tương đương quan hệ tương đương ~ Do X không giả compact nên tồn hàm f  C ( X ,Y ) cho f ( X ) không bị chặn Cho  y Y , với r  (1, ) , ta định nghĩa hàm gr : X  Y xác định gr ( x)  f r ( x) y với f r ( x)  ( f ( x))r Ta chứng minh E ( gr )  E ( g s ) , với r  s r , s  (1, ) Với M  , tồn x  X cho f ( x)  M , ta suy || gr ( x)  g s ( x) || với r  s Vì với r , s  (1, ) , ta có E ( gr )  E ( g s ) , có không đếm lớp tương đương X không giả compact Do Mệnh đề 3.2.1 Định lý 3.1.1, lớp tương đương đồng phôi với không * gian C ( X ,Y ) 44 3.2.6 Hệ Nếu X không giả compact C ( X ,Y ) không liên thông Bây ta xem xét tính liên thông không gian C ( X ,Y ) với tôpô sinh mêtric tương thích bị chặn  Xét * : C ( X ,Y )  C ( X , B(0,1)) ánh xạ cảm sinh  xác định * ( f )   f với f  C ( X , Y ) Ta thấy * ( X ,Y ) , ta xét C ( X , B(0,1)) tập không gian định chuẩn C * C ( X , B(0,1)) với tôpô C ( X ,Y ) kí hiệu C ( X , B(0,1)) Ta có  đồng phôi Mệnh đề 3.1.1, mệnh đề * đồng phôi 3.2.7 Mệnh đề Ánh xạ * : C ( X ,Y )  C ( X , B(0,1)) đồng phôi Chứng minh: Cho B(* ( f ),  ) lân cận * ( f ) C ( X , B(0,1)) , với f  C ( X , Y ) Xét lân cận B ( f , ) f , với     Cho g  B ( f , ) cho  ( f ( x), g ( x)) ||  ( f ( x))   ( g ( x)) ||    với x thuộc X , suy * ( g )  B(*( f ),  ) , * liên tục Ánh xạ *1 : C ( X , B(0,1))  C ( X ,Y ) thỏa *1( f )   1 f ánh xạ ngược * Cho B (*1( f ),  ) sở lân cận *1( f ) C ( X ,Y ) cho g  B( f ,  ) Khi ta có: sup{|| f ( x)  g ( x) ||: x  X }  sup{||  1( f ( x))   1( g ( x)) ||: x  X }   suy  (*1( f ),*1( g ))   , *1( g )  B (*1( f ),  ) Suy *1 liên tục * đồng phôi 3.2.8 Định lý Không gian C ( X ,Y ) liên thông đường 45 Chứng minh: Do mệnh đề trên, C ( X ,Y ) C ( X , B(0,1)) đồng phôi với Ta chứng minh C ( X , B(0,1)) liên thông đường Cho f  C ( X , B(0,1)) Xét ánh xạ p :[0,1]  C ( X , B(0,1)) xác định p(t )  tf Ta chứng minh p liên tục tồn đường f hàm không đổi f Vì C ( X , B(0,1)) liên thông đường Để chứng minh p liên tục, ta xét lân cận B(tf ,  ) p(t )  tf C ( X , B(0,1)) với   Chọn  cho 0  xét t [0,1] cho | t  t |  , || tf  tf ||  sup{|| tf ( x)  tf ( x) ||: x  X } | t  t | sup{|| f ( x) ||: x  X }     ,vì vậy, với t [0,1] | t  t |  , ta có tf  B(tf ,  ) Do p liên tục Từ Hệ 3.2.6 Định lý 3.2.8 ta thấy với X không giả compact, không gian tôpô C ( X ,Y ) C ( X ,Y ) không đồng phôi Điều tính chất tôpô không gian Cd ( X ,Y ) phụ thuộc vào mêtric bị chặn tương thích d Y Tuy nhiên nên ý với X giả compact cấu trúc Y sinh tôpô C ( X ,Y ) ([9], Mệnh đề 1.3) Tuy nhiên, ta chứng minh kết tổng quát C* ( X ,Y ) C* ( X ,Y ) đồng phôi với Để chứng minh kết này, ta cần mệnh đề sau đây, mệnh đề B ( f0 ,1) hình cầu mở * C ( X ,Y ) với bán kính tâm hàm không đổi f 3.2.9 Mệnh đề Hình cầu B ( f0 ,1) với * (C* ( X ,Y )) Chứng minh: 46 Cho f  C* ( X ,Y ) , từ suy || f ||  M   Nếu || y || M   arctan(|| y ||)  S   , suy ||  ( y) || arctan(|| y ||) || y || S  || y ||  || y ||  ||  ( y) || y  Do || f ( x) || M với x , điều suy ||  f ||  , suy * ( f )  B ( f0 ,1) Do * (C* ( X ,Y )) B ( f0 ,1) Ta giả sử f  B ( f0 ,1) , ta tìm g   1 f  C* ( X ,Y ) Khi * ( g )  f , suy * (C* ( X ,Y ))  B ( f0 ,1) g  C* ( X , Y ) Chứng minh g  C* ( X ,Y ) sau | 1     || T ( || f ( x) ||) f ( x) |||| tan( || f ( x) ||) ||, f ( x) ||  2  , 0 f ( x)  f ( x)  Vì || f ( x) || S  với x  X nên ||  1 f ( x) || M   với x  X với vài M  Do g  C* ( X ,Y ) Chú ý Do mệnh đề trên, ta có B ( f0 ,1) tập C ( X , B(0,1)) Thậm chí, B ( f0 ,1) tập trù mật C ( X , B(0,1)) Định lý kết Mệnh đề 3.1.1, 3.2.7 3.2.9 3.2.10 Định lý Không gian C* ( X ,Y ) đồng phôi với không gian C* ( X ,Y ) Chứng minh: Mệnh đề 3.2.7 3.2.9 suy C* ( X ,Y ) đồng phôi với B ( f0 ,1) Bằng * * ( X , Y ) Mệnh đề 3.1.1 ta suy C ( X ,Y ) đồng việc thay Y C * ( X ,Y ) phôi với B ( f0 ,1) Do C* ( X ,Y ) đồng phôi với C C* ( X ,Y ) C* ( X ,Y ) có tính chất không giống C ( X ,Y ) 47 C ( X ,Y ) : C* ( X , Y ) không gian trù mật C ( X ,Y ) không gian C* ( X ,Y ) không gian vừa mở vừa đóng C ( X ,Y ) 48 KẾT LUẬN Trong chương 1, đưa khái niệm tôpô đại cương là: không gian mêtric, kh ông gian tôpô, ánh xạ liên tục, không gian compact, không gian liên thông nhằm phục vụ trực tiếp cho kiến thức chương chương luận văn Chương luận văn dành cho việc nghiên cứu không gian ánh xạ tuyến tính C ( X ,Y ) tìm hiểu số tôpô không gian đó, là: tôpô mở compact, tôpô hội tụ theo điểm… sau so sánh tôpô với tìm điều kiện để không gian tôpô với tôpô mở nhau, đồng thời tìm hình dạng cụ thể không gian tôpô mở Tiếp theo nghiên cứu không gian cấu trúc đều, tìm hiểu đặc trưng không gian đều, cách chứng minh không gian không gian đều, giới thiệu sở tiền sở cấu trúc đều, xem xét điều kiện để tiền sở trở thành sở cấu trúc cách tìm sở cấu trúc từ phần tử không gian đều, kết thúc phần trình bày không gian ánh xạ liên tục hai không gian tính chất ánh xạ Tiếp theo gắn cấu trúc vào không gian Y , không gian đích không gian ánh xạ tuyến tính C ( X ,Y ) , sau xác định tôpô C ( X ,Y ) tìm mối quan hệ không gian tôpô với tôpô Chúng so sánh tôpô với tôpô mở tìm điều kiện tôpô nhau, tìm thấy đơn ánh tự nhiên từ Y vào C ( X ,Y ) ánh xạ cảm sinh ánh xạ hạn chế từ Y vào không gian Nhờ vào việc nghiên cứu tôpô chương 2, chương luận văn tiếp tục tìm hiểu tính chất C ( X ,Y ) với tôpô Chúng đề cập đến tính tách không gian tôpô C ( X ,Y ) với tôpô mêtric 49 supermum dựa vào tính chất hai không gian thành phần X , Y , đồng thời, quan tâm đến tính tách không gian không gian tôpô C ( X ,Y ) gồm phần tử bị chặn C ( X ,Y ) Sau tìm cách chứng minh hai không gian tôpô với hai tôpô khác không đồng phôi với nhau, thử tìm mêtric Y xem xét tôpô cảm sinh để tìm tôpô phù hợp Mêtric thứ  dễ dàng tìm được, xuất phát từ mêtric thông thường Chúng tìm mêtric thứ hai  Y cách sử dụng hàm arctan Do hai mêtric Y thỏa mãn yêu cầu mêtric  mêtric  Tiếp đến xác định lớp tương đương nhờ vào quan hệ tương đương C ( X ,Y ) , đồng thời nhận thấy lớp tương đương vừa đóng vừa mở C ( X ,Y ) chúng đồng phôi với không gian C ( X ,Y ) Do thành phần liên thông đường không gian C ( X ,Y ) lớp tương đương Trong trường hợp X không giả compact, không gian C ( X ,Y ) không liên thông Sau tìm hiểu ánh xạ * ánh xạ cảm sinh ánh xạ đồng phôi  nhận thấy không gian C ( X ,Y ) đồng phôi với không gian C ( X , B(0,1)) , C ( X , B(0,1)) liên thông đường, C ( X ,Y ) liên thông đường Vì suy không gian C ( X ,Y ) không gian C ( X ,Y ) không đồng phôi với Từ hiểu tính chất tôpô không gian Cd ( X ,Y ) phụ thuộc vào mêtric d bị chặn Y Kết thúc luận văn tìm kết sau thú vị: chứng minh hai không gian C ( X ,Y ) C ( X ,Y ) tương ứng C* ( X ,Y ) C* ( X ,Y ) đồng phôi với B ( f0 ,1) , C* ( X ,Y ) C* ( X ,Y ) đồng phôi với 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2009), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà Nội Nông Quốc Chinh (2003), Tôpô đại cương, Nxb Đại học Sư Phạm, Hà Nội Hồ Thuần, Hà Huy Khoái, Đinh Mạnh Tường dịch (1973), Tôpô đại cương, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Tiếng Anh Bourbaki N (1966), General Topology, Addison-Wesley Reading, Mass Eklund A (1978), “The Fine Topology and Other Topologies on C ( X ,Y ) ”, Dissertation, Virginia Polytechnic Institute and State University Jackson J.R (1952), “Comparison of Topologies on Function Spaces”, Proceedings of American Mathematical Society, 3, 156–158 Jindal Varun, McCoy R A and Kundu S (2014), “Path components in the Uniform Spaces of continuous functions into a Normed Linear Space”, Topology Proceedings, Volume 43 Maio Di, Holá L’., Holý D and McCoy R A (1998), “Topologies on the Space of Continuous Functions”, Topology and Its Applications, 105– 122 McCoy R.A (1986), “Fine Topology on Function Spaces”, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 9, 417–424 10 McCoy R.A and Ntantu I (1988), “Topological Properties of Spaces of Continuous Functions”, Lecture Notes in Math, vol 1315, SpringerVerlag, Berlin 11 Willard S (1970), General Topology, Addison-Wesley Reading, MA [...]... đóng bất kì trên X thì C p ( X ,Y )  C ( X ,Y ) Do đó tôpô hội tụ theo từng điểm là tôpô mở nhỏ nhất Giả sử không gian c c ánh x c tôpô mở lớn nhất đư c kí hiệu là Cw ( X ,Y ) hay Cw ( X ) C c không gian tôpô C p ( X ,Y ), Ck ( X ,Y ), Cw ( X ,Y ) quan hệ với nhau bởi bất đẳng th c C p ( X ,Y )  Ck ( X ,Y )  Cw ( X ,Y ) Dấu bằng x y ra ở những bất đẳng th c n y đư c cho bởi định lý sau: 2.1.6... dàng, vì v y chỉ c n chứng minh phần hai Cho f [ A,V ] (chỉ c n chứng minh đối với một phần tử c sở là đủ vì min hữu hạn c c hàm liên t c là liên t c) , tồn tại một   C (Y ,[ 0,1 ]) sao cho  ( f ( A ))  {0} và  (Y \ V )  {1} Khi đó cho   C (C ( X ,Y ), [ 0,1 ]) thỏa mãn  (h)  sup{ (h(a )) : a  A} với h  C ( X ,Y ) Ta suy ra rằng  ( f )  0 và  (C ( X ,Y ) \ [ A,V ])  {1} 18 Cho Y là... U và ( x, y) , ( y, z ) thu c f 1(V ) thì ( f ( x) , f ( y) ) và ( f ( y) , f ( z )) thu c f (V ) , nghĩa là  f  x  , f  z  V thu c là c sở c a một c u tr c đều đối với và , V Suy ra họ tất c c c nghịch ảnh c a c c phần tử nào đó trên X Khi đó f liên t c đều là c u tr c đều nhỏ nhất trong tất c c c cấu tr c đều trên X mà đối với chúng f liên t c đều 28 2.3 Tôpô đều trên C ( X ,Y ) Cho ... trên X và  là một c u tr c đều tương thích trên Y C u tr c đều n y c m sinh tôpô trên C ( X ,Y ) , tôpô c m sinh trên C ( X ,Y ) là giống nhau nếu chỉ một c u tr c đều tương thích đư c sử dụng trên Y ho c nếu c c cấu tr c đều đư c cho trên Y phủ nhau Với A  và M   , đặt: Mˆ ( A)  {( f , g )  C ( X )  C ( X ) : với x  A ,( f ( x) , g ( x) )  M } Trong trường hợp A  X , kí hiệu Mˆ  Mˆ ( X ) ... ( ối với  ) Tập hợp mở trong C ,  ( X ,Y ) là tập con W c a C ( X ,Y ) sao cho với mọi f W tồn tại A 1, , An  và M 1, , M n   thỏa mãn bao hàm th c Mˆ 1( A 1)[ f ]   Mˆ n ( An )[ f ]  W , trong đó A  , M   và Mˆ ( A)[ f ] đư c x c định như sau: Mˆ ( A)[ f ]  {g  C ( X ,Y ) : ( f , g )  Mˆ ( A)} Trong trường hợp   X thì C ,  ( X ,Y ) đư c kí hiệu là C ( X ,Y ) Tôpô trên C ( X. .. c sở con đối với tôpô đó Không gian C ( X ,Y ) với tôpô n y đư c kí hiệu C ( X ,Y ) ho c C ( X ) nếu Y c định Cho K là không gian con c a X , C ( K ,Y ) c ng với tôpô mở kí hiệu là C ( K ,Y ) , với   {A  K : A  } 2.1.2 Ví dụ 1 Cho không gian C ( X ,Y ) , lưới đóng trên X là một họ c c tập con hữu 16 hạn không rỗng c a X , không gian C ( X ,Y ) c ng với tôpô mở n y đư c kí hiệu là C p ( X. .. W , (U V ) 1  V 1 U 1 Cho A là tập con bất kì c a X , định nghĩa U [ A]  { y : ( x, y) U , với x thu c A} Với x là một điểm thu c X , U [ x] : U [ {x} ]  { y : ( x, y) U } , U V [ A]  U [V [ A]] 2.2.1 Bổ đề Nếu quan hệ V đối x ng thì V U V  {V [ x] V [ y] : ( x, y) U } Chứng minh: 21 Ta c V U V  {(u, v) : (u, x) V ,( x, y) U ,( y, v) V , với x, y thu c U} Vì V đối x ng nên V [ x] ... Ta suy ra d ( f , g )  d ( f ( x0 ), g ( x0 ))  d ( y0 , ( ( x) ))  d ( y0 , (t 1))  d ( y0 , y1 )   Do đó g  S , mâu thuẫn, suy ra điều phải chứng minh C u hỏi đặt ra là tìm một tôpô c thể trên C ( X ,Y ) bằng c ch nào? Trả lời cho c u hỏi n y ta thêm điều kiện di truyền vào lưới đóng  trên X , khi đó một c sở mở trong Y c thể sinh ra đư c một tôpô trên C ( X ,Y ) Ta x t định nghĩa về... không gian mêtric hóa đư c và d' là một mêtric bị chặn cho trư c trên Y , đặt d ( y1 , y2 )  min{d ( y1 , y2 ); 1 }, y1 , y2  Y , khi đó d đư c gọi là một mêtric bị chặn tương thích trên không gian Y Với hai phần tử bất kì f , g  C ( X ,Y ) ta đặt d ( f , g )  sup{d ( f ( x) , g ( x) ) }, x  X Dễ dàng kiểm tra d là một mêtric và do đó nó x c định một tôpô trên C ( X ,Y ) Tôpô n y đư c gọi là tôpô... {u : (u, x) V },V [ y]  {v : ( y, v) V } với ( x, y) thu c U Do đó V U V  {(u, v) : (u, v) V [ x]  V [ y] với x, y thu c U }  V U V  {V [ x]  V [ y] : ( x, y) U } 2.2.2 Định nghĩa Cho X là một tập hợp kh c rỗng, là tập gồm c c tập con c a tích Descartes X  X Một không gian đều ( X , ) là một tập hợp X trang bị một họ không rỗng ( đư c gọi là c u tr c đều hay c i đều c a X ) thỏa c c tiên ... x  X cho f ( x) V  W Khi ( f * ( g )( x) , f *(h )( x) )  N  ( g ( f ( x) ), h( f ( x) ))  N Mặt kh c ( g ( y) , g ( f ( x) ))  N ( g ( y) , h( y) )  N N N  M , h  Mˆ [ g ] (h( y) , h( f (. .. ánh x c tôpô mở lớn kí hiệu Cw ( X ,Y ) hay Cw ( X ) C c không gian tôpô C p ( X ,Y ), Ck ( X ,Y ), Cw ( X ,Y ) quan hệ với bất đẳng th c C p ( X ,Y )  Ck ( X ,Y )  Cw ( X ,Y ) Dấu x y bất... B ( f , ) cho  ( f ( x) , g ( x) ) ||  ( f ( x) )   ( g ( x) ) ||    với x thu c X , suy * ( g )  B( *( f ),  ) , * liên t c Ánh x *1 : C ( X , B( 0,1 ))  C ( X ,Y ) thỏa *1(