Cho là một lưới đóng trên X và là một cấu trúc đều tương thích trên
Y. Cấu trúc đều này cảm sinh tôpô trên ( , )C X Y , tôpô cảm sinh trên ( , )C X Y là giống nhau nếu chỉ một cấu trúc đều tương thích được sử dụng trên Y hoặc nếu các cấu trúc đều được cho trên Y phủ nhau.
Với A và M, đặt:
ˆ ( ) {( , ) ( ) ( )
M A f g C X C X : với xA f x g x,( ( ), ( ))M}
Trong trường hợp A X , kí hiệu Mˆ M Xˆ ( ). Dễ dàng kiểm tra rằng họ ˆ
{M A( ) :A,M} là một cơ sở con của một cấu trúc đều trên ( , )C X Y . Nếu là đóng với hợp hữu hạn thì họ này là một cơ sở của cấu trúc đều trên
( , )
C X Y . Không gian với tôpô cảm sinh bởi cấu trúc đều sinh bởi
ˆ
{M A( ) :A,M} được kí hiệu là C , ( , )X Y hoặc C , ( )X . Tôpô cảm sinh trong phương pháp này được gọi là tôpô đều trên (đối với ) hay là tôpô hội tụ đều trên (đối với ).
Tập hợp mở trong C , ( , )X Y là tập con W của C X Y( , ) sao cho với mọi
f W tồn tại A1,...,An và M1,...,Mn thỏa mãn bao hàm thức 1 1
ˆ ( )[ ] ... ˆ ( )[ ]
n n
M A f M A f W, trong đó A, M và ˆ ( )[ ]M A f được xác định như sau: M A fˆ( )[ ] { gC X Y( , ) : ( , )f g M Aˆ( )}.
Trong trường hợp X thì C , ( , )X Y được kí hiệu là C(X Y, ). Tôpô trên C(X Y, ) được gọi là tôpô đều (đối với ) hoặc tôpô hội tụ đều (đối với ). Trong trường hợp này, {M Mˆ : } là một cơ sở đối với cấu trúc đều cảm sinh bởi tôpô này và tập con W của C(X Y, ) là mở nếu với mỗi f W, tồn tại
Định lý sau dùng để so sánh hai không gian tôpô đều trên hai lưới đóng khác nhau, chứng minh được trình bày đối với điều kiện đủ, điều kiện cần có thể được thiết lập một cách tương tự như Định lý 2.1.3
2.3.1. Định lý
Cho và là các lưới đóng trên X và là cấu trúc đều tương thích trên
Y. Khi đó C , (X,Y)C , (X,Y) nếu và chỉ nếu mỗi phần tử của được chứa trong một hợp hữu hạn các phần tử của .
Chứng minh:
(Điều kiện đủ). Cho A, M và f C X Y( , ), tồn tại B1,...,Bn sao cho AB1 ... Bn. Ta có ˆ ( 1 ... ) ˆ ( 1) ... ˆ ( ) n n M B B M B M B . Suy ra 1 1 1 ˆ ( )[ ] ... ˆ ( )[ ] ( ˆ ( ) ... ˆ ( ))[ ] ˆ ( ... )[ ] n n n M B f M B f M B M B f M B B f ˆ ( )[ ] M A f .
Kết quả tiếp theo suy ra trực tiếp từ định lý trên.
2.3.2. Định lý
Nếu là một lưới đóng trên X và là một cấu trúc đều tương thích trên Y
thì C , ( , )X Y C( , )X Y .
Mối quan hệ giữa tôpô mở và các tôpô đều được trình bày bởi định lý tiếp theo. Khi đó trên các tập compact, tôpô mở compact cũng chính là tôpô đều.
2.3.3. Định lý
Nếu là một lưới compact trên X và là một cấu trúc đều tương thích trên Y thì C( , )X Y C , ( , )X Y .
Thêm vào đó, nếu là một lưới đóng di truyền thì C( , )X Y C , ( , )X Y .
Cho A, V là một tập mở trong Y và f A V, . Với aA, tồn tại
a
M sao cho Ma[ ( )]f a V , chọn Na sao cho Na Na Ma. Khi đó ( )
f A là compact, vì vậy tồn tại một tập con hữu hạn A' của A sao cho ( ) { a[ ( )]: }
f A N f a aA . Đặt N {Na:aA'}. Ta chứng minh ˆ ( )[ ] [ , ]
N A f A V . Cho gN Aˆ ( ) và xA, tồn tại aA sao cho
( ) a[ ( )]
g x N f a , suy ra ( ( ), ( ))f a g x Na. Vì ( ( ), ( ))f a g x N Na nên ta có ( ( ), ( ))f a g x Na Na Ma. Do đó g x( )Ma[ ( )]f a V suy ra gA V, .
Đối với khẳng định thứ hai, cho A, M, f C X Y( , ) và N là một phần tử đối xứng đóng của sao cho N N N M. Vì ( )f A là compact nên tồn tại một tập con hữu hạn A' của của A sao cho f A( ) { [ ( )]:N f a aA}. Với mỗi aA, đặt 1
( [ ( )])
a
A A f N f a , ta có Aa thuộc (vì là một
đóng di truyền), gọi Va là phần trong của (N N)[ ( )]f a . Đặt {[ a, a]: }
W A V aA , suy ra W mở trong C( , )X Y . Vì Va chứa N f a[ ( )], với mỗi aA nên f W. Ta chứng minh W M A fˆ ( )[ ]. Cho g W và
xA, tồn tại aA sao cho ( )f x N f a[ ( )] suy ra ( ( ), ( ))f a f x N. Như vậy ( ) a ( )[ ( )]
g x V N N f a , ta suy ra ( ( ), ( ))f a g x N N. Vì N là đối xứng và ( ( ), ( ))
N f x g x N N NM nên gM A fˆ ( )[ ].
Định lí 2.3.4 sau đây được suy ra từ các Định lý 2.3.2 và 2.3.3.
2.3.4. Định lý
Nếu là một lưới compact trên X và là một cấu trúc đều tương thích trên Y thì C( , )X Y C( , )X Y .
2.3.5. Định lý
Không gian X là compact nếu và chỉ nếu Ck( , )X Y C( , )X Y đối với mọi cấu trúc đều tương thích trên Y.
Chứng minh: Nếu X là compact và { }X , do Định lý 2.3.1 , , ( , ) ( , ) k ( , ) C X Y C X Y C X Y Mặt khác Ck,(X,Y)C(X,Y) (do Định lý 2.3.2) suy ra , ( , ) ( , ) k C X Y C X Y . Nhưng do Định lý 2.3.3 ta có Ck,( , )X Y Ck( , )X Y . Chiều ngược lại suy ra từ Định lý 2.3.1.
Một dạng đặc biệt của tôpô đều là tôpô mêtric supremum. Trong trường hợp này miền giá trị Y phải có một mêtric tương thích d mà ta có thể chọn sao cho nó bị chặn. Mêtric này trên Y cảm sinh một mêtric d trên C X Y( , ) được xác
định bởi d( , )f g sup{ ( ( ), ( )) :d f x g x xX} được gọi là mêtric supremum. Hình cầu bán kính trong Y đối với d được kí hiệu là Bd( , )x hoặc B x( , ) , hình cầu trong C X Y( , ) đối với mêtric d được kí hiệu là Bd( , )f hoặc
( , )
B f .
Cho ( , )X d là một không gian mêtric. Đặt B {( , ) : ( , )x y d x y }, { : 0}
d B , d {W :,B W X X}. Khi đó d được gọi là cấu trúc đều cảm sinh bởi mêtric d và d là một cơ sở của cấu trúc đều d. Mọi mêtric cảm sinh một cách tự nhiên một cấu trúc đều.
Khi đó tôpô cảm sinh bởi tôpô mêtric supremum bằng với tôpô đều ứng với cấu trúc đều cảm sinh bởi mêtric này. Vì thế {Bd( , ) :f f C X Y( , ) và 0} là một cơ sở trên C X Y( , ) đối với tôpô mêtric supremum. Không gian tôpô tương ứng được kí hiệu là Cd( , )X Y hoặc Cd( )X .
2.3.6. Định lý
Nếu d là mêtric bị chặn tương thích trên Y và là cấu trúc đều trên Y cảm sinh bởi d thì Cd( , )X Y C( , )X Y ,với X bất kì.
Chứng minh:
Cho f C X Y( , ), 0 và với 0, ta đặt M {( , )s t Y Y d s t: ( , )}. Khi đó họ {M : 0} là cơ sở của . Để chứng minh Mˆ/2[ ]f B f( , ) ta cho gMˆ/2[ ]f , ta suy ra ( , )f g Mˆ/2 với mỗi xX , tức là
/2 ˆ
( ( ), ( ))f x g x M , hoặc là d f x g x( ( ), ( )) / 2. Mà d( , )f g / 2, suy ra gB f( , ) . Vậy Cd( , )X Y C( , )X Y . Đối với chiều ngược lại, cho
( , )
f C X Y và 0 1. Ta chứng minh B f( , ) Mˆ[ ]f . Cho gB f( , ) , khi đó d( , )f g suy ra d f x g x( ( ), ( )), với mọi xX . Suy ra
( ( ), ( ))f x g x M với mọi xX , suy ra ( , )f g Mˆ và do đó gMˆ [ ] f . Cho là một lưới đóng trên X và d là một mêtric bị chặn tương thích trên
Y, C,d( , )X Y được xác định giống như C , ( , )X Y với là một cấu trúc đều trên Y cảm sinh bởi d. Với lưới đóng di truyền, compact trên X , ta có
,d( , ) ( , )
C X Y C X Y . Điều này có nghĩa là với mỗi như vậy, tập hợp của các dạng sau đây là cơ sở A f, , {gC X Y( , ) : aA, ( ( ), ( ))d f a g a },
, ( , )
A f C X Y , 0. Khi Y mêtric hóa được, sử dụng cơ sở này sẽ thuận
tiện hơn trong việc nghiên cứu các tính chất của C( , )X Y . Các mêtric tương thích khác nhau trên Y có thể sinh ra các tôpô mêtric supremum khác nhau trên
( , )
C X Y , tức là tôpô trên Cd( , )X Y phụ thuộc vào sự lựa chọn mêtric tương thích d trên Y . Điều này được minh họa bởi ví dụ sau.
Ví dụ 2.3.7.
Cho Y và cho d là một mêtric thông thường trên bị chặn bởi 1, tức là ( , ) min(1,| |)
( , ) 1 | | 1 | | s t s t s t
Đây là mêtric tương thích với tôpô thông thường. Để chứng minh ( ) ( )
d
C C ta lấy f C( ) là ánh xạ đồng nhất, và đối với mỗi n, ta xét fnC( ) được xác định bởi fn( )x x nếu xn và fn( )x n nếu xn. Khi đó đối với mỗi n, d( ,f fn) 1 , trong khi đó nếu xn
1 ( ( ), ( )) 1 | | 1 | | (1 )(1 ) 1 1 1 ˆ ( , ) sup{ ( ( ), ( )) : } 1 n n x n x n f x f x x n n x n f f f x g x x X n n Do đó đối với mọi ,n B( ,1 / )f n không chứa trong Bd( ,1)f .
Các ánh xạ được xác định một cách tự nhiên trên ( , )C X Y có vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất tôpô của ( , )C X Y . Với mỗi tY, đặt
t
c là ánh xạ không đổi từ X vào t, xét đơn ánh :i Y C X Y( , ), ( )i t ct với
tY . Khi đó i là song ánh và là một nhúng.
2.3.8. Định lý
Cho X và Y là hai không gian bất kì.
1. Nếu là lưới đóng trên X thì :i Y C( , )X Y là phép nhúng đóng. 2. Nếu là một cấu trúc đều tương thích trên Y thì i Y: C( , )X Y là
phép nhúng đóng.
Chứng minh:
Để chứng minh i là một phép nhúng ở 1, ta chứng minh với A và V mở trong Y thì i1([ , ])A V V. Khi đó t V nếu và chỉ nếu ct[ , ]A V , điều này đúng nếu và chỉ nếu ti1([ , ])A V . Tương tự đối với phần 2, điều kiện đủ là đối với mỗi t Y và mỗi M, sao cho i1(M i tˆ[ ( )])M t( ). Điều này đúng vì
( )
đúng nếu và chỉ nếu si1(M i tˆ[ ( )]). Để chứng minh i Y( ) là đóng, điều kiện đủ là chứng minh nó đóng trong Cp( , )X Y . Cho f C X Y( , ) \ ( )i Y , tồn tại
,
x yX sao cho f x( ) f y( ). Cho V và W là hai tập con mở rời nhau của Y
chứa f x( ) và f y( ), khi đó [ , ]x V [ ,y W] là một lân cận của f chứa trong ( , ) \ ( )
C X Y i Y .
Nhìn chung không có phép đơn ánh tự nhiên từ X vào C X Y( , ), tuy nhiên lại có một phép đơn ánh tự nhiên từ X vào tích của các Y . Cho F là một tập con của C X Y( , ), ta xác định ánh xạ chéo:
: F, ( )( ) ( ),
F X Y F x f f x
với mọi xX f, F
với tôpô tích trên YF, suy ra rằng F là liên tục vì mỗi phần tử của F là liên tục. Tập con F của C X Y( , ) được gọi là tách các điểm từ các tập đóng, tức là cho tập A bất kì là đóng trong X và x là một điểm của X A\ , khi đó tồn tại
f F sao cho f x( ) f A( ). Khi đó, ta chứng minh được rằng ánh xạ đường chéo là một phép nhúng.
2.3.9. Định lý
Cho F là một tập con của ( , )C X Y , nếu F tách các điểm từ các tập đóng thì : F, ( )( ) ( )
F X Y F x f f x
là một nhúng.
Chứng minh:
Cho U là tập mở trong X , x U , tồn tại f F sao cho ( )f x f X U( \ ). Đặt V Y \ f X U( \ ), W [ , ] Yf V F. Ta thấy W F( )X F( )U . Cho
( )
F x W
, khi đó g f 1( )V X \ f 1 f X U( \ )U . Suy ra W F( )X
là lân cận của F( )x F( )U F( )U mở trong F( )X .
Cho gC Y R( , ) và R là không gian con của Y. Ánh xạ cảm sinh của g là
( , ) f C X Y , ta cũng có ánh xạ cảm sinh của f là ánh xạ *: ( , ) ( , ) f C Y R C X R , f*( )g g f , với gC X Y( , ). Ta có * * * (g f) g f , (g f)* f* g*.
Ta tiếp tục nghiên cứu tính chất của không gian các ánh xạ cùng với tôpô trên nó thông qua ánh xạ g* và f* như sau:
2.3.10. Định lý
Cho gC Y R( , ) và R là không gian con của Y
1. Nếu là một lưới đóng trên X thì g*:C( , )X Y C( , )X R là liên tục. 2. Nếu là một cấu trúc đều tương thích trên Y, là cấu trúc đều tương
thích trên R, g liên tục đều thì g*:C( , )X Y C( , )X R liên tục đều.
Chứng minh:
1. Ta chỉ cần chứng minh g*1([ ,A W])[ ,A g1(W)] với mọi A và tập mở W R là đủ. Ta thấy rằng f g*1([ ,A W]) nếu và chỉ nếu g f A( ( ))W, điều này đúng khi và chỉ khi f [ ,A g1(W)].
2.Cho N . Vì g là liên tục đều nên tồn tại M sao cho ( ( ), (g y1 g y2)) thuộc N với mọi y y1, 2M . Giả sử f1, f2C( , )X Y với ( ,f f1 2)Mˆ . Khi đó với mỗi xX,( ( ),f x f1 2( ))x M ta có ( ( ( )), (g f x1 g f2( )))x N. Do đó
* 1 * 2 ˆ
(g ( ),f g (f ))N nên g* là liên tục đều.
2.3.11. Định lý
Cho gC Y R( , ) là một phép nhúng
1.Nếu là một lưới đóng trong X thì g*:C( , )X Y C( , )X R là một phép nhúng.
2. Nếu là một cấu trúc đều tương thích trên Y, là một cấu trúc đều tương thích trên R và g là một nhúng đều (cả g và g1 là liên tục đều)
thì g*:C( , )X Y C( , )X R là một phép nhúng đều.
Chứng minh:
Do chứng minh ở Định lý 2.3.8 nên điều kiên đủ là chứng minh g* là ánh xạ mở trên ảnh của nó. Xét một cơ sở con mở [A,V] của C( , )X Y , do g là một nhúng, tồn tại một tập mở W trong R mà W g Y( )g V( ). Do chứng minh của Định lý 2.3.8.1, g*1([ ,A W]) [ ,A g1(W)] [ , ] A V . Ta suy ra được
*([ , ]) [ , ] *( ( , ))
g A V A W g C X Y và mở trong ảnh của g*.
2.3.12. Định lý
Nếu f C X Y( , ) và là một cấu trúc đều tương thích trên R thì
*: ( , ) ( , )
f C Y R C X R là liên tục. Hơn nữa, nếu f toàn ánh thì f* là một nhúng.
Chứng minh:
Cho gC( , )Y R và M. Ta kiểm tra được f*(M gˆ[ ])M fˆ[ *( )]g , khi đó *
f liên tục. Chứng minh f* là mở lên ảnh của chính nó ta chứng minh tồn tại N thỏa N fˆ[ *( )]g f*(C( ))Y f*(M gˆ[ ]). N như vậy có thể là một phần tử đối xứng của sao cho N N NM. Để kiểm tra điều này, ta cho
( , )
hC Y R sao cho f*( )h N fˆ[ *( )]g và cho yY, tồn tại lân cận V và W
của y trong Y sao cho V g1( [ ( )])N g y và W h1( [ ( )])N h y . Do f là toàn ánh, tồn tại xX sao cho f x( ) V W. Khi đó
* *
(f ( )( ),g x f ( )( ))h x N ( ( ( )), ( ( )))g f x h f x N.
Mặt khác ( ( ), ( ( )))g y g f x N và ( ( ), ( ( )))h y h f x N. Suy ra ( ( ), ( ))g y h y N N NM, vậy hM gˆ [ ].
Chương 3. LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRÊN C X Y( , )