Định thức và ứng dụng

GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU 03 NỘI DUNG 04 Chƣơng 1: Các kiến thức liên quan 04 1.1 Ma trận 04 1.1.1 Định nghĩa ma trận 04 1.1.2 Ma trận chuyển vị 05 1.1.3 Ma trận nghịch đảo 05 1.1.4 Ma trận tam giác 06 1.1.5 Hạng ma trận 06 1.2 Phép dấu phép 07 1.2.1 Phép 07 1.2.2 Nghịch thế, dấu phép 08 Chƣơng 2: Định thức ma trận 10 2.1 Định nghĩa 10 2.1.1 Định nghĩa 10 2.1.2 Định thức bù phần bù đại số 10 2.2 Các tính chất định thức 11 2.3 Các phương pháp tính định thức 15 2.3.1 Phương pháp dùng định nghĩa 15 2.3.2 Phương pháp khai triển theo dòng cột 15 2.3.3 Phương pháp đưa ma trận tam giác 17 2.3.4 Phương pháp rút nhân tử tuyến tính .20 2.3.5 Phương pháp truy hồi .22 2.3.6 Phương pháp sử dụng tính đa tuyến tính 24 Bài tập vận dụng 27 Chƣơng 3: Ứng dụng định thức .36 SVTH: Nguyễn Thị Hiển Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp 3.1 Xét tính độc lập, phụ thuộc hệ vectơ 36 3.2 Tìm ma trận nghịch đảo 38 3.3 Tìm hạng ma trận 41 3.4 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 42 3.5 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng 48 Bài tập vận dụng 51 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 SVTH: Nguyễn Thị Hiển Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Toán học môn khoa học bắt nguồn từ thực tiễn có ứng dụng rộng rãi Cùng với thời gian kiến thức Toán học không ngừng đổi nâng cao giá trị Một môn học có vai trò quan trọng cho phát triển Toán học đại số tuyến tính Đại số tuyến tính môn học sở chương trình Toán học cao cấp ngày Trong nội dung định thức có nhiều ứng dụng quan trọng Toán học khoa học kĩ thuật Phương pháp định thức cho phép tiếp cận kiến thức Toán học cách gọn gàng, sáng sủa; đồng thời sử dụng định thức phương pháp giải toán hiệu Nó có tác dụng tích cực việc phát triển tư cho người học Toán Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu mảng kiến thức em lựa chọn đề tài “Định thức ứng dụng” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Trình bày lí thuyết định thức ma trận ứng dụng định thức Nhiệm vụ nghiên cứu - Đưa kiến thức liên quan định thức ứng dụng định thức - Nghiên cứu định nghĩa, tính chất, phương pháp tính định thức ma trận; đồng thời đưa ví dụ minh họa cho phương pháp - Xây dựng hệ thống tập qua lớp toán ứng dụng định thức Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc sách nghiên cứu tài liệu tham khảo - Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu SVTH: Nguyễn Thị Hiển Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp NỘI DUNG Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 MA TRẬN 1.1.1 Định nghĩa ma trận Cho K trường tùy ý Một bảng gồm m.n phần tử aij K xếp theo m dòng, n cột sau: a11 a 21 a12 a 22 a1n a2n a m1 am am n (1) gọi ma trận kiểu (m, n) Mỗi aij bảng gọi thành phần ma trận Vectơ dòng ai1 Vectơ cột a1 j a2 j ain gọi dòng thứ i ma trận gọi cột thứ j ma trận am j Ma trận thường kí hiệu chữ: A, B,… Ma trận (1) kí hiệu: A = (aij)m x n Khi m = n ma trận A = (aij)n x n gọi ma trận vuông cấp n, kí hiệu A = (aij)n Tập hợp tất ma trận kiểu (m, n) với phần tử thuộc trường K kí hiệu Mat(m x n, K) SVTH: Nguyễn Thị Hiển Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Tập hợp ma trận vuông cấp n với phép toán cộng nhân ma trận lập thành vành có đơn vị, kí hiệu Mat(n x n, K) Vành không giao hoán n > Phần tử đơn vị vành Mat(n x n, K) ma trận: I 0 0 0 I gọi ma trận đơn vị cấp n 1.1.2 Ma trận chuyển vị Cho ma trận A ma trận At a ji aij a11 a 21 a12 a 22 a1n a2 n a m1 am am n m xn a11 a12 a 21 a 22 a m1 am a1n a2 n am n nxm gọi ma trận chuyển vị ma trận A Ta có: (At)t = A ; (A-1)t = (At)-1 (A + B)t = At + Bt ; (A.B)t = Bt At 1.1.3 Ma trận nghịch đảo Ma trận vuông A Mat(n n, K ) ma trận khả nghịch có ma trận vuông B Mat(n n, K ) cho AB = BA = I Khi B gọi ma trận nghịch đảo A, kí hiệu B = A-1 SVTH: Nguyễn Thị Hiển Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp 1.1.4 Ma trận tam giác Ma trận tam giác ma trận vuông có tất phần tử nằm phía (hoặc phía dưới) đường chéo Như aij = i j (hoặc i>j) Ma trận tam giác có dạng: a11 a 21 a 22 0 0 a i1 aii a n1 an a ni a nn (aij = i j) Ví dụ: A 0 ma trận tam giác cấp B 0 ma trận tam giác cấp 1.1.5 Hạng ma trận Hạng hệ vectơ: Cho hệ gồm số hữu hạn vectơ không gian vectơ V Ta gọi số vectơ hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ hạng hệ vectơ cho SVTH: Nguyễn Thị Hiển Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Kí hiệu hạng hệ vectơ , , , n rank , , , n Hạng ma trận: Cho A Mat(m n, K ) Coi cột (hay dòng) A vectơ ta hệ n vectơ (tương ứng m vectơ) không gian vectơ Km (tương ứng Kn) Ta gọi hạng hệ n (tương ứng m) vectơ hạng ma trận A kí hiệu rankA Như hạng ma trận định nghĩa hạng hệ vectơ cột (hoặc dòng) 1.2 PHÉP THẾ VÀ DẤU CỦA PHÉP THẾ 1.2.1 Phép Ta gọi song ánh từ tập {1, 2, …, n} lên phép (hoặc hoán vị) bậc n Tập hợp tất phép tập {1, 2, …, n} kí hiệu Sn Sn có n! phần tử S n sau: Kí hiệu phép (1) Như (2) n ( n) (1), (2), , (n) cách xếp thứ tự {1, 2, …, n} Tổng quát: Song ánh tập hợp A gồm n phần tử vào gọi phép tập A Vì ta liệt kê phần tử A dạng A a1 , a , , a n phép A có dạng: a1 aj j1 , j , , j n a2 aj an aj , n 1, , n Như đồng phép với ' SVTH: Nguyễn Thị Hiển j1 j2 n jn Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Ta xét tích hai phép Sn phép hợp thành hai ánh xạ Khi Sn nhóm với phép lấy tích ánh xạ S n mà Phép i j, j i, k k, k phép chuyển trí, kí hiệu (i, j) Nghĩa phép i, j i, j gọi đổi chỗ hai phần tử 1,2, , n cho giữ nguyên phần tử lại Ví dụ: a) Ánh xạ đồng {1, 2, …, n} phép Nó đóng vai trò phần tử đơn vị Sn phép tập {1, 2, 3, 4} xác định b) 4, 3, 1, 1.2.2 Nghịch thế, dấu phép Với n>1, ta gọi cặp số i, j i 1,2, , n nghịch phép j trái dấu với i – j, nghĩa i j i j Phép với số nghịch chẵn (tương ứng lẻ) gọi phép chẵn (tương ứng lẻ) Dấu phép số kí hiệu sgn sgn Nếu Nếu cho phép chẵn phép lẻ Ví dụ: a) Phép có hai nghịch {1, 3}, {2, 3} sgn( ) SVTH: Nguyễn Thị Hiển Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp có nghịch {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, b) Phép {2, 3}, {2, 4} sgn Hệ 1: Nếu i < j số nghịch phép chuyển trí (i, j) 2(j – i) – Hay phép chuyển trí phép lẻ Hệ 2: Mỗi phép bậc n, n tích số hữu hạn chuyển trí S n n > sgn Hệ 3: Với cặp số (không có thứ tự) i, j Hệ 4: Với , j i tích chạy j 1,2, , n S n , ta có: sgn SVTH: Nguyễn Thị Hiển i i j sgn sgn Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Chƣơng 2: ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN 2.1 ĐỊNH NGHĨA 2.1.1 Định nghĩa Định thức ma trận vuông A aij Mat n n, K phần tử thuộc nxn trường K, kí hiệu det A, cho bởi: det A sgn a1 a 2 .a n n Sn det A gọi định thức cấp n Định thức ma trận A kí hiệu A Ví dụ: a) Định thức cấp một: det (a) = a b) Định thức cấp hai: det Số phép bậc hai: nên sgn( Do det ) 1, a11 a12 a21 a22 , a11 a12 a21 a22 2 phép lẻ nên sgn( a11 a12 a21 a22 sgn( ).a1 ) (1) a2 ( 2) S2 phép chẵn a11a22 a12a21 2.1.2 Định thức bù phần bù đại số Cho A (1 k aij nxn Mat n n, K Nếu chọn k dòng k cột A n) định thức M ma trận vuông cấp k gồm thành phần nằm giao k dòng k cột gọi định thức cấp k ma trận A Ví dụ: Cho ma trận A SVTH: Nguyễn Thị Hiển 10 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp 1 A bs 1 1 1 1 1 1 có 1 1 1 1 1 1 0 1 1 4 1 1 1 1 0 4 4 1 1 64 nên rank Abs = Do rankA rankAbs Hệ cho vô nghiệm Kết luận: - Nếu - Nếu 1, 3, hệ có nghiệm , , , 1, hệ có nghiệm phụ thuộc tham số (u, v, w, – u – v – w) với u, v, w tùy ý - Nếu , hệ vô nghiệm Ví dụ 3.4.3 Cho số aij + aji = 0, i, j 1, n n số lẻ Chứng minh hệ phương trình a11 x1 a 21 x1 a12 x a 22 x a1n x n a2n xn 0 a n1 x1 an x2 a nn xn có nghiệm không tầm thường Lời giải: Đặt A = (aij)nxn Ta thấy At = - A Như det A = det At = det (- A) = (-1)n det A = -det A Do det A = suy hệ phương trình cho có nghiệm không tầm thường SVTH: Nguyễn Thị Hiển 47 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 3.4.4 Cho hệ phương trình ax1 bx1 bx1 bx2 ax2 bx2 bx3 bx3 ax3 bx2010 bx2010 bx2010 bx2011 bx2011 bx2011 bx1 bx1 bx2 bx2 bx3 bx3 ax2010 bx2010 bx2011 ax2011 2010 2011 Tìm điều kiện a b để hệ phương trình cho có nghiệm Lời giải: Kí hiệu D định thức hệ phương trình Ta có a b b a b b b b b b b b a b b a 2011x 2011 D Theo kết phần b) ví dụ 2, mục 2.3.3 ta có D = (a + 2010b)(a – b)2010 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm a a b 2010b 3.5 TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG Giả sử f : V V tự đồng cấu K_không gian vectơ V Nếu có vectơ V vô hướng riêng K cho f gọi giá trị gọi vectơ riêng f ứng với giá trị riêng Nếu A ma trận tự đồng cấu f , gọi giá trị riêng, vectơ riêng ma trận A Thuật toán tìm giá trị riêng, vectơ riêng tự đồng cấu f: Bước 1: Lấy sở (e) e1 , e2 , , en V tìm ma trận A f sở Bước 2: Lập đa thức đặc trưng det( A SVTH: Nguyễn Thị Hiển I ) ma trận A 48 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n ẩn : det( A I ) Nghiệm phương trình tập giá trị riêng f Bước 4: Với giá trị phương trình trên, giải hệ phương trình tuyến tính suy biến: (a11 ) x1 a12 x a1n x n a 21 x1 (a 22 ) x2 a2 n xn a n1 x1 a n x (a nn ) xn Với nghiệm không tầm thường c1 , c2 , , cn hệ ta có: c1 e1 c e2 cn en vectơ riêng f ứng với giá trị riêng Ví dụ 3.5.1 Tự đồng cấu f : V V có ma trận sở e1 , e2 , e3 V là: A Hãy tìm giá trị riêng vectơ riêng f Lời giải: Đa thức đặc trưng ma trận A sở e1 , e2 , e3 là: det( A I) 5 Vậy f có giá trị riêng Với trị riêng ( 1) 0; x1 x , hệ phương trình: x1 x x1 x có nghiệm không tầm thường x1 Các cectơ a(e1 2e2 a, x 3e3 ) với a a, x x3 x3 x3 0 3a với a 0 vectơ riêng f ứng với giá SVTH: Nguyễn Thị Hiển 49 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Với 3 x1 x 1, hệ phương trình : x1 x x1 x có nghiệm không tầm thường x1 Các vectơ riêng a(e1 e2 a, x e3 ) với a a, x x3 x3 x3 0 a a 0 vectơ riêng f ứng với giá trị Ví dụ 3.5.2 Tìm giá trị riêng vectơ riêng tự đồng cấu f có ma trận sau sở e1 , e2 , e3 V B 1 3 Ma trận B có chéo hóa không? Vì sao? Lời giải: Đa thức đặc trưng ma trận B sở e1 , e2 , e3 là: det( B I) 3 1) ( Vậy f có giá trị riêng x1 x2 x3 1, hệ phương trình x1 x2 x3 x1 x3 Với có nghiệm không tầm thường x1 Vậy vectơ riêng a (e1 e2 a, x e3 ) với a a, x a với a 0 vectơ riêng f ứng với giá trị Ma trận B không chéo hóa B có sở gồm vectơ riêng SVTH: Nguyễn Thị Hiển 50 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập Xét xem hệ tập sau lập thành sở R3 a) (1,1,1); (1,2,3), (3, 2,1) b) (1,1,2); (1,2,5), (5,3,4) Bài giải: a) Xét định thức 1 D , , độc lập tuyến tính Vì dim R3 = mà hệ , , , , có vectơ độc lập tuyến tính nên hệ sở R3 b) Xét định thức 1 D' Suy hệ , , , phụ thuộc tuyến tính , không sở Bài tập Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) a) A 1 1 ; 1 b) B 1 1 1 1 1 1 1 1 Bài giải: a) Ta thấy det A = -1 + = nên ma trận A không khả nghịch b) Khai triển theo dòng dòng ta có: SVTH: Nguyễn Thị Hiển 51 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp 1 det B 1 ( 1)1 1 ( 1)1 1 2 1 4 4 1 1 1 1 ( 1)1 1 ( 1)1 1 2 1 1 1 16 Ta có: B11 B12 B13 B14 B21 B22 B23 B24 B B 1 16 B31 B32 B33 B34 4 4 B41 B42 B43 B44 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 B Bài tập Tìm hạng hệ vectơ sau: (4, 1,3, 2), (8, 2,6, 4), (3, 1,4, 2), (6, 2,8, 4) Bài giải: Hạng hệ vectơ , , , hạng ma trận sau: A 4 Ta có định thức D2 1 Xét định thức cấp bao quanh D2: SVTH: Nguyễn Thị Hiển 52 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp D3 4 3 ; D3' 3 3 4 rankA Bài tập Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng ( ) trường hợp sau: (d ) : 2x 3y z 3x y z ( ) : x y 3z Bài giải: Để xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng ( ) ta tìm số giao điểm (d) ( ) , số giao điểm số nghiệm hệ phương trình: 2x 3x x 3y 5y 2y z 2z 3z Ta có det A 3 det A1 det A3 3 5 2 3 22 66 det A2 1 22 44 Vậy (x = 3, y = -1, z = 2) nghiệm hệ phương trình Vậy đường thẳng (d) cắt mặt phẳng ( ) điểm có tọa độ (3, -1, 2) Bài tập Tìm giá trị riêng vectơ riêng tự đồng cấu f có ma trận sau sở e1 , e2 , e3 R3: SVTH: Nguyễn Thị Hiển 53 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp 1 a) A 1 1 b) B Hỏi chúng có chéo hóa không? Bài giải: a) Đa thức đặc trưng ma trận A sở e1 , e2 , e3 là: det( A I) 1 ( 3, a (e 0, x2 a, x3 a) a 0 vectơ riêng f ứng với giá trị e3 ) với a , hệ phương trình: có nghiệm không tầm thường ( x1 Vậy vectơ b(6e1 7e x1 x2 x3 x1 3x2 3x3 6b, x2 5b) b 7b, x3 5e3 ) với b 0 vectơ riêng f ứng với giá Với x 2 x3 1, hệ phương trình: x1 x 3x3 x1 3x x3 có nghiệm không tầm thường ( x1 Vậy vectơ 3 Với trị riêng ) x1 x2 x3 x1 3x 3x3 x1 3x 3x3 , hệ phương trình: Vậy vectơ 3, có nghiệm không tầm thường ( x1 riêng 9)(1 Vậy f có giá trị riêng Với c( 2e1 e2 2c, x2 c, x c) c e3 ) vectơ riêng f ứng với giá trị riêng SVTH: Nguyễn Thị Hiển 54 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Xét vectơ riêng ứng với giá trị riêng (0,1,1), (6, 7,5), , Suy , là: 1 24 độc lập tuyến tính R3 , 3, ( 2,1,1) ta thấy 1 1 3, 1 , sở R3 Do ma trận A chéo hóa b) Đa thức đặc trưng ma trận B sở e1 , e2 , e3 là: det( B I ) 1 có nghiệm không tầm thường x1 a (e1 2 2)(2 ) x1 x x1 x3 x1 x3 , hệ phương trình: Vậy vectơ ( Vậy f có giá trị riêng Với e2 a, x e3 ) với a a, x a với a 0 vectơ riêng f ứng với giá trị riêng Ta thấy ma trận B không chéo hóa B có sở gồm vectơ riêng Bài tập Xét xem vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính R4 a) ( 1, 2,1,2); b) ( 1,1,0,1); Đáp số: a) D b) D (0, 1,2,3); (1,0,1,1); , , , , , , ( 1,0,1,3) ( 3,1, 2, 1); SVTH: Nguyễn Thị Hiển (1,4,1,2); ( 3,3,0,3) độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 55 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Bài tập Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: a) A c)C b) B a11 0 a 22 0 a33 0 0 0 a nn 13 Đáp số: a) det A 13; A b) det B c) det C 1; B 38 27 a11a22 ann ; C 4 41 29 34 24 a11 0 0 a 22 0 0 a33 0 0 ann Bài tập Giải phương trình ma trận sau: a) X b) 2 2 4 X 10 10 7 SVTH: Nguyễn Thị Hiển 56 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp 1 1 c) 0 0 1 X 0 n n 0 Đáp số: a) X n 2 3 b) X c) X 1 1 0 1 1 0 Bài tập Tính hạng ma trận sau: a) 0 0 c) 3 ; b) 3 1 2 6 1 1 1 1 Đáp số: a) Hạng b) Hạng c) Hạng 0, 2, Hạng trường hợp lại Bài tập 10 Giải hệ phương trình sau phương pháp Cramer phương SVTH: Nguyễn Thị Hiển 57 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp pháp khử Gauss x1 x1 x1 x1 x x3 x x x3 x x x3 x x x3 x Đáp số: Nghiệm hệ phương trình (x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1) Bài tập 11 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số a, b, c x ay a z a x by b z b x cy c z c Đáp số: Nếu a, b, c phân biệt cặp ( x Nếu a a3 a2 z a ,y b a b3 b z b c, a b ( x Nếu a = b = c ( x abc, y (ab bc ca), z a b c) 1 a a z , z) b a b3 b z a ay a z, y, z) Bài tập 12 Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng ( ) trường hợp sau: (d ) : 3x y z 16 2x y z ( ) : 5x z Đáp số: Đường thẳng (d) cắt mặt phẳng ( ) điểm có tọa độ 22 148 122 , , 3 Bài tập 13 Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận a) A 7 b) B 10 12 12 19 10 24 30 Hỏi chúng có chéo hóa không? Vì sao? Đáp số: a) Đa thức đặc trưng A: ( Ma trận A có giá trị riêng: SVTH: Nguyễn Thị Hiển 1; 1) (3 ) 58 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Hai vectơ riêng ứng với hai giá trị riêng: a 0, b(e1 2e2 2e3 ) b a(e1 2e2 e3 ) Ma trận A không chéo hóa b) Đa thức đặc trưng B: (1 )( 17 222) Ma trận B có giá trị riêng phân biệt cặp: 1, 17 1177 , 17 1177 Vậy B chéo hóa Bài tập 14 Cho A ma trận vuông cấp n có tất phần tử số nguyên chẵn Chứng minh ma trận A có giá trị riêng số nguyên lẻ Hƣớng dẫn: Giả sử phản chứng ma trận A có giá trị riêng số nguyên lẻ, det A Vậy A có giá trị riêng số nguyên lẻ SVTH: Nguyễn Thị Hiển 59 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Với đề tài tốt nghiệp “Định thức ứng dụng” đề tài có tính ứng dụng cao, giúp cho em hình thành cách hệ thống kiến thức định thức, tìm hiểu nhiều ứng dụng định thức Qua thấy tầm quan trọng định thức giải toán Do hạn chế thời gian chưa có nhiều kinh nghiệm nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến Thầy Cô bạn để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2011 Sinh viên thực Nguyễn Thị Hiển SVTH: Nguyễn Thị Hiển 60 Lớp: K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (1999), Bài tập Đại số tuyến tính Hình học giải tích, Nxb Đạdi học Quốc gia Hà Nội Trần Trọng Huệ (2006), Giáo trình Đại số tuyến tính Hình học giải tích tập 1, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số số học, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc, Nxb Giáo dục, Phúc Yên Phan Hồng Trường (2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, Trường ĐHSP Hà Nội 2, Hà Nội Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Hoàng Xuân Sính (1987), Đại số tuyến tính Hình học tập1 Hình học giải tích, Nxb Giáo dục, Hà Nội SVTH: Nguyễn Thị Hiển 61 Lớp: K33 - Cử nhân Toán [...]... n – k nhận được sau khi xóa đi k dòng và k cột lập nên định thức con M được gọi là một định thức con bù của định thức con M Ví dụ: Định thức con bù của các định thức M0, M1, M2 lần lượt là các định thức: 1 2 , M 1' 7 6 M 0' 9, M 2' 2 Nếu k dòng đã chọn là i1, i2, …, ik và k cột đã chọn là j1, j2, …, jk thì ta gọi: k 1 ( iq jq ) q 1 M ' là phần bù đại số của định thức con M Khi k = 1 thì phần bù đại... 2.2.4 Hệ quả a) Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai cột của nó b) Nếu các cột của định thức cấp n, coi là những vectơ của Kn là một hệ phụ thuộc tuyến tính thì định thức bằng 0 Nói riêng, nếu định thức có một cột bằng 0 (gồm toàn số 0) thì nó bằng 0 c) Định thức bằng 0 nếu có hai cột tỉ lệ với nhau d) Định thức không thay đổi nếu ta nhân một cột của định thức với một vô hướng thuộc K rồi cộng vào một cột... Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Chƣơng 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC Định thức có nhiều ứng dụng trong đại số, hình học và khoa học kĩ thuật Ứng dụng của định thức được thể hiện qua các dạng toán điển hình sau: 3.1 XÉT TÍNH ĐỘC LẬP, PHỤ THUỘC CỦA MỘT HỆ VECTƠ Cho hệ n vectơ a1 , a 2 , , a n thuộc không gian vectơ Kn Xét định thức D a1 , a 2 , , a n có các cột (hoặc dòng) được tạo thành... Tính định thức: D( x) x a1 a1 a1 a2 x a2 a2 a3 a3 x a3 an an an a1 a2 a3 x an Lời giải: Mỗi dòng của định thức có thể tách thành tổng của hai dòng như sau: (a1, …, x + ai , …, an) = (a1, …, ai, …, an) + (0, …, x, …, 0) Khi đó định thức D(x) được viết thành tổng của các định thức chứa hai dòng như nhau (có định thức bằng 0), trừ các trường hợp sau: + Một định thức dạng x 0 0 x 0 0 0 0 x xn + n định thức. .. pháp truy hồi Ta biến đổi, khai triển định thức theo dòng hoặc theo cột sao cho có thể biểu diễn định thức đã cho qua các định thức cùng dạng nhưng có cấp thấp hơn; sau đó tính định thức của một số định thức cấp thấp ta sẽ tìm được định thức cấp n Ta thường gặp quan hệ có dạng: Dn = pDn – 1 + qDn – 2 + Nếu q = 0 thì Dn = pn – 1 D1 + Nếu q 0 , gọi là nghiệm của tam thức bậc hai x2 – px – q = 0 Xét hai... Nhận xét: Nên sử dụng công thức khai triển theo dòng i (cột j) nếu dòng i(cột j) chứa nhiều phần tử 0 hay những số đơn giản Do đó các dòng hay cột được chọn phải sao cho tạo ra ít định thức con khác 0 để đơn giản trong tính toán và trình bày 2.3.3 Phƣơng pháp đƣa về ma trận tam giác Sử dụng các tính chất của định thức ta đưa về ma trận tam giác trên hay dưới, rồi áp dụng kết quả của định thức của ma trận... sở của phương pháp này là Định lí khai triển Laplace: Cho A = (aij)nxn Giả sử trong A đã chọn ra k dòng (tương ứng cột) cố định với 1 k n 1 Khi đó định thức của ma trận A bằng tổng của tất cả các định thức con M cấp k lấy ra từ k dòng (tương ứng cột) đó với phần bù đại số M’ của chúng, tức là: k det A M 1 ( iq j q ) q 1 M ' 1 i1 ik n 1 Hệ quả: Công thức khai triển định thức của ma trận A theo dòng... b ab 0 1 a b ab 0 1 a b Lời giải: Vì a D1 b nên áp dụng công thức (*) với a b, D2 a2 Dn an a b ab 1 a b a2 ab b 2 b(a b) n a a ( a b) ab b 2 ta có: a(a b) (a 2 ab b 2 ) n b b( a b) 1 bn 1 , n 3 a b 2.3.6 Phƣơng pháp sử dụng tính đa tuyến tính Sử dụng tính đa tuyến tính của định thức, ta đưa việc tính một định thức thành việc tính tổng của các định thức đơn giản hơn Ví dụ 1 Cho ma trận A 1 x1 1 1 1... Biến đổi sao cho có thể tìm được n đa thức bậc nhất f1, f2, …, fn độc lập tuyến tính với nhau và mỗi fi là ước của A Ta kết luận A và tích f1f2 … fn sai khác nhau một nhân tử hằng số Ví dụ 1 Tính định thức: D( x) 1 2 3 1 x 1 3 1 2 x 1 1 2 n n n 3 x 1 Lời giải: Định thức D( x) 1 2 3 1 x 1 3 1 2 x 1 1 2 n n n 3 là một đa thức mà mỗi số hạng x 1 trong định nghĩa của đa thức là một tích a1 1 a2 2 .an n đều... K33 - Cử nhân Toán GVHD: Đinh Thị Kim Thuý Khoá luận tốt nghiệp Vậy đẳng thức đã được chứng minh 2.3 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC 2.3.1 Phƣơng pháp dùng định nghĩa Định thức của ma trận vuông A aij Mat n n, K được tính theo công nxn thức: det A sgn a1 1 a 2 2 .a n n Sn trong đó Sn là tập hợp tất cả các phép thế bậc n Ví dụ: Định thức cấp ba: a11 a12 det a 21 a 22 a31 a32 a13 a 23 a33 a11 a12 a 21 a ... lí thuyết định thức ma trận ứng dụng định thức Nhiệm vụ nghiên cứu - Đưa kiến thức liên quan định thức ứng dụng định thức - Nghiên cứu định nghĩa, tính chất, phương pháp tính định thức ma trận;... ta định thức cấp ma trận A M Định thức M’ ma trận vuông cấp n – k nhận sau xóa k dòng k cột lập nên định thức M gọi định thức bù định thức M Ví dụ: Định thức bù định thức M0, M1, M2 định thức: ... Ta biến đổi, khai triển định thức theo dòng theo cột cho biểu diễn định thức cho qua định thức dạng có cấp thấp hơn; sau tính định thức số định thức cấp thấp ta tìm định thức cấp n Ta thường gặp