Định thức và ứng dụng

Phương pháp định thức cho phép tiếp cận những kiến thức Toán học một cách gọn gàng, sáng sủa; đồng thời sử dụng định thức còn là phương pháp giải toán rất hiệu quả.. Nhiệm vụ nghiên cứu

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 03

NỘI DUNG 04

Chương 1: Các kiến thức liên quan 04

1.1 Ma trận 04

1.1.1 Định nghĩa ma trận 04

1.1.2 Ma trận chuyển vị 05

1.1.3 Ma trận nghịch đảo 05

1.1.4 Ma trận tam giác 06

1.1.5 Hạng của ma trận 06

1.2 Phép thế và dấu của phép thế 07

1.2.1 Phép thế 07

1.2.2 Nghịch thế, dấu của phép thế 08

Chương 2: Định thức của ma trận 10

2.1 Định nghĩa 10

2.1.1 Định nghĩa 10

2.1.2 Định thức con bù và phần bù đại số 10

2.2 Các tính chất của định thức 11

2.3 Các phương pháp tính định thức 15

2.3.1 Phương pháp dùng định nghĩa 15

2.3.2 Phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột 15

2.3.3 Phương pháp đưa về ma trận tam giác 17

2.3.4 Phương pháp rút ra nhân tử tuyến tính 20

2.3.5 Phương pháp truy hồi 22

2.3.6 Phương pháp sử dụng tính đa tuyến tính 24

Bài tập vận dụng 27

Chương 3: Ứng dụng của định thức 36

3.1 Xét tính độc lập, phụ thuộc của một hệ vectơ 36

3.2 Tìm ma trận nghịch đảo 38

3.3 Tìm hạng của ma trận 41

3.4 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính 42

3.5 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng 48

Bài tập vận dụng 51

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học bắt nguồn từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi Cùng với thời gian các kiến thức Toán học không ngừng được đổi mới và nâng cao giá trị của mình

Một trong những môn học có vai trò quan trọng cho sự phát triển của Toán học

đó là đại số tuyến tính Đại số tuyến tính là môn học cơ sở trong chương trình Toán học cao cấp ngày nay Trong đó nội dung định thức có nhiều ứng dụng quan trọng trong Toán học và khoa học kĩ thuật

Phương pháp định thức cho phép tiếp cận những kiến thức Toán học một cách gọn gàng, sáng sủa; đồng thời sử dụng định thức còn là phương pháp giải toán rất hiệu quả Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy cho người học Toán Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này em lựa chọn đề tài “Định thức và ứng dụng” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày lí thuyết cơ bản về định thức của ma trận và ứng dụng của định thức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đưa ra các kiến thức liên quan về định thức và ứng dụng của định thức

- Nghiên cứu về định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính định thức của

ma trận; đồng thời đưa ra các ví dụ minh họa cho các phương pháp đó

- Xây dựng hệ thống bài tập qua các lớp bài toán về ứng dụng của định thức

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách và nghiên cứu các tài liệu tham khảo

- Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

21

1 12

a

a

a

2 1

được gọi là cột thứ j của ma trận

Ma trận thường được kí hiệu bởi các chữ: A, B,… Ma trận (1) có thể được

Tập hợp các ma trận vuông cấp n cùng với phép toán cộng và nhân ma trận lập thành một vành có đơn vị, kí hiệu là Mat(n x n, K) Vành này không giao hoán khi n > 1

Phần tử đơn vị của vành Mat(n x n, K) là ma trận:

10

0

01

0

00

m

n n

m xn ij

a a

a

a a

a

a a

a a

A

2 1

2 22

21

1 12

11

thì ma trận

m n n

n

m m

nxm ji t

a a

a

a a

a

a a

a a

A

2 1

2 22

12

1 21

nghịch đảo của A, kí hiệu B = A-1

n n

ii i

i

a a

a a

a a

a

a a a

2 1

2 1

22 21 11

0

00

00

n i

n i

a

a a

a a

a

a a

a a

00

0

00

1 1

12 11

(aij = 0 nếu i >j)

Ví dụ:

123

012

001

600

520

981

1.1.5 Hạng của ma trận

Hạng của một hệ vectơ:

Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V Ta gọi số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ là hạng của hệ vectơ đã cho

Kí hiệu hạng của hệ vectơ 1, 2, , n là rank 1, 2, , n

Hạng của ma trận:

hạng của hệ n (tương ứng m) vectơ này là hạng của ma trận A và kí hiệu là rankA

Như vậy hạng của ma trận được định nghĩa là hạng của hệ vectơ cột (hoặc dòng) của nó

2()1(

21

n

n

Như vậy (1), (2), , (n là cách sắp xếp thứ tự của {1, 2, …, n} )

Tổng quát: Song ánh của một tập hợp A gồm n phần tử vào chính nó cũng gọi là một phép thế của tập A Vì nếu ta liệt kê các phần tử của A dưới dạng

n

a a

a

n

j j

j

n

a a

a

a a

a

2 1

2 1

, trong đó j1, j2, , j n 1, ,n Như vậy có thể đồng nhất phép thế này với

n

j j

j

n

2 1

21

Ta có thể xét tích của hai phép thế trong Sn như phép hợp thành của hai ánh xạ Khi đó Sn là một nhóm với phép lấy tích các ánh xạ

b)

2134

4321

là phép thế trên tập {1, 2, 3, 4} xác định bởi

.24,13,32

,

4

1

1.2.2 Nghịch thế, dấu của phép thế

Với n>1, ta gọi cặp số i, j 1,2, ,n là một nghịch thế của phép thế

j i

j i

Nếu là phép thế lẻ

Ví dụ:

a) Phép thế

132

321

có hai nghịch thế là {1, 3}, {2, 3} cho nên 1

)

b) Phép thế

2134

4321

có 5 nghịch thế là {1, 2}, {1, 3}, {1, 4},

Hệ quả 1: Nếu i < j thì số nghịch thế của phép chuyển trí (i, j) là 2(j – i) – 1 Hay

mỗi phép chuyển trí là một phép thế lẻ

Hệ quả 2: Mỗi phép thế bậc n, n 2 đều là tích của một số hữu hạn chuyển trí

Hệ quả 3: Với mọi S và n > 1 thì n

j i

j i

j i

trên mọi cặp số (không có thứ tự) i, j 1,2, ,n

Hệ quả 4: Với mọi , S n, ta đều có: sgn sgn sgn

Chương 2: ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN

2.1 ĐỊNH NGHĨA

2.1.1 Định nghĩa

trường K, kí hiệu là det A, cho bởi:

n n S

a a

a A

n

sgn

21

12 11

22 21

12 11

S

a a a

a

a a a

a

a a

Số các phép thế bậc hai:

12

21,

21

21

12 11

a a a a a

a

a a

522

321

A

Nếu ta chọn dòng 2, cột 3 thì giao của dòng 2 và cột 3 cho ta định thức con cấp 1

Nếu ta chọn dòng 1, dòng 2; cột 1, cột 2 thì giao của dòng 1, dòng 2; cột 1, cột 2

cho ta định thức con cấp 2 của ma trận A là

22

21

1

Nếu ta chọn dòng 2, dòng 3; cột 1, cột 3 thì giao của dòng 2, dòng 3; cột 1, cột 3

cho ta định thức con cấp 2 của ma trận A là

97

52

2

Định thức M’ của ma trận vuông cấp n – k nhận được sau khi xóa đi k dòng và k cột lập nên định thức con M được gọi là một định thức con bù của định thức con M

Ví dụ: Định thức con bù của các định thức M0, M1, M2 lần lượt là các định thức:

là phần bù đại số của định thức con M

21)1()

a) Nếu đối với một cột thứ j nào đó 1 j n, ta có ' "

ij ij

ij a a

nn nj

nj n

n

n j

j

n j

j

a a

a a

a

a a

a a

a

a a

a a

a

D

"

' 2

1

2

"

2 ' 2 22

21

1

"

1 ' 1 12

11

thì ta có D = D’ + D” trong đó

nn nj

n n

n j

n j

a a

a a

a a

a a

a a

a a D

' 2

1

2 '

2 22

21

1 '

1 12

2

"

2 22

21

1

"

1 12

11

"

nn nj

n n

n j

n j

a a

a a

a a

a a

a a

a a D

ij

ij ka

nn nj

n n

n j

n j

a ka

a a

a ka

a a

a ka

a a

D

' 2

1

2 '

2 22

21

1 '

1 12

11

thì ta có D = k.D’ trong đó

nn nj

n n

n j

n j

a a

a a

a a

a a

a a

a a D

' 2

1

2 '

2 22

21

1 '

1 12

2.2.3 Tính chất 3 Giả sử A,B Mat(n n,K) Khi đó:

a) det (A.B) = det A det B

det

1

A A

2.2.4 Hệ quả

a) Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai cột của nó

b) Nếu các cột của định thức cấp n, coi là những vectơ của Kn là một hệ phụ thuộc tuyến tính thì định thức bằng 0 Nói riêng, nếu định thức có một cột bằng 0 (gồm toàn số 0) thì nó bằng 0

c) Định thức bằng 0 nếu có hai cột tỉ lệ với nhau

d) Định thức không thay đổi nếu ta nhân một cột của định thức với một vô hướng thuộc K rồi cộng vào một cột khác của nó

e) Tất cả các tính chất của định thức đối với các cột vẫn đúng đối với các dòng của nó

2.2.5 Ví dụ

Ví dụ 1 Chứng minh rằng các định thức sau bằng 0

11

1)

cos1

sin

cos1

sin

cos1

sin

)

2 2

2 2

2 2

b a c

a c b

c b a b a

Lời giải:

a) Lấy cột 1 cộng cột 3, ta được:

0cos

11

cos11

cos11

cos1cossin

cos1cossin

cos1cossin

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

b) Lấy cột 1 cộng cột 2, ta được:

011

11

11

)(

1111

1

1

b a

c c b a b

b a c

a a c b

c c b a

a)

2 2 2

1111

1

1

c c

b b

a a

ab c

ca b

bc a

b)

2 2 2

3 3 3

11

1)(

111

c c

b b

a a c b a c c

b b

a a

2 2 2

0010

01

a c a c

a b a b

a a

bc ab a c

bc ca a b

bc a

Chuyển vế đồng thời đưa nhân tử chung của dòng 2 và dòng 3 ra ngoài định thức ta được:

01

0

10

1))(

(

01

0

101

10

10

1))(

(

2 2

b a c

c a b

bc a a a c a b

b c

bc a

a c

a b

a a a

c a b

Vậy đẳng thức là đúng

b) Ta có:

2 2

2 2

2 2

3 3 3

3 2 2

2 3 2

2 2 3

2 2 2

111

111

111

11

1)(

bc ac c

c b ab b

c a b a a

c c

b b

a a

c bc ac c

c b b ab b

c a b a a a

c c

b b

a a c b

a

VP

Đối với định thức thứ hai, ta cộng vào cột thứ ba tích của cột thứ nhất nhân với abc

abc bc

ac c

abc c b ab b

abc c a b a a

c c

b b

a a

VP

2 2

2 2

2 2

3 3 3

111

b b

a a

ab bc ac c c

ac bc ab b b

bc ac ab a a

c c

b b

a a

3 3 3

3 3 3

111

)(

1

)(

1

)(

11

1

1

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

a a

a A

n

sgn

sgn(

33 32 31

23 22 21

13 12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

S

a a a a

a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

Số các phép thế bậc 3:

;231

321

;312

321

;123

321

;213

321

;132

321

;321

321

6 5

4

3 2

Sau đây là một số phương pháp thông dụng

2.3.2 Phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột

Cơ sở của phương pháp này là Định lí khai triển Laplace:

Cho A = (aij)nxn Giả sử trong A đã chọn ra k dòng (tương ứng cột) cố định

tức là:

' ) (

1

1

.1

1

M M

A

k

q q q

k

j i n

i i

Hệ quả: Công thức khai triển định thức của ma trận A theo dòng thứ i:

in in i

i i

j j

543

00

2

201

)

d

c b

a D

0000

0

00

000'

)

v

x b

a c

z e f

y d

g u k h l

D b

Lời giải:

a) Khai triển theo dòng 2 và dòng 4, ta được một định thức con cấp 2 khác 0

Do đó ta có:

.5

0)

1(0

abcd c

a d

b D

b) Khai triển Laplace theo thứ tự dòng 5, dòng 2, dòng 2, dòng 2 ta được:

x b

a

z e y

g u k h v

v

x b

a c

z e f

y d

g u k h l D

0

00

000)

1(

0000

0

00

000

xyzuv x

g u vyz

x b

z

g u k vy

0)1)(

(0

00)

2.3.3 Phương pháp đưa về ma trận tam giác

Sử dụng các tính chất của định thức ta đưa về ma trận tam giác trên hay dưới, rồi

áp dụng kết quả của định thức của ma trận tam giác:

00

0

00

0

22 11

2 2

22

1 1

12 11

nn ii

nn

in ii

n i

n i

a a a a

a

a a

a a

a

a a

a a

0

00

00

0

22 11

2 1

2 1

22 21 11

nn ii

nn ni

n n

ii i

i

a a a a

a a

a a

a a

a

a a a

Đây là phương pháp thường dùng để tính định thức có cấp là một số cụ thể

Ta có thể trình bày thuật toán như sau:

+) Tại bước thứ k, 2 k n, lặp lại bước 1 đối với ma trận con cấp n – k + 1 ở góc phải bên dưới cùng

+) Tối đa sau n – 1 bước ta sẽ được một ma trận tam giác trên Định thức của nó bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

Ví dụ 1 Tính định thức:

.969600

1410

341

270

141

0

341

412

1195

341

341

1195

412

Thuật toán trên tuy luôn cho ta kết quả, nhưng việc luôn trừ đi một bội của dòng (cột) thứ nhất có thể dẫn tới một ma trận phức tạp ở bước tiếp sau đó Do đó khi áp dụng phương pháp đưa về dạng tam giác ta phải tùy xem đặc điểm bài toán mà linh hoạt trong việc sử dụng thứ tự các phép biến đổi sơ cấp

Ví dụ 2 Tính các định thức:

n n n

n n

n n n

b a b

a b a b a

b a b

a b a b a

b a b

a b a b a

b a b

a b a b a

D

a

3 2

1

3 3

3 3 2 3 1

2 3

2 2 2 2 1

1 3

1 2 1 1 1

2011 2011

')

x

a b b

b

b a b

b

b b a

b

b b b

a

D b

Lời giải:

a)

n n n

n n

n n n

b a b

a b a b

b a b

a b a b

b a b

a b a b

b a b

a b a b

a

D

3 2

3 3

3 3 2 3

2 3

2 2 2 2

1 3

1 2 1 1

1

Lần lượt từ cột thứ 2 trừ đi tích của cột thứ nhất với a2, a3, …, an ta có

00

0

00

0

3 3

3

2 2

2 3 3 2 2

1 1

1 3 3 1 1 2 2 1 1

1

n

n n

n n

n n

b

b a b a b

b a b a b

a b a b

b a b a b

a b a b a b a b

a D

Chuyển cột đầu xuống cột cuối ta có

0

00

0)

1(

1 1 3

2 2 3 2 1 1 2 1

3 3 3

2 2 2

2 3 3 2

1 1 1

1 3 3 1 1 2 2 1

1 1

n n n n n

n

n n

n n

n n

n

b a b a b a b a b a b a b a

b

b b a b a

b b a b a b

a b a

b b a b a b

a b a b a b a

a D

b) Cộng tất cả các cột với cột đầu tiên, ta thu được

2011 2011

11

11

)2010(

'

x

a b b

b a b

b b a

b b b

b a

D

Nhân dòng đầu với (-1) rồi cộng vào các dòng còn lại, ta được

.))(

2010(

00

0

00

0

00

01

)2010(

2011 2011

b a b a

b a

b a

b a

b b

b

b a

D

x

2.3.4 Phương pháp rút ra các nhân tử tuyến tính

Nếu mỗi phần tử của ma trận vuông A cấp n là một đa thức bậc nhất đối với

biến x nào đó, thì định thức A là một đa thức của các biến đó với bậc không quá n

Biến đổi sao cho có thể tìm được n đa thức bậc nhất f1, f2, …, fn độc lập tuyến tính với nhau và mỗi fi là ước của A Ta kết luận A và tích f1f2 … fn sai khác nhau một nhân tử hằng số

Ví dụ 1 Tính định thức:

13

21

12

1

311

32

1

)(

x

n x

n x

n

x D

Lời giải:

Định thức

13

21

12

1

311

32

1

)(

x

n x

n x

n

x

trong định nghĩa của đa thức là một tích a1 1.a2 2 a n n đều có thừa số thứ nhất

là một hằng số Do đó bậc của đa thức bằng n – 1, hệ số đầu là 1

Mặt khác lần lượt cho x = 1, 2, …, n – 1, ta nhận được định thức có 2 dòng bằng nhau nên chúng đều bằng 0, tức là:

D(1) = D(2) = … = D(n – 1) = 0

Do đó D(x) chia hết cho x – 1, …, x – n + 1

Suy ra D(x) = (x – 1)(x – 2)…(x – n + 1)

Ví dụ 2 Tính định thức Vandermonde

1 2

1 2 2

2 2

1 1 2

1 1

1

11

n n n

n

n n

n

x x

x

x x

x

x x

x D

Lời giải:

Lấy cột thứ n – 1 nhân với (–xn) rồi cộng vào cột n,

lấy cột thứ n – 2 nhân với (-xn) rồi cộng vào cột n – 1,

…

lấy cột thứ nhất nhân với (-xn) rồi cộng vào cột thứ hai, ta được:

00

01

)(

)(

1

)(

)(

1

)(

)(

1

1 2 1 1

1 1

2 2 2 2

2 2

1 2 1 1

1 1

n n n n n

n n n n

n n

n n

n n

n n

n

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x

x x x x

x x x

x D

Khai triển định thức theo dòng thứ n rồi đặt thừa số chung của mỗi dòng ra ngoài ta có:

2 1 2

2 1

2 2 2

2 2

2 1 2

1 1

1 1

1

1

1

1)

) (

()1(

n n n

n

n n

n n n n

n

x x

x

x x

x

x x

x x

x x x D

hay D n (x n x1)(x n x2) (x n x n 1).D n 1

Dn-1 là định thức Vandermonde cấp n – 1 vắng xn

2 2 1 2

1 1 1

2 1 2

n n n

n n n n

n

n

x x

x x x

x x x x x x x x x x x

D

1

1 2 2 1 2

1 1 1 1 2

1

)(

)) (

2.3.5 Phương pháp truy hồi

Ta biến đổi, khai triển định thức theo dòng hoặc theo cột sao cho có thể biểu diễn định thức đã cho qua các định thức cùng dạng nhưng có cấp thấp hơn; sau đó tính định thức của một số định thức cấp thấp ta sẽ tìm được định thức cấp n Ta thường gặp quan hệ có dạng:

)1()

(

)(

)(

)(

1 2 2 1

1 2 2 1

2 1

1

2 1

1

D D

D D

D D

D D

D D

D

D

D D

D

D

n n

n

n n

n n

n n

n

n n

n n

Lấy (2) (1) ta được:

(*)

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)

(

2 1 1

2

2 1 1 1

2 1

n n

n

n n

n

D D D

D D

D D D

D D

)(

)(

)(

)(

)(

)(

1 2 2 1

1 2

2 1

2 ) 1 ( )

2

(

1 2 2 3

3 2 2 1

2 4 3

2

1 2 2 2

2 1 1

2 3 2

1

1 2 2 1

D D

D D

D D D

D

D D

D D

D D

D D

D D

D D

D D D

D

D D

D D

n n

n n

n n

n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được

.)

2()

1(

)2()

1(

)(

)1(

1 1 2

2

1 1

2 2

1 2 2 1

1

D n

D n

D

D n D

n D

D D

n D

D

n n

n

n n

n

n n

n

Ví dụ 1 Tính định thức:

00

890

00

009

10

008

91

000

89

(8

)(

8

)(

8)(

8

)1(8

9

1 2 2 1

1 2 2 3

2 2 2 1

1

2 1

D D D

D

D D D

D D

D D

D

D D

D

n n

n

n n

n n

n n

n

n n

Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình:

1 2 1

1 2 2 1

88

)(

8

D D D

D

D D D

D

n n

n n

n

9 1

8 9 ,

181

8

88.64

1 1

1

2 1

n n

n n

n n

n n n

n

D

D D

D

D D

b a

ab b a

ab b a

b a

ab b a

ab b a

D n

10

00

0

10

00

00

00

00

01

0

00

01

00

00

Lời giải:

2 2

2 1

1

b a

ab b a D

b

a

.3,

)(

)(

)()

(

)(

1 1

2 2

2 2

n b

a

b a

b b

a b

b ab a b a a a b

a a

b a b b ab

a

D

n n

n n

n

2.3.6 Phương pháp sử dụng tính đa tuyến tính

Sử dụng tính đa tuyến tính của định thức, ta đưa việc tính một định thức thành việc tính tổng của các định thức đơn giản hơn

Ví dụ 1 Cho ma trận

4 3

2 1

111

1

11

11

11

11

11

11

x x

x

x A

Tính det A

Lời giải:

Ta có:

4 3 1

4 3 2

010

01

0

0010

001

00

1

00

1

001

000

1

det

x x x

x x x

A

000

00

0

000

000

1000

10

0

100

100

100

0100

010

010

4 3 2 1 3 2 1 4 2 1 4 3 1 4 3

2

4 3 2 1

3 2 1

4

2 1

x x x x x x x x x x x x x x

x

x

x x x x

x x x

a x a

a a

a a

x a

a

a a

a x a

a a

a a x

x D

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

)(

x x

00

00

00

+ n định thức có đúng một dòng j là (a1, …, an), còn các dòng khác có dạng (0, …, x, …, 0) (x ở vị trí thứ i) Áp dụng khai triển Laplace ta có các định thức này bằng ajxn-1

Vậy D(x) = xn + xn – 1 (a1 + … + an)

Kết luận: Như vậy sau chương 2 ta đã biết 6 phương pháp tính định thức của

ma trận Tùy vào đặc điểm của từng bài toán mà ta nhận biết nên áp dụng phương pháp nào cho phù hợp nhất và linh hoạt trong việc phối hợp giữa các phương pháp với nhau khi tính toán

 Ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông, học sinh đã cần tính định thức của ma trận cấp 2, cấp 3 nhưng chưa được biết về khái niệm phép thế và dấu của

phép thế nên phương pháp tính định thức cấp ba

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

22 21

12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a

a a

a a

a a a

a a a

a a a

thì ba hạng tử sẽ nhận dấu “+” và 3 hạng tử sẽ nhận dấu “ - ” được chỉ ở 6 đường nối sau đây:

32 31

22 21

12 11

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a a

a a

a a

a

a a

a

a a

a

- Cách 2:

+ Mỗi hạng tử gồm một tích của ba thành phần nối với nhau bởi những đoạn thẳng Tích có dấu “+” nếu các thành phần nối bởi nét liền, có dấu “ - ” nếu các thành phần nối bởi nét đứt

+ Sơ đồ:

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập 1 Sử dụng định lí Laplace tính các định thức sau:

3413

2324

1432

)

d c b

a

D

e x

x

d x

x c

x x

x x b

x x a

D

002

00

20

202

20

0

20

0'

Lời giải:

a) Khai triển theo dòng 1 và dòng 2, ta được 5 định thức con cấp 2 khác 0 Do

đó ta có:

.1912158

)3(5)34(4)33()3(10)43

(

8

13)

1(23

1443)

1(22

13

33)

1(32

4331)

1(34

4234)

1(24

32

4 3 2 1 4

2 2 1

3 2 2 1 3

1 2 1 2

1 2 1

d c b a

b a c

a d

a d

b d

c

b a c

a

d a d

b d

c D

b) Khai triển theo dòng 2 và dòng 4, ta được 3 định thức con cấp 2 khác 0 Do

đó ta có:

.)2

(2

)2(2)(4)2()2

(

022

00)

1(0

2

000

0)

1(02

20

2

20)

1(

2

'

2

2 2 2

2

5 4 4 2

5 2 4 2 4

2 4 2

x bcd acd ace

abcde

acx dx

cx x x

ae c x

bd

x x

c x x

a d

x

x

x

c x

x a

x

x b e x

x c x

x a

Bài tập 2 Tính các định thức sau, áp dụng phương pháp đưa về dạng tam giác:

13

21

22

12

3

13

21

2

43

2

1

)

n n

n

n

n n n

D

n

n n n

x x

x x

a x

x x

a a

x x

a a

a x

D b

3 2 1

3 3

2 1

2 23

2 1

1 13

12 1

')

Lời giải:

a) Lấy dòng thứ i nhân với (-1) rồi cộng vào dòng thứ i + 1 theo thứ tự

i = 1, 2, …, n-1, ta được:

11

111

11

111

11

111

432

D

Cộng cột 1 vào các cột 2, 3, 4, …, n ta được:

.2)1)(

1(

22

221

00

021

00

001)1)(

1(

02

221

00

021

00

001

15

431

2 1

1

n n

n

n

n

n D

b) Lấy dòng thứ i trừ đi dòng thứ i – 1, i = n, n – 1, …, 2; ta đưa được về ma trận tam giác trên:

)) (

)(

(

00

3 12 2 1

1

2 3 23

3

1 2 13

23 12 2

1 13

12 1

n n n

n n n

n n

n n n

a x a

x a x x

a x

a a a

x

a a a

a a x

a a

a x

D

Bài tập 3 Tính các định thức sau bằng phương pháp rút ra các nhân tử tuyến tính:

x a

a a

a x

a a

a a

x a

a a

a x

x D b x a

b c

a x c

b

b c

x a

c b

a x x

D

11

()

;

01

01

01

111

10

)

(

)

2 1

0

1 0

2 0

2 1

0

x a

a a

a x

a a

a a

x a

a a

a a

x D d

x x

x

x x x

x x x

x

D

n n

Lời giải:

a) Định thức

x a

b c

a x c

b

b c

x a

c b

a x x

D

11

1

1)(

là đa thức bậc 4 với hệ số đầu bằng 1

Cộng các cột 2, 3, 4 vào cột 1 ta được:

x a

b

a x c

b c

x

c b

a x

c b

a

x a

b x a

b

c

a x c

a x c

b

b c

x b

c x a

c b

a c b a x

x

D

11

11

11

1)1(

11

11

11

x a

b c

x a

a x b

c c

b

b c

x a

b c c

b x a

a x x

D

1

11

1

11

)(

Ta thấy nếu a – x + 1 = b + c thì D(x) = 0 suy ra D(a – b – c + 1) = 0 (2)

x a

a

a x

a

a a

x

a a

a

a n x

x a

a a n x

a x

a a n x

a a

x a n x

a a

a a n x

x

D

1

111

.)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)

(

Trừ dòng thứ 2, 3, …, n đi dòng thứ nhất ta được

.).(

)1(

00

0

00

0

00

01

.)1()

a x

a x

a x

a a

a

a n x x

D

c)

0

000

)(

01

01

01

111

10

)

x x

x x

x x x

x

x x x

x

x x x

x

x D x

x x

x

x x x

x x x

x

D

Áp dụng kết quả phần b) khi x = 0 và a = x ta có: