Chuẩn hoá một số hàm sóng

Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Nghiên cứu khoa học đề tài hấp dẫn với nhiều người, đặc biệt với sinh viên năm cuối Vì thông qua trình nghiên cứu, chúng em mở rộng nâng cao tầm hiểu biết Trong suốt trình nghiên cứu hoàn thành đề tài này, em nhận bảo, giúp đỡ tận tình thầy giáo- Tiến sĩ Trần Thái Hoa Bên cạnh em nhận góp ý chân thành thầy cô giáo tổ Vật lí lí thuyết Qua em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Chắc chắn điều ®ã sÏ rÊt bỉ Ých cho em trªn ®­êng công tác sau Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Người thực Sinh viên: Hoàng Thị Thật Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khóa luận tốt nghiệp Lời cam kết Để đảm bảo tính trung thực đề tài, xin cam kết sau: Đề tài không chép từ đề tài có sẵn Đề tài không trùng với đề tài khác Kết thu đề tài nhờ hướng dẫn tận tình thầy giáo lỗ lực thân Tác giả Hoàng Thị Thật Ket-noi.com kho ti liu phớ Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khóa luận tốt nghiệp A Mở ĐầU Lí chọn đề tài Cơ học lượng tử môn khoa học dựa tính chất sóng hạt vật chất để nghiên cứu giải thích tính chất tượng xảy không gian vi mô Đối tượng chủ yếu Cơ học lương tử nguyên tử, phân tử hạt Trong Cơ học lượng tử, hàm sóng hạt tự biểu diƠn bëi hµm sãng: i   r , t = 0 exp  ( p.r  E.t )      Trong biĨu thøc nµy, h»ng sè không phản ánh tính chất hạt Như vậy, với trạng thái cho, số có giá trị tùy ý, nói cách khác ta nhân hàm sóng với số biểu diễn trạng thái hạt Ta biết rằng, mật độ xác suất tỉ lệ với bình phương modul hàm sóng Mà mật độ xác suất đại lượng vật lý có ý nghĩa xác định, hàm sóng lại xác định sai khác số nhân Nếu ta cho giá trị xuất h»ng sè tØ lÖ:   A  Muèn cho biểu thức đơn giản ta chọn để A = 1, việc chọn phải thỏa mãn điều kiện sau: .dV   (r, t ) dV = Gäi lµ biĨu thøc chn hãa hµm sãng Khi hµm sãng chuẩn hóa việc giải toán: tính xác suất để tìm thấy hạt thể tích dV đó, tính giá trị trung bình đại lượng Vật lý F, đơn giản nhiều so với hàm sóng chưa Hoàng Thị Thật K29B - VËt LÝ Khãa luËn tèt nghiÖp chuÈn hãa ChÝnh chọn đề tài: Chuẩn hóa số hàm sóng làm đề tài khóa luận Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài việc chuẩn hóa hàm sóng Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài chuẩn hóa số hàm sóng để đơn giản hóa công thức sử dụng việc giải tập Phương pháp nghiên cứu - Đọc tra cứu tài liệu - Các phương pháp khác dùng vật lý lý thuyết Hoàng ThÞ ThËt K29B - VËt LÝ Khãa ln tèt nghiƯp b Néi dung Ch­¬ng 1: Lý thut vỊ Chn hãa hàm sóng 1.1 Hàm sóng có phổ rời rạc Lý thuyết không gian F(q) hàm số liên tục biến q Các hàm (q) chuẩn hóa đơn vị mà tích phân sau hội tụ: (q) 2dq = N ( hữu hạn) Thì hàm ' (q) (1) (q ) chuẩn hóa đơn vị N Việc nhân hàm với gọi phép chuẩn hóa hàm đơn N vị Hàm chuẩn hóa theo (1) sai khác thừa số có modul đơn vị Hơn để (1) thực q phải có Người ta chứng minh (1) hội tụ phần tử, hàm số không gian F(q) đánh số số tự nhiên n  1 , 2 , , n , ,  Ta gọi hàm i F(q ) thỏa mãn (1) hàm ứng với phổ rời rạc 1.2 Hàm sóng có phổ liên tục Trường hợp (q) dq N hàm không gian không đánh số số tự nhiên mà đánh số cho chØ sè f:  f  F(q ) , f trải từ f cách liên tục Ta gọi gọi hàm f F(q ) hàm ứng với phổ liên tục Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khóa luận tốt nghiệp Đối với trường hợp phổ liên tục ta chn hãa hµm f vỊ hµm Delta  Hàm Delta định nghĩa sau: x  Víi ( x )dx  x       x  Vµ có số tính chất bản: ( x )  ( x ) x.(a )    f ( x )( x  a )dx  f (a )  (a.x )  ( x ) a ( x )   i ( x  x i ) víi xi nghiệm phương trình x d ( ) xx i dx Hµm  cã nhiỊu biĨu diƠn t­êng minh Mét c¸c biĨu diƠn cđa  hµm  lµ: ( x )   expi.q.xdq (2)   §iỊu kiƯn chn hãa  f vỊ hµm Delta  nh­ sau:  f ' (q).f (q)dq  f  f * '  (3) 1.3 Chuẩn hóa vectơ không gian Hilbert Trong không gian Hilbert vectơ khai triển theo hệ đủ vectơ riêng trực chn cđa mét to¸n tư tun tÝnh Hermite Nh­ vËy: +NÕu Fˆ -Hermite: Fˆx n  f n x n (n=1,2,).Trong x n X - không gian Hilbert Mét vect¬ tïy ý x  X : x   a n x n phỉ cđa Fˆ rêi rạc x a f x f df phổ F liên tục n Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Các x hệ trực chn ®đ, a p n Khãa ln tèt nghiƯp  x n , x Còn x X hệ trực p Giao đủ chuẩn hóa - hàm Do đó: x p , x   x p ,  a f x f df    x p , x f a f df   f  p a f df  a p Thµnh thư: a f  x f , x  nh­ tr­êng hỵp phỉ rêi r¹c an  n +Ta cã: *   a n x n , x    a n x, x n  n n   x ,  a n x n   x , x    n  T­¬ng tù  a f df  Nh­ vËy a n còng nh­ a f cã tÝnh chÊt nh­ hàm phân bố xác suất, x chuẩn hóa, ta nói a n xác suất f n F , a f xác st f cđa Fˆ ) + NÕu X – kh«ng gian Hilbert hàm số thảo mãn số đòi hỏi rộng rãi toán tử F - Hermite, vµ: Fˆ n  f n  n (n rời rạc liên tục) Cũng lấy n làm hệ sở X, hàm tùy ý X chuẩn hóa khai triển qua hệ sở này: a n n (hoặc  a f f df ) n Ta cã thÓ tính hệ số khai triển an qua hệ thøc: a n   *n dq hc a f   *f dq   + V×  q q ' vectơ không gian X hàm số, khai triển - hàm theo hệ hàm riêng n q trực chuẩn đủ toán tử Hermite F :    q  q '   a n n q n Hoàng Thị Thật K29B - VËt LÝ Khãa ln tèt nghiƯp Nh©n hai vÕ với *m q lấy tích phân kết võa cã theo biÕn q: * * a n  n q dq   a n   m q . n q dq   a n  mn  a m   m q  n n n       q  q ' *m q dq  * q ' m    *n q ' . n q    *f q ' .f q df   q  q '  NghÜa lµ a n  *n q ' ( n= 1, 2) Từ ta thu hệ thức: Chương 2:MộT Số DạNG BàI TậP VỊ CHN HãA HµM SãNG 2.1 Chn hãa hµm sãng có phổ rời rạc Bài 1: Chuẩn hóa hàm số sau: Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí a) A.e ax Khãa luËn tèt nghiÖp ( a  0,  x   )  (0  x  ) b) sinx c) A n sin nx a (n=1,2,3…;  x  a ) Bµi làm a) Đặt x A.e a.x ( a  0,  x   ) Hµm x ứng với phổ rời rạc ta chuẩn hóa x đơn vị Tức lµ:   ( x ).x .dx   * Đặt 2a A I A  e x dx   XÐt tÝch ph©n  e  .x 2 e 2a.x dx (1) dx  ¸p dơng tÝch ph©n Posson: I n (a )   x n e ax dx    Ta cã I  e    x dx  2n  1!! n  a n 1     2a Thay I vµo (1) ta cã: A  2a 1 A  2a Vậy hàm x sau chuẩn hãa cã d¹ng:  x   2a ax e b) Đặt x A sin x a  0;  x      0  x   2  Hµm x ứng với phổ rời rạc nên ta chuẩn hóa hàm x đơn vị Tøc lµ:   * x . x dx    A sin xdx  (2) Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí    cos x Ta cã I   sin xdx   Khãa luËn tèt nghiÖp   1  dx    sin 2x   2x 0 A  1 A  Thay I vµo (2) ta cã:  VËy hµm x sau chuẩn hóa có dạng:  x   sin x   (0  x  )  n  A n sin c đặt nx a n 1,2, ;0 x a ứng với giá trị n ta có hàm n nên phổ n phổ rời rạc Vì ta chuẩn hóa hàm n đơn vị dạng : a * 2   n  n dx    A n sin nx dx  a (1) Ta cã: a 2  A n sin nx 2nx   a 2nx  a  1 dx  A 2n   cos sin dx  A n  x    a a  2 n a  0 2   A 2n a -Tõ ®iỊu kiƯn chn hãa (2) suy ra: A n  a VËy hµm  n sau chuẩn hóa là: n nx sin a a n  1,2, ;0  x  a Bài Trạng thái hạt mô tả hàm sóng: Hoàng Thị Thật K29B - Vật LÝ l  m ! I lm  l! Khãa luËn tèt nghiÖp l  m ! I o l!  l  m ! l  m ! l I ol   Pl x Pl x Pl x dx  1 l dl l dl x  x  dx  l l dx l l! 1dx 1       l  d l1 l dl x  d l1 x    l  dx  l l! 1dx 1        Tích phân phần l lần ta được: I ol  1l i d 2l  x 1 x  dx  dx 2l l l! 1       l  Sè h¹ng cã sè mò cao nhÊt x x 2l Khi đạo hàm 2l lÇn theo x l  cđa x  số hạng có số mũ x bé 2l lần 0, số hạng x 2l cho kÕt qu¶: 2l2l 12l  2  2l ! VËy ta cã: l I ol l   1 2l !   x  1 dx l 2 l! 1 l l l l 2l Mặt khác: x 1 1  x  1  x  vµ  1  Ta cã thĨ viÕt l¹i I ol nh­ sau: I ol  2l! 1  x l 1  x l dx  2l ! 1  x l d1  x l1   l l l 1 2 l! 1 2 l! 1 l1 - XÐt tÝch ph©n: d1  x  I   1  x  l 1 1 l l l1   x  I 1  x  l 1 1    l 1 1  x l1 d1  x l 1 l  1  x  1  x  dx l 1 Hoµng ThÞ ThËt K29B - VËt LÝ Khãa ln tèt nghiƯp l1 l   1  x  l  1 1  x l1 dx TiÕp tôc tích phân phần (l-1)lần ta được: I l l  1 l  2 1 1  x 2l dx  l  1 l  2 l  3 2l 1 2l 2l l! 1  x  dx l!   x dx     2l ! 1  2l  !  1    l!  x  1    x Đặt    x  d  dx 22  l!2  2l1  l! 2l1 l! 2l I  d   2l! 2l  2l! 2l  2l2 0 Ta cã: VËy I ol  2l ! l! 2l1  I  2 2l l! 2l l! 2l! 2l  2l  2l! Thay I ol vào biĨu thøc cđa I lm ta được: I lm l m ! I o  l  m ! l  m ! l 2l  l  m ! m Thay I lm vµo (2) ta cã: 2N lm Il   N lm  2I lm  2 l  m ! 2l  l  m !  2l  1l m ! 4l m ! Vậy hàm riêng toán tử L2 hàm điều hòa cầu: Ylm ,   2l  1l  m ! 4l m ! Pl m cos .eim Bài Êlectrôn chuyển động trường Culông hạt nhân với năng: Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Ur   Khãa luËn tèt nghiÖp Ze r H·y xác định thừa số chuẩn hóa hàm sóng bán kính R nl r Bài làm Xét chuyển động êlectron trường Culông hạt nhân với năng: Ur    Ze r (1) Hµm sãng diễn tả chuyển động êlectron trường Culông hạt nhân có điện tích Ze là: nlm r , ,   R nl r .Ylm ,  : Ylm , Còn R nl r   A nl e 2l  1l  m ! 4l  m ! n r Pl m cos .eim hàm điều hòa cầu n r l L2nl1l n r hàm sóng bán kÝnh 2 me z  2mE n Víi  n       n Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng nlm r , ,  : *   nlm r, ,  nlm r, , r sin drdd  * , Ylm , sin .d.d R *nl r R nl r r 2dr    Ylm Theo bµi ta cã: *  Ylm , Ylm , sin d.d  r Nªn  R *nl r R nl r r dr   R nl r R nl r r dr  (2) Đặt k = n + l, j = 2l + vµ x  2 n r hàm sóng R nl x có dạng: R nl x    x j1 j A nl e e L k x  Thay R nl x vào điều kiện chuẩn hóa (2) ta có: Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí  A nl  2 e 2 n  A nl  x 2 n 3 I Khãa luËn tèt nghiÖp x j1Ljk x dx   (*) ®ã I   e  x x j 1 Lkj x Lkj x dx  §Ĩ tÝnh A nl ta cần tính phân I Ta biết: Lkj dj d k k k  j L k x , L k x   e e x dx k dx x Đặt u e x , v x k dùng quy tắc tính đạo hàm: dk uv uvk u k  v  k u k 1v 1   kk  1 uv k  k 1! k! dx k k k  1 k     1 e x x k  kx k 1  k k  1x k 2   1! 2!   k  Ta cã: L k x    1 x k  k k 1 k k  1 kx  k k  1x k 2 1! 2!  Ljk x   dj dx k j L k x    1 k k  1k  2  k k  1k  2x k 3   3!  k! k k  j k  j1 x k j  x  k  1! 1!   k x j1Ljk x    1 k k  1 k  jk  j  1x k  j2  2!  k! k k  j k x k 1  x  k  j! 1!    k k  1k  jk  j  1x k 1   2! Để tính tích phân I cần tính tích phân có dạng sau: A e x x  Ljk   dj d j1 x    x dx   e x j L k x .dx   e x d j1 L k x  dx 0  dx  x Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khóa luận tốt nghiệp Lấy tích phân tùng phần j lần ta được: j dj A  L k x  dx j e x x dx Đặt u e x , v  x  , ta cã: dj dx j uv   uv j  u  j v  j  j1 1 j j  1  j2  2  u v  u v   uv  j 1! 2! j j j  1 j     1 e x x   x  2    1x  2   x   j  1! 2! Để tính tích phân A cần tính tích phân có dạng sau: 0 d k x k e x dx dx k  B   e x x  L k x dx   x    d k 1 x k   x d k 1 e x  dx     víi   ,   1, ,   j  Lấy tích phân phần lần ta có: d k  x k e x dx k  dx   B   1 !   +Khi k   th× ta cã:  B   1 ! Mµ ta cã: dj dx j d k 1 x k  e x dx k 1  e x x    0  (víi j  k    1, k ) ta B=0 Vậy: B   e x x  L k x dx  k   +Khi k   , ta cã: k  B   1 k! e x x k dx Đặt u  x k , dv  e  x dx lấy tích phân phần k lần ta được: Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí k Khóa luận tèt nghiƯp B   1 k! TÝch ph©n A biểu diễn qua tích phân B Nếu k   th× k    ,   1, j lúc tất tích phân B A = j  Khi k   ta cã: A   1  L k x  Mµ: dj dx d j x k e x dx dx j   j e x x k    1 j e x x k  1j! kx k1  j j  12k!k  1 x k2    j   Vµ  1  L k x dx    k  1, k  2, , k  j ta tìm được: j j k A   1  L k x  1 e x x k dx   e  x x k L k x dx   1 k! 0  B©y giê ta tÝnh tÝch ph©n I: I   e  x Ljk x .x j1Ljk x dx Kết hợp (3) và: k     k  1, k  2,  A   e  x x  Ljk x dx   k  1 k! k   Ta cã: k I   1 k!  x j k k  j   x j  k 1 k     e L x x dx  x e L x x dx    k k 1! k  j!  0  k!  k 1 x j k k  j  1k k!2    1   x e L k x dx  k  j!  1! k Để tính I ta cần tính tích phân sau:   x k 1 C  e x dj L k x .dx dx j LÊy tÝch phân phần j lần ta có: Hoàng Thị Thật K29B - VËt LÝ j dj  C   1  L k x  dx j Khãa ln tèt nghiƯp e x x k1 dx Víi: dj dx j e x x k1    1 jx x k1  jk1! 1 x k  j j2! 1 k  1kx k1      Vµ  x  e x L k x dx    k  1, k  2,  jk  1 k  j j x dx Ta được: C   1  L k x  1 e x x k 1 _ 1!     0   e x x k 1.L k x dx   jk  1e x x k L k x dx    e x x k 1   x k 1 dk   x k  k e x dx  jk  1 1 k! k   dx  d k x k e x dx  jk  1 1k k! k dx     1k  e  x x k  d k k 1 k x  jk  1 1 k! k dx    k k =  1 k  1!  e x x k xdx  jk  1 1 k!  k k   1 k  1!  x k 1xd e x   jk  1 1 k! k   1 2k V×  1 I  k!  1k k  1!2   1k jk  1k!2   1k kk  jk!2 k  j!  1, k  1! k!k  1 ta cã: k!3 2k  j  1 víi k = n + l, j = 2l +1 k  j!  n  l ! 2n  I n  l  1!  Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Thay I vào (*) ta : A nl  Khãa luËn tèt nghiÖp 4n  l  1!  Zme    3 n n  l !  2.2 Chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tơc Bµi tËp: Chn hãa hµm:  p x   i p.x  A.e    p    vỊ  -hµm víi p  R i Và trường hợp tổng quát:    A exp p r  p   Bµi lµm Do p lµ thùc vµ    p    nªn q  øng víi phổ liên tục ta chuản hóa -hµm  Tøc lµ:   * '  p dx   p  p ' p  (1) XÐt tÝch ph©n:   * '  p dx  p    x  x  i   '     A exp p  p x   A   expi p  p ' d              A 2 p  p '    Tõ ®iỊu kiƯn chn hãa (1) ta cã:     A 2 p  p '   p  p '  A 2   A  2 VËy hµm  p sau chuẩn hóa -hàm có dạng: p  i  exp px  ®ã    p    2    Trường hợp tổng quát: i  A exp p r  ®ã    p    vỊ  -hµm p  Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khóa luận tèt nghiÖp  i             Ta cã:    A exp  p x i  p y j  p z k  x i  y k  z k   p       i   A exp xp x  yp y  zp z       Víi r  x, y, z  Do p thực p ; nên ứng với phổ liên tục Vì chuẩn p hóa -hàm có dạng: '  *   d r    p p   ' p   p  XÐt   *   d r   p'  A2 p    i   '      A exp   p p  r d r      i '  exp  p x  p x   (2)    x dx  exp i p y  p 'y ydy  exp i p z  p 'z zdz         A 2 p x  p 'x 2 p y  p 'y 2 p z  p 'z      A 2   p p ' Kết hợp điều kiên chuẩn hóa (2) ta cã:      A 2   p p '    p  p '       A 2    A  2 3 VËy hµm   sau chuÈn hóa -hàm có dạng: p p 2 3  i   exp p r    víi p   ;   Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khóa luận tốt nghiệp Chương chuẩn hóa hàm sóng Hệ HạT ĐồnG 3.1 Chuẩn hóa hàm sóng hạt Fecmion Hàm sóng hạt Fecmion viết d­íi d¹ng: N!    A   1 P  P 1.  P N  p  1 (3.1) N C¸c sè Pi i  1,2, , N kí hiệu số lượng tử đủ để xác định trạng thái lượng tử hạt đánh số k (k=1,2,,N) có hàm sóng P k  , i biÕn sè k cđa hµm  Pi kí hiệu tập hợp biến tọa độ viết chiÕu Spin cđa h¹t thø k Nãi chung Pi  Pj (i  j) P  P 1  PN N hàm thu từ P 1  P N  Do kÕt qu¶ cđa 1 N lần hoán vị liên tiếp cặp hạt Thí dụ: P 1234567 4312675 kết phép hoán vị liên tiếp cặp h¹t (4,1); (1,3); (3,2); (5,7); (7,6) Ta kÝ hiƯu  số nghịch phép hoán vị P Do ®ã    1 tïy thuéc vµo  Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khóa luận tốt nghiệp Do kết phép hoán vị P , vị trí hạt trở thành vị trí hạt i,,N Vị trí hạt N trở thành vị trí hạt j P p1 P N    P i   P  j   P i   pk 1  P N   P  j N N 1 N l Có thể đặt Pk P1' , , P1  Pi' , PN  Pj' , Pl PN' Và xếp lại tích theo thứ tự tăng dần đối số : P P 1  p N N    ' 1  P' i   P'  P' N  P1 i N j Ta cã: /  A   , N!   1 P  / P,   A p ,p 1  '   1  ' 1  p1 P ;P '  A   1 p  ;p '    1 p  1  p1' p1" . p'N p"N  p, 1  p'N N  / p" 1 p" N  N! N!  p A N  A  P  / P   A 1  A N! p  p p N  /  p'' 1  p'' N  2 N!  A2 p'N ' N!   1 P ,P ' 1 ' N!  A2   , N! N! Vậy hàm sóng hạt Fecmion lµ:  N!    1 P P1 1  PN N  N! P 1 N ' Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khóa luận tốt nghiệp 3.2 Chuẩn hóa hàm sóng hạt Bosson Giả sử thạng thái lượng tử Pj có N j hạt Tổng số hạt S trạng thái lượng tư lµ: N1  N   N S N Nói chung hàm sóng hạt Bosson viết dạng: N! A P  P 1  p N   P N  1  P N  N    P N  N1 N2 NS 1  N1   N2     P  (3.2) đây, tách hàm sóng thành phần phân biệt móc vuông để phân biệt hàm P k có chung số trạng i thái Pi Tổng (3.1) có tất N! số hạng Giả sủ hoán vị N nhân tử đầu tÝch: 1  P N  P N P N N1 N2  1  P NS N (3.3) Sau xếp lại thứ tự N ! số giống hệt Tương tự vậy, hoán vị N nh©n tư tiÕp theo nh©n tư N1 cđa tÝch (3.3), sau xếp lại theo thứ tự tăng dần đối số ta N ! số giống hệt Như vậy, hoán vị đồng thời N S cặp hạt, mà cặp N1 nhân tử đầu, cặp N nhân tử tõ N1  ®Õn N + N ,và cặp N S nhân tử lại (3.3) ta N1!.N ! N S ! số giống hệt Trong phép hoán vị cã tÊt c¶ N! sè P  Trong N! sè P  nh­ ®·  chØ cã tÊt c¶ N1!.N ! N S ! nhãm gièng Bëi vËy chØ cã thĨ cã: N! sè kh¸c đôi N1! N ! N S! Hoàng Thị ThËt K29B - VËt LÝ Khãa luËn tèt nghiÖp N! Bëi vËy:   A N ! N ! N ! S  P P 1 N! N1!N 2! NS!  A P 1  P 1 P N1 N1 2  P i  P N  N1 NS P   p N  P  P  NS   N2 (3.4) Trong ®ã, ta giả thuyết phép hoán vị P không thực nhân tử có chung số Theo phÇn ta cã:  /   A2 N! N1!N ! NS!  P ;P A N1! N ! N S ! N! N! N1!N 2! NS! P  / P '   A   P ;P '  P P  ' Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí Khãa ln tèt nghiƯp c KÕt ln Víi mơc ®Ých nhiệm vụ đề tài đặt chuẩn hóa số hàm sóng Cơ học lượng tử Khóa luận đạt kết chÝnh sau: Nªu lÝ thut vỊ chn hãa hµm sãng ChuÈn hãa mét sè hµm sãng cã phổ rời rạc liên tục Tức chuẩn hóa vectơ không gian Hilbert vô hạn chiều Chuẩn hóa hàm sóng hệ hạt đồng (Hệ hạt Fecmion hệ hạt Bosson tương tác yếu) Mặc dù cố gắng nhiều để hoàn thành khóa luận khả có hạn nên khóa luận em không tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Hoàng Thị Thật K29B - VËt LÝ Khãa ln tèt nghiƯp Tµi liƯu tham khảo Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB Đại học sư phạm Nguyễn Hữu Minh (chủ biên) Tạ Duy Lợi - Đỗ Đình Thanh Lê Trọng Tường (2003), Bài tập vật lí lí thuyết tập 2, NXB Giáo dục Phạm Quý Tư (1986), Cơ học lượng tử, NXB Giáo dục Phạm Quý Tư - Đỗ Đình Thanh (1995), Cơ học lượng tử, NXB Giáo dục Hà Nội ... *n q ' ( n= 1, 2) Từ ta thu hệ thức: Chương 2 :MộT Số DạNG BàI TậP Về CHUẩN HóA HàM SóNG 2.1 Chuẩn hóa hàm sóng có phổ rời rạc Bài 1: Chuẩn hóa hàm số sau: Hoàng Thị Thật K29B - VËt LÝ a) A.e ax... F(q) hàm số liên tục biến q Các hàm (q) chuẩn hóa đơn vị mà tích phân sau héi tơ:  (q) 2dq = N ( h÷u hạn) Thì hàm ' (q) (1) (q ) chuẩn hóa đơn vị N Việc nhân hàm với gọi phép chuẩn hóa hàm. .. điều kiện chuẩn hóa hàm sóng, xác định hệ số chuẩn hóa N lm hàm Ylm ,   N lm Plm cos e im ( Ylm , hàm riêng toán tử L2 ) Bài làm Hàm riêng ứng với trị riêng ll toán tử L2 hàm điều hòa