Nghiên cứu khí electron trong kim loại

định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do Khi nghiên cứu các tính chất của các hệ thực, thay cho việc áp dụng trực tiếp phân bố chính tắc, người ta thường vận dụng định lý

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được Khoá luận tốt nghiệp này, ngoài sự nỗ lực nghiên

cứu của bản thân, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo

- Thạc sỹ Nguyễn Thị Phương Lan và của toàn thể các cán bộ, giảng viên

a phần mở đầu

i Lý do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển của xã hội loài người , Vật lý học đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu đáng kể : Thế kỷ XVIII cơ học cổ điển của Niutơn đã trở thành môn khoa học cơ bản , thế kỷ XIX lý thuyết điện từ trường của Macxoen và Faraday ra đời có nhiều ứng dụng trong

đời sống và khoa học , thế kỷ XX là thế kỷ của Vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất Khi đó người ta nhận thấy không còn có sự thống nhất giữa các quy luật xảy ra trong thế giới vi mô với các quy luật đã tìm thấy trong thống kê cổ điển

Vật lý thống kê kết hợp với nhiệt động lực học là một bộ phận của Vật

lý hiện đại , nó nghiên cứu các hệ gồm vô số các hoạt động bằng phương pháp thống kê , trong đó có cả kim loại Nói đến kim loại ta thấy nó có rất nhiều

đóng góp như : Đóng góp về nhiệt dung, đóng góp về dao động mạng và đặc biệt là có sự đóng góp về khí Electron Electron tuân theo các phân bố thống

kê khác nhau: Theo lý thuyết cổ điển, Electron tuân theo phân bố Gipxơ; theo

lý thuyết lượng tử , Electron lại tuân theo phân bố Fecmi – Đirăc

Khi nghiên cứu về khí Electron trong kim loại ta thu được một số tính

chất của kim loại như: Tính dẫn nhiệt, tính dẫn điện của kim loại, giải thích

được một loạt các hiện tượng quan sát được trong kim loại và đóng góp về nhiệt dung của khí Electron

Khí Electron trong kim loại là đề tài được rất nhiều người quan tâm, do

đó tôi chọn đề tài này nhằm tìm hiểu sâu hơn nữa về khí Electron và đóng góp

của nó về nhiệt dung theo lý thuyết cổ điển và lý thuyết lượng tử Mặt khác, tôi muốn tổng hợp kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhằm tích luỹ kiến thức cho bản thân và mong muốn đây là tài liệu bổ ích thêm cho các bạn sinh viên khác

ii Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu những đóng góp về nhiệt dung của khí Electron trong kim

loại theo lý thuyết cổ điển và lý thuyết lượng tử

iii đối tượng nghiên cứu

1 Các phân bố thống kê

2 Khí Electron trong kim loại và đóng góp về nhiệt dung của nó

IV Nội dung nghiên cứu

b phần nội dung

phần 1 Khí Electron cổ điển

Chương I Hàm phân bố gipxơ

I Xây dựng phân bố chính tắc Gipxơ

Xét đối với hệ đẳng nhiệt (là hệ tương tác với hệ điều nhiệt và có một nhiệt độ cho trước hoàn toàn xác định)

Ta xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng các hệ điều nhiệt Giả

sử hệ đẳng nhiệt mà ta muốn khảo sát C 1 và hệ điều nhiệt C 2 có các số hạt

tương ứng là N 1 , N 2 ; và được diễn tả bằng các biến số chính tắc X 1 , X 2; đồng

thời N 2 rất lớn so với N 1

Coi hai hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt Vì vậy đối với hệ chung đó,

Để tìm w X 1 trong trường hợp tổng quát, ta dựa vào 3 giả thiết sau:

* Một là: Coi H X 1,H X 2 lớn hơn U12X X1 , 2 rất nhiều, nghĩa là:

Coi r»ng N1N2 th×

2

3 2

Biểu thức (1) là biểu thức của hàm phân bố chính tắc

Đối với hệ N hạt đồng nhất khi hoán vị các hạt cho nhau thì các điểm biểu diễn pha của hệ sẽ thay đổi nhưng không dẫn đến một trạngthái vi mô mới nào Hệ có N hạt sẽ có N! phép hoán vị các hạt Vì vậy xác suất trạng thái của hệ giảm đi N! lần Khi đó:

- Khi cho tiếp xúc nhiệt các hệ có môđun  giống nhau và trước

đó đã ở trạng thái cân bằng nhiệt thì sau khi tiép xúc trạng thái cân bằng này vẫn được duy trì

- Khi cho tiếp xúc nhiệt các hệ có mođun  khác nhau và ở trạng thái cân bằng thì bắt đầu có sự chuyển năng lượng từ hệ nọ sang hệ kia và hệ mới tạo thành không còn ở trạng thái cân bằng

- Môđun  luôn luôn dương

Do đó ta có thể coi  là đại lượng tương tự của nhiệt độ tuyệt đối và vì vậy  được gọi là nhiệt độ thống kê

-X gọi là tập hợp các biến số chính tắc (biến số pha)

iii định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do

Khi nghiên cứu các tính chất của các hệ thực, thay cho việc áp dụng trực tiếp phân bố chính tắc, người ta thường vận dụng định lý về sự phân bố

đều động năng theo các bậc tự do mà ta xét sau đây:

áp dụng phân bố chính tắc Gipxơ ta có thể tính động năng trung bình ứng với một bậc tự do của hệ Kết quả là: năng lượng đó là như nhau đối với tất cả các bậc tự do và bằng

Do tính chất quan trọng của định lý này, chúng ta nêu ra một cách

chứng minh nó tổng quát Hàm Hamitol của bất kỳ một hệ nào có f bậc tự do

có thể biểu thị qua hàm Lagrăngiơ dưới dạng sau đây:

k d k

theo điều kiện chuẩn hoá hàm phân bố chính tắc

Như vậy, động năng trung bình ứng với bậc tự do là bằng:

Như vậy, định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do là

đúng với bất kỳ hệ nào tuân theo thống kê cổ điển

Ta cần phải nói thêm rằng đối với một bậc tự do của dao động, năng lượng toàn phần không phải là bằng

2 0

0

.cos ( ) 2

d

m w q P

0

.sin ( ) 2

2

Do đó :

2 2 0

4

2 2 0

.

2 2

m w q

Vì vậy năng lượng trung bình tương ứng với một bậc tự do của dao

động điều hoà là bằng kT Đối với dao động phi điều hoà năng lượng toàn

Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự như ở trên dựa vào sự kiện là

đến vô cực tại các thành của bình chứa đựng hệ) ta có được:

Chương ii Lý thuyết cổ điển về khí electron

và coi phân tử như chất điểm

+ Các phân tử chuyển động hỗn độn không ngừng, chúng luôn luôn va chạm với nhau và với thành bình đựng khí

+ Lực tương tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện trong khi va chạm Vì vậy giữa hai va chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyển động tự do nghĩa là chuyển

động thẳng đều Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy

ra theo quy luật va chạm đàn hồi

- Ta xét khí lý tưởng ở trạng thái cân bằng nhiệt nghĩa là coi nhiệt độ và

áp suất ở mọi chỗ trong chất khí đều bằng nhau và không đổi Do đó trong chất khí không xuất hiện những dòng khí gây ra bởi đối lưu hoặc chênh lệch

áp suất

- Khi khảo sát sự cân bằng nhiệt, người ta đưa vào giả thuyết về sự hỗn

độn sơ cấp (giả thiết này do Bônzơman đưa ra đầu tiên), theo giả thiết này ở trạng thái cân bằng nhiệt sự chuyển động của các phân tử khí không có hướng

nào ưu tiên và đã đạt đến mức hỗn độn lý tưởng Thực vậy các va chạm tương

hỗ thường xuyên giữa các phân tử khí có vận tốc khác nhau về phương và độ lớn cũng như các va chạm giữa các phân tử khí với các phân tử của thành bình

mà ở đó các điều kiện gặp nhau cũng là ngẫu nhiên – tất cả các va chạm đó

đưa đến kết quả là hướng chuyển động và vận tốc của phân tử là ngẫu nhiên

Sự hỗn độn sơ cấp không phải chỉ tồn tại trong chất khí mà tồn tại trong mọi

hệ vật lý thống kê khác Vì vậy sự hỗn độn sơ cấp không những là tư tưởng chủ đạo của sự phát triển thuyết động học chất khí từ trước đến nay mà còn là một luận đề cơ bản của vật lý thống kê

2 Phân bố vận tốc của các phân tử trong chất khí ở trạng thái cân bằng nhiệt

ở trạng thái cân bằng nhiệt, do sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình nên có tồn tại một sự phân bố vận tốc phân tử không phụ thuộc vào thời gian Sau đây ta sẽ lần lượt xét sự phân bố về hướng và sự phân bố về

độ lớn của vận tốc phân tử

2.1 Phân bố về hướng của vận tốc phân tử

Theo giả thiết về sự hỗn độn sơ cấp, thì trong trạng thái cân bằng nhiệt của chất khí tất cả các hướng vận tốc của các phân tử khí là có xác suất như nhau, nghĩa là không có hướng nào ưu tiên hơn trong chuyển động của các phân tử, bởi vì nếu có sự ưu tiên về hướng thì đã xảy ra chuyển động dòng (vĩ mô) do chênh lệch về áp suất hoặc nhiệt độ Như vậy, trong trạng thái cân bằng nhiệt của chất khí, hướng vận tốc của các phân tử tuân theo một định luật phân bố đơn giản: Tất cả các hướng chuyển động đều có thể gặp thấy một cách phổ biến như nhau ở các phân tử Tính đồng xác suất của tất cả các hướng chuyển động của các phân tử cho phép ta có thể thay chuyển động thực của các phân tử bằng chuyển động trung bình

có liên hệ với nhau Độ lớn tuyệt đối (môđun) của vận tốc phân tử cũng như hình chiếu của vận tốc lên một trục tuỳ ý có thể có các trị số liên tục từ không cho đến vô cực Điều đó có nghĩa là ta sẽ thu được một hàm phân bố vận tốc

liên tục f Bởi vì ta khảo sát trạng thái cân bằng của chất khí, cho nên hàm

phân bố sẽ không phụ thuộc vào thời gian

a Để thu được hàm phân bố đó, ta chuyển sang không gian của đại lượng ngẫu nhiên tức là không gian vận tốc của một phân tử

Trên ba trục độc lập x, y, z đặt các hình chiếu v x , v y , v z của vận tốc phân

tử Trong không gian đó mỗi vectơ vận tốc ngẫu nhiên nào đó của phân tử sẽ tương ứng với một điểm trùng với đầu mút Vectơ đó, các hình chiếu khả hữu

của vận tốc phân tử sẽ được biểu diễn trên các trục x, y, z từ  đến 

(Hình vẽ)

Xác suất để phân tử có hình chiếu vận tốc trên trục Ox trong khoảng từ

v x đến v x +dv x sẽ là hàm của v x , ngoài ra nó tỷ lệ với độ lớn của khoảng dv x

Thực vậy, số phân tử chất khí có những thành phần vận tốc v x khác nhau là

khác nhau Mặt khác, xác suất đó lại tỷ lệ với chiều rộng của khoảng dv x , vì

nếu khoảng dv x càng lớn thì khả năng để phân tử có thành phần vận tốc v x nằm trong khoảng đó càng lớn, nghĩa là xác suất càng lớn

Vậy xác suất để phân tử có hình chiếu vận tốc trên trục Ox trong khoảng từ v x đến v x +dv x là bằng:

kiện chuẩn hoá như nhau Macxoen coi rằng: Các hình chiếu của vận tốc của phân tử là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập Do đó xác suất để phân tử khí có

đồng thời ba hình chiếu vận tốc v x , v y , v z được xác định bởi tích của ba xác suất, nghĩa là:

( ,x y, z) x . y . z . x. y. z 8

Đẳng thức (8) xác định xác suất sao cho đầu mút của Vectơ vận tốc của

phân tử nằm trong thể tích hình hộp nguyên tố dv x dv y dv z của không gian vận tốc (xem hình 1) Do đó ta có thể viết (8) dưới dạng khác:

của hình hộp nguyên tố đối với gốc toạ độ Nói một cách khác hàm phân bố

đó phải là hàm của môđun vận tốc, nghĩa là:

x

y

z

v x

v y

v z

Tích phân đó chỉ hội tụ khi số mũ là âm Vì vậy nếu coi thông số chưa xác định  là dương (  0), ta viết hàm phân bố dưới dạng:

Thay cho hình chiếu lên trục Ox, ta có thể xét hình chiếu vận tốc của

phân tử lên một phương l bất kỳ Khi đó sự phân bố của hình chiếu v l của vận

Đây chính là phân bố vận tốc Macxoen Hàm này xác định xác suất sao

cho phân tử có hình chiếu vận tốc v l lên phương l nào đó trong khoảng từ v l

đến v l +dv l

b Tuy nhiên, để phân tích chuyển động của phân tử trong chất khí, ta

có thể xét xác suất để phân tử có một môđun vận tốc nào đó không phụ thuộc vào phương chuyển động Để tìm phân bố theo môđun của vận tốc, ta chuyển sang toạ độ cầu trong không gian vận tốc và viết lại đẳng thức (9) như sau:

Bởi vì chuyển động của các phân tử là đẳng hướng, nên bằng cách lấy

tích phân theo góc ta có thể tìm được hàm phân bố theo môđun vận tốc v:

Đó chính là xác suất để phân tử khí có môđun vận tốc v trong khoảng từ

v đến v+dv không phụ thuộc vào phương chuyển động Hàm phân bố vận tốc

của phân tử theo môđun v sẽ có dạng:

v v

Phân bố này cũng được gọi là phân bố Macxoen

c Trong thực tế người ta chú ý tới không phải là sự phân bố một phân tử

theo vận tốc, mà chú ý tới số phân tử có vận tốc v đã cho trong khoảng dv hoặc là có hình chiếu vận tốc v l trong khoảng dv l Do đó nếu trong hệ có N

phân tử thì số hạt có hình chiếu vận tốc v l trong khoảng từ v l đến v l +dv l hay là

Một cách tương ứng hàm phân bố số hạt sẽ được chuẩn hoá không phải

bằng đơn vị mà bằng số hạt toàn phần N Giữa f(v) và n(v) có mối quan hệ sau

3 mối liên hệ giữa thông số  của phân bố vận tốc

Macxoen với nhiệt độ tuyệt đối

ở trên ta đã tìm được phân bố vận tốc Macxoen với thông số chưa xác

định , và phân bố này là đúng với các chất khí khác nhau trong các điều kiện khác nhau Tuy nhiên, khi nhiệt độ của chất khí thay đổi thì vận tốc chuyển động hỗn độn của các phân tử cũng thay đổi Khi nhiệt độ tăng lên, vận tốc của các phân tử cũng tăng lên, do đó, trong sự phân bố theo vận tốc, số phân tử có vận tốc lớn phải tăng lên Một sự biến đổi như vậy trong sự phân bố vận tốc của các phân tử chỉ có thể xảy ra khi thông số  phụ thuộc vào nhiệt

độ

Như vậy, từ những lập luận tổng quát nhất của thuyết động học chất khí, ta thấy rằng thông số  phải phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối.Nhiệt độ tuyệt đối - đó là một thông số nhiệt động Để cho thông số đó có ý nghĩa thống kê ta cần phải so sánh các thông số thống kê với các thông số nhiệt

động của hệ Muốn vậy ta hãy biểu thị áp suất do khí lý tưởng tác dụng lên một thành đứng yên theo thông số  của phân bố Macxoen và so sánh nó với

áp suất chất khí tính từ phương trình trạng thái

Các va chạm thường xuyên nối tiếp nhau của các phân tử khí vào thành

sẽ tạo nên, một cách trung bình, một áp lực không đổi Để xác định được lực

đó ta cần phải: Một là tính lực do một phân tử tác động lên thành do va chạm; Hai là lấy trung bình của lực do tất cả các phân tử va chạm vào thành trong một đơn vị thời gian

Giả sử thành bình đặt vuông góc với trục Oz Khi một phân tử va chạm

đàn hồi vào thành bình thì động lượng của phân tử sẽ biến đổi từ mv z  -mv z,

còn các thành phần mv y và mv x thì vẫn giữ như cũ không thay đổi

(Hình vẽ)

Vì vậy khi va chạm vào thành bình, độ biến thiên động lượng của phân

tử là bằng 2mv z, độ biến thiên này gây nên bởi xung của lực do thành bình tác

động lên phân tử, do đó xung của lực tác dụng lên thành bình bằng 2mv z

Tổng các xung của các lực do các phân tử tác dụng lên thành bình trong một đơn vị thời gian chính là áp lực tác dụng lên thành và lực ứng với một đơn

vị diện tích chính là áp suất P lên thành áp suất P đó có thể xem như tổng các áp suất dp(v z ) do các phân tử có hình chiếu vận tốc v z khác nhau tác dụng

lên thành

Để tính áp suất dp(v z ) ta hãy tìm số phân tử dn(v z ) có hình chiếu vận tốc

từ v z đến v z +dv z tới va chạm với một đơn vị diện tích của thành bình trong một

đơn vị thời gian

Giả sử trong 1cm3 chất khí có chứa n 0 phân tử Khi đó số phân tử trong

1cm3 có hình chiếu vận tốc v z trong khoảng từ v z đến v z +dv z được xác định bằng công thức:

Trong một đơn vị thời gian, số phân tử có vận tốc v z va chạm lên một

đơn vị diện tích của thành bình chính là số phân tử nằm trong thể tích hình trụ

có đáy bằng 1cm2 và có độ cao bằng v z, nghĩa là:

(hình vẽ)

 2

 

2

2

2 0 0

V: Lµ thÓ tÝch cña hÖ k: Lµ h»ng sè b«nz¬man R: Lµ h»ng sè phè biÕn cña chÊt khÝ Cuèi cïng ta thu ®­îc: 0 0

0

2

kTn V

víi c¸c h×nh chiÕu

x P mkT

1

(2 )

P mkT

1

(2 )

P mkT

Từ đồ thị của phân bố Macxoen:

(Hình vẽ)

Ta thấy: Số phân tử dn(v) ứng với cùng một khoảng vận tốc dv sẽ thay

đổi tuỳ thuộc vào độ lớn của chính vận tốc v Thí dụ, trên cùng một khoảng

vận tốc, số phân tử có vận tốc lớn gần bằng không cũng như số phân tử có vận tốc rất lớn đều là nhỏ Nhưng cũng trên khoảng đó sẽ có rất nhiều phân tử có

những vận tốc trung gian nào đó Số phân tử dn(v) lớn nhất là số phân tử có vận tốc tương ứng với cực đại của đường cong f(v) Ta có thể hình dung như

sau: tưởng tượng có một bình chứa các phân tử khí, chúng ta lấy ngẫu nhiên các phân tử từ bình ra và xác định môđun vận tốc của chúng, khi đó ta sẽ thấy rằng ta sẽ lấy được nhiều nhất những phân tử có vận tốc gần với cực đại của

đường cong phân bố Vì vậy mà vận tốc tương ứng cực đại của đường cong

phân bố được gọi là vận tốc cái nhiên nhất (hay vận tốc có xác suất lớn nhất)

Ngoài vận tốc cái nhiên nhất, người ta còn thường xét tới vận tốc trung

bình và vận tốc toàn phương trung bình (vận tốc quân phương) của các phân

Thực vậy, vì tất cả các phân tử đều chuyển động và có một trị số tuyệt

đối nào đó của vận tốc (tức là một đại lượng luôn luôn dương) cho nên sẽ có một môđun trung bình nào đó v của chuyển động hỗn độn đó Còn các hình chiếu vận tốc thì lại có dấu nhất định Do chuyển động hỗn độn nên số phân tử chuyển động theo hai chiều ngược nhau sẽ như nhau Vì vậy mà hình chiếu trung bình của vận tốc chuyển động hỗn độn lên một phương tuỳ ý v l là bằng không (có thể nói rằng trị trung bình của luỹ thừa lẻ của hình chiếu vận tốc là bằng không)

Đôi khi người ta cũng chú ý tới “vận tốc chuyển động trung bình của các phân tử theo một chiều Ol

đã cho Các hình chiếu vận tốc của các hạt chuyển động theo chiều đã cho sẽ luôn luôn dương, vì vậy:

 

2

2 0

2

2

l mv kT

x y z

v kT

m



5 Phân bố quãng đường tự do của các phân tử khí

Trong khi chuyển động trong chất khí, một phân tử bất kỳ luôn luôn va chạm với các phân tử khác Quãng đường tự do  của phân tử là quãng đường

mà phân tử đi được giữa hai va chạm liên tiếp với các phân tử khác ở trạng thái cân bằng nhiệt, trong chất khí có tồn tại một sự phân bố nào đó của các quãng đường tự do Ta sẽ tìm sự phân bố đó

Trước hết, ta tìm xác suất để phân tử đi được quãng đường x mà chưa bị

va chạm Quãng đường x này khác với những quãng đường tự do , bởi vì phân tử có thể đi hết quãng đường x rồi mới bị va chạm, nhưng cũng có thể còn tiếp xúc đi nữa mà chưa bị va chạm Trong khi đó, theo định nghĩa, sau khi đi hết quãng đường tự do phân tử sẽ va chạm với phân tử khác Hơn nữa quãng đường tự do được tính từ chỗ va chạm lần trước đến chỗ va chạm tiếp sau, còn quãng đường x nói trên có gốc tuỳ ý không nhất thiết phải tính từ chỗ

va chạm lần trước

Ký hiệu: P(x) là xác suất để phân tử đi hết quãng đường x mà chưa bị va

chạm

P(x + dx) là xác suất để phân tử đi hết quãng đường x + dx mà chưa bị

va chạm Việc phân tử đi hết quãng đường x + dx mà chưa bị va chạm được

coi như là một biến cố phức tạp gồm hai biến cố độc lập: Phân tử đi hết quãng

đường x mà chưa bị va chạm và phân tử đi hết quãng đường dx cũng chưa bị

va chạm Gọi Pdx là xác suất để phân tử đi quãng đường dx chưa bị va chạm,

ta có:

P(x + dx) = P(x).P(dx) (36)

Ta có thể viết P(dx) dưới dạng khác Ta ký hiệu Q(dx) là xác suất để phân tử đi quãng đường dx hết sức nhỏ và bị va chạm, ta coi Q(dx) tỷ lệ thuận với dx, nghĩa là:

Xét về ý nghĩa thì trong trường hợp này quãng đường x chính là quãng

đường tự do, nghĩa là x , do đó:

a a

so với  là rất ít so với tổng số phân tử khí

Như vậy, phân bố của quãng đường tự do về căn bản khác với phân bố vận tốc Macxoen Định luật phân bố của quãng đường tự do đã được thực nghiệm xác nhận

II lý thuyết cổ điển về khí Electron

Năm 1905, Đrutđơ đã nêu lên lý thuyết electron cổ điển, theo lý thuyết

đó, các electron dẫn trong kim loại được xem như là chất khí electron lý

tưởng Các electron tự do tham gia vào trong chuyển động nhiệt hỗn độn, va

chạm với các ion của mạng tinh thể và trao đổi năng lượng với chúng

Vì vậy động năng trung bình của chuyển động nhiệt của các electron có thể coi là bằng động năng trung bình của các ion trong mạng, nghĩa là:

 

3

48 2

p

Trong đó, n là số electron tự do trong 1cm3 (trong các kim loại đơn trị,

n bằng số nguyên tử trong 1cm3) Đối với Đồng, áp suất của khí electron sẽ xấp xỉ bằng 3000atmotphe

Hàng rào thế được tạo nên trên mặt giới hạn của lớp điện kép có chiều dày vào khoảng 10-8cm đã giữ các electron tự do trong kim loại Như vậy, các electron trong kim loại có thể xem như là các electron nằm trong hố thế

Tính dẫn nhiệt của kim loại là do tính dẫn nhiệt của khí electron gây

  

Trong đó: n là số electron tự do trong 1cm3

 là chiều dài quãng đường tự do trung bình của electron

v là môđun trung bình của vận tốc của chuyển động nhiệt của electron

k là hằng số bônzơman

Mô hình cổ điển của khí electron cũng cho phép ta tính được điện dẫn suất của kim loại Khi đó người ta coi rằng, trong điện trường trong khoảng thời gian giữa các va chạm với các ion của mạng, electron chuyển động với gia tốc:

Trị trung bình trong khoảng thời gian giữa các va chạm của vận tốc của chuyển động có hướng của các electron sẽ là:

Nhờ có vận tốc trung bình của chuyển động có hướng của các electron

u cho nên trong kim loại có xuất hiện một dòng điện với mật độ:

đã đến các mâu thuẫn căn bản Thí dụ nếu đưa vào điện trở suất:  1

(57) 2

v

Người ta cũng thấy rằng, electron trong kim loại không tuân theo phân

bố vận tốc Macxoen Để giải thích một loạt các hiện tượng quan sát được trong kim loại, ta phải dùng thuyết lượng tử về kim loại