Không gian đều

Ta xét các tập con của tích Descartes X X của một tập X nào đó với chính nó. Cho U là một quan hệ trên X X, U1 được định nghĩa như sau:

1

( , ) : ( ,

{ ) }

U  y x x y U , suy ra (U 1) 1U và nếu U U1 thì U được gọi là đối xứng. Cho U, V là hai quan hệ, đặt:

: {( , ) : sao cho ( , ) ,( , ) }

U V  x z  y X x y V y z U

Khi đó U (V W)(U V) W , (U V)1V1 U1. Cho A là tập con bất kì của X , định nghĩa [ ] { : ( , )U A  y x y U, với x thuộc A}. Với x là một điểm thuộc X , [ ]:U x U x[{ }] { : ( , ) y x y U}, U V A[ ]U V A[ [ ]].

2.2.1. Bổ đề

Nếu quan hệ V đối xứng thì V U V  { [ ]V x V y[ ]: ( , )x y U}.

Ta có V U V {( , ) : ( , )u v u x V x y,( , )U y v,( , )V , với x, y thuộc U}. Vì

V đối xứng nên [ ] { : ( , )V x  u u x V V y}, [ ] { : ( , ) v y v V} với ( , )x y thuộc U. Do đó {( , ) : ( , ) [ ] [ ] V U V  u v u v V x V y với x, y thuộc }U { [ ] [ ]: ( , ) } V U V V x V y x y U      . 2.2.2.Định nghĩa

Cho X là một tập hợp khác rỗng, là tập gồm các tập con của tích Descartes XX . Một không gian đều ( , )X là một tập hợp X trang bị một họ không rỗng ( được gọi là cấu trúc đều hay cái đều của X ) thỏa các tiên đề sau:

4. Nếu U thuộc thì U chứa đường chéo  {( , ) :x x xX}.

5. Nếu U thuộc và V là một tập con của X X chứa U thì V thuộc . 6. Nếu U thuộc và V thuộc thì U V thuộc .

7. Nếu U thuộc thì tồn tại V thuộc sao cho với bất kì ( , )x y và ( , )y z

thuộc V thì ( , )x z thuộc U .

8. Nếu U thuộc thì U1   y x, : x y, U cũng thuộc .

Trên tập X có thể có những cấu trúc đều khác nhau. Cấu trúc đều lớn nhất là họ tất cả các tập con chứa đường chéo của X X và cấu trúc đều nhỏ nhất của nó chính là X X .

2.2.3. Ví dụ

Trên tập hợp số thực , tập hợp gồm các tập con U của  thỏa mãn {( , ) :|x y x  y| r} U với r là một số dương nào đó, kí hiệu tập hợp đó là . Khi đó là một cấu trúc đều.

2.2.4. Định nghĩa

Họ con của cấu trúc đều được gọi là cơ sở của nếu mỗi phần tử của họ đều chứa một phần tử nào đó của họ .

Nếu là cơ sở của cấu trúc đều thì cấu trúc đều này hoàn toàn được xác định bởi , tức là mọi tập con U của tích XX thuộc khi và chỉ khi U

chứa một phần tử nào đó của họ .

Họ con  được gọi là tiền cơ sở của cấu trúc đều nếu và chỉ nếu các giao hữu hạn của những phần tử thuộc  làm thành cơ sở của cấu trúc đều .

Ngoài cách tìm cơ sở của cấu trúc đều bằng định nghĩa, ta cũng có thể dùng định lý sau đây để chứng minh một hệ các tập con của X X là cơ sở.

2.2.5. Định lý

Họ các tập con của tích Descartes X X là cơ sở của một cấu trúc đều khi và chỉ khi nó đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1. Mỗi phần tử của họ đều chứa một đường chéo . 2. Nếu U thì U1 chứa một phần tử nào đó của họ .

3. Nếu U thì tồn tại phần tử V nào đó thuộc sao cho V V U. 4. Giao của hai phần tử bất kì của đều chứa một phần tử nào đó của . Tương tự, ta có thể sử dụng định lý sau để kiểm tra điều kiện của tiền cơ sở.

2.2.6. Định lý

Họ  các tập con của X X là tiền cơ sở của một cấu trúc đều nào đó trên

X khi nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1. Mỗi một phần tử của họ  đều chứa phần tử đường chéo . 2. Với mỗi một U tập U1 chứa một phần tử nào đó của họ . 3. Với mỗi một U đều tồn tại V sao cho V V U.

Hợp của một họ những cấu trúc đều trên X là tiền cơ sở của một cấu trúc đều trên X .

Chứng minh:

Ta chứng minh giao hữu hạn có thể có của các phần tử thuộc họ  thỏa các điều kiện của cơ sở. Ta suy ra từ nhận xét: U1,...,Un và V1,...,Vn là những tập con của X X , U  {U ii: 1,..., }n , V  { ,V ii 1,..., }n và Vi U1 hay là

i

V V U với mọi i1,...,n thì V1U, tức là V V U.

Sau khi đã tìm hiểu định nghĩa của không gian đều, ta tiếp tục tìm hiểu về không gian đều bằng cách gắn cấu trúc tôpô trên không gian đều đó như sau:

2.2.7.Định nghĩa

Giả sử ( , )X là một không gian đều, họ tất cả những tập con T của không gian X thỏa mãn điều kiện: với mọi x T tồn tại U sao cho U x[ ]T

được gọi là tôpô ứng với cấu trúc đều hay tôpô đều. Kiểm tra là một tôpô:

1. ,X  .

2. T T1, 2   T1 T2 , tức là hợp các phần tử thuộc cũng thuộc . 3. Nếu T T1, 2 và x T 1 T2 thì tồn tại U và V trong sao cho

1 [ ]

U x T và V x[ ]T2, khi đó (U V x)[ ] T1 T2. Do đó T1 T2 . Một cấu trúc đều được gọi là tương thích với tôpô cho trước trên không gian tôpô nếu như tôpô cảm sinh bởi cấu trúc đều trùng với tôpô ban đầu.

Tiếp theo chúng ta xem xét đến các yếu tố cơ bản của không gian tôpô như là phần trong, bao đóng, cơ sở lân cận…

2.2.8.Định lý

Cho A là tập con của không gian X , phần trong của A đối với tôpô đều là tập hợp các điểm xX sao cho U x[ ]A với U thuộc .

Chỉ cần chứng minh tập B{x U x: [ ]A} với U thuộc là mở, vì B chứa mọi tập con mở của tập A. Giả sử xB, tồn tại U sao cho [ ]U x A. Khi đó tồn tại V thuộc sao cho V V U. Với mọi y V x [ ], ta có

[ ] [ ] [ ]

V y V V x U x  A, từ đó suy ra yB. Vậy B là một tập mở.

Ta nhận thấy rằng U[x] là lân cận của điểm x đối với một phần tử bất kì U

của cấu trúc đều . Do đó, họ tất cả các tập có dạng U[x] là cơ sở lân cận của tôpô tại điểm x. Ta suy ra được định lý sau:

2.2.9.Định lý

Nếu là cơ sở (hay tiền cơ sở) của một cấu trúc đều thì họ tất cả các tập hợp U[x] trong đó U lập thành cơ sở (hay tiền cơ sở) của tôpô tại điểm x, với mọi xX .

Từ Định lý 2.2.4 ta suy ra Định lý 2.2.5 sau đây:

2.2.10.Định lý

Nếu U là phần tử của cấu trúc đều thì phần trong của U cũng thuộc . Do đó, họ tất cả các phần tử đối xứng mở của cấu trúc đều là cơ sở của nó.

Chứng minh:

Phần trong của tập con M của tích X X gồm tất cả các cặp ( , )x y sao cho với U và V trong ta có [ ]U x V y[ ]M. Vì U V nên phần trong của

M là {( , ) : [ ]x y V x V y[ ]M, với V thuộc }. Đối với bất kì U , tồn tại một phần tử V đối xứng trong sao cho V V V U, ta có

{ [ ] [ ]: ( , ) }

V V V  V x V y x y V . Tức là mỗi điểm của V đều là điểm trong

của V và vì phần trong của U chứa V nên phần trong này cũng thuộc . Từ Định nghĩa 2.2.1, ta thấy mỗi phần tử của cấu trúc đều là lân cận của đường chéo, nhưng ngược lại chưa chắc đúng. Trên X có thể có nhiều cấu trúc đều khác nhau có cùng một tôpô, họ các lân cận của đường chéo trong trường hợp này là trùng với nhau. Tương tự như vậy, chúng ta nghiên cứu định nghĩa bao đóng, mối liên hệ giữa bao đóng và cơ sở của cấu trúc đều.

2.2.11.Định lý

Bao đóng của một tập con bất kì A của không gian X đối với tôpô đều là { [ ]:U A U }

  . Bao đóng của một tập con M của tích X X là

{U M U U: }

  .

Chứng minh:

Điểm x thuộc bao đóng của tập con A của X khi và chỉ khi U[x] giao A

khác rỗng với mọi U . Nhưng U[x] giao với A khác rỗng khi và chỉ khi 1

[ ]

x U  A , vì mỗi phần tử của họ chứa một phần tử đối xứng nào đó của nên xA khi và chỉ khi x U A [ ] với mỗi U . Điều khẳng định thứ nhất được chứng minh.

Tương tự, nếu U là một phần tử đối xứng của họ thì [ ]U x U y[ ] giao với tập con M của tích Descartes X X khi và chỉ khi ( , )x y U u[ ]U v[ ] với ( , )u v nào đó trong M , tức là khi ( , )x y { [ ]U u U v[ ]: ( , )u v M}.Theo Bổ đề 2.2.1 tập { [ ]U u U v[ ]: ( , )u v M}U M U nên từ đó suy ra điều kiện

( , )x y M tương đương với điều kiện ( , ) {x y  U M U U:  }.

Chúng ta tìm được cơ sở của một cấu trúc đều bằng cách sử dụng định nghĩa bao đóng như sau:

2.2.12. Định lý

Họ các phần tử đối xứng đóng của cấu trúc đều là một cơ sở của nó.

Chứng minh:

Nếu U và V là phần tử thuộc họ sao cho V V V chứa trong U thì

V V V chứa bao đóng của V theo định lý trên. Có nghĩa là U chứa một phần

tử W của cấu trúc đều , khi đó 1

W W là phần tử đối xứng đóng cần tìm. Sử dụng Định lý 2.2.4 và 2.2.6 ta có được Mệnh đề 2.2.1 sau đây:

2.2.13. Mệnh đề

Không gian đều X là Hausdorff nếu và chỉ nếu giao tất cả các phần tử của cấu trúc đều là . Không gian đều Hausdorff là không gian Tychonoff.

Chứng minh:

Nếu giao tất cả các phần tử của cấu trúc đều là đường chéo  thì  là tập đóng. Nếu x y thì ( , )x y , do  đóng nên tồn tại lân cận V của x và lân cận W của y sao cho (V W )     V W  . Khi đó X là Hausdorff. Giả sử X là Hausdorff, với mỗi ( , )x y  tồn tại tập con V  X X sao cho

[ ] ( , )

y V x  x y V . Do đó đường chéo  là giao tất cả các phần tử của cấu

trúc đều. Mỗi không gian đều là không gian chính quy, vì một lân cận bất kì của điểm x đều chứa một lân cận nào đó có dạng V[x], trong đó tập V[x] đóng với

V là một phần tử đóng của họ .

2.2.14. Định nghĩa

Cho f là một ánh xạ đi từ không gian đều ( , )X vào không gian đều ( , )Y . f liên tục đều đối với và nếu với mỗi V , tập {( , ) : ( ( ), ( ))x y f x f y V} thuộc .

Định nghĩa được phát biểu tương đương như sau: Cho f là ánh xạ từ X vào

Y, f' là ánh xạ từ X X vào Y Y được xác định bởi f x y'( , )( ( ), ( ))f x f y . Ánh xạ f liên tục đều nếu với mỗi V đều tồn tại U sao cho

( )

f U V .

Nhận xét

1. Hợp thành của hai ánh xạ liên tục đều là một ánh xạ liên tục đều.

2. Nếu f và f1 liên tục đều thì ta nói f là phép đẳng cấu đều, khi đó hai

Hợp thành của hai phép đẳng cấu đều, ánh xạ ngược của phép đẳng cấu đều và ánh xạ đồng nhất của không gian lên chính nó - tất cả đều là các phép đẳng cấu đều. Do đó họ tất cả các không gian đều được phân thành những lớp tương đương gồm những không gian tương đương đều.

2.2.15. Định lý

Nếu một ánh xạ liên tục đều là liên tục đối với tôpô đều thì mỗi phép đẳng cấu đều là một đồng phôi.

Chứng minh:

Giả sử f là ánh xạ liên tục đều từ không gian ( , )X vào không gian ( , )Y

và U là một lân cận bất kì của điểm f x( ), khi đó tồn tại V  sao cho [ ( )]

V f x U. Ta có f1[ ( ( ))] { : ( ( ), ( ))V f x  y f x f y V} 1

[ ]( )

f V x và do đó là lân cận của điểm x. Suy ra f1[ ]U là lân cận của điểm x và tính liên tục

của ánh xạ f được chứng minh.

Nói chung, với mọi ánh xạ f từ tập X đến không gian đều ( , )Y , họ tất cả các tập hợp dạng f1( )V với V có thể không là cấu trúc đều trên X nhưng

1( )

f V lập thành một cơ sở của một cấu trúc đều nào đó trên X . f1 bảo toàn bao hàm thức các nghịch ảnh (tức là 1 1  1  1

( ) ( )

f  V f  V 

   ) và các giao. Do đó chỉ cần chứng minh rằng với mọi phần tử U của cấu trúc đều đều tìm được một phần tử V sao cho f ' ( )1V f ' ( )1V  f ' ( )1U . Nếu V V U

và ( , )x y , ( , )y z thuộc f1( )V thì ( ( ), ( ))f x f y và ( ( ), ( ))f y f z thuộc f V( ), nghĩa là f x   , f z V V . Suy ra họ tất cả các nghịch ảnh của các phần tử thuộc là cơ sở của một cấu trúc đều nào đó trên X . Khi đó f liên tục đều đối với và , là cấu trúc đều nhỏ nhất trong tất cả các cấu trúc đều trên