Chuẩn hoá một số hàm sóng

Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Nghiên cứu khoa học là một đề tài hấp dẫn với nhiều người, đặc biệt là với sinh viên năm cuối.. Lí do chọn đề tài Cơ học lư

Trang 1

Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khóa luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn

Nghiên cứu khoa học là một đề tài hấp dẫn với nhiều người, đặc biệt

là với sinh viên năm cuối Vì thông qua quá trình nghiên cứu, chúng em có thể mở rộng và nâng cao tầm hiểu biết của mình

Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài này, em đã nhận

được sự chỉ bảo, giúp đỡ hết sức tận tình của thầy giáo- Tiến sĩ Trần Thái Hoa Bên cạnh đó em cũng đã nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết Qua đây em đã bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Chắc chắn điều đó sẽ rất bổ ích cho em trên con

đường công tác sau này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Người thực hiện

Sinh viên: Hoàng Thị Thật

Trang 2

Lời cam kết

Để đảm bảo tính trung thực của đề tài, tôi xin cam kết như sau:

1 Đề tài của tôi không hề sao chép từ bất cứ một đề tài có sẵn nào

2 Đề tài của tôi không trùng với một đề tài nào khác

3 Kết quả thu được trong đề tài là nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo và sự lỗ lực của bản thân

Tác giả

Hoàng Thị Thật

Trang 3

A Mở ĐầU

1 Lí do chọn đề tài

Cơ học lượng tử là môn khoa học dựa trên tính chất sóng hạt của vật chất để nghiên cứu và giải thích các tính chất và hiện tượng xảy ra trong không gian vi mô Đối tượng chủ yếu của Cơ học lương tử là các nguyên tử, phân tử và các hạt cơ bản

Trong Cơ học lượng tử, hàm sóng của các hạt tự do được biểu diễn bởi hàm sóng:

i

Trong biểu thức này, hằng số không phản ánh tính chất gì của hạt Như vậy, với một trạng thái đã cho, hằng số này có thể có giá trị tùy ý, nói cách khác nếu ta nhân hàm sóng với một hằng số thì nó vẫn biểu diễn cùng một trạng thái của hạt

Ta biết rằng, mật độ xác suất  tỉ lệ với bình phương modul của hàm sóng  Mà mật độ xác suất  là một đại lượng vật lý có ý nghĩa xác định, còn hàm sóng  lại xác định sai khác một hằng số nhân 0 Nếu ta cho 0 một giá trị sẽ xuất hiện một hằng số tỉ lệ: A 2

Muốn cho biểu thức này đơn giản ta có thể chọn 0 thế nào để A = 1, việc chọn 0 như vậy phải thỏa mãn điều kiện sau:

.dV r t)2dV= 1

Gọi là biểu thức chuẩn hóa hàm sóng

Khi hàm sóng đã được chuẩn hóa thì việc giải quyết các bài toán: tính xác suất để tìm thấy hạt trong thể tích dV nào đó, tính giá trị trung bình của

đại lượng Vật lý F,… sẽ đơn giản hơn nhiều so với hàm sóng chưa được

Trang 4

chuẩn hóa Chính vì thế tôi đã chọn đề tài: “Chuẩn hóa một số hàm sóng” làm đề tài khóa luận của mình

2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là việc chuẩn hóa các hàm sóng

3 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài này là chuẩn hóa được một số hàm sóng để đơn giản hóa các công thức sử dụng trong việc giải bài tập

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và tra cứu tài liệu

- Các phương pháp khác dùng trong vật lý lý thuyết

Trang 5

được gọi là phép chuẩn hóa hàm  về đơn

vị Hàm đã được chuẩn hóa theo (1) có thể sai khác một thừa số có modul bằng đơn vị

Hơn nữa để (1) thực hiện thì khi q phải có 0 Người ta đã chứng minh rằng khi (1) hội tụ thì các phần tử, các hàm số của không gian F(q) có thể đánh số bằng các số tự nhiên

Trang 6

Đối với trường hợp phổ liên tục ta chuẩn hóa hàm  về hàm Delta f

 Hàm Delta  được định nghĩa như sau:

0x

)dx

d(

)xx()

x

với xi là nghiệm của phương trình  x 0

Hàm  có nhiều biểu diễn tường minh Một trong các biểu diễn của

hàm  là: exp.q.xdq

2

1)x

1.3 Chuẩn hóa các vectơ trong không gian Hilbert

Trong không gian Hilbert một vectơ bất kì có thể khai triển duy nhất theo hệ đủ các vectơ riêng trực chuẩn của một toán tử tuyến tính Hermite Như vậy:

+Nếu Fˆ -Hermite: Fˆxn fnxn (n=1,2,…).Trong đó xnX- không gian Hilbert Một vectơ tùy ý x X:

Trang 7

Các   xp là hệ trực chuẩn đủ, an xn,x Còn các   xp X là hệ trực Giao đủ và có thể chuẩn hóa về  - hàm Do đó:

2

x,xax

,xa

+ Nếu X – không gian Hilbert các hàm số thảo mãn một số đòi hỏi khá rộng rãi nào đó và toán tử Fˆ - Hermite, và:

Fˆn fn.n (n rời rạc cũng như liên tục)

Cũng có thể lấy n làm một hệ cơ sở của X, và một hàm tùy ý X đã

được chuẩn hóa có thể khai triển qua hệ cơ sở này:

Trang 8

Hoµng ThÞ ThËt K29B - VËt LÝ Khãa luËn tèt nghiÖp

Nh©n hai vÕ víi *m q vµ lÊy tÝch ph©n kÕt qu¶ võa cã theo biÕn q:

n

* m

qdq

q.q

* f n

2.1 ChuÈn hãa hµm sãng cã phæ rêi r¹c

Bµi 1: ChuÈn hãa c¸c hµm sè sau:

Trang 9

a) A.eax2 ( a0,x )

2x0(   

c)

a

xn

2 ax n n

a

.2

!1n2dxe

.x)a(

Tøc lµ:    x x dx 1 A sin xdx 1

2 0

2 2

Trang 10

Ta có

0

2x2sin4

1x2

1dx2

x2cos1xdxsin

I

2 0

c đặt

a

xnsin

ứng với mỗi giá trị của n ta có một hàm  nên phổ của n  là phổ rời rạc n

Vì vậy ta chuẩn hóa hàm  về đơn vị dưới dạng : n

1dxa

xnsinA1

a 0

2 n n

axA2

1dxa

xn2cos2

12

1Adxa

a

xnsin

Trang 11

dxe

A

1dxe

.e

A1dxx

a

x

ikx a 2 x ikx 2 a 2

2 2

!1n2dxe.xa

1dx

1a

r

e.A

r  

Trong đó a = 0,529 10

10 m là bán kính quỹ đạo Bo thứ nhất Hãy chuẩn hóa hàm sóng  r ?

Trang 12

4 A e r2dr 1

0

a r 2 2

a

!ndxe.xa

a2

!2drr.e

3 3 2

a4

Rotato phẳng là mô hình của hạt chuyển động trong mặt phẳng Trạng thái của rôtato phẳng được mô tả bởi hàm sóng:   Acos2 trong đó  là góc quay xung quanh trục Oz

A (4) Xét tích phân:

Trang 13

12sin8

18

3d.4cos8

12cos4

18

3

d.4

2cos2

cos21d

2

2cos1d

.cos

I

2

0

2 0

2 2

2 0

3





 H·y chuÈn hãa hµm sãng   ?

2 i i

2 2

4

2

ee22

ee1cos

2cos

1cos

Trang 14

2 i

3 i

4 i

4

2 i i

i 2 i

2

ee2

7e

e4

7e

e2

1e

2 0

ik

khi

0k

35

A2Vậy hàm sóng sau khi đã chuẩn hóa là:

2 n

Bài làm

Hàm sóng của dao động tử điều hòa:     



 n

2 n

3n2n1nn2

!1

1nn2

Trang 15

)2(I

1m

A

1dHemAdH.Hem

A

4

2 2

n

2 n

2 n n

* n

2

ed

ddH.1

ded

dH.1d

H.eI

1 n

1 n n

n

n n n 2

n 2

dd

dv

H

u

1 n

1 n n

dv

dHd

ddu

1 n

1 n n

dH

d

1

ded

dH

d

d1

ed

dH

I

2

2 2

1 n

1 n n

n

1 n

1 n n

n 1

n

1 n n

de1

1

n n

!2

5n4n3n3n2

!1

3n2n1nn

2.1nnH

4n3n2n

1

n

.2

!1

2n1nn

2.n

H

d

6 n 4 n

3 n 2 n 2

n n n

2

5 n 2 n

3 n 2 n 1

n n n

Trang 16

1n2dxe.xa

e 2

Thay các kết quả trên vào (3) ta được: I   1n.1n .2n.n!2n.n! 

Thay I vào (2) ta được:

!n.2

1.m

!n2

1

m

n

4 n

2

exp

!n2

1

m4

Nếu đổi từ biến  về biến x thì hàm sóng của dao đông tử điều hòa một

Hàm riêng ứng với trị riêng   2

1l

áp dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có:

 ,  sin d d N d P cos P cos sin d 1

2

m l

2 lm

N

2 ml lm 

 (2)

Trang 17

Trong đó :   



cosPI

0

m l

1x0

thay vào (*) ta có: I P  x Plm x dx

1 m l

m l

m 2

m 2 m

l   gọi là hàm Lagendrơ liên đới

Còn    2 l

l

l l

dx

d

!l2

1x

P   là đa thức Lagendrơ cấp l

m

m m 1

1

2 l

m

m m

m m 1

dx

1dxPdx

d.Pdx

d.x

1dx

dPdx

d1

1Pdx

d.Pdx

dx

m m 2 l

1

1 m l

1 m

1 m i m

m m

1dx

d.xPdx

d

m m 2 1

1 m

d1mx2Pdx

d

x

m 1

m

1 m l

2 m

dmx2Pdx

d

x

1 m m

m 1

m

1 m

Trang 18

m

l

Pdx

dx

1mx2Pdx

d

x

1

l 1 m

1 m 2

m

m 1 m 2 1

m

1 m m

2

l l

11mlmlx

Pdx

dx

1

dx

d

l 1 m

1 m 1 m 2 l

m

m m 2

dx

11mlm

l

1 m l 1 m

1 m 1 m 1

m l 1

m l 2

3ml2ml

Trang 19

m

!ml

!l

!

l

!m

d

!l2

1dxxPxP

x

P

l l 2 1

l 2 l l

l 2

dx

dd1xdx

!l2

1

l 2 i 1

1

2 2 l

l o

VËy ta cã:

   

 2 l! x 1dx

!l21I

l 1

1

2 2

l

l o

x1dx1

!l2

!l2dxx1x1

1

l 2

l l

1

l l

x1dx1

l 1

1

1 l 1

l l

x1d1l

x11

11l

x1x1

Trang 20

1 x 1 x dx

1l

1 l 1

3l

2l.2l

1l.1l

l

I

1 1

l 2

!l

!l2

!

1

2 l

2 1

x

01

!l2

!l0

21l2

!l2

!ldl

2

!lI

1 l 2 2 1

l 2 2 2

0

l 2 2

2

!l2

!l

!l2

!l2I

!l2

I

1 l 2 2 2 l 2

2I

!m

l

!m

!ml1l2

!ml

!ml.1l2

22

1I

2

1N

m l

!ml1l2,

Bài 8

Êlectrôn chuyển động trong trường Culông của hạt nhân với thế năng:

Trang 21

 

r

Zer

U

2



 Hãy xác định thừa số chuẩn hóa của hàm sóng bán kính Rnl r

U

2



 (1) Hàm sóng diễn tả chuyển động của êlectron trong trường Culông của hạt nhân có điện tích –Ze là: nlmr,,Rnl r.Ylm,

!ml1l2,

Còn Rnl r Anle nr2nrlL2nl1l2nr là hàm sóng bán kính

Với

n

memE

2

z 2 2

1 2

n n



Thay Rnl x vào điều kiện chuẩn hóa (2) ta có:

Trang 22

3 n nl





 (*) trong đó I e x L    x L j x dx

k j k j

k j

1

1kk

vu

!1

kvuuvuv

1kkkx

!1

kxe

Ta có:    k k k 1     k 2

!2

1kkkx

!1

kx1x

2k1k

!1

jkkx

!1k

!k1x

Ldx

dx

1k

jkkx

!jk

!k1x

dxedxxL

x

e

1 j 0

x k

j j 0

x j

k 0

x

Trang 23

    e x dx

dx

dxL1

vu

!2

1jjvu

!1

jvuuvuv

1jjx

!1

jxe1

dx

dxdxxL

x

e

k 0

xedx

dd

  e x dx

dx

d

!1

d

!1

Trang 24

   k 2

!k1

j

0 k

1kk1jjkx

!1

jxe1x

x k

x j

j

!k1dxxLxedxxe1xL1

x

!k1

0dxxL

,

2k,1kk

!1

jkkdxx.xLe

!jk

!k1

0

x 1

k j

k 0

x k

1 k k

!k1

!1

jkkdxxLex

!jk

!k1

L  x dx

dx

dxe

j 1 k x

Trang 25

    e x dx

dx

dxL1

1k

!2

1jjx

!1

1kjx

1x

1kj_xe1xL1

1 k x

1 k

dx

1 k

!k11kjdxxedx

x

dx

dxe

!k11kjxdx.xe

!1k

!k11kje

xdx

!1k

!k1kj1

!1k1

!jk

!k

!ln

Trang 26

4 nl

Zme

!lnn

!1ln4A

2.2 ChuÈn hãa hµm sãng cã phæ liªn tôc

xppiexpA

xpp

iexpA

pp

p2

Trang 27

' y y

' x x 2

pp2.pp2.pp

2

pp2

2

ppp

p2

2

1A

12

Trang 28

Chương 3

chuẩn hóa hàm sóng của

Hệ HạT ĐồnG nhất

3.1 Chuẩn hóa hàm sóng các hạt Fecmion

Hàm sóng của các hạt Fecmion được viết dưới dạng:

i P

 ,

biến số k của hàm

i P

 kí hiệu tập hợp các biến tọa độ và viết chiếu Spin của hạt thứ k Nói chung P i Pj (i j)

Thí dụ: P1234567  4312675 là kết quả của phép hoán vị liên tiếp các cặp hạt (4,1); (1,3); (3,2); (5,7); (7,6)

Ta kí hiệu  là số nghịch thế của phép hoán vị P

Do đó 1  1 tùy thuộc vào 

Trang 29

Do kÕt qu¶ cña phÐp ho¸n vÞ P , vÞ trÝ cña h¹t 1 trë thµnh vÞ trÝ cña c¸c h¹t i,…,N VÞ trÝ cña h¹t N trë thµnh vÞ trÝ cña h¹t j

 1  N  i  j  i  1  N  j

P

N l

k 1

N 1

i 1

1 ' P , P

2 ,

,

! N

1 ' p , p

1A

P/P1

1A

N

1/N

11

p ,

p

2

! N 1 p

2

"

p ' p

"

p ' p '

' p

; p

'' p ''

p '

p

'

! N ' P

; P

N 1

N N 1 1

! N 2

N 1

/P

A

! N p

2 2

Trang 30

3.2 Chuẩn hóa hàm sóng các hạt Bosson

Giả sử ở thạng thái lượng tử P cój Nj hạt Tổng số hạt ở S trạng thái lượng tử là: N1 N2  NS N

Nói chung hàm sóng của hạt Bosson được viết dưới dạng:

1

N P

 có chung chỉ số trạng tháiP i

Tổng (3.1) có tất cả N! số hạng Giả sủ chúng ta chỉ hoán vị N nhân tử 1

đầu của tích:

  1   N  N 1   N 

S N 1

2 N 1 1 N 1

Sau đó sắp xếp lại thứ tự sẽ được N1! số giống hệt nhau

Tương tự như vậy, nếu chỉ hoán vị N nhân tử tiếp theo nhân tử 2 N của 1tích (3.3), sau đó sắp xếp lại theo thứ tự tăng dần của đối số ta sẽ được N2!

số giống hệt nhau…

Như vậy, nếu hoán vị đồng thời N cặp hạt, mà một cặp trong S N nhân 1

tử đầu, một cặp trong N nhân tử từ 2 N1 đến 1 N +1 N ,…và một cặp 2 N Snhân tử còn lại của (3.3) ta sẽ được N1!.N2! NS! số giống hệt nhau

Trong phép hoán vị bất kì có tất cả N! số 



P Trong N! số P như đã chỉ ra có tất cả N1!.N2! NS! nhóm giống nhau Bởi vậy chỉ có thể có:

!N

Trang 31

Bëi vËy: A P  1  2  i  N

S N 1

N 1

P

! S N

!

2 N

! 1 N

! N

1 P

!

2 N

! 1 N

! N

1

.P

!

2 N

! 1 N

! N

' P

;

2

! S N

!

2 N

! 1 N

! N

P

!N

!

N

!N



Trang 32

c Kết luận

Với mục đích và nhiệm vụ của đề tài đặt ra là chuẩn hóa một số hàm sóng trong Cơ học lượng tử Khóa luận của tôi đã đạt được những kết quả chính sau:

1 Nêu ra lí thuyết về chuẩn hóa hàm sóng

2 Chuẩn hóa một số hàm sóng có phổ rời rạc và liên tục Tức là chuẩn hóa các vectơ trong không gian Hilbert vô hạn chiều

3 Chuẩn hóa hàm sóng của hệ hạt đồng nhất (Hệ các hạt Fecmion và hệ các hạt Bosson tương tác yếu)

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều để hoàn thành khóa luận này nhưng do khả năng có hạn nên khóa luận của em không tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện

Trang 33

Tài liệu tham khảo

1 Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB Đại học sư phạm

2 Nguyễn Hữu Minh (chủ biên) – Tạ Duy Lợi - Đỗ Đình Thanh – Lê Trọng

Tường (2003), Bài tập vật lí lí thuyết – tập 2, NXB Giáo dục

3 Phạm Quý Tư (1986), Cơ học lượng tử, NXB Giáo dục

4 Phạm Quý Tư - Đỗ Đình Thanh (1995), Cơ học lượng tử, NXB Giáo dục

Hà Nội

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	325,67 KB