Chặn trên cho số thành phần liên thông của tập semi-đại số

Bài viết này nhằm giới thiệu một số đánh giá về chặn trên cho số thành phần liên thông của tập semi-đại số.

Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2012 64 CHẶN TRÊN CHO SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG CỦA TẬP SEMI-ĐẠI SỐ ThS Đồn Văn Hiệp Phó trưởng khoa Khoa học bản, trường Đại học Xây dựng Miền Trung Tóm tắt: Bài viết nhằm giới thiệu số đánh giá chặn cho số thành phần liên thơng tập semi-đại số Từ khóa: Đại số; tập semi-đại số; chặn Mở đầu Các tập semi-đại số tập xác định tổ hợp Boole phương trình bất phương trình đa thức Lớp tập ổn định với phép chiếu có hữu hạn số thành phần liên thơng Hơn nữa, thành phần liên thông semi-đại số (Chú ý hình chiếu tập đại số, thành phần liên thơng tập đại số khơng tập đại số) Đánh giá chặn cho số thành phần liên thông tập semi-đại số vấn đề có ý nghĩa, làm rõ cấu trúc hình học tập semi-đại số, liên quan đến tốn định lượng hình học semi-đại số, chẳng hạn xác định chặn cho độ đo Hausdorff tập semi-đại số Bài viết nhằm mục đích giới thiệu số đánh giá chặn cho số thành phần liên thông tập semi-đại số Phần đầu trình bày số định nghĩa, kết số đánh giá chặn cho số thành phần liên thông tập semi-đại số trình bày phần Các định nghĩa Ký hiệu P  [X , ,X n ] có nghĩa P đa thức n biến, deg P bậc P 2.1 Tập semi-đại số Lớp tập semi-đại số  n lớp bé tập  n thỏa: a Chứa tập dạng x   n  : P ( x)  , với P  [X , ,X n ] ; b Đóng với phép hợp hữu hạn, giao hữu hạn lấy phần bù 2.2 Diagram tập semi-đại số Cho S   n tập semi-đại số có p ji i 1 j 1 dạng S   Si , với Si   Sij , Sij   có dạng: x   n : Pij ( x)  , với  ,  , Pij đa thức bậc d ij Khi đó,  liệu D  D ( S )  n, p, j1, , j p ,(d ij )i 1, , p ; j 1, j i  gọi diagram S Nhận xét: Một tập semi-đại số S có nhiều diagram khác tùy theo cách biểu diễn S p Ký hiệu: B0 ( D) :  di (d i  1)n1 , i 1 ji với d i   d ij j 1 Bˆ ( D ) : inf  B0 ( D) : D is a diagram of S  Độ đo Hausdorff Hausdorff đưa năm 1918, độ đo  chiều  n , tổng quát độ đo Lebesgue Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2012 65 2.3 Số Betti tập semi-đại số thành phần liên thông tập nghiệm Nếu S   tập semi-đại số đóng bị chặn, theo [2] Th 5.41, tồn phức đơn hình K đồng phôi semi-đại số h :| K | S Khi đó, số Betti thứ p S ( S )  n bị chặn d (2d  1)n  m 1 n ký hiệu định nghĩa là: bp ( S ) : dim H p ( S )  dim H p ( K ) Nếu S   n tập semi-đại số đóng, khơng bị chặn, theo [2] Pro 5.50, tồn r  phép co rút biến dạng semi-đại số từ S vào Sr  S  B (0, r ) Khi đó, bp ( S ) : bp ( S r ) Chú thích: Định nghĩa H p ( S ) xem [2] mục 6.1 Ký hiệu b(n, d ) số nguyên nhỏ Chứng minh Giả sử P  bất phương trình đa thức chặt ( S ) Chọn   đủ nhỏ cho tồn điểm x thành phần liên thông tập nghiệm ( S ) , với P( x )   Thay P  P    ( S ) (Điều làm tăng số thành phần liên thông tập nghiệm ( S ) ) Do đó, ta giả sử ( S ) gồm k bất phương trình khơng chặt Q1  ,…, Qk  m  k phương trình Tiếp theo, cách đưa vào thêm biến Ti cho bất phương trình, ta nhất, chặn cho tổng số Betti tập semi-đại số tùy ý định nghĩa đa thay bất phương trình khơng chặt thức có bậc  d  n (Sự thay làm tăng số thành phần liên thông tập nghiệm ( S ) ) Số thành phần liên thông tập semiđại số Định lý Số thành phần liên thơng tập semi-đại số đóng S b0 ( S ) Chứng minh Xem [2] Pro 6.26 Định lý (Oleinik, Petrovski, Thom, Milnor) b(n, d )  d (2d  1) n1 Chứng minh Xem [2] Th 7.23 Định lý Cho A   n tập đại số xác định phương trình đa thức có bậc  d Khi đó, số thành phần liên thơng A bị chặn d (2d  1)n 1 Chứng minh Vì b0 ( A)  b( n, d ) nên từ hai định lý ta suy điều cần chứng minh Định lý Cho ( S ) hệ m phương trình bất phương trình đa thức n biến, có bậc lớn d  Khi đó, số Qi  phương trình Qi  Ti  Cuối cùng, ta nhận hệ gồm m phương trình, n  k biến có bậc  d Theo Định lý 3, số thành phần liên thông tập nghiệm ( S )  d (2d  1) n k 1  d (2 d  1) n m 1 Nhận xét Đánh giá chặn cho số thành phần liên thông tập semi-đại số chưa chặt (bởi số phương trình bất phương trình tham gia nhiều chặn lớn) Một đánh giá khác dựa vào diagram tập semi-đại số sau cho kết chặt số trường hợp Định lý Số thành phần liên thông tập semi-đại số S   n bị chặn Bˆ ( D ) Chứng minh Giả sử: q S    Pj  ()0 , deg Pj  d j j 1 Ta cần chứng minh : Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2012 q b0 ( S )  d ( d  1)n1 , với d   d j j 1 q Đặt P  P1  Pq , deg P   deg Pj  d j 1 Tương tự phần chứng minh Định lý 4, ta giả sử S định nghĩa bất phương trình  , S đóng Ta giả sử thành phần liên thơng S có phần khác trống Thật vậy, S đóng nên khoảng cách ngắn thành phần liên thông Si S (xét bên cầu B chứa tất thành phần liên thông bị chặn S )    Giả sử U - lân cận mở S , đặt  : max Pj ( x) Ta có   xB \U 1 j q q   Đặt S '    Pj     j 1    Vì    nên S  S '  U Với  chọn ta 66 q Vì thành phần   Pj  0 j 1 khơng có phần khác trống, nên thành phần liên thông S chứa thành phần liên thơng q   Pj  0 Do vậy, thành phần liên j 1 thông S chứa thành phần liên thông  P  0 b0 ( S )  b0  P  0  Thành phần P  0 mở, ảnh qua P thành phần (0, C ) (0, C ], C      Theo Định lý Sard (xem [2] Th 5.57), giả sử   giá trị quy đủ nhỏ P có b0 ( S )  b0 (U )  b0 ( S ') Như vậy, thành phần liên thông S ' chứa thành phần liên thơng có phần khác trống S Thật vậy, ngược lại, tìm dãy ( xn ) S ' mà có giới hạn x  S cho Pj ( xn )   với vài j  1, , q , mâu q   thuẫn S '    Pj     j 1   Mà diagram S S ' Do ta cần chứng minh cho trường hợp S có thành phần liên thơng với phần khác trống Ta giả sử tất thành phần liên thông S bị chặn thành phần liên thơng có phần khác trống cho thành phần bị chặn P  0 có thành phần Zi siêu mặt quy Z  P   Xét dạng tuyến tính l  n Ta giả sử tất điểm tới hạn l Z không suy biến Zi có hai điểm tới hạn l minimum maximum Nhưng điểm tới hạn l Z định nghĩa hệ phương trình (giả sử l phép chiếu tắc lên trục x1 ): P    bậc d , P  bậc d  1,…, x2 P  bậc d  xn Theo Định lý Bézout (xem [3] Le 11.5.1), số điểm tới hạn l Z nhiều d ( d  1) n1 Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2012 theo [2] b0 ( S )  b0 ( Z )  d ( d  1)n1 Vậy Le 7.27, Ví dụ Cho S   tập semi-đại số định nghĩa P1  0, , Pm  , với n 67 Kết theo Định lý là: theo Định lý là: n  m 1 b0 ( S )  2.3 Kết b0 ( S )  m(2 m  1)n 1 deg( Pi )  2, i Khi TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S Basu and M Kettner, A Shapper estimate on the Betti numbers of sets defined by quandratic of inequanlities, Discrete and comput Geom.39, 2008, p.734- 746 [2] S Basu, R Pollack, M-F Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Spinger - Verlag, 2003 [3] J Bochnak, M Coste, M-F Roy, Real algebraic geometry, Spinger - Verlag, 1998 [4] M Coste, An introduction to semialgebraic geometry, Università Di Pisa Dipartimento Di Matematica - Italy, 2000 [5] H Federer, Geometric measure theory, Spinger - Verlag, 1969 [6] Y Yomdim and G Comte, Tame geometry with application in smooth analysis, LNM 1834, Spinger - Verlag, 2004  ... minh cho trường hợp S có thành phần liên thơng với phần khác trống Ta giả sử tất thành phần liên thông S bị chặn thành phần liên thơng có phần khác trống cho thành phần bị chặn P  0 có thành phần. .. 66 q Vì thành phần   Pj  0 j 1 khơng có phần khác trống, nên thành phần liên thông S chứa thành phần liên thơng q   Pj  0 Do vậy, thành phần liên j 1 thông S chứa thành phần liên thơng... Định lý 3, số thành phần liên thông tập nghiệm ( S )  d (2d  1) n k 1  d (2 d  1) n m 1 Nhận xét Đánh giá chặn cho số thành phần liên thông tập semi-đại số chưa chặt (bởi số phương trình